2019年高考三轮冲刺 应用数学处理物理问题的能力
教材版本 全国通用 课时说明 120分钟
知识点 物体的静态平衡和动态平衡，电场能的性质，带电粒子在复合场中的运动
复习目标 应用数学处理物理问题
复习重点 应用图像处理物理问题 应用数学模型处理带电粒子在复合场中运动
复习难点 1.应用图像处理物理问题 2.应用数学模型处理带电粒子在复合场中运动
一、高考回顾
1.（2018，全国卷1）如图26-g1-1，轻弹簧的下端固定在水平桌面上，上端放有物块P，系统处于静止状态，现用一竖直向上的力F作用在P上，使其向上做匀加速直线运动，以x表示P离开静止位置的位移，在弹簧恢复原长前，下列表示F和x之间关系的图像可能正确的是（ ）
图26-g1-1
A.B.C.D.
2．(多选)(2016·全国卷Ⅰ)如图26-g2-1所示，一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b.外力F向右上方拉b，整个系统处于静止状态．若F方向不变，大小在一定范围内变化，物块b仍始终保持静止，则( )
图26-g2-1
A．绳OO′的张力也在一定范围内变化
B．物块b所受到的支持力也在一定范围内变化
C．连接a和b的绳的张力也在一定范围内变化
D．物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化
3．(多选)(2017·全国卷3)一质量为2 kg的物块在合外力F的作用下从静止开始沿直线运动．F随时间t变化的图线如图26-g3-1所示，则( )
图26-g3-1
A．t＝1 s时物块的速率为1 m/s
B．t＝2 s时物块的动量大小为4 kg·m/s
C．t＝3 s时物块的动量大小为5 kg·m/s
D．t＝4 s时物块的速度为零
4.（2018，全国卷1）如图26-g4-1，在y>0的区域存在方向沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E，在y<0的区域存在方向垂直于xOy平面向外的匀强磁场。一个氕核和一个氘核先后从y轴上y=h点以相同的动能射出，速度方向沿x轴正方向。已知进入磁场时，速度方向与x轴正方向的夹角为60°，并从坐标原点O处第一次射出磁场。的质量为m，电荷量为q不计重力。求
图26-g4-1
第一次进入磁场的位置到原点O的距离
（2）磁场的磁感应强度大小
（3）第一次离开磁场的位置到原点O的距离
5.（2018河南师大附中测试）平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限存在垂直于平面向里的匀强磁场，第Ⅲ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，如图26-g5-1所示。一带负电的粒子从电场中的Q点以速度v0沿x轴正方向开始运动，Q点到y轴的距离为到x轴距离的2倍。粒子从坐标原点O离开电场进入磁场，最终从x轴上的P点射出磁场，P点到y轴距离与Q点到y轴距离相等。不计粒子重力，问：
（1）粒子到达O点时速度的大小和方向；
（2）电场强度和磁感应强度的大小之比。
图26-g5-1
二、知识清单
物体的静态平衡
(1)合成法：一般三力平衡时(或多力平衡转化成三力平衡后)用合成法：由平行四边形定则合成任意两力(一般为非重力的那两个力)，该合力与第三个力平衡，在由力的示意图所围成的三角形中解决问题．将力的问题转化成三角形问题，再由三角函数、勾股定理、图解法、相似三角形法等求解．
(2)正交分解法：一般受三个以上共点力平衡时用正交分解法：把物体受到的各力分解到相互垂直的两个方向上，然后分别列出两个方向上的平衡方程．
动态平衡问题
（1）图解法
物体受三个力平衡：一个力恒定、另一个力的方向恒定时可用此法．
例：挡板P由竖直位置绕O点向水平位置缓慢旋转时小球受力的变化．
特点：一个力为恒力，另一个力的方向不变．
（2）相似三角形法
物体受三个力平衡：一个力恒定、另外两个力的方向同时变化，当所作矢量三角形与空间的某个几何三角形总相似时用此法．
特点：一个力为恒力，另两个力的方向都在变．
3.图象问题要“四看”“一注意”
(1)看坐标轴：看清坐标轴所表示的物理量，明确因变量(纵轴表示的量)与自变量(横轴表示的量)之间的制约关系．
(2)看图象：识别两个相关量的变化趋势，从而分析具体的物理过程．
(3)看纵坐标、“斜率”和“面积”：v－t图象中根据坐标值、“斜率”和“面积”可分析速度、加速度和位移的大小、方向特点．
(4)看交点：明确图线与图线的交点、图线与坐标轴的交点的物理意义．
(5)一注意：利用v－t图象分析两个物体的运动时，要注意两个物体的出发点，即注意它们是从同一位置出发，还是从不同位置出发．若从不同位置出发，要注意出发时两者的距离．
4.电场性质的理解和应用
（1）电场力的性质：由电场强度E描述，既有大小又有方向．某一场点的电场强度等于各场源电荷产生的电场的矢量和(注意场源电荷分布的对称性)．电场线的疏密和方向形象描述电场的强弱与方向．要熟练掌握点电荷、等量同种点电荷、等量异种点电荷等的电场线分布与特点．
（2）电场能的性质：由电势φ和电势差U描述，没方向但有正负(在涉及功、能的计算中，电荷的正负号、电势、电势差、电势能、电场力的功等的正负号都要带着，涉及力的运算时一般不带)．某一场点的电势等于各场源电荷在该处产生电势的代数和．等势面形象描述电场能的性质与电场强弱，要掌握几种典型电场的等势面分布特点．
（3）电荷电势能高低的判断：
(1)由Ep＝qφ判断：正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势低的地方电势能大．
(2)由WAB＝EpA－EpB判断：电场力做正功，电势能减小，电场力做负功，电势能增加．
(3)只有电场力做功时电荷的电势能与动能之和守恒，动能减小则电势能增加．
三、例题精讲
例1（2016全国卷3）如图26-L1-1所示，两个轻环a和b套在位于竖直面内的一段固定圆弧上；一细线穿过两轻环，其两端各系一质量为m的小球．在a和b之间的细线上悬挂一小物块．平衡时，a、b间的距离恰好等于圆弧的半径．不计所有摩擦．小物块的质量为( )
图26-L1-1
A． B．m C．m D．2m
【答案】C
