第2课时 复数代数形式的乘除运算
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P58～P60，回答下列问题．
(1)复数的加减类似于多项式加减，试想：复数相乘是否类似于多项式相乘？
提示：是．
(2)观察下列三组复数：
①z1＝2＋i，z2＝2－i；
②z1＝3＋4i，z2＝3－4i；
③z1＝4i，z2＝－4i.
每组复数中的z1与z2有什么关系？
提示：实部相等，虚部互为相反数．
2．归纳总结，核心必记
(1)复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i(a，b，c，d∈R)．
(2)复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律
z1·z2＝z2·z1
结合律
(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
(3)共轭复数的概念
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．通常记复数z的共轭复数为，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．
(4)复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，
则＝＝＋i(c＋di≠0)．
[问题思考]
(1)复数的乘法运算与多项式的乘法运算有什么关系？
提示：复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部和虚部分别合并即可．
(2)复数z1＝a＋bi与z2＝a－bi(a，b∈R)有什么关系？z1·z2为何值？
提示：z1与z2的实部相同，虚部互为相反数，z1·z2＝a2＋b2.
(3)两个共轭复数的和一定是实数吗？两个共轭复数的差一定是纯虚数吗？
提示：若z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，则z＋＝2a∈R.因此，和一定是实数；而z－＝2bi.当b＝0时，两共轭复数的差是实数，而当b≠0时，两共轭复数的差是纯虚数．
(4)若z1与z2互为共轭复数，则|z1|与|z2|之间有什么关系？
提示：|z1|＝|z2|.
(5)复数的除法，其实质是分母实数化，即把分子和分母同乘以一个什么样的数？
提示：进行复数的除法运算时，分子、分母同乘以分母的共轭复数．
[课前反思]
(1)复数的乘法和除法运算法则各是什么？
(2)复数乘法的运算律有哪些？
(3)共轭复数的定义是什么？
知识点1
复数的乘除运算
?讲一讲
1．计算：
(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)；
(2)(1＋i)；
(3)(－2＋3i)÷(1＋2i)；
(4)－.
[尝试解答] (1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)
＝1－i2＋(－1＋i)
＝2－1＋i＝1＋i.
(2)(1＋i)
＝(1＋i)
＝(1＋i)
＝＋i
＝－＋i.
(3)(－2＋3i)÷(1＋2i)＝＝
＝＝＋i.
(4)法一：－
＝
＝＝＝2i.
法二：－＝－
＝i＋i＝2i.
复数乘除运算的常用技巧
(1)按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算．
(2)根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似．
?练一练
1．计算：
(1)(－1＋3i)(3－4i)；
(2)＋(1－i)2.
解：(1)(－1＋3i)(3－4i)＝－3＋4i＋9i－12i2＝9＋13i.
(2)＋(1－i)2
＝－2i＝－2i
＝－2i
＝－2i
＝－i－2i＝－i.
知识点2
共轭复数
[思考] 若z＝a＋bi(a，b∈R)，则，z·各为何值？
名师指津：＝a－bi，z·＝a2＋b2.
?讲一讲
2．(1)若z＝，则复数＝( )
A．－2－i B．－2＋i
C．2－i D．2＋i
(2)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是( )
A．A B．B C．C D．D
(3)复数z＝1＋i，为z的共轭复数，则z－z－1＝( )
A．－2i B．－i C．i D．2i
[尝试解答] (1)z＝＝＝2－i，则复数＝2＋i.
(2)因为x＋yi的共轭复数为x－yi，故选B.
(3)依题意得z－z－1＝(1＋i)(1－i)－(1＋i)－1＝－i.
[答案] (1)D (2)B (3)B
共轭复数的求解与应用
(1)若复数z的代数形式已知，则根据共轭复数的定义可以写出，再进行复数的四则运算．必要时，需通过复数的运算先确定出复数z的代数形式，再根据共轭复数的定义求.
(2)共轭复数应用的另一种常见题型是：已知关于z和的方程，而复数z的代数形式未知，求z，解此类题的常规思路为设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解．
?练一练
2．已知复数z的共轭复数是，且z－＝－4i，z·＝13，试求.
解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则由条件可得即
解得或因此z＝3－2i或z＝－3－2i.
于是＝＝＝＝－i，或＝＝＝＝＋i.
知识点3
复数范围内的方程根问题
?讲一讲
3．已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数)．
(1)求b，c的值；
(2)试判断1－i是否是方程的根．
[思路点拨] (1)将1＋i代入方程，然后利用复数相等的充要条件求b，c的值；
(2)将1－i代入方程x2＋bx＋c＝0，若方程成立，则1－i是方程的根，否则就不是．
[尝试解答] (1)因为1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即(b＋c)＋(2＋b)i＝0.
∴得∴b＝－2，c＝2.
