第1课时 合 情 推 理
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P22～P29的内容，回答下列问题．
(1)哥德巴赫提出猜想的过程：
[思考] 哥德巴赫提出猜想的推理过程是什么？
提示：通过对一些偶数的验证，他发现它们总可以表示成两个奇质数之和，而且没有出现反例．于是，提出猜想——“任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和”．
(2)观察教材P24～P25的几个实例：
①鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的齿牙，发明了锯；
②人们仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理，发明了潜水艇；
③科学家们把火星与地球作类比，发现火星具有一些与地球类似的特征，从而科学家猜想：火星上也可能有生命存在；
④由于球和圆在形状上和概念上都有类似的地方，即都具有完美的对称性，都是到定点的距离等于定长的点的集合，因此我们推测对于圆的特征，球也可能具有．
[思考] 以上四个推理还是归纳推理吗？它们有什么共同特点？
提示：以上四个推理不是归纳推理．它们的共同特点是两类事物间的推理．
2．归纳总结，核心必记
(1)归纳推理
①归纳推理的定义
由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．
②归纳推理的特征
归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．
(2)类比推理
①类比推理的定义
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．
②类比推理的特征
类比推理是由特殊到特殊的推理．
(3)合情推理
①含义：
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．
②合情推理的过程：
[问题思考]
(1)归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？
提示：归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．
(2)<，<，<，…
由此猜想：<(m为正实数)．上述推理是归纳推理还是类比推理？
提示：归纳推理．
(3)由平面内平行于同一直线的两直线平行，猜想：空间中平行于同一平面的两个平面平行．此推理是归纳推理还是类比推理？
提示：类比推理．
[课前反思]
(1)归纳推理的定义和特征各是什么？
(2)类比推理的定义和特征各是什么？
(3)归纳推理和类比推理有什么不同？
.
知识点1
归纳推理
角度一：数(式)中的归纳推理
?讲一讲
1．(链接教材P23—例2)若数列{an}的通项公式an＝(n∈N*)，记f(n)＝(1－a1)(1－a2)…(1－an)，通过计算f(1)，f(2)，f(3)的值，推测出f(n)的表达式．
[尝试解答] ∵an＝，∴a1＝，a2＝，a3＝.
∴f(1)＝1－a1＝，f(2)＝＝，
f(3)＝××＝.∴推测f(n)＝.
(1)根据给出的几个具体等式归纳其一般结论时，要注意从等式的项数、次数、分式的分子与分母各自的特点及变化规律入手进行归纳，要注意等式中项数、次数等与等式序号n的关系，发现其规律，然后用含有字母的等式表示一般性结论．
(2)数列中的归纳推理的方法：
①通过所给的条件求得数列中的前几项；
②观察数列的前几项，寻求项与项数之间的规律，猜测数列的通项公式并加以证明．
?练一练
1．观察按下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，….猜想第n(n∈N*)个等式应为( )
A．9(n＋1)＋n＝10n＋9
B．9(n－1)＋n＝10n－9
C．9n＋(n－1)＝10n－1
D．9(n－1)＋(n－1)＝10n－10
解析：选B 9×0＋1＝1＝10－9,9×1＋2＝11＝10×2－9，9×2＋3＝21＝10×3－9,9×3＋4＝31＝10×4－9，…，猜想第n(n∈N*)个等式应为9(n－1)＋n＝10n－9，故选B.
2．观察下列各式：m＋n＝1，m2＋n2＝3，m3＋n3＝4，m4＋n4＝7，m5＋n5＝11，…，则m11＋n11＝________.
解析：由m＋n＝1，m2＋n2＝3，m3＋n3＝4，m4＋n4＝7，m5＋n5＝11，…，可以发现从第3个等式开始，等式右边的数字等于前两个等式的右边的数字之和，依次计算可得m11＋n11＝199.
答案：199
角度二：图形中的归纳推理
?讲一讲
2．(1)有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )
A．26 B．31 C．32 D．36
(2)把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形(如图)，试求第七个三角形数是________．
[尝试解答] (1)法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：
图案
1
2
3
…
个数
6
11
16
…
由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.