【解析】如图26-L1-2所示，圆弧的圆心为O，悬挂小物块的点为c，由于ab＝R，则△aOb为等边三角形，同一条细线上的拉力相等，FT＝mg，由几何关系知，∠acb＝120°，故绳的拉力的合力与物块的重力大小相等，所以小物块质量为m，故C对．
图26-L1-2
【易错点】受力分析时研究对象的选取以及受力情况的分析
例2 （2016全国卷2）质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上．用水平向左的力F缓慢拉动绳的中点O，如图26-L2-1所示．用T表示绳OA段拉力的大小，在O点向左移动的过程中( )
图26-L2-1
A．F逐渐变大，T逐渐变大
B．F逐渐变大，T逐渐变小
C．F逐渐变小，T逐渐变大
D．F逐渐变小，T逐渐变小
【答案】A
【解析】对O点受力分析如图26-L2-2所示，F与T的变化情况如图，由图可知在O点向左移动的过程中，F逐渐变大，T逐渐变大，故选项A正确．
图26-L2-2
【易错点】物体动态平衡分析方法的选取
例3 （多选）（2018全国卷3）甲、乙两车在同一平直公路上同向运动，甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线运动。甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图26-L3-1所示。下列说法正确的是（ ）
图26-L3-1
A.在时刻两车速度相等
B.从0到时间内，两车走过的路程相等
C.从到时间内，两车走过的路程相等
D.在到时间内的某时刻。两车速度相等
【答案】CD
【解析】x-t图象的斜率表示速度，图象的交点表示此时刻位置相同，所以CD正确。故本题选择CD。
【易错点】图像中斜率、交点等的物理意义的理解
例4 （2018北京卷）如图26-L4-1所示，用电动势为E、内阻为r的电源，向滑动变阻器R供电。改变变阻器R的阻值，路端电压U与电流I均随之变化。
图26-L4-1 图26-L4-2
（1）以U为纵坐标，I为横坐标，在图26-L4-2中画出变阻器阻值R变化过程中U—I图像的示意图，并说明U—I图像与两坐标轴交点的物理意义。
（2）a.请在图26-L4-2画好的U—I关系图线上任取一点，画出带网格的图形，以其面积表示此时电源的输出功率；b.请推导该电源对外电路能够输出的最大电功率及条件。
（3）请写出电源电动势定义式，并结合能量守恒定律证明：电源电动势在数值上等于内、外电路电势降落之和。
【答案】（1）U - I图像如答图26-L4-3所示。图像与纵轴交点的坐标值为电源电动势，与横轴交点的坐标值为短路电流。
（2）a．如答图26-L4-3所示。
答图26-L4-3
b．当外电路电阻R = r时，电源输出的电功率最大，为
（3）电动势定义式
根据能量守恒，在图26-L4-1所示电路中，非静电力做功W产生的电能等于在外电路和内电路产生的电热，即
【解析】（1）U - I图像如答图26-L4-3所示。图像与纵轴交点的坐标值为电源电动势，与横轴交点的坐标值为短路电流。
（2）a．如答图26-L4-3所示。
答图26-L4-3
b．电源输出的电功率
当外电路电阻R = r时，电源输出的电功率最大，为
（3）电动势定义式
根据能量守恒，在图26-L4-1所示电路中，非静电力做功W产生的电能等于在外电路和内电路产生的电热，即
【易错点】闭合电路欧姆定律结合图像的应用，电动势的物理意义的理解
例5 （2017全国卷3）如图26-L5-1，两个滑块A和B的质量分别为mA=1 kg和mB=5 kg，放在静止于水平地面上的木板的两端，两者与木板间的动摩擦因数均为μ1=0.5；木板的质量为m=4 kg，与地面间的动摩擦因数为μ2=0.1。某时刻A、B两滑块开始相向滑动，初速度大小均为v0=3 m/s。A、B相遇时，A与木板恰好相对静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小g=10 m/s2。求
图26-L5-1
（1）B与木板相对静止时，木板的速度；
（2）A、B开始运动时，两者之间的距离。
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）对于A：，，
解得：
对于B：，，
解得：
对于木板：，，
解得：
故A向左做匀减速直线运动，B向右做匀减速直线运动，木板向右做匀加速直线运动，且B会与木板先相对静止，设B与木板相对静止所用的时间为t，相对静止时的速度为v，得：
，
解得：，
（2）此后B与木板一起向右做匀减速直线运动，A仍以向左做匀减速直线运动
对于B与木板：
解得：
由于A、B相遇时，A与木板恰好相对静止，设相遇时的速度为，从B与木板相对静止到A、B相遇经过的时间为，得：
，
解得：，
，，
解得：
【易错点】滑块滑板模型中各个物体运动过程的分析
四、思维点拨
重点突破1 滑块滑板模型
1．“滑块—木板”模型类问题中，滑动摩擦力的分析方法与传送带类似，但这类问题比传送带类问题更复杂，因为木板往往受到摩擦力的影响也做匀变速直线运动，处理此类物体匀变速运动问题要注意从速度、位移、时间等角度，寻找它们之间的联系．
2．要使滑块不从木板的末端掉下来的临界条件是滑块到达木板末端时的速度与木板的速度恰好相等．
重点突破2 带电粒子在复合场中的运动
1．叠加场
明确粒子受几个力，结合运动情况，分析各力方向．
(1)电场与磁场叠加：常见模型有速度选择器、磁流体发电机、电磁流量计、霍尔效应等．
(2)电场、磁场、重力场叠加：无约束带电体在叠加场做直线运动时必为匀速直线运动；做圆周运动时必为匀速圆周运动，重力与电场力平衡，洛伦兹力提供向心力．
2．组合场
带电粒子依次经过各场，运动过程由各阶段不同性质的运动(圆周、类平抛、变速直线、匀速直线等)组合而成．(1)分别研究带电粒子在不同场区的运动．
(2)分析与计算各阶段运动间的连接点的速度方向与大小是解题关键．
(3)画出全过程运动示意图很重要．
3．交变场
带电粒子进入周期性变化的电场或磁场，其运动随之做周期性变化．
(1)分析清复合场一个周期内的粒子运动过程，找到粒子运动时间、位移、速度等的周期性变化规律．
(2)画出运动过程的示意图，有助于分析．
重点突破3 电磁感应与动力学综合题的解题策略
1.做好电路分析，明确电源与外电路，可画等效电路图．
2.做好受力分析，把握安培力的特点，安培力大小一般与导体棒速度有关，一般在牛顿第二定律方程里讨论，v的变化影响安培力大小，进而影响加速度大小，加速度的变化又会影响v的变化．