(2)将方程化为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边x2－2x＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，
∴1－i也是方程的一个根．
解决复数方程问题的方法
与复数方程有关的问题，一般是利用复数相等的充要条件，把复数问题实数化进行求解．根与系数的关系仍适用，但判别式“Δ”不再适用．
?练一练
3．已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根，求这个实根及实数k的值．
解：设x＝x0是方程的实根，代入方程并整理得
(x＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0，
由复数相等的充要条件得
解得
或
∴方程的实根为x＝或x＝－，
相应的k值为k＝－2或k＝2.
———————[课堂归纳·感悟提升]——————
1．本节课的重点是复数的乘除运算及共轭复数问题，难点是复数的除法运算和解复数方程问题．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)复数的乘除运算，见讲1；
(2)共轭复数的有关问题，见讲2；
(3)复数范围内的方程根问题，见讲3.
课下能力提升(十)
[学业水平达标练]
题组1 复数的乘除运算
1．下列各式的运算结果为纯虚数的是( )
A．i(1＋i)2 B．i2(1－i)
C．(1＋i)2 D．i(1＋i)
解析：选C A项，i(1＋i)2＝i·2i＝－2，不是纯虚数；
B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数；
C项，(1＋i)2＝2i,2i是纯虚数；
D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．故选C.
2.＝( )
A．1＋2i B．1－2i
C．2＋i D．2－i
解析：选D ＝＝＝2－i.
3．已知i是虚数单位，若复数z满足zi＝1＋i，则z2＝( )
A．－2i B．2i
C．－2 D．2
解析：选A ∵zi＝1＋i，∴z＝＝＋1＝1－i.
∴z2＝(1－i)2＝1＋i2－2i＝－2i.
4．计算：(1)(1－i)(3＋2i)＋(2＋2i)2；(2)＋；
(3).
解：(1)原式＝(3＋2i－3i＋2)＋(4＋8i－4)
＝(5－i)＋8i＝5＋7i.
(2)原式＝＋
＝＋
＝(1－)＋(＋1)i－i
＝(1－)＋i.
(3)原式＝＝＝＝2.
题组2 共轭复数
5．复数z＝的共轭复数是( )
A．2＋i B．2－i
C．－1＋i D．－1－i
解析：选D z＝＝＝－1＋i，＝－1－i.
6．已知a∈R，i是虚数单位．若z＝a＋ i，z·＝4，则a＝( )
A．1或－1 B.或－
C．－ D.
解析：选A 法一：由题意可知＝a－ i，
∴z·＝(a＋ i)(a－ i)＝a2＋3＝4，故a＝1或－1.
法二：z·＝|z|2＝a2＋3＝4，故a＝1或－1.
7．已知z∈C，为z的共轭复数，若z·－3i＝1＋3i，求z.
解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，(a，b∈R)，由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，
即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，
则有解得或
所以z＝－1或z＝－1＋3i.
题组3 复数范围内的方程根问题
8．设x，y是实数，且＋＝，则x＋y＝________.
解析：＋＝＋＝＋i，
而＝＝＋i，所以＋＝且＋＝，解得x＝－1，y＝5，所以x＋y＝4.
答案：4
9．已知复数z＝.
(1)求复数z；
(2)若z2＋az＋b＝1－i，求实数a，b的值．
解：(1)z＝＝＝＝1＋i.
(2)把z＝1＋i代入得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，
即a＋b＋(2＋a)i＝1－i，
所以解得
[能力提升综合练]
1．复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C z＝i(－2＋i)＝－2i＋i2＝－1－2i，故复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于第三象限．
2．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝( )
A. B.
C．1 D．2
解析：选A 法一：z＝＝＝＝＝－＋i，
∴＝－－i.
∴z·＝＝＋＝.
法二：∵z＝，∴|z|＝＝＝.
∴z·＝|z|2＝.
3．已知复数z＝1－i，则＝( )
A．2i B．－2i
C．2 D．－2
解析：选B 法一：因为z＝1－i，
所以＝＝＝－2i.
法二：由已知得z－1＝－i，而＝＝＝＝－2i.
4．设i是虚数单位， 是复数z的共轭复数．若z·i＋2＝2z，则z＝( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
解析：选A 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，又z·i＋2＝2z，
∴(a2＋b2)i＋2＝2a＋2bi，
∴a＝1，b＝1，故z＝1＋i.
5．若＝a＋bi(i为虚数单位，a，b∈R)，则a＋b＝________.
解析：因为＝＝1＋i，所以1＋i＝a＋bi，所以a＝1，b＝1，所以a＋b＝2.
答案：2
6．已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为________．
解析：由＝＝－i是实数，得－＝0，所以a＝－2.
答案：－2
7．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.
解：∵(z1－2)(1＋i)＝1－i，
∴z1－2＝＝＝＝－i，
∴z1＝2－i.
设z2＝a＋2i(a∈R)，则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.
又∵z1·z2∈R，
∴a＝4.
∴z2＝4＋2i.
8．已知z，ω为复数，(1＋3i)z为实数，ω＝，且|ω|＝5，求ω.
