第2课时 复数的几何意义
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P52～P53，回答下列问题．
(1)根据复数相等的定义，复数z＝a＋bi(a，b∈R)与有序实数对(a，b)之间有什么对应关系？
提示：一一对应关系．
(2)有序实数对(a，b)与平面直角坐标系内的点有怎样的对应关系？
提示：一一对应关系．
(3)通过以上2个问题，你认为复数集与平面直角坐标系中的点集之间有什么对应关系？
提示：一一对应关系．
2．归纳总结，核心必记
(1)复平面的定义
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．
x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
(2)复数的几何意义
①复数z＝a＋bi(a，b∈R)一一对应复平面内的点Z(a，b)；
②复数z＝a＋bi(a，b∈R)一一对应平面向量.
(3)复数的模
复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为，则的模叫做复数z的模，记作|z|或|a＋bi|，且|z|＝.
[问题思考]
(1)复平面的虚轴的单位长度是1，还是i?
提示：复平面的虚轴的单位长度是1，而不是i.
(2)原点是实轴与虚轴的公共点吗？
提示：是．
(3)若复数(a＋1)＋(a－1)i(a∈R)在复平面内对应的点P在第四象限，则a满足什么条件？
提示：a满足即－1
(4)若复数z的实部为－1，虚部为2，则|z|为何值？
提示：|a|＝＝.
[课前反思]
(1)复平面的定义是什么？什么是实轴、虚轴？
(2)复数的几何意义是什么？
(3)复数模的定义是什么？
知识点1
复数与复平面内点的对应关系
[思考] 如何判断复数z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内所对应的点的位置？
名师指津：复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点(a，b)对应，根据a，b的符号判断点(a，b)所在象限或坐标轴即可．
?讲一讲
1．实数x取什么值时，复平面内表示复数z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i的点Z：
(1)位于第三象限；(2)位于第四象限；(3)位于直线x－y－3＝0上．
[尝试解答] 因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数．
(1)当实数x满足即－3(2)当实数x满足即2(3)当实数x满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，即3x＋6＝0，x＝－2时，点Z位于直线x－y－3＝0上．
(1)复平面内复数与点的对应关系的实质是：复数的实部就是该点的横坐标，虚部就是该点的纵坐标．
(2)已知复数在复平面内对应的点满足的条件求参数取值范围时，可根据复数与点的对应关系，建立复数的实部与虚部满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．
?练一练
1．当实数m分别为何值时，复数(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i 在复平面内对应的点：
(1)位于第四象限？
(2)位于x轴的负半轴上？
(3)位于y轴的正半轴上？
解：(1)当复数(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复平面内对应的点位于第四象限时，
有解得
∴－7故当－7(2)当复数(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复平面内对应的点位于x轴的负半轴上时，有
解得∴m＝4.
故当m＝4时，该复数在复平面内对应的点位于x轴的负半轴上．
(3)当复数(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复平面内对应的点位于y轴的正半轴上时，有解得
∴m＝5.
故当m＝5时，该复数在复平面内对应的点位于y轴的正半轴上.
知识点2
复数与平面向量的对应关系
[思考] 与复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的平面向量是什么？
名师指津：与复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的平面向量＝(a，b)．
?讲一讲
2．(1)已知平面直角坐标系中O是原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是 ( )
A．－5＋5i B．5－5i
C．5＋5i D．－5－5i
(2)在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.
①求向量，，对应的复数；
②若ABCD为平行四边形，求D对应的复数．
[尝试解答] (1)向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，根据复数的几何意义，可得向量＝(2，－3)，＝(－3,2)．
由向量减法的坐标运算可得向量＝－＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量对应的复数是5－5i.
(2)①设O为坐标原点，由复数的几何意义知：
＝(1,0)，＝(2,1)，＝(－1,2)，
所以＝－＝(1,1)，
＝－＝(－2,2)，
＝－＝(－3,1)，
所以，，对应的复数分别为1＋i，－2＋2i，－3＋i.
②因为ABCD为平行四边形，
所以＝＝(－3,1)，
＝＋＝(1,0)＋(－3,1)＝(－2,1)．所以D对应的复数为－2＋i.
[答案] (1)B
(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．
(2)解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．
?练一练
2．已知向量对应的复数是4＋3i，点A关于实轴的对称点为A1，将向量平移，使其起点移动到A点，这时终点为A2.
(1)求向量对应的复数；
(2)求点A2对应的复数．
解：(1)因为向量对应的复数是4＋3i，
所以点A对应的复数也是4＋3i，因此点A坐标为(4,3)，所以点A关于实轴的对称点A1为(4，－3)，
故向量对应的复数是4－3i.