3.做好运动过程分析：注意导体棒进入磁场或离开磁场时的速度是否达到“收尾速度”．
五、成果巩固
【基础达标】
1. （多选）（2018，天津卷）2018年2月2日，我国成功将电磁监测试验卫星“张衡一号”发射升空，如图26-j2-1所示标志我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一。通过观测可以得到卫星绕地球运动的周期，并已知地球的半径和地球表面处的重力加速度。若将卫星绕地球的运动看作是匀速圆周运动，且不考虑地球自转的影响，根据以上数据可以计算出卫星的（ ）
图26-j2-1
A.密度 B.向心力的大小
C.离地高度 D.线速度的大小
2.（多选）（2018，全国卷3）地下矿井中的矿石装在矿车中，用电机通过竖井运送到地面。某竖井中矿车提升的速度大小随时间t的变化关系如图26-j2-1所示，其中图线①②分别描述两次不同的提升过程，它们变速阶段加速度的大小都相同，两次提升的高度相同，提升的质量相等。不考虑摩擦阻力和空气阻力。对于第①次和第②次提升过程（ ）
图26-j2-1
A.矿车上升所用的时间之比为4:5 B.电机的最大牵引力之比为2:1
C.电机输出的最大功率之比为2:1 D.电机所做的功之比为4:5
3.（2017，江苏卷）一小物块沿斜面向上滑动，然后滑回到原处.物块初动能为，与斜面间的动摩擦因数不变，则该过程中，物块的动能与位移关系的图线是（ ）
4.（多选）（2017，江苏卷）在x轴上有两个点电荷q1、q2，其静电场的电势φ在x轴上分布如图26-j4-1所示。下列说法正确有
图26-j4-1
A.q1和q2带有异种电荷
B.x1处的电场强度为零
C.负电荷从x1移到x2，电势能减小
D.负电荷从x1移到x2，受到的电场力增大
5.（多选）（2017，全国卷1）在一静止点电荷的电场中。任一点的电势与该点到点电荷的距离r的关系如图26-j5-1所示。电场中四个点a、b、c和d的电场强度大小分别为Ea、Eb、Ec和Ed。点a到点电荷的距离ra与点a的电势已在图中用坐标(ra、a)标出，其余类推。现将一带正电的试探电荷由a点依次经a、c点移动到d点，在相邻两点间移动的过程中，电场力所做的功分别为Wab、Wbc和Wcd。下列选项正确的是（ ）
A.Ea:Eb=4:1 B.Ec:Ed=2:1
C.Wab:Wbc=3:1 D.Wbc:Wcd=1:3
图26-j5-1
6.（2017，全国卷3）如图26-j6-1，空间存在方向垂直于纸面（xOy平面）向里的磁场。在x≥0区域，磁感应强度的大小为B0；x＜0区域，磁感应强度的大小为λB0（常数λ＞1）。一质量为m、电荷量为q（q＞0）的带电粒子以速度v0从坐标原点O沿x轴正向射入磁场，此时开始计时，当粒子的速度方向再次沿x轴正向时，求（不计重力）
（1）粒子运动的时间；
（2）粒子与O点间的距离。
图26-j6-1
【能力提升】
7. （多选）（2017，全国卷3）一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图26-n7-1所示，三点的电势分别为10 V、17 V、26 V。下列说法正确的是
图26-n7-1
A．电场强度的大小为2.5 V/cm
B．坐标原点处的电势为1 V
C．电子在a点的电势能比在b点的低7 eV
D．电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV
8.（2018，海南卷）如图26-n8-1，一绝缘光滑固定斜面处于匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于斜面向上，通有电流的金属细杆水平静止在斜面上。若电流变为，磁感应强度大小变为3B，电流和磁场的方向均不变，则金属细杆将 （ ）
图26-n8-1
A．沿斜面加速上滑 B．沿斜面加速下滑
C．沿斜面匀速上滑 D．仍静止在斜面上
9.（多选）（2018，海南卷）如图26-n9-1，一长木板静止于光滑水平桌面上，t=0时， 小物块以速度滑到长木板上，图26-n9-2为物块与木板运动的图像，图中t1、、已知。重力加速度大小为g。由此可求得（ ）
图26-n9-1 图26-n9-2
A．木板的长度
B．物块与木板的质量之比
C．物块与木板之间的动摩擦因数
D．从t=0开始到t1时刻，木板获得的动能
10.（2018，江苏卷）从地面竖直向上拋出一只小球，小球运动一段时间后落回地面，忽略空气阻力，该过程中小球的动能与时间的关系图象是（ ）
11.（多选）（2018，江苏卷）如图26-n11-1所示，竖直放置的“”形光滑导轨宽为L，矩形匀强磁场I、II的高和间距均为d，磁感应强度为B，质量为m的水平金属杆由静止释放，进入磁场I和II时的速度相等，金属杆在导轨间的电阻为R，与导轨接触良好，其余电阻不计，重力加速度为g，金属杆
图26-n11-1
A．刚进入磁场I时加速度方向竖直向下
B．穿过磁场I的时间大于在两磁场之间的运动时间
C．穿过两磁场产生的总热量为
D．释放时距磁场I上边界的高度h可能小于
12.（2018，海南卷）如图26-n12-1，圆心为O、半径为r的圆形区域外存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向外，磁感应强度大小为B。P是圆外一点，OP=3r 。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子从P点在纸面内垂直于OP射出。己知粒子运动轨迹经过圆心O，不计重力。求：
图26-n12-1
(1)粒子在磁场中做圆周运动的半径；
(2)粒子第一次在圆形区域内运动所用的时间。
13.（2018，全国卷3）如图26-n13-1，在竖直平面内，一半径为R的光滑圆弧轨道ABC和水平轨道PA在A点相切，BC为圆弧轨道的直径，O为圆心，OA和OB之间的夹角为α，sinα=，一质量为m的小球沿水平轨道向右运动，经A点沿圆弧轨道通过C点，落至水平轨道，在整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一直受到一水平恒力的作用。已知小球在C点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为零，重力加速度大小为g。求：
