3.1 空间向量及其运算
第1课时 空间向量及其加减运算
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P84～P85的内容，回答下列问题．
(1)观察教材P84－图3.1－1中的三个力F1、F2、F3以及图3.1－2中的三个向量、、，它们和以前所学的向量有什么不同？
提示：这三个向量不在同一个平面内．
(2)在平面向量中，我们是如何计算两个向量的和与差的？
对于空间向量是否仍然适用？
提示：三角形法则和平行四边形法则，仍然适用于空间向量．
2．归纳总结，核心必记
(1)空间向量的有关概念
①定义：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量．
②长度：向量的大小叫做向量的长度或模．
③表示法：
(2)几类特殊向量
特殊向量
定义
表示法
零向量
长度为0的向量
0
单位向量
模为1的向量
|a|＝1或||＝1
相反向量
与a长度相等而方向相反
的向量称为a的相反向量
－a
相等向量
方向相同且模相等的向量
a＝b或＝
(3)空间向量的加法和减法运算
空
间
向
量
的
运
算
加法
＝＋ ＝a＋b
减法
＝－＝a－b
加法运算律
(1)交换律：a＋b＝b＋a；
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
[问题思考]
(1)空间向量的定义及表示方法，同平面向量的定义及表示方法有区别吗？
提示：空间向量与平面向量没有本质区别，定义及表示方法都一样．
(2)零向量没有方向吗？
提示：任何向量都有方向，零向量的方向是任意的．
(3)在空间中，所有单位向量平移到同一起点后，终点轨迹是什么图形？
提示：因为单位向量的模均等于1，那么当所有单位向量移到同一起点后，终点轨迹是一个球面．
[课前反思]
(1)空间向量的概念是： ；
(2)空间向量的模是： ；
(3)零向量、单位向量、相反向量、相等向量是如何定义的？与平面中的定义相同吗？
；
(4)如何计算空间两个向量的和或差？
.
知识点1
空间向量的概念辨析
[思考1] “空间中任何两个向量都是共面向量”，这个结论是否正确？
名师指津：正确．
[思考2] 零向量有方向吗？
名师指津：零向量的方向是任意的．
?讲一讲
1．下列说法正确的有：________.
①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
②若空间向量a、b满足|a|＝|b|，则a＝b；
③在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有＝；
④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；
⑤空间中任意两个单位向量必相等．
[尝试解答] ①假命题．当两向量起点相同，终点相同时两向量相等，但两向量相等不一定起点相同，终点相同．
②假命题．向量相等必须满足模相等、方向相同两个条件．
③真命题．与方向相同且模相等．
④真命题．由向量相等的定义可知．
⑤假命题．单位向量只是它们的模相等，方向不一定相同．
[答案] ③④
类题·通法
(1)熟练掌握好空间向量的概念，零向量、单位向量、相等向量、相反向量的含义以及向量加减法的运算法则和运算律是解决问题的关键；
(2)判断有关向量的命题时，要抓住向量的两个主要元素：大小和方向，两者缺一不可，相互制约．
?练一练
1．下列说法中正确的是( )
A．单位向量都相等
B．任一向量与它的相反向量不相等
C．若|a|＝|b|，则a与b的长度相等，方向相同或相反
D．若a与b是相反向量，则|a|＝|b|
解析：选D 单位向量的模都等于1，但方向不一定相同 ，可以是任意方向，故A错误；0的相反向量还是0，它们是相等的，故B错误；当|a|＝|b|时，a与b的方向是任意的，不一定相同或相反，故C错误；当a与b互为相反向量时，|b|＝|－a|＝|a|，故D正确.
知识点2
空间向量的加减运算
?讲一讲
2．已知正方体ABCD-A1B1C1D1，
化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．
(1) ＋－；
(2) －－；
(3) －－.
[尝试解答] (1) ＋－＝＋＋＝＋＝(如图)．
(2) －－＝＋(＋)＝＋(＋)＝＋＝ (如图)．
(3) －－＝＋＋＝ (如图)．
在进行减法运算时，可将减去一个向量转化为加上这个向量的相反向量，而在进行加法运算时，首先考虑这两个向量在哪个平面内，然后与平面向量求和一样，运用向量运算的平行四边形法则、三角形法则及多边形法则来求即可．
?练一练
2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为向量的共有( )
①(＋)＋；②(＋)＋；
③(＋)＋；④(＋)＋.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：选D ①(＋)＋＝＋＝；
②(＋)＋＝＋＝；
③(＋)＋＝＋＝；
④(＋)＋＝＋＝.
