1.1 命题及其关系
第1课时 命 题
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P2～P4，回答下列问题．
观察教材P2“思考”中的6个语句．
(1)这6个语句都是陈述句吗？
提示：是．
(2)能否判断这6个语句的真假性？
提示：能．
2．归纳总结，核心必记
命题及相关概念
命题
[问题思考]
(1)“x>5”是命题吗？
提示：不是．
(2)陈述句一定是命题吗？
提示：不一定．
(3)命题“当x＝2时，x2－3x＋2＝0”的条件和结论各是什么？
提示：条件：x＝2；结论：x2－3x＋2＝0.
(4)“若p则q”形式的命题一定是真命题吗？
提示：不一定．
(5)数学中的定义、公理、定理、推论是真命题吗？
提示：是．
[课前反思]
(1)命题的定义是：
；
(2)真、假命题的定义是：
；
(3)命题的条件和结论的定义是：
知识点1
命题的概念
[思考] 一个语句是命题应具备哪两个要素？
提示：(1)是陈述句；(2)可以判断真假．
?讲一讲
1．判断下列语句中，哪些是命题？(链接教材P2－例1)
(1)函数f(x)＝在定义域上是减函数；
(2)一个整数不是质数就是合数；
(3)3x2－2x>1；
(4)在平面上作一个半径为4的圆；
(5)若sin α＝cos α，则α＝45°；
(6)2100是一个大数；
(7)垂直于同一个平面的两条直线一定平行吗？
(8)若x∈R，则x2＋2>0.
[尝试解答] (1)是陈述句，且能判断真假，是命题．
(2)是陈述句，且能判断真假，是命题．
(3)当x∈R时，3x2－2x与1的大小关系不确定，无法判断其真假，不是命题．
(4)不是陈述句，不是命题．
(5)是陈述句，且能判断真假，是命题．
(6)是陈述句，但是“大数”的标准不确定，所以无法判断其真假，不是命题．
(7)不是陈述句，不是命题．
(8)是陈述句，且能判断真假，是命题．
类题·通法
(1)一个语句是命题应具备两个条件：一是陈述句；二是能够判断真假．一般来说，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题．
(2)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假．若能，就是命题；若不能，就不是命题．
(3)还有一些语句，目前无法判断真假，但从事物的本质而论，这些语句是可辨别真假的，尤其是科学上的一些猜想等，这类语句也叫做命题．
(4)数学中的定义、公理、定理和推论都是命题．
?练一练
1．下列语句是命题的是( )
A．你的目标是考上北京大学吗？
B．共线的向量相等
C．抛掷一枚骰子，统计向上的点数
D．向抗洪英雄学习！
解析：选B A是疑问句，所以A不是命题；C为祈使句，所以C不是命题；D是感叹句，所以D不是命题；很明显B是命题．故选B.
2．给出下列语句：
①?∈{1,2}；
②函数y＝2x－1是增函数吗？
③sin 30°＝；
④若log4m＝1，则m＝2；
⑤求证：函数f(x)＝1－2x在区间[－1,4]上是减函数．
其中是命题的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选C ①③④为陈述句，且可以判断真假，所以是命题，②是疑问句，⑤是祈使句，所以②⑤不是命题．故选C.