法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6块有纹正六边形围绕(第一个图案)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31.故选B.
(2)第七个三角形数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.
[答案] (1)B (2)28
解决图形中归纳推理的方法
解决与图形有关的归纳推理问题常从以下两个方面着手：
(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系．
(2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化．
?练一练
3．我们把1,4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正方形(如图)．
则第n个正方形数是( )
A．n(n－1) B．n(n＋1)
C．n2 D．(n＋1)2
解析：选C 观察前5个正方形数，恰好是序号的平方，所以第n个正方形数应为n2.
4．蜜蜂被认为是自然界中杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第1个图有1个蜂巢，第2个图有7个蜂巢，第3个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数，则f(n)＝________.
解析：由题可得，f(4)＝37，f(5)＝61.由于f(2)－f(1)＝7－1＝6，f(3)－f(2)＝19－7＝2×6，f(4)－f(3)＝37－19＝3×6，f(5)－f(4)＝61－37＝4×6，…，因此，当n≥2时，有f(n)－f(n－1)＝6(n－1)，所以f(n)＝[f(n)－f(n－1)]＋[f(n－1)－f(n－2)]＋…＋[f(2)－f(1)]＋f(1)＝6[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＋1＝3n2－3n＋1.又f(1)＝1＝3×12－3×1＋1，所以f(n)＝3n2－3n＋1.
答案：3n2－3n＋1
知识点2
类比推理
?讲一讲
3．三角形与四面体有下列共同的性质：
(1)三角形是平面内由线段所围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由平面三角形所围成的最简单的封闭图形．
(2)三角形可以看做平面上一条线段外一点与这条直线段上的各点连线所形成的图形；四面体可以看做三角形外一点与这个三角形上各点连线所形成的图形．
通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表：
三角形
四面体
三角形两边之和大于第三边
三角形的中位线等于第三边的一半并且平行于第三边
三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心
三角形的面积S＝(a＋b＋c)r(r为三角形内切圆的半径)
[尝试解答] 三角形和四面体分别是平面图形和空间图形，三角形的边对应四面体的面，即平面的线类比空间的面；三角形的中位线对应四面体的中截面，三角形的内角对应四面体的二面角，三角形的内切圆对应四面体的内切球．具体见下表：
三角形
四面体
三角形两边之和大于第三边
四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积
三角形的中位线等于第三边的一半并且平行于第三边
四面体的中截面的面积等于第四个面面积的，且平行于第四个面
三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心
四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体的内切球的球心
三角形的面积为S＝(a＋b＋c)r(r为三角形内切圆的半径)
四面体的体积为V＝(S1＋S2＋S3＋S4)r(S1、S2、S3、S4为四面体四个面的面积，r为四面体内切球的半径)
(1)类比推理的一般步骤：①找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性)；②用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个明确的命题(猜想)．
(2)运用类比推理的关键是确定类比对象，常见的类比对象有：
①平面几何与立体几何：能进行类比的基本元素有：
②实数相等关系与不等关系；方程与不等式的性质．
③实数满足的运算律与向量满足的运算律．
④等差数列与等比数列的定义及性质．
⑤圆锥曲线的定义及性质．
?练一练
5．如图所示，
在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．
解：如图所示，在四面体P-ABC中，S1，S2，S3，S分别为△PAB，△PBC，△PAC，△ABC的面积，α，β，γ分别为侧面PAB，侧面PBC，侧面PAC与底面ABC所成二面角的大小，猜想：在四面体P-ABC中，S＝S1cos α＋S2cos β＋S3cos γ.
———————[课堂归纳·感悟提升]——————
1．本节课的重点是归纳推理和类比推理的应用．难点是对归纳推理、类比推理结论的真假判定．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)数(式)中的归纳推理，见讲1；
(2)图形中的归纳推理，见讲2；
(3)类比推理的应用，见讲3.