(2)依题意知＝，而＝(4，－3)，
设A2(x，y)，则有(4，－3)＝(x－4，y－3)，
所以x＝8，y＝0，即A2(8,0)．
所以点A2对应的复数是8.
知识点3
复数模的计算及应用
[思考] 复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模是什么？其模的几何意义是什么？
名师指津：复数z＝a＋bi的模|z|＝，其几何意义是点(a，b)到坐标原点的距离．
?讲一讲
3．已知复数z1＝＋i，z2＝－＋i.
(1)求|z1|及|z2|并比较大小；
(2)设z∈C，满足条件|z|＝|z1|的复数z对应的点Z的轨迹是什么图形？
[尝试解答] (1)|z1|＝|＋i|＝＝2，|z2|＝ ＝1，所以|z1|>|z2|.
(2)法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则点Z的坐标为(x，y)．
由|z|＝|z1|＝2得 ＝2，即x2＋y2＝4.
所以点Z的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆．
法二：由|z|＝|z1|＝2知| |＝2(O为坐标原点)，
所以Z到原点的距离为2.
所以Z的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆．
(1)复数的模是非负实数，因此复数的模可以比较大小．
(2)根据复数模的计算公式|a＋bi|＝可把复数模的问题转化为实数问题解决．
(3)根据复数模的定义|z|＝| |，可把复数模的问题转化为向量模(即两点的距离)的问题解决．
?练一练
3．已知复数z＝a＋i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z等于( )
A．－1＋i B．1＋i
C．－1＋i或1＋i D．－2＋i
解析：选A 由题意得解得a＝－1.
故z＝－1＋i.
———————[课堂归纳·感悟提升]——————
1．本节课的重点是复数的几何意义及复数模的计算，难点是复数几何意义的应用．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)复数与复平面内点的对应关系，见讲1；
(2)复数与平面向量的对应关系，见讲2；
(3)复数模的计算及应用，见讲3.
课下能力提升(八)
[学业水平达标练]
题组1 复数与复平面内点的对应关系
1．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( )
A．4＋8i B．8＋2i
C．2＋4i D．4＋i
解析：选C 复数6＋5i对应A点坐标为(6,5)，－2＋3i对应B点坐标为(－2,3)．由中点坐标公式知C点坐标为(2,4)，所以点C对应的复数为2＋4i，故选C.
2．当A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D 因为0，m－1<0，所以点(3m－2，m－1)在第四象限，故选D.
3．复数z＝x－2＋(3－x)i在复平面内的对应点在第四象限，则实数x的取值范围是________．
解析：∵复数z在复平面内对应的点位于第四象限，
∴解得x>3.
答案：(3，＋∞)
4．设z＝log2(1＋m)＋ilog(3－m)(m∈R)．
(1)若z在复平面内对应的点在第三象限，求m的取值范围；
(2)若z在复平面内对应的点在直线x－y－1＝0上，求m的值．
解：(1)由已知，得即
解得－1(2)由已知得，点(log2(1＋m)，log(3－m))在直线x－y－1＝0上，
即log2(1＋m)－log(3－m)－1＝0，
∴log2[(1＋m)(3－m)]＝1，
∴(1＋m)(3－m)＝2，∴m2－2m－1＝0，
∴m＝1±，且当m＝1±时都能使1＋m>0，且3－m>0，∴m＝1±.
题组2 复数与平面向量的对应关系
5．向量对应的复数为z1＝－3＋2i，对应的复数z2＝1－i，则| ＋|为( )
A. B. C．2 D.
解析：选A 因为向量对应的复数为z1＝－3＋2i，对应的复数为z2＝1－i，所以＝(－3,2)，＝(1，－1)，则＋＝(－2,1)，所以| ＋|＝.
6．向量对应的复数为1＋4i，向量对应的复数为－3＋6i，则向量＋对应的复数为( )
A．－3＋2i B．－2＋10i
C．4－2i D．－12i
解析：选B 由题意＝(1,4)，＝(－3,6)，
所以＋＝(1,4)＋(－3,6)＝(－2,10)，
所以向量＋对应的复数为－2＋10i，故选B.
7．在复平面内，O是原点，已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别是A，B，C，若＝x ＋y (x，y∈R)，求x＋y的值．
解：由已知，得＝(－1,2)，＝(1，－1)，＝(3，－2)，
所以x ＋y ＝x(－1,2)＋y(1，－1)＝(－x＋y,2x－y)．
由＝x ＋y ，
可得解得
所以x＋y＝5.
题组3 复数模的计算及应用
8．已知复数z＝－3i，则复数的模|z|是( )
A．5 B．8
C．6 D.
解析：选D |z|＝＝.
9．已知0解析：∵|z|＝，而0∴1答案：(1，)
10．已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.