知识点2
命题的构成形式
?讲一讲
2．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并指出条件与结论．(链接教材P3－例2、例3)
(1)等边三角形的三个内角相等；
(2)当a>1时，函数y＝ax是增函数；
(3)菱形的对角线互相垂直．
[尝试解答] (1)若一个三角形是等边三角形，则它的三个内角相等．
其中条件p：一个三角形是等边三角形，结论q：它的三个内角相等．
(2)若a>1，则函数y＝ax是增函数．其中条件p：a>1，结论q：函数y＝ax是增函数．
(3)若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直．其中条件p：四边形是菱形，结论q：四边形的对角线互相垂直．
类题·通法
(1)对命题改写时，一定要找准命题的条件和结论，有些命题的形式比较简洁，条件和结论不明显，写命题的条件和结论时需要适当加以补充，例如命题“对顶角相等”的条件应写成“若两个角是对顶角”，结论为“这两个角相等”．
(2)在对命题改写时，要注意所叙述的条件和结论的完整性，有些命题中，还要注意大前提的写法．例如，命题“在△ABC中，若a>b，则A>B”中，大前提“在△ABC中”是必不可少的．
?练一练
3．指出下列命题的条件和结论：
(1)若2b＝a＋c，则b是a，c的等差中项；
(2)等比数列不存在等于0的项；
(3)不等式x2－2x<0的解集是(0,2)．
解：(1)条件：2b＝a＋c，结论：b是a，c的等差中项．
(2)条件：一个数列是等比数列，结论：这个数列中不存在等于0的项．
(3)条件：x2－2x<0，结论：解集是(0,2)．
知识点3
判断命题的真假
?讲一讲
3．判断下列各命题的真假，并说明理由．
(1)若a2>b2，则a>b；
(2)在△ABC中，当A>60°时，必有sin A>；
(3)两个向量相等，它们一定是共线向量；
(4)直线y＝x与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝1相切．
[尝试解答] (1)假命题．例如，当a＝－3，b＝1时，a2>b2，但a>b不成立．
(2)假命题．例如，当A＝150°时，A>60°，但sin A＝，不满足sin A>.
(3)真命题．当两个向量相等时，它们的模相等，方向相同，符合共线向量的定义，它们一定是共线向量．
(4)假命题．圆心(1，－1)到直线y＝x的距离为d＝>1，所以直线与圆相离．
类题·通法
(1)判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，把它写成“若p，则q”的形式，然后联系其他相关的知识，经过逻辑推理或列举反例来判定．
(2)一个命题要么真，要么假，二者必居其一．当一个命题改写成“若p，则q”的形式之后，判断这种命题真假的办法：若由“p”经过逻辑推理，得出“q”，则可判定“若p，则q”是真；判定“若p，则q”是假，只需举一反例即可．
?练一练
4．给出下列命题：
①若直线l⊥平面α，直线m⊥平面α，则l⊥m；
②若a，b都是正实数，则a＋b≥2；
③若x2>x，则x>1；
④函数y＝x3是指数函数．
其中假命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C ①显然错误，所以①是假命题；由基本不等式， 知②是真命题；③中，由x2>x，得x<0或x>1，所以③是假命题；④中函数y＝x3是幂函数，不是指数函数，④是假命题．故选C.
5．判断下列命题的真假，并说明理由．
(1)正方形既是矩形又是菱形；
(2)当x＝4时，2x＋1<0；
(3)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；
(4)一个等比数列的公比大于1时，该数列一定为递增数列．
解：(1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形．
(2)是假命题，x＝4不满足2x＋1<0.
(3)是真命题，由x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0.
(4)是假命题，因为当等比数列的首项a1<0，公比q>1时，该数列为递减数列．
——————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————————
1．本节课的重点是命题的真假判断，难点是命题的构成形式和命题的真假判断．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)将命题改写成“若p，则q”的形式，找准命题的条件和
结论，见讲2.
(2)判断命题的真假性，见讲3.
3．本节课的易错点是将含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件p中．
课下能力提升(一)
[学业水平达标练]
题组1 命题的概念
1．下列语句中是命题的是( )
A．周期函数的和是周期函数吗？
B．sin 0°＝0
C．求x2－2x＋1>0的解集
D．作△ABC∽△EFG
解析：选B A选项是疑问句，C、D选项中的语句是祈使句，都不是命题．
2．以下语句中：
①{0}∈N；②x2＋y2＝0；③x2>x；④{x|x2＋1＝0}．
其中命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B ①是命题，且是假命题；②、③不能判断真假，不是命题；④不是陈述句，不是命题．
题组2 命题的构成形式
3．命题：梯形的对角线互相平分，该命题的条件是( )
A．四边形是梯形 B．对角线
C．互相平分 D．对角线互相平分
解析：选A 命题可改写为：若四边形是梯形，则它的对角线互相平分，所以该命题的条件是四边形是梯形．
4．命题“第二象限角的余弦值小于0”的条件是( )
A．余弦值 B．第二象限
C．一个角是第二象限角 D．没有条件
解析：选C 原命题可改写为：若一个角是第二象限角，则它的余弦值小于0，故选C.
