2.1 曲线与方程
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P34～P37的内容，回答下列问题．
观察教材P34－图2.1－1和图2.1－2.
(1)直线y＝x上任一点M到两坐标轴的距离相等吗？到两坐标轴距离相等的点都在直线y＝x上，对吗？
提示：相等；不对．
(2)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？
提示：到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y＝|x|.
(3)圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上任一点M到点(a，b)的距离都是r吗？到点(a，b)的距离为r的点都在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，对吗？
提示：都是r；对．
(4)到定点(a，b)的距离为定长r的点的轨迹方程是什么？
提示：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
2．归纳总结，核心必记
(1)曲线的方程、方程的曲线
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：
①曲线上点的坐标都是这个方程的解；
②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．
(2)求曲线的方程的步骤
[问题思考]
(1)如果曲线与方程仅满足“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”，会出现什么情况？举例说明．
提示：如果曲线与方程仅满足“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”，有可能扩大曲线的边界．如方程y＝表示的曲线是半圆，而非整圆．
(2)如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？
提示：若点P在曲线C上，则f(x0，y0)＝0；若f(x0，y0)＝0，则点P在曲线C上，所以点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是f(x0，y0)＝0.
[课前反思]
(1)什么是曲线的方程，方程的曲线？ ；
(2)如何求曲线的方程？ .
知识点1
曲线与方程的概念
[思考] 若方程f(x，y)＝0是曲线C的方程，应满足什么条件？
名师指津：(1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解；(2)以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都是曲线上的点．
?讲一讲
1．分析下列曲线上的点与相应方程的关系：
(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；
(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；
(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．
[尝试解答] (1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解；但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上．因此，|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程．
(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5；但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.
(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0；反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上．因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.
类题·通法
判断“方程是不是指定曲线的方程”，“曲线是不是所给方程的曲线”时，主要依据就是“曲线的方程与方程的曲线”的定义中所列的两个条件，二者缺一不可．即一方面要证明曲线上任意一点的坐标都是方程的解，另一方面又要证明以这个方程的解为坐标的点都在这条曲线上．
?练一练
1．已知坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线C上，下列命题正确的是( )
A．曲线C上的点的坐标都满足方程F(x，y)＝0
B．不在曲线C上的点的坐标都不满足方程F(x，y)＝0
C．坐标不满足方程F(x，y)＝0的点都不在曲线C上
D．曲线C是坐标满足方程F(x，y)＝0的点的轨迹
解析：选B 因为选项B与已知条件互为逆否命题，由原命题与它的逆否命题同真假可知B正确．故选B.
2．下列四组方程表示同一条曲线的是( )
A．y2＝x与y＝
B．y＝lg x2与y＝2lg x
C.＝1与lg(y＋1)＝lg(x－2)
D．x2＋y2＝1与|y|＝
解析：选D 根据每一组曲线方程中x和y的取值范围，不难发现A，B，C中各组曲线对应的x或y的取值范围不一致；而D中两曲线的x与y的取值范围都是[－1,1]，且化简后的解析式相同，所以D正确，故选D.
3．下列命题不正确的有________．
①以坐标原点为圆心，半径为2的圆的方程是y＝；
②方程(x＋y－1)·＝0表示的曲线是一个圆或一条直线；
③点A(－4,3)，B(－3，－4)，C(，2)都在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上．
解析：①不对．以坐标原点为圆心，半径为2的圆的方程应是x2＋y2＝4，而y＝表示的只是圆的一部分．
②不对．由(x＋y－1)·＝0，得
或x2＋y2－4＝0，
则该方程表示的是一个圆或两条射线．③不对．
把点A(－4,3)的坐标代入方程x2＋y2＝25，满足方程，且点A的横坐标满足x≤0，则点A在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上．
把点B(－3，－4)的坐标代入方程x2＋y2＝25.
∵(－3)2＋(－4)2＝34≠25，
∴点B不在方程所表示的曲线上．
尽管点C的坐标满足方程，但是点C的横坐标 不满足x≤0的条件，
故点C不在曲线x2＋y2＝25(x≤0)上．
答案：①②③
知识点2
曲线与方程关系的应用
?讲一讲
2．已知方程x2＋(y－1)2＝10.