图26-n13-1
（1）水平恒力的大小和小球到达C点时速度的大小；
（2）小球到达A点时动量的大小；
（3）小球从C点落至水平轨道所用的时间。
六、课堂小结
数学是解决物理问题的重要工具，借助数学方法可以使一些复杂的物理问题显示出明显的规律性，达到打通关卡、长驱直入、解决问题的目的。中学物理《考试大纲》中对学生运用数学方法解决物理问题的能力做了明确要求，即要求学生有“应用数学处理物理问题”的能力。
所谓数学方法，就是要把客观事物的状态、关系和变化过程用数学语言表达出来，并进行推导、演算和分析，进而预测、解释和判断物理问题。可以说，任何物理问题的分析和处理过程，都是方法的运用过程。本专题中所指的数学方法，都是一些特殊的、典型的数学方法。处理中学物理问题常见的数学方法有几何法、图像法、三角函数法、极值法等。
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2019年高考三轮冲刺应用数学处理物理问题的能力
教材版本 全国通用 课时说明 120分钟
知识点 物体的静态平衡和动态平衡，电场能的性质，带电粒子在复合场中的运动
复习目标 应用数学处理物理问题
复习重点 应用图像处理物理问题 应用数学模型处理带电粒子在复合场中运动
复习难点 1.应用图像处理物理问题 2.应用数学模型处理带电粒子在复合场中运动
一、高考回顾
1.（2018，全国卷1）如图26-g1-1，轻弹簧的下端固定在水平桌面上，上端放有物块P，系统处于静止状态，现用一竖直向上的力F作用在P上，使其向上做匀加速直线运动，以x表示P离开静止位置的位移，在弹簧恢复原长前，下列表示F和x之间关系的图像可能正确的是（ ）
图26-g1-1
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】开始物体处于静止状态，形变量设为x0，由平衡知mg=kx0，施加上力F后，由题意得，F+ k( x0- x)-mg=ma，联立解得F=ma +kx，故选A。
【易错点】审清题意，x表示什么，施加上力F前后的受力及运动情况分析。
2．(多选)(2016·全国卷Ⅰ)如图26-g2-1所示，一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b.外力F向右上方拉b，整个系统处于静止状态．若F方向不变，大小在一定范围内变化，物块b仍始终保持静止，则( )
图26-g2-1
A．绳OO′的张力也在一定范围内变化
B．物块b所受到的支持力也在一定范围内变化
C．连接a和b的绳的张力也在一定范围内变化
D．物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化
【答案】BD
【解析】由于物块a、b均保持静止，各绳角度保持不变，对a受力分析得，绳的拉力FT′＝mag，所以物块a受到绳的拉力保持不变．由滑轮性质，滑轮两侧绳的拉力相等，所以b受到绳的拉力大小、方向均保持不变，C选项错误；a、b受到绳的拉力大小、方向均不变，所以OO′的张力不变，A选项错误；对b进行受力分析，如图26-g2-2所示．
图26-g2-2
由平衡条件得：FTcos β＋Ff＝Fcos α，Fsin α＋FN＋FTsin β＝mbg.其中FT和mbg始终不变，当F大小在一定范围内变化时，支持力在一定范围内变化，B选项正确；摩擦力也在一定范围内发生变化，D选项正确．
【易错点】审题要认真，另外受力分析、滑轮两端的力相等学生易错。
3．(多选)(2017·全国卷3)一质量为2 kg的物块在合外力F的作用下从静止开始沿直线运动．F随时间t变化的图线如图26-g3-1所示，则( )
图26-g3-1
A．t＝1 s时物块的速率为1 m/s
B．t＝2 s时物块的动量大小为4 kg·m/s
C．t＝3 s时物块的动量大小为5 kg·m/s
D．t＝4 s时物块的速度为零
【答案】 AB
【解析】由动量定理可得：Ft＝mv，解得v＝. t＝1 s时物块的速率为v＝＝ m/s＝1 m/s，故A正确；t＝2 s时物块的动量大小p2＝F2t2＝2×2 kg·m/s＝4 kg·m/s，t＝3 s时物块的动量大小为p3＝(2×2－1×1) kg·m/s＝3 kg·m/s，t＝4 s 时物块的动量大小为p4＝(2×2－1×2) kg·m/s＝2 kg·m/s，所以t＝4 s时物块的速度为1 m/s，故B正确，C、D错误．
【易错点】动量定理的应用，注意速度与速度变化的区别。
4.（2018，全国卷1）如图26-g4-1，在y>0的区域存在方向沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E，在y<0的区域存在方向垂直于xOy平面向外的匀强磁场。一个氕核和一个氘核先后从y轴上y=h点以相同的动能射出，速度方向沿x轴正方向。已知进入磁场时，速度方向与x轴正方向的夹角为60°，并从坐标原点O处第一次射出磁场。的质量为m，电荷量为q不计重力。求
图26-g4-1
第一次进入磁场的位置到原点O的距离
（2）磁场的磁感应强度大小
（3）第一次离开磁场的位置到原点O的距离
【答案】(1) (2) (3)
【解析】（1）在电场中做类平抛运动，在磁场中做匀速圆周运动，运动轨迹如图26-g4-2所示。
图26-g4-2
设 在电场中的加速度大小为a1，初速度大小为v1,它在电场中的运动时间为t1，第一次进入磁场的位置到原点O的距离为s1。由运动学公式有
s1 = v1 t1 ①
h= a1 t12 ②
由题给条件，进入磁场时速度的方向与x轴正方向夹角θ1=600，进入磁场时速度的y分量的大小为
a1 t1= v1 tanθ1 ③
联立以上各式得
s1= ④
（2）在电场中运动时，由牛顿第二定律有
qE=ma1 ⑤
设进入磁场时速度大小为v1＇，由速度合成法则有
v1＇= ⑥
设磁感应强度大小为B，在磁场中运动的圆轨道半径为R1，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有
q v1＇B= ⑦
由几何关系得
s1=2 R1sinθ1 ⑧
联立以上各式得
B= ⑨
（3）设在电场中沿x轴正方向射出的速度大小为v2，在电场中的加速度大小为a2，由题给条件得
（2m）v22= mv12 ⑩
由牛顿第二定律有
qE=2ma2 ?
