第2课时 空间向量的数乘运算
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P86～P89的内容，回答下列问题．
(1)平面向量中，实数λ与向量a的乘积λa仍是一个向量，在空间向量中成立吗？a与λa的方向、模之间有什么关系？
提示：λa仍是一个向量．当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa方向是任意的．|λa|＝|λ||a|.
(2)对空间任意两个向量a与b，如果a＝λb，a与b有什么位置关系？反过来，a与b有什么位置关系时，a＝λb?
提示：a与b共线．
(3)对于空间任意两个不共线向量a，b，如果p＝xa＋yb，那么向量p与向量a，b有什么位置关系？反过来 ，向量p与向量a，b有什么关系时，p＝xa＋yb?
提示：p与a，b共面．
(4)已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，满足向量关系式＝x＋y＋z (其中x＋y＋z＝1)的点P与点A，B，C是否共面？
提示：共面．
2．归纳总结，核心必记
(1)空间向量的数乘运算
①定义：与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．
②向量λa与a的关系：
λ的范围
方向关系
模的关系
λ＞0
方向相同
λa的模是a
的模的|λ|倍
λ＝0
λa＝0，其方向是任意的
λ＜0
方向相反
③空间向量的数乘运算律：
(ⅰ)分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb，(λ＋μ)a＝λa＋μ a；
(ⅱ)结合律：λ(μ a)＝(λμ)a.
(2)共线向量与直线的方向向量
①共线向量的定义：
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．
②两个向量共线的充要条件：
对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使 a＝λb.
③直线的方向向量：
如图所示，l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 ＝＋t a，其中向量a叫做直线l的方向向量．
(3)共面向量
①共面向量的定义：
平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．
②三个向量共面的充要条件(又称共面向量定理)：
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
[问题思考]
(1)在向量a与向量b共线的充要条件a＝λb中，为什么要限制b≠0?
提示：当b＝0，a≠0时，a∥b，但不存在实数λ，使a＝λb，故应限制b≠0.
(2)P、A、B三点共线的充要条件是存在实数t，使＝＋t.那么是否存在唯一的有序实数对(x，y)，使＝x＋y呢？若存在，x，y有什么关系？
提示：＝＋t＝＋t(－)＝(1－t) ＋t.令x＝1－t，y＝t，则＝x＋y，且x＋y＝1.
(3)若对任意一点O和不共线的三点A、B、C，且＝x＋y＋z ，则x＋y＋z＝1是四点P、A、B、C共面的充要条件吗？
提示：是，因为P、A、B、C共面的充要条件是存在m、n使＝m＋n，即－＝m(－)＋n(－)? ＝(1－m－n) ＋m＋n.令x＝1－m－n，y＝m，z＝n.则＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1.
[课前反思]
(1)空间向量的数乘运算的概念是： ，
数乘运算律： ，
λa与a的关系： ；
(2)两向量共线的充要条件是： ；
(3)共面向量的定义是： ；
(4)三个向量共面的充要条件是： .
知识点1
空间向量的线性运算
?讲一讲
1．已知ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O.Q是CD的中点，求下列各式中x，y的值：
(1) ＝＋x＋y ；
(2) ＝x＋y＋.
[尝试解答] (1)如图，∵＝－＝－
(＋)＝－ －，
∴x＝y＝－.
(2)∵＋＝2，
∴＝2－.
又∵＋＝2，
∴＝2－.
从而有＝2－(2－)＝2－2＋.
∴x＝2，y＝－2.
类题·通法
利用向量的加减运算是处理此类问题的基本方法，一般地可以找到的封闭图形不是唯一的，但无论哪一种途径，结果应是唯一的．
应用向量的加减法法则和数乘运算表示向量是向量在几何中应用的前提，一定要熟练掌握．
?练一练
1．如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点．
(1)化简：－－；
(2)设E是棱DD1上的点，且＝，若＝x＋y＋z ，试求实数x，y，z的值．
解：(1) －(＋)＝－＝.
(2) ＝－＝(＋)－－＝－－v，∴x＝，y＝－，z＝－.
知识点2
向量共线问题
[思考1] 两向量共线时，它们的方向有什么关系？
名师指津：若两个非零向量a，b共线，则a与b的方向相同或相反．
[思考2] 若直线AB与直线CD平行，则与有什么关系？反之，成立吗？
名师指津：∥.反之，若∥，则直线AB与直线CD平行或重合．
[思考3] 若A，B，C三点共线，则与有什么关系？反之，成立吗？
名师指津：若A，B，C三点共线，则与共线，反之，也成立．
?讲一讲
2．如图所示，已知四边形ABCD、ABEF
都是平行四边形且不共面，M、N分别是AC、BF的中点，判断与是否共线．
[尝试解答] ∵M、N分别是AC、BF的中点，且四边形ABCD、ABEF都是平行四边形，
∴＝＋＋＝＋＋.