解：设ω＝x＋yi(x，y∈R)，
由ω＝，得z＝ω(2＋i)＝(x＋yi)(2＋i)．
依题意，得(1＋3i)z＝(1＋3i)(x＋yi)(2＋i)＝(－x－7y)＋(7x－y)i，
∴7x－y＝0.①
又|ω|＝5，
∴x2＋y2＝50.②
由①②得或
∴ω＝1＋7i或ω＝－1－7i.
课件27张PPT。复数的乘除运算 共轭复数 复数范围内的方程根问题 谢谢！课下能力提升(十)
[学业水平达标练]
题组1 复数的乘除运算
1．下列各式的运算结果为纯虚数的是( )
A．i(1＋i)2 B．i2(1－i)
C．(1＋i)2 D．i(1＋i)
解析：选C A项，i(1＋i)2＝i·2i＝－2，不是纯虚数；
B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数；
C项，(1＋i)2＝2i,2i是纯虚数；
D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．故选C.
2.＝( )
A．1＋2i B．1－2i
C．2＋i D．2－i
解析：选D ＝＝＝2－i.
3．已知i是虚数单位，若复数z满足zi＝1＋i，则z2＝( )
A．－2i B．2i
C．－2 D．2
解析：选A ∵zi＝1＋i，∴z＝＝＋1＝1－i.
∴z2＝(1－i)2＝1＋i2－2i＝－2i.
4．计算：(1)(1－i)(3＋2i)＋(2＋2i)2；(2)＋；
(3).
解：(1)原式＝(3＋2i－3i＋2)＋(4＋8i－4)
＝(5－i)＋8i＝5＋7i.
(2)原式＝＋
＝＋
＝(1－)＋(＋1)i－i
＝(1－)＋i.
(3)原式＝＝＝＝2.
题组2 共轭复数
5．复数z＝的共轭复数是( )
A．2＋i B．2－i
C．－1＋i D．－1－i
解析：选D z＝＝＝－1＋i，＝－1－i.
6．已知a∈R，i是虚数单位．若z＝a＋ i，z·＝4，则a＝( )
A．1或－1 B.或－
C．－ D.
解析：选A 法一：由题意可知＝a－ i，
∴z·＝(a＋ i)(a－ i)＝a2＋3＝4，故a＝1或－1.
法二：z·＝|z|2＝a2＋3＝4，故a＝1或－1.
7．已知z∈C，为z的共轭复数，若z·－3i＝1＋3i，求z.
解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，(a，b∈R)，由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，
即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，
则有解得或
所以z＝－1或z＝－1＋3i.
题组3 复数范围内的方程根问题
8．设x，y是实数，且＋＝，则x＋y＝________.
解析：＋＝＋＝＋i，
而＝＝＋i，所以＋＝且＋＝，解得x＝－1，y＝5，所以x＋y＝4.
答案：4
9．已知复数z＝.
(1)求复数z；
(2)若z2＋az＋b＝1－i，求实数a，b的值．
解：(1)z＝＝＝＝1＋i.
(2)把z＝1＋i代入得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，
即a＋b＋(2＋a)i＝1－i，
所以解得
[能力提升综合练]
1．复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C z＝i(－2＋i)＝－2i＋i2＝－1－2i，故复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于第三象限．
2．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝( )
A. B.
C．1 D．2
解析：选A 法一：z＝＝＝＝＝－＋i，
∴＝－－i.
∴z·＝＝＋＝.
法二：∵z＝，∴|z|＝＝＝.
∴z·＝|z|2＝.
3．已知复数z＝1－i，则＝( )
A．2i B．－2i
C．2 D．－2
解析：选B 法一：因为z＝1－i，
所以＝＝＝－2i.
法二：由已知得z－1＝－i，而＝＝＝＝－2i.
4．设i是虚数单位， 是复数z的共轭复数．若z·i＋2＝2z，则z＝( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
解析：选A 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，又z·i＋2＝2z，
∴(a2＋b2)i＋2＝2a＋2bi，∴a＝1，b＝1，故z＝1＋i.
5．若＝a＋bi(i为虚数单位，a，b∈R)，则a＋b＝________.
解析：因为＝＝1＋i，所以1＋i＝a＋bi，所以a＝1，b＝1，所以a＋b＝2.
答案：2
6．已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为________．
解析：由＝＝－i是实数，得－＝0，所以a＝－2.
答案：－2
7．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.
解：∵(z1－2)(1＋i)＝1－i，∴z1－2＝＝＝＝－i，∴z1＝2－i.
设z2＝a＋2i(a∈R)，则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.
又∵z1·z2∈R，∴a＝4.∴z2＝4＋2i.
8．已知z，ω为复数，(1＋3i)z为实数，ω＝，且|ω|＝5，求ω.
解：设ω＝x＋yi(x，y∈R)，
由ω＝，得z＝ω(2＋i)＝(x＋yi)(2＋i)．
依题意，得(1＋3i)z＝(1＋3i)(x＋yi)(2＋i)＝(－x－7y)＋(7x－y)i，
∴7x－y＝0.①又|ω|＝5，∴x2＋y2＝50.②
由①②得或
∴ω＝1＋7i或ω＝－1－7i.