设第一次射入磁场时的速度大小为v2＇，速度的方向与x轴正方向夹角θ2，入射点到原点O的距离为s2，在电场中的运动时间为t2，由运动学公式有
s2= v2 t2 ?
h= a2 t22 ?
v2＇= ?
sinθ2 = ?
联立各式得
s2= s1 θ2=θ1 v2＇= v1＇ ?
设在磁场中做匀速圆周运动的半径为R2，由⑦?式及粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径公式得
R2= R1 ?
所以出射点在原点左侧，设进入磁场的入射点到第一次离开磁场的出射点的距离为s2＇，由几何关系有
s2＇= 2 R2 sinθ2 ?
联立④⑧???式得，第一次离开磁场时的位置到原点O的距离为
s2＇- s2 = ?
【易错点】带电粒子在匀强电场中类平抛运动后进入匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力等于向心力。
5.（2018河南师大附中测试）平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限存在垂直于平面向里的匀强磁场，第Ⅲ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，如图26-g5-1所示。一带负电的粒子从电场中的Q点以速度v0沿x轴正方向开始运动，Q点到y轴的距离为到x轴距离的2倍。粒子从坐标原点O离开电场进入磁场，最终从x轴上的P点射出磁场，P点到y轴距离与Q点到y轴距离相等。不计粒子重力，问：
（1）粒子到达O点时速度的大小和方向；
（2）电场强度和磁感应强度的大小之比。
图26-g5-1
【答案】（1），速度方向与 x轴正方向成 450角斜向上；（2）。
【解析】（1）在电场中，粒子做类平抛运动，设 Q点到x 轴距离为L，到y轴距离为2L，粒子的加速度为a，运动时间为 t，有2L＝v0t，设粒子到达 O点时沿y轴方向的分速度为 vy，vy=at设粒子到达 O 点时速度方向与 x 轴正方向夹角为 α，有，α＝450即粒子到达 O点时速度方向与 x轴正方向成 450角斜向上。设粒子到达 O 点时速度大小为 v ，由运动的合成有联立式得
（2）设电场强度为 E，粒子电荷量为 q，质量为 m，粒子在电场中受到的电场力为 F，由牛顿第二定律可得F＝ma又F＝qE设磁场的磁感应强度大小为B，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为 R，所受的洛伦兹力提供向心力，有由几何关系可知联立解得。
图26-g5-2
【易错点】学生在电场和磁场中运动分析易出错。（1）在电场中，粒子做类平抛运动，根据x轴方向的匀速直线运动和y方向的匀加速直线运动列方程求解；（2）粒子在电场中受到的电场力时由牛顿第二定律求解加速度，再根据速度位移关系求解电场强度；根据粒子所受的洛伦兹力提供向心力得到半径计算公式，再根据则由几何关系得到半径大小，由此求解磁感应强度大小，然后求解比值．
二、知识清单
物体的静态平衡
(1)合成法：一般三力平衡时(或多力平衡转化成三力平衡后)用合成法：由平行四边形定则合成任意两力(一般为非重力的那两个力)，该合力与第三个力平衡，在由力的示意图所围成的三角形中解决问题．将力的问题转化成三角形问题，再由三角函数、勾股定理、图解法、相似三角形法等求解．
(2)正交分解法：一般受三个以上共点力平衡时用正交分解法：把物体受到的各力分解到相互垂直的两个方向上，然后分别列出两个方向上的平衡方程．
动态平衡问题
（1）图解法
物体受三个力平衡：一个力恒定、另一个力的方向恒定时可用此法．
例：挡板P由竖直位置绕O点向水平位置缓慢旋转时小球受力的变化．
特点：一个力为恒力，另一个力的方向不变．
（2）相似三角形法
物体受三个力平衡：一个力恒定、另外两个力的方向同时变化，当所作矢量三角形与空间的某个几何三角形总相似时用此法．
特点：一个力为恒力，另两个力的方向都在变．
3.图象问题要“四看”“一注意”
(1)看坐标轴：看清坐标轴所表示的物理量，明确因变量(纵轴表示的量)与自变量(横轴表示的量)之间的制约关系．
(2)看图象：识别两个相关量的变化趋势，从而分析具体的物理过程．
(3)看纵坐标、“斜率”和“面积”：v－t图象中根据坐标值、“斜率”和“面积”可分析速度、加速度和位移的大小、方向特点．
(4)看交点：明确图线与图线的交点、图线与坐标轴的交点的物理意义．
(5)一注意：利用v－t图象分析两个物体的运动时，要注意两个物体的出发点，即注意它们是从同一位置出发，还是从不同位置出发．若从不同位置出发，要注意出发时两者的距离．
4.电场性质的理解和应用
（1）电场力的性质：由电场强度E描述，既有大小又有方向．某一场点的电场强度等于各场源电荷产生的电场的矢量和(注意场源电荷分布的对称性)．电场线的疏密和方向形象描述电场的强弱与方向．要熟练掌握点电荷、等量同种点电荷、等量异种点电荷等的电场线分布与特点．
（2）电场能的性质：由电势φ和电势差U描述，没方向但有正负(在涉及功、能的计算中，电荷的正负号、电势、电势差、电势能、电场力的功等的正负号都要带着，涉及力的运算时一般不带)．某一场点的电势等于各场源电荷在该处产生电势的代数和．等势面形象描述电场能的性质与电场强弱，要掌握几种典型电场的等势面分布特点．
（3）电荷电势能高低的判断：
(1)由Ep＝qφ判断：正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势低的地方电势能大．
(2)由WAB＝EpA－EpB判断：电场力做正功，电势能减小，电场力做负功，电势能增加．
(3)只有电场力做功时电荷的电势能与动能之和守恒，动能减小则电势能增加．
三、例题精讲
例1（2016全国卷3）如图26-L1-1所示，两个轻环a和b套在位于竖直面内的一段固定圆弧上；一细线穿过两轻环，其两端各系一质量为m的小球．在a和b之间的细线上悬挂一小物块．平衡时，a、b间的距离恰好等于圆弧的半径．不计所有摩擦．小物块的质量为( )
图26-L1-1
A． B．m C．m D．2m
【答案】C