(1)判断点P(1，－2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲线上；
(2)若点M在此方程表示的曲线上，求m的值；
(3)求该方程的曲线与曲线x＋3＝0的交点的坐标．
[尝试解答] (1)∵12＋(－2－1)2＝10，()2＋(3－1)2＝6≠10，∴P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，Q(，3)不在此曲线上．
(2)∵M在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，∴2＋(－m－1)2＝10，解得m＝2或m＝－.
(3)联立将x＋3＝0化为x＝－3，
代入x2＋(y－1)2＝10，解得y＝0或y＝2，即方程组的解为或
因此两曲线的交点坐标是(－3,0)和(－3,2)．
类题·通法
(1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是否是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．
(2)已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．
(3)求两条曲线的交点的坐标，就是联立两条曲线的方程构成方程组，求解方程组，方程组的解就是交点的坐标，方程组的解的个数就是两曲线交点的个数．
?练一练
4．方程x2＋2y2＋2x－2y＋＝0表示的曲线是( )
A．一个点 B．一条直线
C．一个圆 D．两条线段
解析：选A 方程可化为(x＋1)2＋22＝0，所以即它表示点.故选A.
5．若曲线x2－y2＋xy－3x＋a＝0经过点(2,1)，则实数a的值等于________．
解析：依题意，点(2,1)的坐标适合曲线的方程，
所以22－12＋2×1－3×2＋a＝0，
解得a＝1.
答案：1
知识点3
直接法求轨迹方程
?讲一讲
3．设M，N两点的坐标分别是(0,2)和(0，－2)，若动点P满足条件：P与M，N两点连线的斜率之积等于－1，求动点P的轨迹方程．(链接教材P36－例3)
[尝试解答] 设P(x，y)，则直线PM的斜率kPM＝，直线PN的斜率kPN＝，
由已知可得kPM·kPN＝－1，
即·＝－1，
所以＝－1，
整理得x2＋y2＝4.
又因为在kPM＝以及kPN＝中，应有x≠0，
所以动点P的轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠0)．
类题·通法
(1)如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系“翻译”成含x，y的等式就可得到曲线的轨迹方程，这就是直接法求动点的轨迹方程．
(2)求动点的轨迹方程时，如果已知条件中没有坐标系，则应首先建立坐标系，建立坐标系的方式不同，得到的轨迹方程可能也不同．
(3)求动点的轨迹方程时，还要注意题目中的隐含条件，根据隐含条件，对方程中变量x，y的取值进行必要的限制．
(4)本讲中容易漏掉条件x≠0而导致错误．事实上，当x＝0时，对应的曲线上的点为(0,2)和(0，－2)与M或N恰好重合，这时直线PM或PN的斜率不存在，不符合题意．因此在求轨迹方程时，要注意检查是否存在不符合要求的点．
?练一练
6．已知在直角三角形ABC中，角C为直角，点A(－1,0)，点B(1,0)，求满足条件的点C的轨迹方程．
解：如图，设C(x，y)，
则＝(x＋1，y)， (x－1，y)．
∵∠C为直角，
∴⊥，
即·＝0.
∴(x＋1)(x－1)＋y2＝0.
化简得x2＋y2＝1.
∵A、B、C三点要构成三角形，
∴A、B、C不共线，∴y≠0，
∴点C的轨迹方程为x2＋y2＝1(y≠0)．
知识点4
代入法(相关点法)求轨迹方程
?讲一讲
4．已知圆O：x2＋y2＝4，点A(－3,5)，点M在圆O上移动，且点P满足＝，求点P的轨迹方程．
[尝试解答] 设P(x，y)，M(x0，y0)．
因为＝(x＋3，y－5)，＝(x0＋3，y0－5)，
且＝，所以(x＋3，y－5)＝(x0＋3，y0－5)．
所以即
因为点M(x0，y0)在圆O上，所以x＋y＝4，
即(3x＋6)2＋(3y－10)2＝4，
即(x＋2)2＋2＝.
故动点P的轨迹方程为(x＋2)2＋2＝.