解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则|z|＝，
代入方程得，a＋bi＋＝2＋8i，
∴
解得∴z＝－15＋8i.
[能力提升综合练]
1．已知平行四边形OABC，O、A、C三点对应的复数分别为0、1＋2i、3－2i，则向量的模| |等于( )
A. B．2
C．4 D.
解析：选D 由于四边形OABC是平行四边形，故＝，因此| |＝| |＝|3－2i|＝，故选D.
2．复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|<|z2|，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,1) B．(1，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：选A ∵|z1|＝，|z2|＝，
∴<，∴－13．已知复数z对应的点在第二象限，它的模是3，实部是－，则z为( )
A．－＋2i B．－－2i
C.＋2i D.－2i
解析：选A 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则x＝－，
由|z|＝3，得(－)2＋y2＝9，即y2＝4，∴y＝±2.
∵复数z对应的点在第二象限，∴y＝2.
∴z＝－＋2i.
4．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹为( )
A．一个圆 B．线段
C．两点 D．两个圆
解析：选A ∵|z|2－2|z|－3＝0，
∴(|z|－3)(|z|＋1)＝0，
∴|z|＝3，表示一个圆，故选A.
5．复数z＝1＋cos α＋isin α(π<α<2π)的模的取值范围为________．
解析：|z|＝＝，
∵π<α<2π，∴－1∴0<2＋2cos α<4.∴|z|∈(0,2)．
答案：(0,2)
6．已知z－|z|＝－1＋i，则复数z＝________.
解析：法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
由题意，得x＋yi－＝－1＋i，
即(x－)＋yi＝－1＋i.
根据复数相等的充要条件，得
解得∴z＝i.
法二：由已知可得z＝(|z|－1)＋i，
等式两边取模，得|z|＝.
两边平方，得|z|2＝|z|2－2|z|＋1＋1?|z|＝1.
把|z|＝1代入原方程，可得z＝i.
答案：i
7．在复平面内画出复数z1＝＋i，z2＝－1，z3＝－i对应的向量1，2，3，并求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面上的位置关系．
解：根据复数与复平面内的点的一一对应，可知点Z1，Z2，Z3的坐标分别为，(－1,0)，，－，则向量1，2，3如图所示．
|z1|＝＝1，
|z2|＝|－1|＝1，|z3|＝＝1，
如图，在复平面xOy内，点Z1，Z3关于实轴对称，且Z1，Z2，Z3三点在以原点为圆心，1为半径的圆上．
8．已知复平面内的点A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)．设对应的复数是z.
(1)求复数z；
(2)若复数z对应的点P在直线y＝x上，求θ的值．
解：(1)因为点A，B对应的复数分别是
z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，
所以点A，B的坐标分别是A(sin2θ，1)，B(－cos2θ，cos 2θ)，
所以＝(－cos2θ，cos 2θ)－(sin2θ，1)＝(－cos2θ－sin2θ，cos 2θ－1)＝(－1，－2sin2θ)，
所以对应的复数z＝－1＋(－2sin2θ)i.
(2)由(1)知点P的坐标是(－1，－2sin2θ)，代入y＝x，
得－2sin2θ＝－，即sin2θ＝，所以sin θ＝±.
又因为θ∈(0，π)，所以sin θ＝，所以θ＝或.
课件26张PPT。复数与复平面内点的对应关系 复数与平面向量的对应关系 复数模的计算及应用 谢谢！课下能力提升(八)
[学业水平达标练]
题组1 复数与复平面内点的对应关系
1．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( )
A．4＋8i B．8＋2i
C．2＋4i D．4＋i
解析：选C 复数6＋5i对应A点坐标为(6,5)，－2＋3i对应B点坐标为(－2,3)．由中点坐标公式知C点坐标为(2,4)，所以点C对应的复数为2＋4i，故选C.
2．当A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D 因为0，m－1<0，所以点(3m－2，m－1)在第四象限，故选D.
3．复数z＝x－2＋(3－x)i在复平面内的对应点在第四象限，则实数x的取值范围是________．
解析：∵复数z在复平面内对应的点位于第四象限，
∴解得x>3.
答案：(3，＋∞)
4．设z＝log2(1＋m)＋ilog(3－m)(m∈R)．
(1)若z在复平面内对应的点在第三象限，求m的取值范围；
(2)若z在复平面内对应的点在直线x－y－1＝0上，求m的值．
解：(1)由已知，得即
解得－1(2)由已知得，点(log2(1＋m)，log(3－m))在直线x－y－1＝0上，
即log2(1＋m)－log(3－m)－1＝0，
∴log2[(1＋m)(3－m)]＝1，
∴(1＋m)(3－m)＝2，∴m2－2m－1＝0，
∴m＝1±，且当m＝1±时都能使1＋m>0，且3－m>0，∴m＝1±.