课下能力提升(三)
[学业水平达标练]
题组1 数(式)中的归纳推理
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2·an(n≥2)，且a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an等于( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由a1＝1，S2＝22·a2＝a1＋a2得a2＝，
由a1＋a2＋a3＝9×a3得a3＝，
由a1＋a2＋a3＋a4＝42·a4得a4＝，…，
猜想an＝，故选B.
2．将正整数排列如下图：
1
2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
…
则2 018出现在
A．第44行第81列 B．第45行第81列
C．第44行第82列 D．第45行第82列
解析：选D 由题意可知第n行有2n－1个数，则前n行的数的个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，因为442＝1 936，452＝2 025，且1 936<2 018<2 025，所以2 018在第45行，又第45行有2×45－1＝89个数，2018－1 936＝82，故2 018在第45行第82列，选D.
3．观察下列各式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…可以得出的一般结论是( )
A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2
B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2
D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2
解析：选B 观察各等式的构成规律可以发现，各等式的左边是2n－1(n∈N*)项的和，其首项为n，右边是项数的平方，故第n个等式首项为n，共有2n－1项，右边是(2n－1)2，即n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2，故选B.
4．设f(x)＝，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳出一个一般结论，并给出证明．
解：f(0)＋f(1)＝＋＝＋＝＋＝.
同理f(－1)＋f(2)＝，f(－2)＋f(3)＝.
由此猜想：当x1＋x2＝1时，f(x1)＋f(x2)＝.
证明：设x1＋x2＝1，
则f(x1)＋f(x2)＝＋＝＝＝＝.
故猜想成立．
题组2 图形中的归纳推理
5．如图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色( )
A．白色 B．黑色
C．白色可能性大 D．黑色可能性大
解析：选A 由图，知三白二黑周期性排列，36＝5×7＋1，故第36颗珠子的颜色为白色．
6．如图所示，第n个图形是由正n＋2边形拓展而来(n＝1,2，…)，则第n－2个图形共有________个顶点．
解析：第一个图有3＋3×3＝4×3个顶点；
第二个图有4＋4×4＝5×4个顶点；
第三个图有5＋5×5＝6×5个顶点；
第四个图有6＋6×6＝7×6个顶点；
……；
第n个图有(n＋3)×(n＋2)个顶点．
第n－2个图有(n＋1)×n＝(n2＋n)个顶点．
答案：n2＋n
7．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)，(2)，(3)，(4)为最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮. 现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．
(1)求出f(5)的值；
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；
(3)求＋＋＋…＋的值．
解：(1)f(5)＝41.
(2)因为f(2)－f(1)＝4＝4×1，
f(3)－f(2)＝8＝4×2，
f(4)－f(3)＝12＝4×3，
f(5)－f(4)＝16＝4×4，
…
由上面规律，得出f(n＋1)－f(n)＝4n.
因为f(n＋1)－f(n)＝4n?f(n＋1)＝f(n)＋4n?
f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)
＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)
＝f(n－3)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)
＝…
＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4
＝2n2－2n＋1.
(3)当n≥2时，＝＝.
所以＋＋＋…＋
＝1＋×
＝1＋＝－.
题组3 类比推理
8．已知{bn}为等比数列，b5＝2，且b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为( )
A．a1a2a3…a9＝29 B．a1＋a2＋…＋a9＝29
C．a1a2…a9＝2×9 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9
解析：选D 等比数列中的积(乘方)类比等差数列中的和(积)，得a1＋a2＋…＋a9＝2×9.
9．在平面中，△ABC的∠ACB的平分线CE分△ABC面积所成的比＝，将这个结论类比到空间：在三棱锥A-BCD中，平面DEC平分二面角A-CD-B且与AB交于E，则类比的结论为________．
解析：平面中的面积类比到空间为体积，故类比成.平面中的线段长类比到空间为面积，故类比成.故有＝.
答案：＝
10．在矩形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α，β，则cos2α＋cos2β＝1，在立体几何中，通过类比，给出猜想并证明．
解：如图①，在矩形ABCD中，cos2α＋cos2 β＝2＋2＝＝＝1.