类题·通法
(1)在有些问题中，动点满足的条件不方便直接用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)运动的．如果相关点所满足的条件是明显的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程．这种求动点轨迹方程的方法称为代入法(相关点法)．
(2)用代入法(相关点法)求轨迹方程的一般步骤如下：
①设点：设被动点坐标G(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)．
②求关系式：求出两个动点之间的关系
③代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．
?练一练
7．已知△ABC，A(－2,0)，B(0，－2)，第三个顶点C在曲线y＝3x2－1上移动，求△ABC的重心的轨迹方程．
解：设△ABC的重心为G(x，y)，顶点C的坐标为(x1，y1)，由重心坐标公式，
得
故
因为点C(x1，y1)在曲线y＝3x2－1上移动，
所以y1＝3x－1，
即3y＋2＝3(3x＋2)2－1.
所以y＝9x2＋12x＋3
即为所求轨迹方程．
——————————[课堂归纳·感悟提升]——————————
1．本节课的重点是轨迹方程的求法，难点是对曲线方程定义的理解．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)利用直接法求轨迹方程，见讲3.
(2)利用代入法(相关点法)求轨迹方程，见讲4.
3．轨迹方程化简到什么程度，课本上没有给出明确的规定，一般指将方程f(x，y)＝0化成x，y的整式．如果化简过程破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹而遗漏的点．
4．“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念：求轨迹方程只要求出方程即可；而求轨迹则应先求出轨迹方程，再说明轨迹的形状．
课下能力提升(六)
[学业水平达标练]
题组1 曲线与方程的概念
1．下列命题正确的是( )
A．方程 ＝1表示斜率为1，在y轴上的截距是2的直线
B．△ABC的顶点坐标分别为A(0,3)，B(－2,0)，C(2,0)，则中线AO的方程是x＝0
C．到x轴距离为5的点的轨迹方程是y＝5
D．曲线2x2－3y2－2x＋m＝0通过原点的充要条件是m＝0
解析：选D 对照曲线和方程的概念，A中的方程需满足y≠2；B中“中线AO的方程是x＝0(0≤y≤3)”；而C中，动点的轨迹方程为|y|＝5，从而只有D是正确的．
2．已知定点P(x0，y0)不在直线l：f(x，y)＝0上，则方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示一条( )
A．过点P且垂直于l的直线
B．过点P且平行于l的直线
C．不过点P但垂直于l的直线
D．不过点P但平行于l的直线
解析：选B 点P的坐标(x0，y0)满足方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0，因此方程表示的直线过点P.又∵f(x0，y0)为非零常数，∴方程可化为f(x，y)＝f(x0，y0)，方程表示的直线与直线l平行．
题组2 曲线与方程关系的应用
3．方程y＝3x－2(x≥1)表示的曲线为( )
A．一条直线 B．一条射线
C．一条线段 D．不能确定
解析：选B 方程y＝3x－2表示的曲线是一条直线，当x≥1时，它表示一条射线．
4．曲线C的方程为y＝x(1≤x≤5)，则下列四点中在曲线C上的是( )
A．(0,0) B.
C．(1,5) D．(4,4)
解析：选D (4,4)适合方程y＝x，且满足1≤x≤5.
5．方程x2＋y2＝1(xy<0)表示的曲线形状是( )
解析：选C 由x2＋y2＝1可知方程表示的曲线为圆．
又∵xy<0，∴图象在第二、四象限内．
题组3 轨迹方程的求法
6．到两坐标轴距离之和为4的点M的轨迹方程为( )
A．x＋y＝4 B．x－y＝4
C．|x＋y|＝4 D．|x|＋|y|＝4
解析：选D 设M点的坐标为(x，y)，则|x|＋|y|＝4.
7．已知点P是直线x－2y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则点Q的轨迹方程是( )
A．x＋2y＋3＝0 B．x－2y－5＝0
C．x－2y－7＝0 D．x－2y＋7＝0
解析：选D 设P(x0，y0)，则x0－2y0＋3＝0 ①.
又设Q(x，y)，由|PM|＝|MQ|，知点M是线段PQ的中点，则即②.
将②代入①，得(－2－x)－2(4－y)＋3＝0，
即x－2y＋7＝0.故选D.