【解析】如图26-L1-2所示，圆弧的圆心为O，悬挂小物块的点为c，由于ab＝R，则△aOb为等边三角形，同一条细线上的拉力相等，FT＝mg，由几何关系知，∠acb＝120°，故绳的拉力的合力与物块的重力大小相等，所以小物块质量为m，故C对．
图26-L1-2
【易错点】受力分析时研究对象的选取以及受力情况的分析
例2 （2016全国卷2）质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上．用水平向左的力F缓慢拉动绳的中点O，如图26-L2-1所示．用T表示绳OA段拉力的大小，在O点向左移动的过程中( )
图26-L2-1
A．F逐渐变大，T逐渐变大
B．F逐渐变大，T逐渐变小
C．F逐渐变小，T逐渐变大
D．F逐渐变小，T逐渐变小
【答案】A
【解析】对O点受力分析如图26-L2-2所示，F与T的变化情况如图，由图可知在O点向左移动的过程中，F逐渐变大，T逐渐变大，故选项A正确．
图26-L2-2
【易错点】物体动态平衡分析方法的选取
例3 （多选）（2018全国卷3）甲、乙两车在同一平直公路上同向运动，甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线运动。甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图26-L3-1所示。下列说法正确的是（ ）
图26-L3-1
A.在时刻两车速度相等
B.从0到时间内，两车走过的路程相等
C.从到时间内，两车走过的路程相等
D.在到时间内的某时刻。两车速度相等
【答案】CD
【解析】x-t图象的斜率表示速度，图象的交点表示此时刻位置相同，所以CD正确。故本题选择CD。
【易错点】图像中斜率、交点等的物理意义的理解
例4 （2018北京卷）如图26-L4-1所示，用电动势为E、内阻为r的电源，向滑动变阻器R供电。改变变阻器R的阻值，路端电压U与电流I均随之变化。
图26-L4-1 图26-L4-2
（1）以U为纵坐标，I为横坐标，在图26-L4-2中画出变阻器阻值R变化过程中U—I图像的示意图，并说明U—I图像与两坐标轴交点的物理意义。
（2）a.请在图26-L4-2画好的U—I关系图线上任取一点，画出带网格的图形，以其面积表示此时电源的输出功率；b.请推导该电源对外电路能够输出的最大电功率及条件。
（3）请写出电源电动势定义式，并结合能量守恒定律证明：电源电动势在数值上等于内、外电路电势降落之和。
【答案】（1）U - I图像如答图26-L4-3所示。图像与纵轴交点的坐标值为电源电动势，与横轴交点的坐标值为短路电流。
（2）a．如答图26-L4-3所示。
答图26-L4-3
b．当外电路电阻R = r时，电源输出的电功率最大，为
（3）电动势定义式
根据能量守恒，在图26-L4-1所示电路中，非静电力做功W产生的电能等于在外电路和内电路产生的电热，即
【解析】（1）U - I图像如答图26-L4-3所示。图像与纵轴交点的坐标值为电源电动势，与横轴交点的坐标值为短路电流。
（2）a．如答图26-L4-3所示。
答图26-L4-3
b．电源输出的电功率
当外电路电阻R = r时，电源输出的电功率最大，为
（3）电动势定义式
根据能量守恒，在图26-L4-1所示电路中，非静电力做功W产生的电能等于在外电路和内电路产生的电热，即
【易错点】闭合电路欧姆定律结合图像的应用，电动势的物理意义的理解
例5 （2017全国卷3）如图26-L5-1，两个滑块A和B的质量分别为mA=1 kg和mB=5 kg，放在静止于水平地面上的木板的两端，两者与木板间的动摩擦因数均为μ1=0.5；木板的质量为m=4 kg，与地面间的动摩擦因数为μ2=0.1。某时刻A、B两滑块开始相向滑动，初速度大小均为v0=3 m/s。A、B相遇时，A与木板恰好相对静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小g=10 m/s2。求
图26-L5-1
（1）B与木板相对静止时，木板的速度；
（2）A、B开始运动时，两者之间的距离。
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）对于A：，，
解得：
对于B：，，
解得：
对于木板：，，
解得：
故A向左做匀减速直线运动，B向右做匀减速直线运动，木板向右做匀加速直线运动，且B会与木板先相对静止，设B与木板相对静止所用的时间为t，相对静止时的速度为v，得：
，
解得：，
（2）此后B与木板一起向右做匀减速直线运动，A仍以向左做匀减速直线运动
对于B与木板：
解得：
由于A、B相遇时，A与木板恰好相对静止，设相遇时的速度为，从B与木板相对静止到A、B相遇经过的时间为，得：
，
解得：，
，，
解得：
【易错点】滑块滑板模型中各个物体运动过程的分析
四、思维点拨
重点突破1 滑块滑板模型
1．“滑块—木板”模型类问题中，滑动摩擦力的分析方法与传送带类似，但这类问题比传送带类问题更复杂，因为木板往往受到摩擦力的影响也做匀变速直线运动，处理此类物体匀变速运动问题要注意从速度、位移、时间等角度，寻找它们之间的联系．
2．要使滑块不从木板的末端掉下来的临界条件是滑块到达木板末端时的速度与木板的速度恰好相等．
重点突破2 带电粒子在复合场中的运动
1．叠加场
明确粒子受几个力，结合运动情况，分析各力方向．
(1)电场与磁场叠加：常见模型有速度选择器、磁流体发电机、电磁流量计、霍尔效应等．
(2)电场、磁场、重力场叠加：无约束带电体在叠加场做直线运动时必为匀速直线运动；做圆周运动时必为匀速圆周运动，重力与电场力平衡，洛伦兹力提供向心力．
2．组合场
带电粒子依次经过各场，运动过程由各阶段不同性质的运动(圆周、类平抛、变速直线、匀速直线等)组合而成．(1)分别研究带电粒子在不同场区的运动．
(2)分析与计算各阶段运动间的连接点的速度方向与大小是解题关键．
(3)画出全过程运动示意图很重要．
3．交变场
带电粒子进入周期性变化的电场或磁场，其运动随之做周期性变化．
(1)分析清复合场一个周期内的粒子运动过程，找到粒子运动时间、位移、速度等的周期性变化规律．
(2)画出运动过程的示意图，有助于分析．
重点突破3 电磁感应与动力学综合题的解题策略
1.做好电路分析，明确电源与外电路，可画等效电路图．
