第2课时 演 绎 推 理
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P30～P33的内容，回答下列问题．
阅读教材P30～P31中的5个推理(如下所示)，并回答问题：
①所有的金属都能够导电，铀是金属，所以铀能够导电；
②太阳系的行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，天王星是太阳系的行星，因此天王星以椭圆形轨道绕太阳运行；
③一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除；
④三角函数都是周期函数，tan α是三角函数，因此tan α是周期函数；
⑤两条直线平行，同旁内角互补．如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，那么∠A＋∠B＝180°.
(1)以上五个推理有什么共同特点？
提示：都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论．
(2)以上五个推理，都有三段，每一段在“推理”中各自名称是什么？
提示：第一段称为“大前提”，第二段称为“小前提”，第三段称为“结论”．
2．归纳总结，核心必记
(1)演绎推理的概念
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理称为演绎推理．
简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．
(2)三段论
“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．
“三段论”可以表示为：
大前提：M是P.
小前提：S是M.
结论：S是P.
[问题思考]
(1)“三段论”就是演绎推理吗？
提示：不是．三段论是演绎推理的一般模式．
(2)演绎推理的结论一定正确吗？
提示：因为演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，其结论就一定正确．
(3)如何在演绎推理中分清大前提、小前提和结论？
提示：在演绎推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般原理对特殊情况作出的判断．例如，平行四边形对角线互相平分，这是一般情况；矩形是平行四边形，这是特例；矩形对角线互相平分，这是特例具有的一般意义．
[课前反思]
(1)演绎推理的定义是什么？
(2)“三段论”的内容是什么？
(3)演绎推理与合情推理有什么区别？
.
知识点1
用三段论表示演绎推理
[思考] 如何将演绎推理写成三段论的形式？
名师指津：三段论由大前提、小前提和结论组成；大前提提供一般原理，小前提提供特殊情况，两者结合起来，体现一般原理与特殊情况的内在联系，在用三段论写推理过程时，关键是明确命题的大、小前提．
?讲一讲
1．将下列演绎推理写成三段论的形式．
(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；
(2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的底角，则∠A＝∠B；
(3)通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列．
[尝试解答] (1)因为平行四边形的对角线互相平分，(大前提)
菱形是平行四边形，(小前提)
所以菱形的对角线互相平分．(结论)
(2)因为等腰三角形的两底角相等，(大前提)
∠A，∠B是等腰三角形的底角，(小前提)
所以∠A＝∠B.(结论)
(3)因为数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列，(大前提)
通项公式为an＝2n＋3时，若n≥2，
则an－an－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)，(小前提)
所以通项公式为an＝2n＋3的数列{an}为等差数列．(结论)
将演绎推理写成三段论的方法
(1)用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提．
(2)用三段论写推理过程中，有时可省略小前提，有时也可大前提与小前提都省略．
(3)在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．
?练一练
1．用三段论的形式写出下列演绎推理．
(1)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；
(2)0.是有理数；
(3)y＝cos x 是周期函数．
解：(1)因为矩形的对角线相等，(大前提)
正方形是矩形，(小前提)
所以正方形的对角线相等．(结论)
(2)因为所有的循环小数是有理数，(大前提)
0.是循环小数，(小前提)
所以0.是有理数．(结论)
(3)因为三角函数是周期函数，(大前提)
y＝cos x是三角函数，(小前提)
所以y＝cos x是周期函数．(结论)
知识点2
用三段论证明几何问题
?讲一讲
2．(链接教材P31—例6)如图，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF，写出三段论形式的演绎推理．
[尝试解答] 因为同位角相等，两条直线平行，大前提
∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提
所以FD∥AE.结论
因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提
DE∥BA，且FD∥AE，小前提
所以四边形AFDE为平行四边形．结论
因为平行四边形的对边相等，大前提
ED和AF为平行四边形AFDE的对边，小前提
所以ED＝AF.结论
(1)用“三段论”证明命题的格式
(2)用“三段论”证明命题的步骤
①理清证明命题的一般思路；
②找出每一个结论得出的原因；
③把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来．
?练一练
2．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点．求证：EF∥平面BCD.
证明：三角形的中位线平行于第三边，大前提
点E、F分别是AB、AD的中点，
小前提
所以EF∥BD.结论
若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则此直线与此平面平行，大前提
EF?平面BCD，BD?平面BCD，EF∥BD，小前提
EF∥平面BCD.结论
知识点3
用三段论证明代数问题
?讲一讲
3．(链接教材P32—例7)已知函数f(x)＝ax＋(a＞1)，求证：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
[尝试解答] 对于定义域内某个区间上的任意两个自变量x1，x2，若x1＜x2，都有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在该区间上是增函数．大前提
设x1，x2是(－1，＋∞)上的任意两实数，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝ax1＋－ax2－＝ax1－ax2＋－＝ax1－ax2＋，
∵a＞1，且x1＜x2，∴ax1＜ax2，x1－x2＜0.