5．命题“若a>0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界)”的条件p：________，结论q：________.它是________命题(填“真”或“假”)．
解析：a>0时，设a＝1，把(0,0)代入x＋y－1≥0得－1≥0不成立，∴x＋y－1≥0表示直线的右上方区域，∴命题为真命题．
答案：a>0 二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界) 真
6．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假，且指出p和q分别指什么．
(1)乘积为1的两个实数互为倒数；
(2)奇函数的图象关于原点对称；
(3)与同一直线平行的两个平面平行．
解：(1)“若两个实数乘积为1，则这两个实数互为倒数”．它是真命题．
p：两个实数乘积为1，q：两个实数互为倒数．
(2)“若一个函数为奇函数；则它的图象关于原点对称”．它是真命题．
p：一个函数为奇函数；q：函数的图象关于原点对称．
(3)“若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行”．它是假命题，这两个平面也可能相交．
p：两个平面与同一条直线平行；q：两个平面平行．
题组3 判断命题的真假
7．下列命题中真命题的个数是( )
①平行于同一平面的两个不同的平面平行；
②不等式x＋y－1>0表示的平面区域包含边界x＋y－1＝0；
③方程x2＋y2＝3表示一个圆；
④程序框图中，循环结构可以不含条件结构．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 很明显①③是真命题，②④是假命题，故有2个真命题，故选B.
8．下列命题中真命题有( )
①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选A ①中，当m＝0时，是一元一次方程；②中当Δ＝4＋4a<0时，抛物线与x轴无交点；③是正确的；④中空集不是本身的真子集．
9．下列命题中真命题的个数为( )
①面积相等的三角形是全等三角形；
②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；
③若a>b，则a＋c>b＋c;
④矩形的对角线互相垂直．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A ①错；②中若x＝3，y＝0，则xy＝0，但|x|＋|y|≠0，故②错；③正确；④中矩形的对角线不一定互相垂直．
10．下列命题：
①y＝x2＋3为偶函数；②0不是自然数；③{x∈N|0解析：①为真命题；②③④为假命题．
答案：①
[能力提升综合练]
1．下列命题为真命题的是( )
A．若＝，则x＝y
B．若x2＝1，则x＝1
C．若x＝y，则＝
D．若x解析：选A 很明显A正确；B中，由x2＝1，得x＝±1，所以B是假命题；C中，当x＝y<0时，结论不成立，所以C是假命题；D中，当x＝－1，y＝1时，结论不成立，所以D是假命题．故选A.
2．设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：
①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
②若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β；
③若α∥β，l?α，则l∥β；
④若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.
其中真命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 由正方体模型知①为假命题；由面面平行的判定定理，知缺少m，n相交这一条件，故②为假命题；由面面平行的性质，知③为真命题；因为α∩β＝l，所以l?α，l?β，又l∥γ，γ∩α＝n，所以l∥n，同理l∥m，所以m∥n，所以④为真命题．
3．给出命题“方程x2＋ax＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是( )
A．4 B．2
C．0 D．－4
解析：选C 方程无实根时，应满足Δ＝a2－4<0.故a＝0时适合条件．
4．已知下列三个命题：
①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；
②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；
③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝相切．
其中真命题的序号为( )
A．①②③ B．①②
C．①③ D．②③
解析：选C 对于命题①，设球的半径为R，则π3＝·πR3，故体积缩小到原来的，命题正确；对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；对于命题③，圆x2＋y2＝的圆心(0,0)到直线x＋y＋1＝0的距离d＝＝，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确．
5．下列语句中是命题的有________(写出序号)，其中是真命题的有________(写出序号)．
①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？
②一个数不是正数就是负数；
③大角所对的边大于小角所对的边；
④△ABC中，若∠A＝∠B，则sin A＝sin B；
⑤求证方程x2＋x＋1＝0无实根．
解析：①是疑问句，没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题；
②是假命题，0既不是正数也不是负数；
③是假命题，没有限制在同一个三角形内；
④是真命题；
⑤是祈使句，不是命题．
答案：②③④ ④
6．若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：∵ax2－2ax－3>0不成立，
∴ax2－2ax－3≤0恒成立．
当a＝0时，－3≤0恒成立；
当a≠0时，则有
解得－3≤a<0.综上，－3≤a≤0.