于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，
则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1，
证明如下：如图②，cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2＋2＋2＝＝＝1.
[能力提升综合练]
1．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，则72 018的末两位数字为( )
A．01 B．43 C．07 D．49
解析：选D 因为71＝7,72＝49,73＝343,74＝2 401，75＝16 807,76＝117 649，…，
所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期T＝4.又2 018＝4×504＋2，
所以72 018的末两位数字与72的末两位数字相同，为49.
2．定义A*B，B*C，C*D，D*B依次对应下列4个图形：
那么下列4个图形中，
可以表示A*D，A*C的分别是( )
A．(1)，(2) B．(1)，(3)
C．(2)，(4) D．(1)，(4)
解析：选C 由①②③④可归纳得出：符号“*”表示图形的叠加，字母A代表竖线，字母B代表大矩形，字母C代表横线，字母D代表小矩形，∴A*D是(2)，A*C是(4)．
3．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：
他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )
A．289 B．1 024
C．1 225 D．1 378
解析：选C 记三角形数构成的数列为{an}，则a1＝1，a2＝3＝1＋2，a3＝6＝1＋2＋3，a4＝10＝1＋2＋3＋4，可得通项公式为an＝1＋2＋3＋…＋n＝.
同理可得正方形数构成的数列的通项公式为bn＝n2.
将四个选项的数字分别代入上述两个通项公式，使得n都为正整数的只有1 225.
4．将正偶数2,4,6,8，…按下表的方式进行排列，记aij表示第i行和第j列的数，若aij＝2 018，则i＋j的值为( )
第1 列
第2列
第3列
第4列
第5列
第1行
2
4
6
8
第2行
16
14
12
10
第3行
18
20
22
24
第4行
32
30
28
26
第5行
34
36
38
40
…
…
…
…
…
…
A．257 B．256
C．255 D．254
解析：选C 由表所反映的信息来看，第n行的最大偶数为Sn＝8n(n∈N*)，则8(i－1)<2 018≤8i，由于i∈N*，解得i＝253；另一方面，奇数行的最大数位于第5列，偶数行的最大数位于第1列，第252行最大数为8×252＝2 016，此数位于第252行第1列，因此2 018位于第253行第2列，所以i＝253，j＝2，故i＋j＝253＋2＝255，故选C.
5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，成等比数列．
解析：等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，，，成等比数列．
答案：
6．如图(1)，在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB2＝BD·BC.若类比该命题，如图(2)，三棱锥A-BCD中，AD⊥平面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则有什么结论？命题是不是真命题．
解：命题是：三棱锥A-BCD中，AD⊥平面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则有S＝S△BCM·S△BCD.此命题是一个真命题．
证明如下：
在图(2)中，延长DM交BC于E，
连接AE，则有DE⊥BC.
因为AD⊥平面ABC，
所以AD⊥AE.
又AM⊥DE，
所以AE2＝EM·ED.
于是S＝2＝·＝S△BCM·S△BCD.
7．如图所示为m行m＋1列的士兵方阵(m∈N*，m≥2)．
(1)写出一个数列，用它表示当m分别是2,3,4,5，…时，方阵中士兵的人数；
(2)若把(1)中的数列记为{an}，归纳该数列的通项公式；
(3)求a10，并说明a10表示的实际意义；
(4)已知an＝9 900，问an是数列第几项？
解：(1)当m＝2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m＝3,4,5，…时的士兵人数分别为12,20,30，….故所求数列为6,12,20,30，….
(2)因为a1＝2×3，a2＝3×4，a3＝4×5，…，所以猜想an＝(n＋1)(n＋2)，n∈N*.
(3)a10＝11×12＝132.a10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.
