2019年高一高二数学同步学案人教A版选修2-1 模块综合检测（课件+讲义）

模块综合检测
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设x>0，y∈R，则“x>y ”是“x>|y|”的(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C　由x>y推不出x>|y|，由x>|y|能推出x>y，所以“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件．
2．若抛物线的准线方程为x＝1，焦点坐标为(－1,0)，则抛物线的方程是(　　)
A．y2＝2x B．y2＝－2x
C．y2＝4x D．y2＝－4x
解析：选D　∵抛物线的准线方程为x＝1，焦点坐标为(－1,0)，∴抛物线的开口方向向左且顶点在原点，其中p＝2，∴抛物线的标准方程为y2＝－4x.
3．下列命题中的假命题是(　　)
A．?x∈R,2x－1>0 B．?x∈N*，(x－1)2>0
C．?x∈R，lg x<1 D．?x∈R，tan x＝2
解析：选B　A中命题是全称命题，易知2x－1>0恒成立，故是真命题；B中命题是全称命题，当x＝1时，(x－1)2＝0，故是假命题；C中命题是特称命题，当x＝1时，lg x＝0，故是真命题；D中命题是特称命题，依据正切函数定义，可知是真命题．
4．已知直线l1的方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是(　　)
A．－3或1 B．3或－1
C．－3 D．1
解析：选A　由题意，得
解得或∴x＋y＝1或x＋y＝－3.
5．下列说法中正确的是(　　)
A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真
B．“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价
C．“a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”
D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真
解析：选D　否命题和逆命题互为逆否命题，有着一致的真假性，故选D.
6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选B　由离心率为可知a＝b，c＝a，所以F(－a,0)，由题意可知kPF＝＝＝1，所以a＝4，解得a＝2，所以双曲线的方程为－＝1，故选B.
7．若命题“?x0∈R，使x＋(a－1)x0＋1<0”是假命题，则实数a的取值范围为(　　)
A．[1,3] B．[－1,3]
C．[－3,3] D．[－1,1]
解析：选B　根据题意可得?x∈R，
都有x2＋(a－1)x＋1≥0，
∴Δ＝(a－1)2－4≤0，∴－1≤a≤3.
8．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选B　根据双曲线C的渐近线方程为y＝x，
可知＝.①
又椭圆＋＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)，
所以a2＋b2＝9.②
根据①②可知a2＝4，b2＝5，所以C的方程为－＝1.
9．设F1，F2分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若直线x＝上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D　由垂直平分线的性质知|F1F2|＝|PF2|，设直线x＝与x轴的交点为M，则|PF2|≥|F2M|，即|F1F2|≥|F2M|，则2c≥－c，即3c2≥a2，所以e2＝≥，又010．若直线y＝2x与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为(　　)
A．(1，) B．(，＋∞)
C．(1，] D．[，＋∞)
解析：选B　双曲线的两条渐近线中斜率为正的渐近线为y＝x.由条件知，应有>2，
故e＝＝＝>.
11．如图，将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，若点P满足＝－＋，则||2的值为(　　)
A. B．2 C. D.
解析：选D　由题可知||＝1，||＝1，||＝.
〈，〉＝45°，〈，〉＝45°，〈，〉＝60°.
∴||2＝2
＝ 2＋ 2＋2－·＋·－·
＝＋＋2－×1×1×＋1××－1××＝.
12．过M(－2,0)的直线m与椭圆＋y2＝1交于P1、P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为(　　)
A．2 B．－2 C. D．－
解析：选D　设直线m：y＝k1(x＋2)，代入＋y2＝1，得：x2＋2k(x＋2)2－2＝0，
整理，得(1＋2k)x2＋8kx＋8k－2＝0，
Δ＝(8k)2－4(1＋2k)(8k－2)>0，解得k<.
设P1P2的中点P(x0，y0)，则x0＝＝，
y0＝k1(x0＋2)＝.
∴k2＝－.∴k1k2＝－.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．双曲线－＝1的焦距是________．
解析：依题意a2＝m2＋12，b2＝4－m2，所以c2＝a2＋b2＝16，c＝4,2c＝8.
答案：8
14．命题p：若a，b∈R，则ab＝0是a＝0的充分条件，命题q：函数y＝的定义域是[3，＋∞)，则“p∨q”、“p∧q”、“┐p”中是真命题的有________．
解析：依题意可知p假，q真，所以“p∨q”为真，“p∧q”为假，“┐p”为真．
答案：p∨q，┐p
15．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．
解析：双曲线的右顶点为A(a,0)，一条渐近线的方程为y＝x，即bx－ay＝0，则圆心A到此渐近线的距离d＝＝.又因为∠MAN＝60°，圆的半径为b，所以b·sin 60°＝，即＝，所以e＝＝.
答案：
16．设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为________．
解析：由抛物线的方程可知F(1,0)，准线方程为x＝－1，设点C(－1，t)，t>0，则圆C的方程为(x＋1)2＋(y－t)2＝1，因为∠FAC＝120°，CA⊥y轴，
所以∠OAF＝30°，在△AOF中，OF＝1，
所以OA＝，即t＝，
故圆C的方程为(x＋1)2＋(y－)2＝1.
答案：(x＋1)2＋(y－)2＝1
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题10分)已知命题p：方程＋＝1所表示的图形是焦点在y轴上的双曲线；命题q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，又p∨q为真，┐q为真，求实数m的取值范围．
解：因为方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，所以即m>2.故命题p：m>2；
因为方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，
所以Δ＝[4(m－2)]2－4×4×1<0，
即m2－4m＋3<0，
所以1因为p∨q为真，┐q为真，所以p真q假．
即此时m≥3.