又∵＝＋＋＋＝－＋－－，
∴2＝＋＋－＋－－＝，即＝2.∴与共线．
类题·通法
判断两个向量是否共线，就是判断是否存在一个实数x，使a＝xb，求解时要充分运用空间向量的运算法则，结合图形寻找a，b的关系，而证明空间三点共线可转化为证明空间两向量共线．
?练一练
2．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝.求证：E，F，B三点共线．
证明：设＝a，＝b，＝c.
∵＝2，＝，
∴＝1，＝，
∴＝＝b，
＝(－)＝(＋－)＝a＋b－c.
∴＝－＝a－b－c＝.
又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，
∴＝ .所以E，F，B三点共线.
知识点3
向量共面问题
[思考] 点P与点A，B，C共面的充要条件是什么？
名师指津：存在实数λ，μ，使 ＝λ＋μ或对空间任意一点O，有 ＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)成立．
?讲一讲
3.如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.求证：向量 ，， 共面．
[思路点拨] 把用，表示出来，利用共面向量的充要条件即可证明．
[尝试解答] 因为M在BD上，且BM＝BD，
所以＝ ＝＋.
同理，＝＋.
所以＝＋＋
＝＋＋
＝＋＝＋.
又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面．
类题·通法
(1)证明向量共面，可以利用共面向量的充要条件，也可直接利用定义，通过线面平行或直线在平面内进行证明．
(2)向量共面，向量所在的直线不一定共面，只有这些向量都过同一点时，向量所在的直线才共面(向量的起点、终点共面)
?练一练
3．已知A，B，C三点不共线，点O是平面ABC外的任意一点，若点P分别满足下列关系：
(1) ＋2＝6－3；
(2) ＋＝4－.
试判断点P是否与点A，B，C共面．
解：法一：(1)∵3－3＝＋2－3＝(－)＋(2－2)，∴3＝＋2，即＝－2－3.根据共面向量定理的推论知：P与点A，B，C共面．
(2)设＝＋x＋y (x，y∈R)，则＋x＋y＋＝4－，∴＋x(－)＋y(－)＋＝4－，∴(1－x－y－4) ＋(1＋x) ＋(1＋y) ＝0，由题意知，，均为非零向量，所以x，y满足：显然此方程组无解，故点P与点A，B，C不共面．
法二：(1)由题意，＝＋＋，∵＋＋＝1，∴点P与点A，B，C共面．
(2)∵＝4－－，而4－1－1＝2≠1，
∴点P与点A，B，C不共面．
———————————[课堂归纳·感悟提升]———————————
1．本节课的重点是向量的线性运算、共线向量定理及共面向量定理，难点是共线向量定理和共面向量定理的应用．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)空间向量的线性运算，见讲1；
(2)利用共线向量定理证明平行或三点共线问题，见讲2；
(3)利用共面向量定理证明四点共面问题，见讲3.
课下能力提升(十五)
[学业水平达标练]
题组1 空间向量的线性运算
1．已知空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则＋( ＋)等于( )
A． B．
C． D.
解析：选A ＋( ＋)＝＋×(2)＝＋＝.
2．如图，在空间平移△ABC到△A′B′C′，连接对应顶点，设＝a，＝b，＝c，M是BC′的中点，N是B′C′的中点，用向量a、b、c表示向量等于( )
A．a＋b＋c B.a＋b＋c
C．a＋b D.a
解析：选D ＝＝＝a.
3．如图所示，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则等于( )
A.a－b＋c
B．－a＋b＋c
C.a＋b－c
D．－a＋b－c
解析：选B 由向量加法法则可知＝＋＝－＋(＋)＝－a＋(b＋c)＝－a＋b＋c.
题组2 向量共线问题
4．下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是( )
A．＋＝ B．－＝
C．＝ D．||＝||
解析：选C 由＝可知，与共线，又因为与有一个公共点B，故A，B，C三点共线．
5．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D
解析：选A ∵＝a＋2b，＝＋＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2，∴∥，由于与有一公共点B，∴A、B、D三点共线．
6．设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，＝－e－2e2，且A，B，D三点共线，则实数k的值是________．
解析：∵＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，
∴＝＋＝(5e1＋4e2)＋(e1＋2e2)＝6e1＋6e2，
∵A，B，D三点共线，
∴＝λ，∴e1＋ke2＝λ(6e1＋6e2)，
∵e1，e2是不共线向量，∴∴k＝1.
答案：1
7．已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD上的点，且＝，＝.求证：四边形EFGH是梯形．
证明：∵E、H分别是AB、AD的中点，
∴＝，＝.
∴＝－＝－
＝(－)＝＝(－)
＝＝(－)＝.
∴∥且| |≠||.