又∵x1＞－1，x2＞－1，
∴(x1＋1)(x2＋1)＞0.
∴f(x1)－f(x2)＜0.
∴f(x1)＜f(x2)．小前提
∴函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．结论
使用三段论应注意的问题
(1)应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确的，严密的，才能得出正确的结论．
(2)证明中常见的错误：
①条件分析错误(小前提错)．
②定理引入和应用错误(大前提错)．
③推理过程错误等．
?练一练
3．已知等差数列{an}的各项均为正数且lg a1，lg a2，lg a4成等差数列，又bn＝(n＝1,2,3，…)．求证：数列{bn}为等比数列．
证明：因为lg a1，lg a2，lg a4成等差数列，
所以2lg a2＝lg a1＋lg a4，即a＝a1a4.
设等差数列{an}的公差为d，
则(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，即a1d＝d2，
从而d(d－a1)＝0.
①若d＝0，数列{an}为常数列，故数列{bn}也是常数列，此时{bn}是首项为正数、公比为1的等比数列．
②若d＝a1≠0，则a2n＝a1＋(2n－1)d＝2nd，
所以bn＝＝.所以当n≥2时，＝＝.
所以数列{bn}是以为首项、为公比的等比数列．
综上，数列{bn}为等比数列．
———————[课堂归纳·感悟提升]——————
1．本节课的重点是三段论，难点是用三段论证明有关问题．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)用三段论表示演绎推理，见讲1；
(2)用三段论证明几何、代数问题，见讲2和讲3.
3．在数学问题的证明题中，每一步都包含着一般性原理，都可以分析出大前提，将一般性原理应用于特殊情况，只要推理形式准确，就能恰当准确地解决问题．在解决问题时，会涉及到数学中的一般性原理，主要是指数学中的公式、公理、定理、性质等，这就要求我们基础牢固，对涉及的相关知识能灵活应用，并能进行恰当的等价转化．
课下能力提升(四)
[学业水平达标练]
题组1 用三段论表示演绎推理
1．《论语》云：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以名不正，则民无所措手足．”上述理由用的是( )
A．合情推理 B．归纳推理
C．类比推理 D．演绎推理
解析：选D 由演绎推理定义知该推理为演绎推理，故选D.
2．“因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提是( )
A．正方形都是对角线相等的四边形
B．矩形都是对角线相等的四边形
C．等腰梯形都是对角线相等的四边形
D．矩形都是对边平行且相等的四边形
答案：B
3．下面几种推理中是演绎推理的是( )
A．因为y＝2x是指数函数，所以函数y＝2x经过定点(0,1)
B．猜想数列，，，…的通项公式为an＝(n∈N*)
C．由“平面内垂直于同一直线的两直线平行”类比推出“空间中垂直于同一平面的两平面平行”
D．由平面直角坐标系中圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝r2
解析：选A A是演绎推理，B是归纳推理，C，D是类比推理.
题组2 用三段论证明几何问题
4．有一段演绎推理是这样的：“若一直线平行于平面，则该直线平行于平面内所有直线；已知直线b?平面α，直线a?平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
解析：选A “直线与平面平行”，不能得出“直线平行于平面内的所有直线”，即大前提错误．
5.如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4.将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EDB⊥平面ABD.
求证：AB⊥DE.
证明：在△ABD中，
∵AB＝2，AD＝4，∠DAB＝60°，
∴BD＝＝2.
∴AB2＋BD2＝AD2.∴AB⊥BD.
又平面EBD⊥平面ABD，
平面EBD∩平面ABD＝BD，AB?平面ABD，
∴AB⊥平面EBD.
∵DE?平面EBD，∴AB⊥DE.
6．如图所示，三棱锥A-BCD的三条侧棱AB，AC，AD两两互相垂直，O为点A在底面BCD上的射影．求证：O为△BCD的垂心．
证明：如图，连接BO，CO，DO.
∵AB⊥AD，AC⊥AD，AB∩AC＝A，∴AD⊥平面ABC.
又BC?平面ABC，∴AD⊥BC.