2.做好受力分析，把握安培力的特点，安培力大小一般与导体棒速度有关，一般在牛顿第二定律方程里讨论，v的变化影响安培力大小，进而影响加速度大小，加速度的变化又会影响v的变化．
3.做好运动过程分析：注意导体棒进入磁场或离开磁场时的速度是否达到“收尾速度”．
五、成果巩固
【基础达标】
1. （多选）（2018，天津卷）2018年2月2日，我国成功将电磁监测试验卫星“张衡一号”发射升空，如图26-j2-1所示标志我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一。通过观测可以得到卫星绕地球运动的周期，并已知地球的半径和地球表面处的重力加速度。若将卫星绕地球的运动看作是匀速圆周运动，且不考虑地球自转的影响，根据以上数据可以计算出卫星的（ ）
图26-j2-1
A.密度 B.向心力的大小
C.离地高度 D.线速度的大小
【答案】CD
【解析】对卫星进行分析可知，万有引力提供向心力，且与黄金代换公式联立求解得,而,则可求出v的大小，由于不知道m的大小，故无法计算出卫星的密度及所受向心力，故答案选CD。
【易错点】万有引力公式中各物理量的物理意义的理解以及向心力公式的应用
2.（多选）（2018，全国卷3）地下矿井中的矿石装在矿车中，用电机通过竖井运送到地面。某竖井中矿车提升的速度大小随时间t的变化关系如图26-j2-1所示，其中图线①②分别描述两次不同的提升过程，它们变速阶段加速度的大小都相同，两次提升的高度相同，提升的质量相等。不考虑摩擦阻力和空气阻力。对于第①次和第②次提升过程（ ）
图26-j2-1
A.矿车上升所用的时间之比为4:5 B.电机的最大牵引力之比为2:1
C.电机输出的最大功率之比为2:1 D.电机所做的功之比为4:5
【答案】AC
【解析】v-t图象的面积表示位移，根据两次的高度相同可得时间之比为4:5，所以A正确；因为两次的加速度相同，根据F-mg=ma可得牵引力相等，所以B错误；两次牵引力相等，最大速度之比2:1，由P=Fv可知最大功率之比为2:1，所以C正确；由动能定理可知，两次电机做功之比为1:1，所以D错误。故本题选择AC。
【易错点】图像的中斜率、面积、交点所对应的物理意义，电功率的理解和应用
3.（2017，江苏卷）一小物块沿斜面向上滑动，然后滑回到原处.物块初动能为，与斜面间的动摩擦因数不变，则该过程中，物块的动能与位移关系的图线是（ ）
【答案】C
【解析】由于小滑块第一阶段向上匀减速，第二阶段向下匀加速，令斜面的倾角为，则第一阶段的，所以排除BD选项，第二阶段向下加速应该随着位移减小动能变大，所以选C。
【易错点】功能关系的理解
4.（多选）（2017，江苏卷）在x轴上有两个点电荷q1、q2，其静电场的电势φ在x轴上分布如图26-j4-1所示。下列说法正确有
图26-j4-1
A.q1和q2带有异种电荷
B.x1处的电场强度为零
C.负电荷从x1移到x2，电势能减小
D.负电荷从x1移到x2，受到的电场力增大
【答案】AC
【解析】首先电势的分布有正有负，所以是异种电荷，其次电势和x的图像斜率代表场强，所以x2电场强度为零，所以A对B错；其次由于电势从x1到x2升高，所以电场线由x2指向x1，所以负电荷受到的电场力向右，所以电场力做正功，电势能减小，而电场力的大小取决于场强的大小，x2处场强最小，所以C对D错。
【易错点】电势、电场强度以及电场力做功结合图像的理解和应用
5.（多选）（2017，全国卷1）在一静止点电荷的电场中。任一点的电势与该点到点电荷的距离r的关系如图26-j5-1所示。电场中四个点a、b、c和d的电场强度大小分别为Ea、Eb、Ec和Ed。点a到点电荷的距离ra与点a的电势已在图中用坐标(ra、a)标出，其余类推。现将一带正电的试探电荷由a点依次经a、c点移动到d点，在相邻两点间移动的过程中，电场力所做的功分别为Wab、Wbc和Wcd。下列选项正确的是（ ）
A.Ea:Eb=4:1 B.Ec:Ed=2:1
C.Wab:Wbc=3:1 D.Wbc:Wcd=1:3
图26-j5-1
【答案】AC
【解析】由题意知，a b c d四点到点电荷的距离分别为1m、2m、3m、6m，由点电荷场强公式得A正确，B错误。a b c d四点的电势分别为6V、3V、 2V、1V。电场力做功与两点之间的电势差成正比，故C正确，D错误。
【易错点】电势、电场强度以及电场力做功结合图像的理解和应用
6.（2017，全国卷3）如图26-j6-1，空间存在方向垂直于纸面（xOy平面）向里的磁场。在x≥0区域，磁感应强度的大小为B0；x＜0区域，磁感应强度的大小为λB0（常数λ＞1）。一质量为m、电荷量为q（q＞0）的带电粒子以速度v0从坐标原点O沿x轴正向射入磁场，此时开始计时，当粒子的速度方向再次沿x轴正向时，求（不计重力）
（1）粒子运动的时间；
（2）粒子与O点间的距离。
图26-j6-1
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动
在x0的区域内，
由，
得：，
在x<0的区域内，
由，
得：，
由运动轨迹可得
解得：
（2）由轨迹26-j6-2可得：
解得：
图26-j6-2
【易错点】运动轨迹的描绘，根据几何关系确定半径的方法
【能力提升】
7. （多选）（2017，全国卷3）一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图26-n7-1所示，三点的电势分别为10 V、17 V、26 V。下列说法正确的是
图26-n7-1
A．电场强度的大小为2.5 V/cm
B．坐标原点处的电势为1 V
C．电子在a点的电势能比在b点的低7 eV
D．电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV
【答案】ABD
【解析】由可得：，所以B正确；由可得，电子在a点的电势能比b点的高7eV，所以C错误；由W=Uq可得，电子从b点运动到c点，电场力做功9eV，所以D正确；连接Oc，在Oc上找一点d，使b、d两点电势相等，得，解得cd=3.6cm，由几何关系得此时bdcO，即cO为场强方向，，所以A正确。故本题选择ABD。
【易错点】电势、电场强度以及电场力做功结合图像的理解和应用