8.如图，过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于点A，l2交y轴于点B，求线段AB的中点M的轨迹方程．
解：设点M的坐标为(x，y)，
因为M为线段AB的中点，
所以A(2x,0)，B(0,2y)．又因为P(2,4)，
所以＝(2x－2，－4)，＝(－2,2y－4)．
因为l1⊥l2，所以⊥.
所以·＝(2x－2)×(－2)＋(－4)×(2y－4)＝0，
即x＋2y－5＝0.
所以M点的轨迹方程是x＋2y－5＝0.
9．已知圆C：x2＋(y－3)2＝9，过原点作圆C的弦OP，求OP中点Q的轨迹方程．
解：法一：(直接法)如图，因为Q是OP的中点，所以∠OQC＝90°.
设Q(x，y)，由题意，得|OQ|2＋|QC|2＝|OC|2，
即x2＋y2＋[x2＋(y－3)2]＝9，
所以点Q的轨迹方程为x2＋2＝(去掉原点)．
法二：(定义法)如图所示，因为Q是OP的中点，
所以∠OQC＝90°，
则Q在以OC为直径的圆上，
故Q点的轨迹方程为x2＋2＝(去掉原点)．
法三：(代入法)设P(x1，y1)，Q(x，y)，由题意，
得即
又因为x＋(y1－3)2＝9.
所以4x2＋42＝9，
即点Q的轨迹方程为x2＋2＝(去掉原点)．
[能力提升综合练]
1．平面内有两定点A，B，且|AB|＝4，动点P满足| ＋|＝4，则点P的轨迹是( )
A．线段 B．半圆
C．圆 D．直线
解析：选C 以AB的中点为原点， 以AB所在的直线为x轴建立直角坐标系，则A(－2,0)、B(2,0)．设P(x，y)，则＋＝2＝2(－x，－y)．∴x2＋y2＝4.即点P的轨迹是圆．
2．方程x＋|y－1|＝0表示的曲线是( )
解析：选B 方程x＋|y－1|＝0可化为|y－1|＝－x≥0，则x≤0，因此选B.
3．在△ABC中，若B，C的坐标分别是(－2,0)、(2,0)，中线AD的长度是3，则A点的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝3
B．x2＋y2＝4
C．x2＋y2＝9(y≠0)
D．x2＋y2＝9(x≠0)
解析：选C 易知BC中点D即为原点O，所以|OA|＝3，所以点A的轨迹是以原点为圆心，以3为半径的圆，又因为在△ABC中，A，B，C三点不共线，所以y≠0.所以选C.
4．已知A(－1,0)，B(2,4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是( )
A．4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0
B．4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0
C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0
D．4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0
解析：选B 由两点式，得直线AB的方程是＝，即4x－3y＋4＝0，
线段AB的长度|AB|＝＝5.
设C的坐标为(x，y)，
则×5×＝10，
即4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.
5．已知方程①x－y＝0；②－＝0；③x2－y2＝0；④＝1，其中能表示直角坐标系的第一、三象限的角平分线C的方程的序号是________．
解析：①是正确的；②不正确，如点(－1，－1)在第三象限的角平分线上，但其坐标不满足方程－＝0；③不正确．如点(－1,1)满足方程x2－y2＝0，但它不在曲线C上；④不正确．如点(0,0)在曲线上，但其坐标不满足方程＝1.
答案：①
6．设点F(2,0)，动点P到y轴的距离为d，则满足条件|PF|－d＝2的点P的轨迹方程为________．
解析：设P点坐标为(x，y)．由|PF|＝2＋d得＝2＋|x|，化简整理得y2＝4|x|＋4x，当x≥0时，y2＝8x，当x<0时，y＝0.
答案：y2＝8x(x>0)或y＝0(x<0)
7．已知三角形ABC中，AB＝2，AC＝BC.
(1)求点C的轨迹方程；
(2)求三角形ABC的面积的最大值．
解：(1)以AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A(－1,0)，B(1,0)，
设C(x，y)，由AC＝BC，
得(x－3)2＋y2＝8.
因为在△ABC中，A、B、C三点不共线，所以y≠0.
即点C的轨迹方程为(x－3)2＋y2＝8(y≠0)．
(2)由于AB＝2，
所以S△ABC＝×2×|y|＝|y|，
因为(x－3)2＋y2＝8，
所以|y|≤2，所以S△ABC≤2，
即三角形ABC的面积的最大值为2.