∵AO⊥平面BCD，∴AO⊥BC，
又AD∩AO＝A，
∴BC⊥平面AOD，
∴BC⊥DO，同理可证CD⊥BO，
∴O为△BCD的垂心．
题组3 用三段论证明代数问题
7．用三段论证明命题：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0”，你认为这个推理( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．是正确的
解析：选A 这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于0”，小前提是“a是实数”，结论是“a2＞0”．显然结论错误，原因是大前提错误．
8．已知推理：“因为△ABC的三边长依次为3,4,5，所以△ABC是直角三角形”．若将其恢复成完整的三段论，则大前提是________．
解析：大前提：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形；
小前提：△ABC的三边长依次为3,4,5，满足32＋42＝52；
结论：△ABC是直角三角形．
答案：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形
9．已知函数f(x)对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2.
(1)求证：f(x)为奇函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．
解：(1)证明：因为x，y∈R时，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
所以令x＝y＝0得，f(0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)，
所以f(0)＝0.
令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0，
所以f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
(2)设x1，x2∈R，且x1＜x2，
f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)，
因为当x＞0时，f(x)＜0，
所以f(x2－x1)＜0，
即f(x2)－f(x1)＜0，
所以f(x)为减函数，
所以f(x)在[－3,3]上的最大值为f(－3)，最小值为f(3)．
因为f(3)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－6，
f(－3)＝－f(3)＝6，
所以函数f(x)在[－3,3]上的最大值为6，最小值为－6.
[能力提升综合练]
1．下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°
B．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人
C．由三角形的性质，推测四面体的性质
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝(n≥2)，由此归纳出an的通项公式
解析：选A B项是归纳推理，C项是类比推理，D项是归纳推理．
2．下面是一段“三段论”推理过程：若函数f(x)在(a，b)内可导且单调递增，则在(a，b)内，f′(x)>0恒成立．因为f(x)＝x3在(－1,1)内可导且单调递增，所以在(－1,1)内，f′(x)＝3x2>0恒成立，以上推理中( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．结论正确 D．推理形式错误
解析：选A f(x)在(a，b)内可导且单调递增，则在(a，b)内，f′(x)≥0恒成立，故大前提错误，选A.
3．若平面四边形ABCD满足AB―→＋CD―→＝0，(AB―→－AD―→)·AC―→＝0，则该四边形一定是( )
A．直角梯形 B．矩形
C．正方形 D．菱形
解析：选D 由AB―→＋CD―→＝0?AB∥CD，AB＝CD，由(AB―→－AD―→)·AC―→＝0?BD⊥AC，故选D.
4．设⊕是R内的一个运算，A是R的非空子集．若对于任意a，b∈A，有a⊕b∈A，则称A对运算⊕封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是( )
A．自然数集 B．整数集
C．有理数集 D．无理数集
解析：选C A错：因为自然数集对减法和除法不封闭；B错：因为整数集对除法不封闭；C对：因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都封闭；D错：因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭．
5．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝________.
解析：由题意，知f(0)＝0，f(1)＝f(0)＝0，f(2)＝f(－1)＝0，f(3)＝f(－2)＝0，f(4)＝f(－3)＝0，f(5)＝f(－4)＝0，故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0.
答案：0
6．关于函数f(x)＝lg(x≠0)，有下列命题：
①其图象关于y轴对称；
②当x＞0时，f(x)是增函数；当x＜0时，f(x)为减函数；
③f(x)的最小值是lg 2;
④当－1＜x＜0或x＞1时，f(x)是增函数；
⑤f(x)无最大值，也无最小值．
其中所有正确结论的序号是________．
解析：∵f(x)是偶函数，∴①正确；
当x＞0时，f(x)＝lg＝lg≥lg 2，
当且仅当x＝1时取等号，
∴0＜x＜1时，f(x)为减函数；
x＞1时，f(x)为增函数．x＝1时取得最小值lg 2.
又f(x)为偶函数，
∴－1＜x＜0时，f(x)为增函数；x＜－1时，f(x)为减函数．x＝－1时取得最小值lg 2.
∴③④也正确．
答案：①③④
7.如图所示，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等边三角形ADB以AB为轴转动．
(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；
(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．
解：(1)取AB中点E，连接DE，CE.(如图)
因为△ADB为等边三角形，
所以DE⊥AB.
又因为平面ADB⊥平面ABC，
且平面ADB∩平面ABC＝AB，
所以DE⊥平面ABC，所以DE⊥EC.
由已知可得DE＝AB＝，EC＝1.
所以在Rt△DEC中，CD＝＝2.
(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.
证明如下：
①当D在平面ABC内时，因为AC＝BC，AD＝BD，所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，所以CD⊥AB.