题组2 复数与平面向量的对应关系
5．向量对应的复数为z1＝－3＋2i，对应的复数z2＝1－i，则| ＋|为( )
A. B. C．2 D.
解析：选A 因为向量对应的复数为z1＝－3＋2i，对应的复数为z2＝1－i，所以＝(－3,2)，＝(1，－1)，则＋＝(－2,1)，所以| ＋|＝.
6．向量对应的复数为1＋4i，向量对应的复数为－3＋6i，则向量＋对应的复数为( )
A．－3＋2i B．－2＋10i
C．4－2i D．－12i
解析：选B 由题意＝(1,4)，＝(－3,6)，
所以＋＝(1,4)＋(－3,6)＝(－2,10)，
所以向量＋对应的复数为－2＋10i，故选B.
7．在复平面内，O是原点，已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别是A，B，C，若＝x ＋y (x，y∈R)，求x＋y的值．
解：由已知，得＝(－1,2)，＝(1，－1)，＝(3，－2)，
所以x ＋y ＝x(－1,2)＋y(1，－1)＝(－x＋y,2x－y)．
由＝x ＋y ，
可得解得
所以x＋y＝5.
题组3 复数模的计算及应用
8．已知复数z＝－3i，则复数的模|z|是( )
A．5 B．8
C．6 D.
解析：选D |z|＝＝.
9．已知0解析：∵|z|＝，而0∴1答案：(1，)
10．已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.
解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则|z|＝，
代入方程得，a＋bi＋＝2＋8i，
∴
解得∴z＝－15＋8i.
[能力提升综合练]
1．已知平行四边形OABC，O、A、C三点对应的复数分别为0、1＋2i、3－2i，则向量的模| |等于( )
A. B．2
C．4 D.
解析：选D 由于四边形OABC是平行四边形，故＝，因此| |＝| |＝|3－2i|＝，故选D.
2．复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|<|z2|，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,1) B．(1，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：选A ∵|z1|＝，|z2|＝，
∴<，∴－13．已知复数z对应的点在第二象限，它的模是3，实部是－，则z为( )
A．－＋2i B．－－2i
C.＋2i D.－2i
解析：选A 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则x＝－，
由|z|＝3，得(－)2＋y2＝9，即y2＝4，∴y＝±2.
∵复数z对应的点在第二象限，∴y＝2.
∴z＝－＋2i.
4．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹为( )
A．一个圆 B．线段
C．两点 D．两个圆
解析：选A ∵|z|2－2|z|－3＝0，
∴(|z|－3)(|z|＋1)＝0，
∴|z|＝3，表示一个圆，故选A.
5．复数z＝1＋cos α＋isin α(π<α<2π)的模的取值范围为________．
解析：|z|＝＝，
∵π<α<2π，∴－1∴0<2＋2cos α<4.∴|z|∈(0,2)．
答案：(0,2)
6．已知z－|z|＝－1＋i，则复数z＝________.
解析：法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
由题意，得x＋yi－＝－1＋i，
即(x－)＋yi＝－1＋i.
根据复数相等的充要条件，得
解得∴z＝i.
法二：由已知可得z＝(|z|－1)＋i，
等式两边取模，得|z|＝.
两边平方，得|z|2＝|z|2－2|z|＋1＋1?|z|＝1.
把|z|＝1代入原方程，可得z＝i.
答案：i
7．在复平面内画出复数z1＝＋i，z2＝－1，z3＝－i对应的向量1，2，3，并求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面上的位置关系．
解：根据复数与复平面内的点的一一对应，可知点Z1，Z2，Z3的坐标分别为，(－1,0)，，－，则向量1，2，3如图所示．
|z1|＝＝1，
|z2|＝|－1|＝1，|z3|＝＝1，
如图，在复平面xOy内，点Z1，Z3关于实轴对称，且Z1，Z2，Z3三点在以原点为圆心，1为半径的圆上．
8．已知复平面内的点A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)．设对应的复数是z.
(1)求复数z；
(2)若复数z对应的点P在直线y＝x上，求θ的值．
解：(1)因为点A，B对应的复数分别是
z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，
所以点A，B的坐标分别是A(sin2θ，1)，B(－cos2θ，cos 2θ)，
所以＝(－cos2θ，cos 2θ)－(sin2θ，1)＝(－cos2θ－sin2θ，cos 2θ－1)＝(－1，－2sin2θ)，
所以对应的复数z＝－1＋(－2sin2θ)i.
(2)由(1)知点P的坐标是(－1，－2sin2θ)，代入y＝x，
得－2sin2θ＝－，即sin2θ＝，所以sin θ＝±.
又因为θ∈(0，π)，所以sin θ＝，所以θ＝或.