8．在正方形ABCD中，AB，BC边上各有一动点Q，R，且|BQ|＝|CR|，试求直线AR与DQ的交点P的轨迹方程．
解：如图所示，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
设正方形ABCD的边长为a，|AQ|＝t，|BR|＝t，其中0≤t≤a.
当0直线AR的方程为y＝x.②
由②有t＝，将其代入①，得＋＝1，
即x2＋y2＝ay.
由①②可解得
因为00，所以0又当t＝0时，直线AR与DQ的交点P即A，满足x2＋y2＝ay，
综上，所求的点P的轨迹方程为x2＋y2－ay＝0.
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[学业水平达标练]
题组1 曲线与方程的概念
1．下列命题正确的是( )
A．方程 ＝1表示斜率为1，在y轴上的截距是2的直线
B．△ABC的顶点坐标分别为A(0,3)，B(－2,0)，C(2,0)，则中线AO的方程是x＝0
C．到x轴距离为5的点的轨迹方程是y＝5
D．曲线2x2－3y2－2x＋m＝0通过原点的充要条件是m＝0
解析：选D 对照曲线和方程的概念，A中的方程需满足y≠2；B中“中线AO的方程是x＝0(0≤y≤3)”；而C中，动点的轨迹方程为|y|＝5，从而只有D是正确的．
2．已知定点P(x0，y0)不在直线l：f(x，y)＝0上，则方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示一条( )
A．过点P且垂直于l的直线
B．过点P且平行于l的直线
C．不过点P但垂直于l的直线
D．不过点P但平行于l的直线
解析：选B 点P的坐标(x0，y0)满足方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0，因此方程表示的直线过点P.又∵f(x0，y0)为非零常数，∴方程可化为f(x，y)＝f(x0，y0)，方程表示的直线与直线l平行．
题组2 曲线与方程关系的应用
3．方程y＝3x－2(x≥1)表示的曲线为( )
A．一条直线 B．一条射线
C．一条线段 D．不能确定
解析：选B 方程y＝3x－2表示的曲线是一条直线，当x≥1时，它表示一条射线．
4．曲线C的方程为y＝x(1≤x≤5)，则下列四点中在曲线C上的是( )
A．(0,0) B.
C．(1,5) D．(4,4)
解析：选D (4,4)适合方程y＝x，且满足1≤x≤5.
5．方程x2＋y2＝1(xy<0)表示的曲线形状是( )
解析：选C 由x2＋y2＝1可知方程表示的曲线为圆．
又∵xy<0，∴图象在第二、四象限内．
题组3 轨迹方程的求法
6．到两坐标轴距离之和为4的点M的轨迹方程为( )
A．x＋y＝4 B．x－y＝4
C．|x＋y|＝4 D．|x|＋|y|＝4
解析：选D 设M点的坐标为(x，y)，则|x|＋|y|＝4.
7．已知点P是直线x－2y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则点Q的轨迹方程是( )
A．x＋2y＋3＝0 B．x－2y－5＝0
C．x－2y－7＝0 D．x－2y＋7＝0
解析：选D 设P(x0，y0)，则x0－2y0＋3＝0 ①.
又设Q(x，y)，由|PM|＝|MQ|，知点M是线段PQ的中点，则即②.
将②代入①，得(－2－x)－2(4－y)＋3＝0，
即x－2y＋7＝0.故选D.
8.如图，过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于点A，l2交y轴于点B，求线段AB的中点M的轨迹方程．
解：设点M的坐标为(x，y)，
因为M为线段AB的中点，
所以A(2x,0)，B(0,2y)．又因为P(2,4)，
所以＝(2x－2，－4)，＝(－2,2y－4)．
因为l1⊥l2，所以⊥.
所以·＝(2x－2)×(－2)＋(－4)×(2y－4)＝0，
即x＋2y－5＝0.
所以M点的轨迹方程是x＋2y－5＝0.
9．已知圆C：x2＋(y－3)2＝9，过原点作圆C的弦OP，求OP中点Q的轨迹方程．
解：法一：(直接法)如图，因为Q是OP的中点，所以∠OQC＝90°.