②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE.
又AC＝BC，所以AB⊥CE.
因为DE∩CE＝E，所以AB⊥平面DEC.
因为DC?平面DEC，所以AB⊥CD.
综上所述，当△ADB转动时，总有AB⊥CD.
8．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.
(1)证明数列{an－n}是等比数列；
(2)求数列{an}的前n项和Sn；
(3)证明不等式Sn＋1≤4Sn，对任意n∈N*皆成立．
解：(1)证明：因为an＋1＝4an－3n＋1，
所以an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*.
又a1－1＝1，
所以数列{an－n}是首项为1，公比为4的等比数列．
(2)由(1)可知an－n＝4n－1，于是数列{an}的通项公式为an＝4n－1＋n.所以数列{an}的前n项和Sn＝＋.
(3)证明：对任意的n∈N*，Sn＋1－4Sn＝＋－4＝－(3n2＋n－4)≤0.所以不等式Sn＋1≤4Sn，对任意n∈N*皆成立．
课件26张PPT。一般性 特殊情况 一般 特殊 一般原理 特殊情况 一般原理 特殊情况 M是P S是M S是P 用三段论表示演绎推理 用三段论证明几何问题 用三段论证明代数问题 谢谢！课下能力提升(四)
[学业水平达标练]
题组1 用三段论表示演绎推理
1．《论语》云：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以名不正，则民无所措手足．”上述理由用的是( )
A．合情推理 B．归纳推理
C．类比推理 D．演绎推理
解析：选D 由演绎推理定义知该推理为演绎推理，故选D.
2．“因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提是( )
A．正方形都是对角线相等的四边形
B．矩形都是对角线相等的四边形
C．等腰梯形都是对角线相等的四边形
D．矩形都是对边平行且相等的四边形
答案：B
3．下面几种推理中是演绎推理的是( )
A．因为y＝2x是指数函数，所以函数y＝2x经过定点(0,1)
B．猜想数列，，，…的通项公式为an＝(n∈N*)
C．由“平面内垂直于同一直线的两直线平行”类比推出“空间中垂直于同一平面的两平面平行”
D．由平面直角坐标系中圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝r2
解析：选A A是演绎推理，B是归纳推理，C，D是类比推理.
题组2 用三段论证明几何问题
4．有一段演绎推理是这样的：“若一直线平行于平面，则该直线平行于平面内所有直线；已知直线b?平面α，直线a?平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
解析：选A “直线与平面平行”，不能得出“直线平行于平面内的所有直线”，即大前提错误．
5.如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4.将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EDB⊥平面ABD.
求证：AB⊥DE.
证明：在△ABD中，
∵AB＝2，AD＝4，∠DAB＝60°，
∴BD＝＝2.
∴AB2＋BD2＝AD2.∴AB⊥BD.
又平面EBD⊥平面ABD，
平面EBD∩平面ABD＝BD，AB?平面ABD，
∴AB⊥平面EBD.
∵DE?平面EBD，∴AB⊥DE.
6．如图所示，三棱锥A-BCD的三条侧棱AB，AC，AD两两互相垂直，O为点A在底面BCD上的射影．求证：O为△BCD的垂心．
证明：如图，连接BO，CO，DO.
∵AB⊥AD，AC⊥AD，AB∩AC＝A，∴AD⊥平面ABC.
又BC?平面ABC，∴AD⊥BC.
∵AO⊥平面BCD，∴AO⊥BC，
又AD∩AO＝A，
∴BC⊥平面AOD，
∴BC⊥DO，同理可证CD⊥BO，
∴O为△BCD的垂心．
题组3 用三段论证明代数问题
7．用三段论证明命题：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0”，你认为这个推理( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．是正确的
解析：选A 这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于0”，小前提是“a是实数”，结论是“a2＞0”．显然结论错误，原因是大前提错误．
8．已知推理：“因为△ABC的三边长依次为3,4,5，所以△ABC是直角三角形”．若将其恢复成完整的三段论，则大前提是________．
解析：大前提：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形；
小前提：△ABC的三边长依次为3,4,5，满足32＋42＝52；
结论：△ABC是直角三角形．
答案：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形
9．已知函数f(x)对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2.
(1)求证：f(x)为奇函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．
解：(1)证明：因为x，y∈R时，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
所以令x＝y＝0得，f(0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)，
所以f(0)＝0.