——————————[课堂归纳·感悟提升]——————————
1．本节课的重点是空间向量的有关概念及空间向量的加减运算．
2．向量可以平移，任意两个向量都是共面向量．因此空间两个向量的加、减法运算和平面向量完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行．
3．本节课的易错点是对三角形法则理解记忆不准，导致结果计算错误．如－，误写成，应为.
课下能力提升(十四)
[学业水平达标练]
题组1 空间向量的概念辨析
1．两个非零向量的模相等是两个向量相等的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：B
2．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，各条棱所在的向量中，与向量相等的向量共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：C
3．在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，各条棱所在的向量中，模与向量的模相等的向量有( )
A．7个 B．3个 C．5个 D．6个
答案：A
4．判断下列各命题的真假：
①向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；
②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
③两个有公共终点的向量，一定是共线向量；
④有向线段就是向量，向量就是有向线段．
其中假命题的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．1
解析：选B ①假命题，若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；②真命题；③假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；④假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．
题组2 空间向量的加减运算
5．已知空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，则等于( )
A．a＋b－c B．－a－b＋c
C．－a＋b＋c D．－a＋b－c
解析：选C ＝＋＋＝－＋＝b－a＋c＝－a＋b＋c.
6．空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则－＋＝( )
A．2 B．3 C．3 D．2
解析：选B －＋＝＋＝＋2＝3.
7．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形 B．空间四边形
C．等腰梯形 D．矩形
解析：选A ∵＋＝＋，∴＝.
∴∥且||＝| |.
∴四边形ABCD为平行四边形．
8．式子(－)＋运算的结果是________．
解析：(－)＋＝(＋)＋＝＋＝.
答案：
9．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，化简－＋－＋－.
解：如图，
－＋－＋－＝(－)＋(－)＋(－)＝＋＋＝＋＝ .
10．如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是BB1的中点．化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：
(1) ＋；
(2) ＋＋；
(3) －－.
解：(1) ＋＝.
(2)因为M是BB1的中点，所以＝.
又＝，
所以＋＋＝＋＝.
(3) －－＝－＝.
向量，，如图所示．
[能力提升综合练]
1．给出下列命题：
①若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0；
②|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；
③若，共线，则AB∥CD.
其中不正确命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选C 显然①正确；若a，b共线，则|a|＋|b|＝|a＋b|或|a＋b|＝||a|－|b||，故②错误；若，共线，则直线AB，CD可能重合，故③错误．故选C.
2．空间四边形ABCD中，若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的中点，则下列各式中成立的是( )
A．＋＋＋＝0
B．＋＋＋＝0
C．＋＋＋＝0
D．－＋＋＝0
解析：选B 由于E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的中点，所以四边形EFGH为平行四边形，其中＝，且＝，而E，B，F，G四点构成一个封闭图形，首尾相接的向量的和为零向量，即有＋＋＋＝0.
3．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，则在下列各结论中正确的结论共有( )
①＋与＋是一对相反向量；
②－与－是一对相反向量；
③＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量；
④－与－是一对相反向量．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选C 利用图形及向量的运算可知②是相等向量，①③④是相反向量．
4．对于空间中的非零向量、、，有下列各式：①＋＝；②－＝；③||＋||＝||；④||－||＝||.其中一定不成立的是________．
解析：根据空间向量的加减法运算，对于①：＋＝恒成立；对于③：当、、方向相同时，有||＋||＝||；对于④：当、、共线且与、方向相反时，有||－||＝||.只有②一定不成立．
答案：②
5．如图，在四面体O-ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________(用a，b，c表示)．
解析：＝＋＝＋＋＝a＋b＋c.
答案：a＋b＋c
6．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则＝________.
解析：如图，＝－＝－＝－－(－)＝－c－(a－b)＝－c－a＋b.
答案：－c－a＋b
7．如图，在长，宽，高分别为AB＝4，
AD＝2，AA1＝1的长方体ABCD-A1B1C1D1中的八个顶点的两点为起点和终点的向量中．
(1)单位向量共有多少个？
(2)写出模为的所有向量；
(3)试写出的相反向量．
解：(1)因为长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量，，，，，，，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．
(2)因为长方体的左、右两侧的对角线长均为，故模为的向量有，，，，，，，.
(3)向量v的相反向量为，，，，共4个．
8．如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1、BC、C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
(1) ；(2) ；(3) .
解：(1)∵P是C1D1的中点，∴＝＋＋＝a＋＋＝a＋c＋＝a＋c＋b.