设Q(x，y)，由题意，得|OQ|2＋|QC|2＝|OC|2，
即x2＋y2＋[x2＋(y－3)2]＝9，
所以点Q的轨迹方程为x2＋2＝(去掉原点)．
法二：(定义法)如图所示，因为Q是OP的中点，
所以∠OQC＝90°，
则Q在以OC为直径的圆上，
故Q点的轨迹方程为x2＋2＝(去掉原点)．
法三：(代入法)设P(x1，y1)，Q(x，y)，由题意，
得即
又因为x＋(y1－3)2＝9.
所以4x2＋42＝9，
即点Q的轨迹方程为x2＋2＝(去掉原点)．
[能力提升综合练]
1．平面内有两定点A，B，且|AB|＝4，动点P满足| ＋|＝4，则点P的轨迹是( )
A．线段 B．半圆
C．圆 D．直线
解析：选C 以AB的中点为原点， 以AB所在的直线为x轴建立直角坐标系，则A(－2,0)、B(2,0)．设P(x，y)，则＋＝2＝2(－x，－y)．∴x2＋y2＝4.即点P的轨迹是圆．
2．方程x＋|y－1|＝0表示的曲线是( )
解析：选B 方程x＋|y－1|＝0可化为|y－1|＝－x≥0，则x≤0，因此选B.
3．在△ABC中，若B，C的坐标分别是(－2,0)、(2,0)，中线AD的长度是3，则A点的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝3
B．x2＋y2＝4
C．x2＋y2＝9(y≠0)
D．x2＋y2＝9(x≠0)
解析：选C 易知BC中点D即为原点O，所以|OA|＝3，所以点A的轨迹是以原点为圆心，以3为半径的圆，又因为在△ABC中，A，B，C三点不共线，所以y≠0.所以选C.
4．已知A(－1,0)，B(2,4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是( )
A．4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0
B．4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0
C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0
D．4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0
解析：选B 由两点式，得直线AB的方程是＝，即4x－3y＋4＝0，
线段AB的长度|AB|＝＝5.
设C的坐标为(x，y)，
则×5×＝10，
即4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.
5．已知方程①x－y＝0；②－＝0；③x2－y2＝0；④＝1，其中能表示直角坐标系的第一、三象限的角平分线C的方程的序号是________．
解析：①是正确的；②不正确，如点(－1，－1)在第三象限的角平分线上，但其坐标不满足方程－＝0；③不正确．如点(－1,1)满足方程x2－y2＝0，但它不在曲线C上；④不正确．如点(0,0)在曲线上，但其坐标不满足方程＝1.
答案：①
6．设点F(2,0)，动点P到y轴的距离为d，则满足条件|PF|－d＝2的点P的轨迹方程为________．
解析：设P点坐标为(x，y)．由|PF|＝2＋d得＝2＋|x|，化简整理得y2＝4|x|＋4x，当x≥0时，y2＝8x，当x<0时，y＝0.
答案：y2＝8x(x>0)或y＝0(x<0)
7．已知三角形ABC中，AB＝2，AC＝BC.
(1)求点C的轨迹方程；
(2)求三角形ABC的面积的最大值．
解：(1)以AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A(－1,0)，B(1,0)，
设C(x，y)，由AC＝BC，
得(x－3)2＋y2＝8.
因为在△ABC中，A、B、C三点不共线，所以y≠0.
即点C的轨迹方程为(x－3)2＋y2＝8(y≠0)．
(2)由于AB＝2，
所以S△ABC＝×2×|y|＝|y|，
因为(x－3)2＋y2＝8，
所以|y|≤2，所以S△ABC≤2，
即三角形ABC的面积的最大值为2.
8．在正方形ABCD中，AB，BC边上各有一动点Q，R，且|BQ|＝|CR|，试求直线AR与DQ的交点P的轨迹方程．
解：如图所示，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
设正方形ABCD的边长为a，|AQ|＝t，|BR|＝t，其中0≤t≤a.
当0直线AR的方程为y＝x.②
由②有t＝，将其代入①，得＋＝1，
即x2＋y2＝ay.
由①②可解得
因为00，所以0又当t＝0时，直线AR与DQ的交点P即A，满足x2＋y2＝ay，
综上，所求的点P的轨迹方程为x2＋y2－ay＝0.