令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0，
所以f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
(2)设x1，x2∈R，且x1＜x2，
f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)，
因为当x＞0时，f(x)＜0，
所以f(x2－x1)＜0，
即f(x2)－f(x1)＜0，
所以f(x)为减函数，
所以f(x)在[－3,3]上的最大值为f(－3)，最小值为f(3)．
因为f(3)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－6，
f(－3)＝－f(3)＝6，
所以函数f(x)在[－3,3]上的最大值为6，最小值为－6.
[能力提升综合练]
1．下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°
B．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人
C．由三角形的性质，推测四面体的性质
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝(n≥2)，由此归纳出an的通项公式
解析：选A B项是归纳推理，C项是类比推理，D项是归纳推理．
2．下面是一段“三段论”推理过程：若函数f(x)在(a，b)内可导且单调递增，则在(a，b)内，f′(x)>0恒成立．因为f(x)＝x3在(－1,1)内可导且单调递增，所以在(－1,1)内，f′(x)＝3x2>0恒成立，以上推理中( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．结论正确 D．推理形式错误
解析：选A f(x)在(a，b)内可导且单调递增，则在(a，b)内，f′(x)≥0恒成立，故大前提错误，选A.
3．若平面四边形ABCD满足AB―→＋CD―→＝0，(AB―→－AD―→)·AC―→＝0，则该四边形一定是( )
A．直角梯形 B．矩形
C．正方形 D．菱形
解析：选D 由AB―→＋CD―→＝0?AB∥CD，AB＝CD，由(AB―→－AD―→)·AC―→＝0?BD⊥AC，故选D.
4．设⊕是R内的一个运算，A是R的非空子集．若对于任意a，b∈A，有a⊕b∈A，则称A对运算⊕封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是( )
A．自然数集 B．整数集
C．有理数集 D．无理数集
解析：选C A错：因为自然数集对减法和除法不封闭；B错：因为整数集对除法不封闭；C对：因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都封闭；D错：因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭．
5．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝________.
解析：由题意，知f(0)＝0，f(1)＝f(0)＝0，f(2)＝f(－1)＝0，f(3)＝f(－2)＝0，f(4)＝f(－3)＝0，f(5)＝f(－4)＝0，故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0.
答案：0
6．关于函数f(x)＝lg(x≠0)，有下列命题：
①其图象关于y轴对称；
②当x＞0时，f(x)是增函数；当x＜0时，f(x)为减函数；
③f(x)的最小值是lg 2;
④当－1＜x＜0或x＞1时，f(x)是增函数；
⑤f(x)无最大值，也无最小值．
其中所有正确结论的序号是________．
解析：∵f(x)是偶函数，∴①正确；
当x＞0时，f(x)＝lg＝lg≥lg 2，
当且仅当x＝1时取等号，
∴0＜x＜1时，f(x)为减函数；
x＞1时，f(x)为增函数．x＝1时取得最小值lg 2.
又f(x)为偶函数，
∴－1＜x＜0时，f(x)为增函数；x＜－1时，f(x)为减函数．x＝－1时取得最小值lg 2.
∴③④也正确．
答案：①③④
7.如图所示，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等边三角形ADB以AB为轴转动．
(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；
(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．
解：(1)取AB中点E，连接DE，CE.(如图)
因为△ADB为等边三角形，
所以DE⊥AB.
又因为平面ADB⊥平面ABC，
且平面ADB∩平面ABC＝AB，
所以DE⊥平面ABC，所以DE⊥EC.
由已知可得DE＝AB＝，EC＝1.
所以在Rt△DEC中，CD＝＝2.
(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.
证明如下：
①当D在平面ABC内时，因为AC＝BC，AD＝BD，所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，所以CD⊥AB.
②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE.
又AC＝BC，所以AB⊥CE.
因为DE∩CE＝E，所以AB⊥平面DEC.
因为DC?平面DEC，所以AB⊥CD.
综上所述，当△ADB转动时，总有AB⊥CD.
8．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.
(1)证明数列{an－n}是等比数列；
(2)求数列{an}的前n项和Sn；
(3)证明不等式Sn＋1≤4Sn，对任意n∈N*皆成立．
解：(1)证明：因为an＋1＝4an－3n＋1，
所以an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*.
又a1－1＝1，
所以数列{an－n}是首项为1，公比为4的等比数列．
(2)由(1)可知an－n＝4n－1，于是数列{an}的通项公式为an＝4n－1＋n.所以数列{an}的前n项和Sn＝＋.
(3)证明：对任意的n∈N*，Sn＋1－4Sn＝＋－4＝－(3n2＋n－4)≤0.所以不等式Sn＋1≤4Sn，对任意n∈N*皆成立．