(4)令(n＋1)(n＋2)＝9 900，所以n＝98，即an是数列的第98项，此时方阵为99行100列．
课件35张PPT。部分对象 全部对象 个别事实 一般结论 由部分到整体 由个别到一般 类似 已知特征 这些特征 特殊 特殊 观察 分析 比较 联想 归纳 类比 猜想 归纳推理 类比推理 谢谢！课下能力提升(三)
[学业水平达标练]
题组1 数(式)中的归纳推理
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2·an(n≥2)，且a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an等于( )
A. B.
C. D.
解析：选B 由a1＝1，S2＝22·a2＝a1＋a2得a2＝，
由a1＋a2＋a3＝9×a3得a3＝，
由a1＋a2＋a3＋a4＝42·a4得a4＝，…，
猜想an＝，故选B.
2．将正整数排列如下图：
1
2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
…
则2 018出现在
A．第44行第81列 B．第45行第81列
C．第44行第82列 D．第45行第82列
解析：选D 由题意可知第n行有2n－1个数，则前n行的数的个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，因为442＝1 936，452＝2 025，且1 936<2 018<2 025，所以2 018在第45行，又第45行有2×45－1＝89个数，2018－1 936＝82，故2 018在第45行第82列，选D.
3．观察下列各式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…可以得出的一般结论是( )
A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2
B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2
D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2
解析：选B 观察各等式的构成规律可以发现，各等式的左边是2n－1(n∈N*)项的和，其首项为n，右边是项数的平方，故第n个等式首项为n，共有2n－1项，右边是(2n－1)2，即n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2，故选B.
4．设f(x)＝，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳出一个一般结论，并给出证明．
解：f(0)＋f(1)＝＋＝＋＝＋＝.
同理f(－1)＋f(2)＝，f(－2)＋f(3)＝.
由此猜想：当x1＋x2＝1时，f(x1)＋f(x2)＝.
证明：设x1＋x2＝1，
则f(x1)＋f(x2)＝＋＝＝＝＝.
故猜想成立．
题组2 图形中的归纳推理
5．如图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色( )
A．白色 B．黑色
C．白色可能性大 D．黑色可能性大
解析：选A 由图，知三白二黑周期性排列，36＝5×7＋1，故第36颗珠子的颜色为白色．
6．如图所示，第n个图形是由正n＋2边形拓展而来(n＝1,2，…)，则第n－2个图形共有________个顶点．
解析：第一个图有3＋3×3＝4×3个顶点；
第二个图有4＋4×4＝5×4个顶点；
第三个图有5＋5×5＝6×5个顶点；
第四个图有6＋6×6＝7×6个顶点；
……；
第n个图有(n＋3)×(n＋2)个顶点．
第n－2个图有(n＋1)×n＝(n2＋n)个顶点．
答案：n2＋n
7．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)，(2)，(3)，(4)为最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮. 现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．
(1)求出f(5)的值；
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；
(3)求＋＋＋…＋的值．
解：(1)f(5)＝41.
(2)因为f(2)－f(1)＝4＝4×1，
f(3)－f(2)＝8＝4×2，
f(4)－f(3)＝12＝4×3，
f(5)－f(4)＝16＝4×4，
…
由上面规律，得出f(n＋1)－f(n)＝4n.
因为f(n＋1)－f(n)＝4n?f(n＋1)＝f(n)＋4n?
f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)
＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)
＝f(n－3)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)
＝…
＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4
＝2n2－2n＋1.
(3)当n≥2时，＝＝.
所以＋＋＋…＋
＝1＋×
＝1＋＝－.
题组3 类比推理
8．已知{bn}为等比数列，b5＝2，且b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为( )
A．a1a2a3…a9＝29 B．a1＋a2＋…＋a9＝29
C．a1a2…a9＝2×9 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9
解析：选D 等比数列中的积(乘方)类比等差数列中的和(积)，得a1＋a2＋…＋a9＝2×9.
9．在平面中，△ABC的∠ACB的平分线CE分△ABC面积所成的比＝，将这个结论类比到空间：在三棱锥A-BCD中，平面DEC平分二面角A-CD-B且与AB交于E，则类比的结论为________．
解析：平面中的面积类比到空间为体积，故类比成.平面中的线段长类比到空间为面积，故类比成.故有＝.