(2)∵N是BC的中点，∴＝＋＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.
(3)∵M是AA1的中点，∴＝＋＝＋＝－a＋＝a＋b＋c.
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[学业水平达标练]
题组1 空间向量的概念辨析
1．两个非零向量的模相等是两个向量相等的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：B
2．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，各条棱所在的向量中，与向量相等的向量共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：C
3．在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，各条棱所在的向量中，模与向量的模相等的向量有( )
A．7个 B．3个 C．5个 D．6个
答案：A
4．判断下列各命题的真假：
①向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；
②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
③两个有公共终点的向量，一定是共线向量；
④有向线段就是向量，向量就是有向线段．
其中假命题的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．1
解析：选B ①假命题，若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；②真命题；③假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；④假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．
题组2 空间向量的加减运算
5．已知空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，则等于( )
A．a＋b－c B．－a－b＋c
C．－a＋b＋c D．－a＋b－c
解析：选C ＝＋＋＝－＋＝b－a＋c＝－a＋b＋c.
6．空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则－＋＝( )
A．2 B．3 C．3 D．2
解析：选B －＋＝＋＝＋2＝3.
7．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形 B．空间四边形
C．等腰梯形 D．矩形
解析：选A ∵＋＝＋，∴＝.
∴∥且||＝| |.
∴四边形ABCD为平行四边形．
8．式子(－)＋运算的结果是________．
解析：(－)＋＝(＋)＋＝＋＝.
答案：
9．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，化简－＋－＋－.
解：如图，
－＋－＋－＝(－)＋(－)＋(－)＝＋＋＝＋＝ .
10．如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是BB1的中点．化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：
(1) ＋；
(2) ＋＋；
(3) －－.
解：(1) ＋＝.
(2)因为M是BB1的中点，所以＝.
又＝，
所以＋＋＝＋＝.
(3) －－＝－＝.
向量，，如图所示．
[能力提升综合练]
1．给出下列命题：
①若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0；
②|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；
③若，共线，则AB∥CD.
其中不正确命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选C 显然①正确；若a，b共线，则|a|＋|b|＝|a＋b|或|a＋b|＝||a|－|b||，故②错误；若，共线，则直线AB，CD可能重合，故③错误．故选C.
2．空间四边形ABCD中，若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的中点，则下列各式中成立的是( )
A．＋＋＋＝0
B．＋＋＋＝0
C．＋＋＋＝0
D．－＋＋＝0
解析：选B 由于E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的中点，所以四边形EFGH为平行四边形，其中＝，且＝，而E，B，F，G四点构成一个封闭图形，首尾相接的向量的和为零向量，即有＋＋＋＝0.
3．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，则在下列各结论中正确的结论共有( )
①＋与＋是一对相反向量；
②－与－是一对相反向量；
③＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量；
④－与－是一对相反向量．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选C 利用图形及向量的运算可知②是相等向量，①③④是相反向量．
4．对于空间中的非零向量、、，有下列各式：①＋＝；②－＝；③||＋||＝||；④||－||＝||.其中一定不成立的是________．
解析：根据空间向量的加减法运算，对于①：＋＝恒成立；对于③：当、、方向相同时，有||＋||＝||；对于④：当、、共线且与、方向相反时，有||－||＝||.只有②一定不成立．
答案：②
5．如图，在四面体O-ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________(用a，b，c表示)．
解析：＝＋＝＋＋＝a＋b＋c.
答案：a＋b＋c
6．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则＝________.
解析：如图，＝－＝－＝－－(－)＝－c－(a－b)＝－c－a＋b.
答案：－c－a＋b
7．如图，在长，宽，高分别为AB＝4，
AD＝2，AA1＝1的长方体ABCD-A1B1C1D1中的八个顶点的两点为起点和终点的向量中．
(1)单位向量共有多少个？
(2)写出模为的所有向量；
(3)试写出的相反向量．
解：(1)因为长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量，，，，，，，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．
(2)因为长方体的左、右两侧的对角线长均为，故模为的向量有，，，，，，，.
(3)向量v的相反向量为，，，，共4个．
8．如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1、BC、C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
(1) ；(2) ；(3) .
解：(1)∵P是C1D1的中点，∴＝＋＋＝a＋＋＝a＋c＋＝a＋c＋b.
(2)∵N是BC的中点，∴＝＋＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.
(3)∵M是AA1的中点，∴＝＋＝＋＝－a＋＝a＋b＋c.