8.（2018，海南卷）如图26-n8-1，一绝缘光滑固定斜面处于匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于斜面向上，通有电流的金属细杆水平静止在斜面上。若电流变为，磁感应强度大小变为3B，电流和磁场的方向均不变，则金属细杆将 （ ）
图26-n8-1
A．沿斜面加速上滑 B．沿斜面加速下滑
C．沿斜面匀速上滑 D．仍静止在斜面上
【答案】A
【解析】当通有电流I时，由左手定则和平衡关系有；电流改为0.5I，磁感应强度大小变为3B时，安培力大小为＞，细杆将沿着斜面加速上滑，故选A。
【易错点】通电导体在磁场中受力问题分析
9.（多选）（2018，海南卷）如图26-n9-1，一长木板静止于光滑水平桌面上，t=0时， 小物块以速度滑到长木板上，图26-n9-2为物块与木板运动的图像，图中t1、、已知。重力加速度大小为g。由此可求得（ ）
图26-n9-1 图26-n9-2
A．木板的长度
B．物块与木板的质量之比
C．物块与木板之间的动摩擦因数
D．从t=0开始到t1时刻，木板获得的动能
【答案】BC
【解析】设物块质量为m，木板质量为M，物块滑上木板，物块做匀减速运动，木板做匀加速运动，最终达到共速。对物块：，对木板：。联立以上两式可求出质量之比。从图b可知两个加速度大小，所以摩擦因数也可以求出。无法求出各自的质量和在哪个位置达到共速，所以无法求出动能和木板长度。故选BC。
【易错点】连接体运动情况的分析以及图像的应用
10.（2018，江苏卷）从地面竖直向上拋出一只小球，小球运动一段时间后落回地面，忽略空气阻力，该过程中小球的动能与时间的关系图象是（ ）
【答案】A
【解析】小球先做竖直上抛运动后做自由落体运动，具有对称性，所以选A。
Ek=（mv2）/2,v=gt所以Ek=mg2t2/2
【易错点】函数图像与动能定理结合应用
11.（多选）（2018，江苏卷）如图26-n11-1所示，竖直放置的“”形光滑导轨宽为L，矩形匀强磁场I、II的高和间距均为d，磁感应强度为B，质量为m的水平金属杆由静止释放，进入磁场I和II时的速度相等，金属杆在导轨间的电阻为R，与导轨接触良好，其余电阻不计，重力加速度为g，金属杆
图26-n11-1
A．刚进入磁场I时加速度方向竖直向下
B．穿过磁场I的时间大于在两磁场之间的运动时间
C．穿过两磁场产生的总热量为
D．释放时距磁场I上边界的高度h可能小于
【答案】BC
【解析】根据进入磁场1和2的速度相等，并且在两磁场中间导体棒做加速运动，所以导体棒在磁场1区域内刚开始必然经历了一个减速运动过程，所以刚进入磁场1时加速度应该向上，A错，导体棒在磁场1和在两磁场间的运动初末速度相反，而在磁场1中做的变减速运动，在磁场间为匀加速运动，根据速度时间图像，图像面积相同，导体棒在磁场1中的时间大，B对；可以在磁场1上方再取一个d，那导体棒在这4个d中的运动具有周期性，且初末速度相同，重力势能都转化为电热，C对；导体棒刚进入磁场1时要做减速运动，所以，而，所以，D错。
【易错点】导体棒受力及运动情况的分析
12.（2018，海南卷）如图26-n12-1，圆心为O、半径为r的圆形区域外存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向外，磁感应强度大小为B。P是圆外一点，OP=3r 。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子从P点在纸面内垂直于OP射出。己知粒子运动轨迹经过圆心O，不计重力。求：
图26-n12-1
(1)粒子在磁场中做圆周运动的半径；
(2)粒子第一次在圆形区域内运动所用的时间。
【答案】(1) (2)
【解析】粒子运动轨迹如图26-n12-2所示
图26-n12-2
（1）设粒子在磁场中轨道半径为R，由几何法可得，得；
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，由BqV=mV2/R得，R=mV/qB=4/3R，所以V=4qBr/3m，粒子进入圆形区域后做匀速直线运动，运动位移大小为2r，所以粒子第一次在圆形区域内运动所用的时间t=2r/V=。
【易错点】运动轨迹的描绘，根据几何关系确定半径的方法
13.（2018，全国卷3）如图26-n13-1，在竖直平面内，一半径为R的光滑圆弧轨道ABC和水平轨道PA在A点相切，BC为圆弧轨道的直径，O为圆心，OA和OB之间的夹角为α，sinα=，一质量为m的小球沿水平轨道向右运动，经A点沿圆弧轨道通过C点，落至水平轨道，在整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一直受到一水平恒力的作用。已知小球在C点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为零，重力加速度大小为g。求：
图26-n13-1
（1）水平恒力的大小和小球到达C点时速度的大小；
（2）小球到达A点时动量的大小；
（3）小球从C点落至水平轨道所用的时间。
【答案】（1），；（2）；（3）
【解析】（1）由可得
由于小球在C点所受合力的方向指向圆心，且对轨道的压力为零，可知
解得：
（2）小球由A运动到C，由动能定理可得：
解得：
由可得
（3）小球飞离C点后做匀变速曲线运动，其竖直方向做a=g匀加速直线运动
，，
解得：
六、课堂小结
数学是解决物理问题的重要工具，借助数学方法可以使一些复杂的物理问题显示出明显的规律性，达到打通关卡、长驱直入、解决问题的目的。中学物理《考试大纲》中对学生运用数学方法解决物理问题的能力做了明确要求，即要求学生有“应用数学处理物理问题”的能力。
所谓数学方法，就是要把客观事物的状态、关系和变化过程用数学语言表达出来，并进行推导、演算和分析，进而预测、解释和判断物理问题。可以说，任何物理问题的分析和处理过程，都是方法的运用过程。本专题中所指的数学方法，都是一些特殊的、典型的数学方法。处理中学物理问题常见的数学方法有几何法、图像法、三角函数法、极值法等。
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