答案：＝
10．在矩形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α，β，则cos2α＋cos2β＝1，在立体几何中，通过类比，给出猜想并证明．
解：如图①，在矩形ABCD中，cos2α＋cos2 β＝2＋2＝＝＝1.
于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，
则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1，
证明如下：如图②，cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2＋2＋2＝＝＝1.
[能力提升综合练]
1．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，则72 018的末两位数字为( )
A．01 B．43 C．07 D．49
解析：选D 因为71＝7,72＝49,73＝343,74＝2 401，75＝16 807,76＝117 649，…，
所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期T＝4.又2 018＝4×504＋2，
所以72 018的末两位数字与72的末两位数字相同，为49.
2．定义A*B，B*C，C*D，D*B依次对应下列4个图形：
那么下列4个图形中，
可以表示A*D，A*C的分别是( )
A．(1)，(2) B．(1)，(3)
C．(2)，(4) D．(1)，(4)
解析：选C 由①②③④可归纳得出：符号“*”表示图形的叠加，字母A代表竖线，字母B代表大矩形，字母C代表横线，字母D代表小矩形，∴A*D是(2)，A*C是(4)．
3．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：
他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )
A．289 B．1 024
C．1 225 D．1 378
解析：选C 记三角形数构成的数列为{an}，则a1＝1，a2＝3＝1＋2，a3＝6＝1＋2＋3，a4＝10＝1＋2＋3＋4，可得通项公式为an＝1＋2＋3＋…＋n＝.
同理可得正方形数构成的数列的通项公式为bn＝n2.
将四个选项的数字分别代入上述两个通项公式，使得n都为正整数的只有1 225.
4．将正偶数2,4,6,8，…按下表的方式进行排列，记aij表示第i行和第j列的数，若aij＝2 018，则i＋j的值为( )
第1 列
第2列
第3列
第4列
第5列
第1行
2
4
6
8
第2行
16
14
12
10
第3行
18
20
22
24
第4行
32
30
28
26
第5行
34
36
38
40
…
…
…
…
…
…
A．257 B．256
C．255 D．254
解析：选C 由表所反映的信息来看，第n行的最大偶数为Sn＝8n(n∈N*)，则8(i－1)<2 018≤8i，由于i∈N*，解得i＝253；另一方面，奇数行的最大数位于第5列，偶数行的最大数位于第1列，第252行最大数为8×252＝2 016，此数位于第252行第1列，因此2 018位于第253行第2列，所以i＝253，j＝2，故i＋j＝253＋2＝255，故选C.
5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，成等比数列．
解析：等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，，，成等比数列．
答案：
6．如图(1)，在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB2＝BD·BC.若类比该命题，如图(2)，三棱锥A-BCD中，AD⊥平面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则有什么结论？命题是不是真命题．
解：命题是：三棱锥A-BCD中，AD⊥平面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则有S＝S△BCM·S△BCD.此命题是一个真命题．
证明如下：
在图(2)中，延长DM交BC于E，
连接AE，则有DE⊥BC.
因为AD⊥平面ABC，
所以AD⊥AE.
又AM⊥DE，
所以AE2＝EM·ED.
于是S＝2＝·＝S△BCM·S△BCD.
7．如图所示为m行m＋1列的士兵方阵(m∈N*，m≥2)．
(1)写出一个数列，用它表示当m分别是2,3,4,5，…时，方阵中士兵的人数；
(2)若把(1)中的数列记为{an}，归纳该数列的通项公式；
(3)求a10，并说明a10表示的实际意义；
(4)已知an＝9 900，问an是数列第几项？
解：(1)当m＝2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m＝3,4,5，…时的士兵人数分别为12,20,30，….故所求数列为6,12,20,30，….
(2)因为a1＝2×3，a2＝3×4，a3＝4×5，…，所以猜想an＝(n＋1)(n＋2)，n∈N*.
(3)a10＝11×12＝132.a10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.
(4)令(n＋1)(n＋2)＝9 900，所以n＝98，即an是数列的第98项，此时方阵为99行100列．