∴四边形EFGH是梯形．
题组3 向量共面问题
8．若a与b不共线，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝a，则( )
A．m、n、p共线 B．m与p共线
C．n与p共线 D．m、n、p共面
解析：选D 由于(a＋b)＋(a－b)＝2a，
即m＋n＝2p，即p＝m＋n，又m与n不共线，所以m，n，p共面．
9．A，B，C不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，则P、A、B、C四点( )
A．不共面 B．共面
C．不一定共面 D．无法判断是否共面
解析：选B ＝＋＋＝＋(＋)＋(＋)＝＋＋，
∴－＝＋，∴＝＋.
由共面的充要条件知P，A，B，C四点共面．
10．已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点M满足＝＋＋.
(1)判断，，三个向量是否共面；
(2)判断M是否在平面ABC内．
解：(1)∵＋＋＝3，
∴－＝(－)＋(－)．
∴＝＋＝－－，
∴向量，，共面．
(2)由(1)知向量，，共面且它们有共同的起点M，又A，B，C三点不共线，
∴M，A，B，C共面，即M在平面ABC内．
[能力提升综合练]
1.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是( )
A．－a＋b＋c B.a＋b＋c
C.a－b＋c D．－a－b＋c
解析：选A ＝＋＝＋(＋)＝c＋(－a＋b)＝－a＋b＋c.
2．如图所示，已知三棱锥O-ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG＝2GN.设＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别为( )
A．x＝，y＝，z＝
B．x＝，y＝，z＝
C．x＝，y＝，z＝
D．x＝，y＝，z＝
解析：选D 因为点N为BC的中点，
所以＝(＋)．
又＝，
所以＝－＝(＋)－，
则＝＝(＋)－，
所以＝＋＝＋(＋)－＝＋＋.
3．下面关于空间向量的说法正确的是( )
A．若向量a，b平行，则a，b所在的直线平行
B．若向量a，b所在直线是异面直线，则a，b不共面
C．若A，B，C，D四点不共面，则向量，不共面
D．若A，B，C，D四点不共面，则向量，，不共面
解析：选D 可以通过平移将空间任意两个向量平移到一个平面内，因此空间任意两个向量都是共面的，故B，C都不正确．注意向量平行与直线平行的区别，可知A不正确，可用反证法证明D是正确的．
4．已知G为正方形ABCD的中心，点P为正方形ABCD所在平面外一点，则＋＋＋等于( )
A．4 B．3
C．2 D．
解析：选A ＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝2＋2＝4 .
5．有下列命题：
①若∥，则A，B，C，D四点共线；
②若∥，则A，B，C三点共线；
③若e1，e2为不共线的非零向量，a＝4e1－e2，b＝－e1＋e2，则a∥b；
④若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，则k1＝k2＝k3＝0.
其中是真命题的序号是________(把所有真命题的序号都填上)．
解析：根据共线向量的定义，若∥，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故①错；∥且，有公共点A，所以②正确；由于a＝4e1－e2＝－4＝－4b，所以a∥b.故③正确；易知④也正确．
答案：②③④
6．在空间四边形ABCD中，G为△BCD的重心，E，F分别为边CD和AD的中点，试化简＋－，并在图中标出化简结果的向量．
解：∵G是△BCD的重心，BE是CD边上的中线，∴＝.
又＝( －)
＝ －＝－＝，
∴＋－＝＋－＝ (如图所示)．
7．如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.
(1)证明：A，E，C1，F四点共面；
(2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值．
解：(1)证明：∵ABCD-A1B1C1D1是平行六面体，
∴＝＝＝，
∴＝，＝v，
∴＝＋＋＝＋＋＋＝＋＝(＋)＋(＋)＝＋，由向量共面的充要条件知A，E，C1，F四点共面．
(2)∵＝－＝＋－(＋)＝＋－－＝－＋＋v，又＝x＋y＋z，∴x＝－1，y＝1，z＝，
∴x＋y＋z＝.
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[学业水平达标练]
题组1 空间向量的线性运算
1．已知空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则＋( ＋)等于( )
A． B．
C． D.
解析：选A ＋( ＋)＝＋×(2)＝＋＝.
2．如图，在空间平移△ABC到△A′B′C′，连接对应顶点，设＝a，＝b，＝c，M是BC′的中点，N是B′C′的中点，用向量a、b、c表示向量等于( )
A．a＋b＋c B.a＋b＋c
C．a＋b D.a
解析：选D ＝＝＝a.
3．如图所示，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则等于( )
A.a－b＋c
B．－a＋b＋c
C.a＋b－c
D．－a＋b－c
解析：选B 由向量加法法则可知＝＋＝－＋(＋)＝－a＋(b＋c)＝－a＋b＋c.
