第1课时 数系的扩充和复数的概念
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P50～P51，回答下列问题．
(1)方程x2＋1＝0在实数范围内有解吗？
提示：没有．
(2)为了解决x2＋1＝0这样的方程在实数系中无解的问题，教材中引入了一个什么样的新数？
提示：引入了新数i，使i·i＝－1.
(3)把实数a与引入的新数i相加，把实数b与i相乘，各得到什么结果？
提示：分别得到a＋i，bi.
(4)把实数a与实数b和i相乘的结果相加，得到什么结果？
提示：得到a＋bi.
2．归纳总结，核心必记
(1)复数的概念及代数表示
①定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1.全体复数所成的集合C叫做复数集．
②表示：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的实部与虚部．
(2)复数相等的充要条件
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.
(3)复数的分类
①复数a＋bi(a，b∈R)
②集合表示：
[问题思考]
(1)复数m＋ni的实部、虚部一定是m、n吗？
提示：不一定．只有当m∈R，n∈R时，m，n才是该复数的实部、虚部．
(2)对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，它的虚部是b还是bi?
提示：虚部为b.
(3)复数z＝a＋bi在什么情况下表示实数？
提示：b＝0.
(4)复数集C与实数集R之间有什么关系？
提示：R?C.
(5)我们知道0是实数，也是复数，那么它的实部和虚部分别是什么？
提示：它的实部和虚部都是0.
(6)a＝0是z＝a＋bi为纯虚数的充要条件吗？
提示：不是．因为当a＝0且b≠0时，z＝a＋bi才是纯虚数，所以a＝0是复数z＝a＋bi为纯虚数的必要不充分条件．
(7)z1＝3＋2i，z2＝－i，z3＝－0.5i，则z1，z2，z3的实部和虚部各是什么？能否说z1>z2?
提示：z1的实部为3，虚部为2；z2的实部为，虚部为－；z3的实部为0，虚部为－0.5.因为两个虚数不能比较大小，所以不能说z1>z2.
(8)若(a－2)＋bi>0，则a，b应满足什么条件？
提示：要使(a－2)＋bi>0成立，则(a－2)＋bi应为实数，且a－2>0，即故
[课前反思]
(1)复数的定义是什么？
(2)复数的代数形式是什么？什么是复数的实部和虚部？
(3)复数相等的充要条件是什么？
(4)复数的分类是什么？复数z＝a＋bi(a，b∈R)是实数、虚数、纯虚数的条件是什么？
知识点1
复数的概念
?讲一讲
1．下列命题中，正确命题的个数是( )
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1;
②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i;
③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0;
④一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；
⑤－1没有平方根；
⑥若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数．
A．0 B．1 C．2 D．3
[尝试解答] ①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，①错．
②由于两个虚数不能比较大小，所以②错．
③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0也成立，所以③错．
④当一个复数实部等于零，虚部也等于零时，复数为0，所以④错．
⑤－1的平方根为±i，所以⑤错．
⑥当a＝－1时，(a＋1)i＝0是实数，所以⑥错．故选A.
[答案] A
(1)两个复数不全是实数，就不能比较大小．
(2)一个数的平方非负在实数范围内是真命题，在复数范围内是假命题，所以在判定数的性质和结论时，一定要关注在哪个数集上．
(3)对于复数实部、虚部的确定不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部．
?练一练
1．下列命题正确的是________．
①复数－i＋1的虚部为－1.
②若z1，z2∈C且z1－z2>0，则z1>z2.