答案：[－3,0]
7．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．
(1)能被9整除的数是偶数；
(2)当x2＋(y－1)2＝0时，有x＝0，y＝1；
(3)如果a>1，那么函数f(x)＝(a－1)x是增函数．
解：(1)若一个数能被9整除，则这个数是偶数．它是假命题．
(2)若x2＋(y－1)2＝0，则x＝0，y＝1.它是真命题．
(3)若a>1，则函数f(x)＝(a－1)x是增函数．它是假命题．
8．已知命题“关于x的方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题，求实数a，b满足的条件．
解：当a＝0时，原方程为bx＋1＝0，所以b≠0；当a≠0时，需满足Δ＝b2－4a≥0.综上，实数a，b满足的条件是a＝0且b≠0或a≠0且b2－4a≥0.
课件22张PPT。命题的概念命题的构成形式判断命题的真假 谢谢！课下能力提升(一)
[学业水平达标练]
题组1 命题的概念
1．下列语句中是命题的是( )
A．周期函数的和是周期函数吗？
B．sin 0°＝0
C．求x2－2x＋1>0的解集
D．作△ABC∽△EFG
解析：选B A选项是疑问句，C、D选项中的语句是祈使句，都不是命题．
2．以下语句中：
①{0}∈N；②x2＋y2＝0；③x2>x；④{x|x2＋1＝0}．
其中命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B ①是命题，且是假命题；②、③不能判断真假，不是命题；④不是陈述句，不是命题．
题组2 命题的构成形式
3．命题：梯形的对角线互相平分，该命题的条件是( )
A．四边形是梯形 B．对角线
C．互相平分 D．对角线互相平分
解析：选A 命题可改写为：若四边形是梯形，则它的对角线互相平分，所以该命题的条件是四边形是梯形．
4．命题“第二象限角的余弦值小于0”的条件是( )
A．余弦值 B．第二象限
C．一个角是第二象限角 D．没有条件
解析：选C 原命题可改写为：若一个角是第二象限角，则它的余弦值小于0，故选C.
5．命题“若a>0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界)”的条件p：________，结论q：________.它是________命题(填“真”或“假”)．
解析：a>0时，设a＝1，把(0,0)代入x＋y－1≥0得－1≥0不成立，∴x＋y－1≥0表示直线的右上方区域，∴命题为真命题．
答案：a>0 二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界) 真
6．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假，且指出p和q分别指什么．
(1)乘积为1的两个实数互为倒数；
(2)奇函数的图象关于原点对称；
(3)与同一直线平行的两个平面平行．
解：(1)“若两个实数乘积为1，则这两个实数互为倒数”．它是真命题．
p：两个实数乘积为1，q：两个实数互为倒数．
(2)“若一个函数为奇函数；则它的图象关于原点对称”．它是真命题．
p：一个函数为奇函数；q：函数的图象关于原点对称．
(3)“若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行”．它是假命题，这两个平面也可能相交．
p：两个平面与同一条直线平行；q：两个平面平行．
题组3 判断命题的真假
7．下列命题中真命题的个数是( )
①平行于同一平面的两个不同的平面平行；
②不等式x＋y－1>0表示的平面区域包含边界x＋y－1＝0；
③方程x2＋y2＝3表示一个圆；
④程序框图中，循环结构可以不含条件结构．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 很明显①③是真命题，②④是假命题，故有2个真命题，故选B.