题组2 向量共线问题
4．下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是( )
A．＋＝ B．－＝
C．＝ D．||＝||
解析：选C 由＝可知，与共线，又因为与有一个公共点B，故A，B，C三点共线．
5．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D
解析：选A ∵＝a＋2b，＝＋＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2，∴∥，由于与有一公共点B，∴A、B、D三点共线．
6．设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，＝－e－2e2，且A，B，D三点共线，则实数k的值是________．
解析：∵＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，
∴＝＋＝(5e1＋4e2)＋(e1＋2e2)＝6e1＋6e2，
∵A，B，D三点共线，
∴＝λ，∴e1＋ke2＝λ(6e1＋6e2)，
∵e1，e2是不共线向量，∴∴k＝1.
答案：1
7．已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD上的点，且＝，＝.求证：四边形EFGH是梯形．
证明：∵E、H分别是AB、AD的中点，
∴＝，＝.
∴＝－＝－
＝(－)＝＝(－)
＝＝(－)＝.
∴∥且| |≠||.
∴四边形EFGH是梯形．
题组3 向量共面问题
8．若a与b不共线，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝a，则( )
A．m、n、p共线 B．m与p共线
C．n与p共线 D．m、n、p共面
解析：选D 由于(a＋b)＋(a－b)＝2a，
即m＋n＝2p，即p＝m＋n，又m与n不共线，所以m，n，p共面．
9．A，B，C不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，则P、A、B、C四点( )
A．不共面 B．共面
C．不一定共面 D．无法判断是否共面
解析：选B ＝＋＋＝＋(＋)＋(＋)＝＋＋，
∴－＝＋，∴＝＋.
由共面的充要条件知P，A，B，C四点共面．
10．已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点M满足＝＋＋.
(1)判断，，三个向量是否共面；
(2)判断M是否在平面ABC内．
解：(1)∵＋＋＝3，
∴－＝(－)＋(－)．
∴＝＋＝－－，
∴向量，，共面．
(2)由(1)知向量，，共面且它们有共同的起点M，又A，B，C三点不共线，
∴M，A，B，C共面，即M在平面ABC内．
[能力提升综合练]
1.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是( )
A．－a＋b＋c B.a＋b＋c
C.a－b＋c D．－a－b＋c
解析：选A ＝＋＝＋(＋)＝c＋(－a＋b)＝－a＋b＋c.
2．如图所示，已知三棱锥O-ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG＝2GN.设＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别为( )
A．x＝，y＝，z＝
B．x＝，y＝，z＝
C．x＝，y＝，z＝
D．x＝，y＝，z＝
解析：选D 因为点N为BC的中点，
所以＝(＋)．
又＝，
所以＝－＝(＋)－，
则＝＝(＋)－，
所以＝＋＝＋(＋)－＝＋＋.
3．下面关于空间向量的说法正确的是( )
A．若向量a，b平行，则a，b所在的直线平行
B．若向量a，b所在直线是异面直线，则a，b不共面
C．若A，B，C，D四点不共面，则向量，不共面
D．若A，B，C，D四点不共面，则向量，，不共面
解析：选D 可以通过平移将空间任意两个向量平移到一个平面内，因此空间任意两个向量都是共面的，故B，C都不正确．注意向量平行与直线平行的区别，可知A不正确，可用反证法证明D是正确的．
4．已知G为正方形ABCD的中心，点P为正方形ABCD所在平面外一点，则＋＋＋等于( )
A．4 B．3
C．2 D．
解析：选A ＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝2＋2＝4 .
5．有下列命题：
①若∥，则A，B，C，D四点共线；
②若∥，则A，B，C三点共线；
③若e1，e2为不共线的非零向量，a＝4e1－e2，b＝－e1＋e2，则a∥b；
④若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，则k1＝k2＝k3＝0.
其中是真命题的序号是________(把所有真命题的序号都填上)．
解析：根据共线向量的定义，若∥，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故①错；∥且，有公共点A，所以②正确；由于a＝4e1－e2＝－4＝－4b，所以a∥b.故③正确；易知④也正确．
答案：②③④
6．在空间四边形ABCD中，G为△BCD的重心，E，F分别为边CD和AD的中点，试化简＋－，并在图中标出化简结果的向量．
解：∵G是△BCD的重心，BE是CD边上的中线，∴＝.
又＝( －)
＝ －＝－＝，
∴＋－＝＋－＝ (如图所示)．
7．如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.
(1)证明：A，E，C1，F四点共面；
(2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值．
解：(1)证明：∵ABCD-A1B1C1D1是平行六面体，
∴＝＝＝，
∴＝，＝v，
∴＝＋＋＝＋＋＋＝＋＝(＋)＋(＋)＝＋，由向量共面的充要条件知A，E，C1，F四点共面．
(2)∵＝－＝＋－(＋)＝＋－－＝－＋＋v，又＝x＋y＋z，∴x＝－1，y＝1，z＝，
∴x＋y＋z＝.