③任意两个复数都不能比较大小．
解析：①复数－i＋1＝1－i，虚部为－1，正确；②若z1，z2不全为实数，则z1，z2不能比较大小，错误；③若两个复数都是实数，可以比较大小，错误．
答案：①
知识点2
复数的分类
[思考] 当a，b满足什么条件时，复数z＝a＋bi(a，b∈R)是实数、虚数、纯虚数？
名师指津：当b＝0时，a＋bi是实数；当b≠0时，a＋bi是虚数；当a＝0，b≠0时，a＋bi是纯虚数．
?讲一讲
2．实数x分别取什么值时，复数z＝＋(x2－2x－15)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
[尝试解答] (1)当x满足
即x＝5时，z是实数．
(2)当x满足即x≠－3且x≠5时，z是虚数．
(3)当x满足即x＝－2或x＝3时，z是纯虚数．
判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数，应首先保证复数的实部、虚部均有意义．其次根据分类的标准，列出实部、虚部应满足的关系式再求解．
?练一练
2．实数m为何值时，z＝lg(m2＋2m＋1)＋(m2＋3m＋2)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
解：(1)若z为实数，则
即
解得m＝－2.∴当m＝－2时，z为实数．
(2)若z是虚数，则
即
解得m≠－2且m≠－1.
∴当m≠－2且m≠－1时，z为虚数．
(3)若z为纯虚数，则
即即
解得m＝0.
∴当m＝0时，z为纯虚数.
知识点3
复数相等的充要条件
[思考] 若复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(其中a，b，c，d∈R)，则z1＝z2的充要条件是什么？
名师指津：z1＝z2?a＝c且b＝d.
?讲一讲
3．根据下列条件，分别求实数x，y的值．
(1)x2－y2＋2xyi＝2i；
(2)(2x－1)＋i＝y－(3－y)i.
[尝试解答] (1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，且x，y∈R，
∴解得或
(2)∵(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，且x，y∈R，
∴解得
复数相等的充要条件是复数问题实数化的主要依据，多用来求参数，其步骤是：分别确定两个复数的实部与虚部，利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程组求解．
?练一练
3．已知M＝{2，m2－2m＋(m2＋m－2)i}，N＝{－1,2,4i}，若M∪N＝N，求实数m的值．
解：因为M∪N＝N，所以M?N，
所以m2－2m＋(m2＋m－2)i＝－1或m2－2m＋(m2＋m－2)i＝4i.
由复数相等的充要条件得
或
解得m＝1或m＝2.所以实数m的值是1或2.
———————[课堂归纳·感悟提升]——————
1．本节课的重点是复数的分类及复数相等的充要条件，难点是复数的概念．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)由复数的分类求参数，见讲2；
(2)复数相等的充要条件的应用，见讲3.
3．若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分．这是本节课的易错点．
课下能力提升(七)
[学业水平达标练]
题组1 复数的概念
1．设全集I＝{复数}，R＝{实数}，M＝{纯虚数}，则( )
A．M∪R＝I B．(?IM)∪R＝I
C．(?IM)∩R＝R D．M∩(?IR)＝?
解析：选C 根据复数、纯虚数的定义以及它们之间的关系进行判断．依题意，I，R，M三个集合之间的关系如图所示．
所以应有：M∪R?I，(?IM)∪R＝?IM，M∩(?IR)≠?，故A，B，D三项均错，只有C项正确．
2．以－＋2i的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的复数是( )
A．2－2i B．2＋2i
C．－＋i D.＋i
解析：选A －＋2i的虚部为2，i＋2i2＝－2＋i，其实部为－2，故所求复数为2－2i.
3．若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为( )
A．－2 B.
C．－ D．2
解析：选D 复数2－bi的实部为2，虚部为－b，由题意知2＝－(－b)，即b＝2.
4．有下列四个命题：
(1)方程2x－5＝0在自然数集N中无解；
(2)方程2x2＋9x－5＝0在整数集Z中有一解，在有理数集Q中有两解；
(3)x＝i是方程x2＋1＝0在复数集C中的一个解；
(4)x4＝1在R中有两解，在复数集C中也有两解．
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C 经逐一检验知(1)，(2)，(3)正确，(4)中方程x4＝1在C中有4解，错误，故选C.
题组2 复数的分类
5．在2＋，i,0,8＋5i，(1－)i,0.618这几个数中，纯虚数的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选C i，(1－)i是纯虚数，2＋，0,0.618是实数，8＋5i是虚数．
6．复数z＝＋(a2－1)i是实数，则实数a的值为( )
A．1或－1 B．1
C．－1 D．0或－1
解析：选C 因为复数z＝＋(a2－1)i是实数，且a为实数，则解得a＝－1，故选C.