8．下列命题中真命题有( )
①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选A ①中，当m＝0时，是一元一次方程；②中当Δ＝4＋4a<0时，抛物线与x轴无交点；③是正确的；④中空集不是本身的真子集．
9．下列命题中真命题的个数为( )
①面积相等的三角形是全等三角形；
②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；
③若a>b，则a＋c>b＋c;
④矩形的对角线互相垂直．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A ①错；②中若x＝3，y＝0，则xy＝0，但|x|＋|y|≠0，故②错；③正确；④中矩形的对角线不一定互相垂直．
10．下列命题：
①y＝x2＋3为偶函数；②0不是自然数；③{x∈N|0解析：①为真命题；②③④为假命题．
答案：①
[能力提升综合练]
1．下列命题为真命题的是( )
A．若＝，则x＝y
B．若x2＝1，则x＝1
C．若x＝y，则＝
D．若x解析：选A 很明显A正确；B中，由x2＝1，得x＝±1，所以B是假命题；C中，当x＝y<0时，结论不成立，所以C是假命题；D中，当x＝－1，y＝1时，结论不成立，所以D是假命题．故选A.
2．设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：
①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
②若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β；
③若α∥β，l?α，则l∥β；
④若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.
其中真命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 由正方体模型知①为假命题；由面面平行的判定定理，知缺少m，n相交这一条件，故②为假命题；由面面平行的性质，知③为真命题；因为α∩β＝l，所以l?α，l?β，又l∥γ，γ∩α＝n，所以l∥n，同理l∥m，所以m∥n，所以④为真命题．
3．给出命题“方程x2＋ax＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是( )
A．4 B．2
C．0 D．－4
解析：选C 方程无实根时，应满足Δ＝a2－4<0.故a＝0时适合条件．
4．已知下列三个命题：
①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；
②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；
③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝相切．
其中真命题的序号为( )
A．①②③ B．①②
C．①③ D．②③
解析：选C 对于命题①，设球的半径为R，则π3＝·πR3，故体积缩小到原来的，命题正确；对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；对于命题③，圆x2＋y2＝的圆心(0,0)到直线x＋y＋1＝0的距离d＝＝，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确．
5．下列语句中是命题的有________(写出序号)，其中是真命题的有________(写出序号)．
①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？
②一个数不是正数就是负数；
③大角所对的边大于小角所对的边；
④△ABC中，若∠A＝∠B，则sin A＝sin B；
⑤求证方程x2＋x＋1＝0无实根．
解析：①是疑问句，没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题；
②是假命题，0既不是正数也不是负数；
③是假命题，没有限制在同一个三角形内；
④是真命题；
⑤是祈使句，不是命题．
答案：②③④ ④
6．若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：∵ax2－2ax－3>0不成立，
∴ax2－2ax－3≤0恒成立．
当a＝0时，－3≤0恒成立；
当a≠0时，则有
解得－3≤a<0.综上，－3≤a≤0.
答案：[－3,0]
7．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．
(1)能被9整除的数是偶数；
(2)当x2＋(y－1)2＝0时，有x＝0，y＝1；
(3)如果a>1，那么函数f(x)＝(a－1)x是增函数．
解：(1)若一个数能被9整除，则这个数是偶数．它是假命题．
(2)若x2＋(y－1)2＝0，则x＝0，y＝1.它是真命题．
(3)若a>1，则函数f(x)＝(a－1)x是增函数．它是假命题．
8．已知命题“关于x的方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题，求实数a，b满足的条件．
解：当a＝0时，原方程为bx＋1＝0，所以b≠0；当a≠0时，需满足Δ＝b2－4a≥0.综上，实数a，b满足的条件是a＝0且b≠0或a≠0且b2－4a≥0.