综上所述，实数m的取值范围为{m|m≥3}．
18．(本小题12分)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，且a2＝2b.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l：x－y＋m＝0与椭圆交于A、B两点，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝1上，求m的值．
解：(1)由题意得　解得
故椭圆的方程为x2＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)．
联立直线与椭圆的方程得
即3x2＋2mx＋m2－2＝0，
Δ＝(2m)2－12(m2－2)＞0，－＜m＜，
所以x0＝＝－，y0＝x0＋m＝，
即M，又因为M点在圆x2＋y2＝5上，
所以2＋2＝1，解得m＝±.
19．(本小题12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠ABC＝120°.点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F.
(1)求证：AB∥EF;
(2)若PA＝PD＝AD＝2，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值．
解：(1)证明：∵底面ABCD是菱形，∴AB∥CD，
又AB?平面PCD，CD?平面PCD.
∴AB∥平面PCD.
∵A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD＝EF，∴AB∥EF.
(2)如图，取AD的中点G，连接PG，GB，∵PA＝PD，
∴PG⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥GB.
在菱形ABCD中，∵AB＝AD，∠DAB＝60°，G是AD的中点，∴AD⊥GB.
以G为坐标原点，GA，GB，GP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系G-xyz，
∵PA＝PD＝AD＝2，
∴G(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－2，，0)，D(－1,0,0)，P(0,0，)，
∵AB∥EF，点E是棱PC的中点，
∴点F是棱PD的中点，
∴E，F，＝，＝.
设平面AFE的法向量为n＝(x，y，z)，
则∴
不妨令x＝3，则n＝(3，，3)，为平面AFE的一个法向量．
易知BG⊥平面PAD，∴＝(0，，0)是平面PAF的一个法向量．
∵cos?n，?＝＝＝，
∴平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值为.
20．(本小题12分)在如图所示的多面体中，四边形ABCD是平行四边形，四边形BDEF是矩形，ED⊥平面ABCD，∠ABD＝，AB＝2AD.
(1)求证：平面BDEF⊥平面ADE；
(2)若ED＝BD，求直线AF与平面AEC所成角的正弦值．
解：(1)证明：在△ABD中，∠ABD＝，AB＝2AD，由余弦定理，得BD＝AD，
从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD，
所以△ABD为直角三角形且∠ADB＝90°.
因为DE⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
所以DE⊥BD.
又AD∩DE＝D，所以BD⊥平面ADE.
因为BD?平面BDEF，
所以平面BDEF⊥平面ADE.
(2)由(1)可得，在Rt△ABD中，∠BAD＝，BD＝AD，又由ED＝BD，
设AD＝1，则BD＝ED＝.因为DE⊥平面ABCD，BD⊥AD，
故以点D为坐标原点，DA，DB，DE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
则A(1,0,0)，C(－1，，0)，E(0，0，)，F(0，，)，
所以＝(－1,0，)，＝(－2，，0)．
设平面AEC的法向量为n＝(x，y，z)，则即
令z＝1，得n＝(，2,1)，为平面AEC的一个法向量．
因为＝(－1，，)，
所以cos?n，?＝＝，
所以直线AF与平面AEC所成角的正弦值为.
21．(本小题12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为8.
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图，斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点，点P(2,1)在直线l的左上方．若∠APB＝90°，且直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，求线段MN的长度．
解：(1)由题意知解得
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设直线l：y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立，得消去y，化简整理，得x2＋2mx＋2m2－4＝0.
则由Δ＝(2m)2－4(2m2－4)>0，得－2由根与系数的关系得，x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4，
因为kPA＝，kPB＝，
所以kPA＋kPB＝＋
＝，
上式中，分子＝(x2－2)＋x2＋m－1(x1－2)
＝x1x2＋(m－2)(x1＋x2)－4(m－1)
＝2m2－4＋(m－2)(－2m)－4(m－1)＝0.
所以kPA＋kPB＝0.
因为∠APB＝90°，所以kPA·kPB＝－1，
则kPA＝1，kPB＝－1.
所以△PMN是等腰直角三角形，
所以|MN|＝2xP＝4.
22．(本小题12分)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F(－c,0)，离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2＋y2＝截得的线段的长为c，|FM|＝.
(1)求直线FM的斜率；
(2)求椭圆的方程；
(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围．
解：(1)由已知有＝，
又由a2＝b2＋c2，可得a2＝3c2，b2＝2c2.
设直线FM的斜率为k(k>0)，
则直线FM的方程为y＝k(x＋c)．
由已知，有2＋2＝2，
解得k＝.
(2)由(1)得椭圆方程为＋＝1，直线FM的方程为y＝(x＋c)，两个方程联立，消去y，整理得3x2＋2cx－5c2＝0，解得x＝－c或x＝c.
因为点M在第一象限，可得M的坐标为.
由|FM|＝＝，解得c＝1，
所以椭圆的方程为＋＝1.
(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，
得t＝，即y＝t(x＋1)(x≠－1)，与椭圆方程联立得消去y，整理得2x2＋3t2(x＋1)2＝6.
又由已知，得t＝>，
解得－设直线OP的斜率为m，得m＝，即y＝mx(x≠0)，
与椭圆方程联立，整理可得m2＝－.
①当x∈时，有y＝t(x＋1)＜0，
因此m>0，于是m＝，得m∈.
②当x∈(－1,0)时，有y＝t(x＋1)>0，因此m<0，
于是m＝－，得m∈.
综上，直线OP的斜率的取值范围是∪.