7．若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为( )
A．1 B．2
C．1或2 D．－1
解析：选B 根据复数的分类知，需满足解得即a＝2.
8．当实数m为何值时，复数z＝＋(m2－2m)i为
(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？
解：(1)当即m＝2时，复数z是实数．
(2)当m2－2m≠0，且m≠0，
即m≠0且m≠2时，复数z是虚数．
(3)当即m＝－3时，复数z是纯虚数．
题组3 复数相等的充要条件
9．若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为( )
A．1 B．1或－4
C．－4 D．0或－4
解析：选C 易知解得a＝－4.
10．已知(3x＋y)＋(2x－y)i＝(7x－5y)＋3i，则实数x＝________，y＝________.
解析：∵x，y是实数，∴根据两个复数相等的充要条件，
可得解得
答案：
[能力提升综合练]
1．若复数z＝(m＋2)＋(m2－9)i(m∈R)是正实数，则实数m的值为( )
A．－2 B．3 C．－3 D．±3
解析：选B 依题意应有解得m＝3.
2．若(7－3x)＋3yi＝2y＋2(x＋2)i(x，y∈R)，则x，y的值分别为( )
A．1,2 B．2,1
C．－1,2 D．－2,1
解析：选A (7－3x)＋3yi＝2y＋2(x＋2)i??即x，y的值分别为 1,2.
3．已知M＝{1,2，m2－3m－1＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，M∩N＝{3}，则实数m的值为( )
A．－1或6 B．－1或4
C．－1 D．4
解析：选C 由M∩N＝{3}，知
m2－3m－1＋(m2－5m－6)i＝3，
∴解得m＝－1.
4．已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围为( )
A. B.
C．[－1,1] D.
解析：选D 由z1＝z2得
消去m得λ＝4sin2θ－3sin θ＝42－.
由于－1≤sin θ≤1，故－≤λ≤7.故选D.
5．若sin 2θ－1＋i(cos θ＋1)是纯虚数(其中i是虚数单位)，且θ∈[0,2π)，则θ＝________.
解：因为sin 2θ－1＋i(cos θ＋1)是纯虚数，所以所以
即
又θ∈[0,2π)，所以θ＝.
答案：
6．若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，则实数x的值(或取值范围)是________．
解析：由题意知
解得x＝－2.
答案：－2
7．已知关于t的一元二次方程t2＋(2＋i)t＋2xy＋(x－y)i＝0(x，y∈R)有实根，求点(x，y)的轨迹．
解：设实根为m，则m2＋(2＋i)m＋2xy＋(x－y)i＝0，即(m2＋2m＋2xy)＋(m＋x－y)i＝0，
所以
由②得m＝y－x，
代入①得(y－x)2＋2(y－x)＋2xy＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝2，
所以所求点的轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2，轨迹是以(1，－1)为圆心，为半径的圆．
8．定义运算＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝，求实数x，y的值．
解：由定义运算＝ad－bc得
＝3x＋2y＋yi，
故有(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋yi.
因为x，y为实数，
所以有
解得x＝－1，y＝2.
课件28张PPT。复数的概念复数的分类复数相等的充要条件谢谢！课下能力提升(七)
[学业水平达标练]
题组1 复数的概念
1．设全集I＝{复数}，R＝{实数}，M＝{纯虚数}，则( )
A．M∪R＝I B．(?IM)∪R＝I
C．(?IM)∩R＝R D．M∩(?IR)＝?
解析：选C 根据复数、纯虚数的定义以及它们之间的关系进行判断．依题意，I，R，M三个集合之间的关系如图所示．
所以应有：M∪R?I，(?IM)∪R＝?IM，M∩(?IR)≠?，故A，B，D三项均错，只有C项正确．
2．以－＋2i的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的复数是( )
A．2－2i B．2＋2i
C．－＋i D.＋i
解析：选A －＋2i的虚部为2，i＋2i2＝－2＋i，其实部为－2，故所求复数为2－2i.
3．若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为( )
A．－2 B.
C．－ D．2
解析：选D 复数2－bi的实部为2，虚部为－b，由题意知2＝－(－b)，即b＝2.
4．有下列四个命题：
(1)方程2x－5＝0在自然数集N中无解；
(2)方程2x2＋9x－5＝0在整数集Z中有一解，在有理数集Q中有两解；
(3)x＝i是方程x2＋1＝0在复数集C中的一个解；
(4)x4＝1在R中有两解，在复数集C中也有两解．
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C 经逐一检验知(1)，(2)，(3)正确，(4)中方程x4＝1在C中有4解，错误，故选C.
题组2 复数的分类
5．在2＋，i,0,8＋5i，(1－)i,0.618这几个数中，纯虚数的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选C i，(1－)i是纯虚数，2＋，0,0.618是实数，8＋5i是虚数．
6．复数z＝＋(a2－1)i是实数，则实数a的值为( )
A．1或－1 B．1
C．－1 D．0或－1
解析：选C 因为复数z＝＋(a2－1)i是实数，且a为实数，则解得a＝－1，故选C.
7．若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为( )
A．1 B．2
C．1或2 D．－1
解析：选B 根据复数的分类知，需满足解得即a＝2.
8．当实数m为何值时，复数z＝＋(m2－2m)i为
(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？
解：(1)当即m＝2时，复数z是实数．
(2)当m2－2m≠0，且m≠0，
即m≠0且m≠2时，复数z是虚数．
(3)当即m＝－3时，复数z是纯虚数．
题组3 复数相等的充要条件
9．若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为( )
A．1 B．1或－4
C．－4 D．0或－4
解析：选C 易知解得a＝－4.
10．已知(3x＋y)＋(2x－y)i＝(7x－5y)＋3i，则实数x＝________，y＝________.
解析：∵x，y是实数，∴根据两个复数相等的充要条件，
可得解得
答案：
[能力提升综合练]
1．若复数z＝(m＋2)＋(m2－9)i(m∈R)是正实数，则实数m的值为( )
A．－2 B．3 C．－3 D．±3
解析：选B 依题意应有解得m＝3.
2．若(7－3x)＋3yi＝2y＋2(x＋2)i(x，y∈R)，则x，y的值分别为( )
A．1,2 B．2,1
C．－1,2 D．－2,1
解析：选A (7－3x)＋3yi＝2y＋2(x＋2)i??即x，y的值分别为 1,2.
3．已知M＝{1,2，m2－3m－1＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，M∩N＝{3}，则实数m的值为( )
A．－1或6 B．－1或4
C．－1 D．4
解析：选C 由M∩N＝{3}，知
m2－3m－1＋(m2－5m－6)i＝3，
∴解得m＝－1.
4．已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围为( )
A. B.
C．[－1,1] D.
解析：选D 由z1＝z2得
消去m得λ＝4sin2θ－3sin θ＝42－.
由于－1≤sin θ≤1，故－≤λ≤7.故选D.
5．若sin 2θ－1＋i(cos θ＋1)是纯虚数(其中i是虚数单位)，且θ∈[0,2π)，则θ＝________.
解：因为sin 2θ－1＋i(cos θ＋1)是纯虚数，所以所以即又θ∈[0,2π)，所以θ＝.
答案：
6．若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，则实数x的值(或取值范围)是________．
解析：由题意知解得x＝－2.
答案：－2
7．已知关于t的一元二次方程t2＋(2＋i)t＋2xy＋(x－y)i＝0(x，y∈R)有实根，求点(x，y)的轨迹．
解：设实根为m，则m2＋(2＋i)m＋2xy＋(x－y)i＝0，即(m2＋2m＋2xy)＋(m＋x－y)i＝0，
所以
由②得m＝y－x，代入①得(y－x)2＋2(y－x)＋2xy＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝2，
所以所求点的轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2，轨迹是以(1，－1)为圆心，为半径的圆．
8．定义运算＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝，求实数x，y的值．
解：由定义运算＝ad－bc得＝3x＋2y＋yi，
故有(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋yi.
因为x，y为实数，所以有
解得x＝－1，y＝2.
