【2019年高考理科数学三论冲刺三角函数 教案

2019年高考理科数学三论冲刺 三角函数
教材版本 全国通用 课时说明（建议） 120分钟
知识点 三角函数诱导公式、性质和图像、三角函数图像变换、三角函数和角与差角与倍角公式公式，简单的三角恒等变换及辅助角公式
复习目标 了解正切函数图像，掌握三角函数基本概念及正弦余弦函数图像及性质，熟记三角函数和差角公式
复习重点 三角函数图像及平移变换、通过和差角求给定的三角函数值、灵活使用辅助教公式，求解相关的范围问题
复习难点 图像与性质，三角恒等变换的使用

一、高考回顾
纵观前几年高考试题, 三角函数的周期性、单调性、最值，三角函数图像变换等是高考的热点，每年文理均涉及到一道三角函数性质与图像的题目，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度属于中、低档；常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变换的方法与技巧，注重考查函数与方程、转化与化归等思想方法．
二、知识清单
1.思维导图
建议仿照下面的思维导图形式来呈现本部分的核心知识、核心方法、思维特征、思维载体等内容。




2.知识再现
【备考知识梳理】
三角函数的图象与性质 基本问题 定义 任意角的终边与单位圆交于点时，．
同角三角 函数关系 。
诱导公式 ，，， “奇变偶不变，符号看象限”．
三角函数的性质与图象 值域 周期 单调区间 奇偶性 对称中心 对称轴
（） 增 减 奇函数
（） 增 减 偶函数
() 增 奇函数 无
图象变换 平移变换 上下平移 图象平移得图象，向上，向下。
左右平移 图象平移得图象，向左，向右。
伸缩变换 轴方向 图象各点把横坐标变为原来倍得的图象。
轴方向 图象各点纵坐标变为原来的倍得的图象。
对称变换 中心对称 图象关于点对称图象的解析式是
轴对称 图象关于直线对称图象的解析式是。
三角恒等变换 变换公式 正弦 和差角公式 倍角公式

余弦
正切
辅助角公式

三、例题精讲
题型一 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式
例1　（1）点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为(　　)
A．(－，) B．(－，－)
C．(－，－) D．(－，)
(2)已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边上一点P(－4,3)，则的值为________．
【答案】（1）A（2）－
【解析】(1)设Q点的坐标为(x，y)，
则x＝cos＝－，y＝sin＝.
∴Q点的坐标为(－，)．
(2)原式＝＝tan α.
根据三角函数的定义，
得tan α＝＝－，
∴原式＝－.
【易错点】诱导公式和三角函数定义不熟练
【思维点拨】(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．
(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．
题型二 三角函数的图象及应用
例1【2017全国卷Ⅰ，理9】已知曲线，，则下面结正确的是（ ）.
A.把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
B.把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
C.把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
D.把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
【答案】D
【解析】（1） ，，首先曲线、统一为一三角函数名，可将用诱导公式处理．．横坐标变换需将变成，即．
注意的系数，在右平移需将提到括号外面，这时平移至，根据“左加右减”原则，“”到“”需加上，即再向左平移．故选D.
【易错点】函数图像水平方向平移容易出错
【思维点拨】平移变换理论
(1)平移变换:
①沿x轴平移,按“左加右减”法则;
②沿y轴平移,按“上加下减”法则.
(2)伸缩变换:
①沿x轴伸缩时,横坐标x伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)为原来的 倍(纵坐标y不变);
②沿y轴伸缩时,纵坐标y伸长(A>1)或缩短(02.注意平移前后两个函数的名称是否一致,若不一致,应用诱导公式化为同名函数再平移.
例2函数的部分图像大致为（ ）.

【答案】C
【解析】由题意知，函数为奇函数，故排除B；当时，，排除D；当时，，排除A.故选C.
【易错点】函数图形判断通过过排除法
【思维点拨】

例3函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是(　　)
A．2，－　　　　　 B．2，－
C．4，－　　　　　 D．4，
【答案】A
【解析】　(1)因为＝－，所以T＝π.又T＝(ω>0)，所以＝π，所以ω＝2.
又2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，且－<φ<，故φ＝－.
【易错点】求φ时，容易忽略讨论k
【思维点拨】
题型三 三角函数性质
例1　（1）已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)(ω>0,0<|φ|<)为奇函数，且函数y＝f(x)的图象的两相邻对称轴之间的距离为.
(1)求f()的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的单调递增区间．
【答案】（1）f()＝2sin＝（2）[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
【解析】（1）f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)
＝2[sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)]
＝2sin(ωx＋φ＋)．
因为f(x)为奇函数，所以f(0)＝2sin(φ＋)＝0，
又0<|φ|<，
可得φ＝－，
所以f(x)＝2sin ωx，由题意得＝2·，所以ω＝2.
故f(x)＝2sin 2x.
因此f()＝2sin＝.
(2)将f(x)的图象向右平移个单位后，得到f(x－)的图象，
所以g(x)＝f(x－)＝2sin[2(x－)]＝2sin(2x－)．
当2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)时，
g(x)单调递增，
因此g(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
【易错点】
【思维点拨】
题型四三角函数范围问题
例1函数的最大值是 ．
【答案】1
【解析】，
令且，，
则当时，取最大值1．
【易错点】换元之后转化为二次函数在定区间上的定义域及最值
【思维点拨】
例2函数的最大值为 .
【答案】
【解析】.
【易错点】
【思维点拨】辅助角公式运用
例3【2017年Ⅲ】函数的最大值为（ ）.
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解析】
.故选A.
【易错点】本题属于中档题，基础差一点的学生在解题思路方面可能会存在一定问题，三角恒等变换中公式的选择对于学生来说是一个难点，对于老师教学来说是一个重点，选择合适的公式能起到事半功倍的效果！
【思维点拨】
题型五三角函数求值问题
例1已知，，则 .
【答案】
【解析】由 又，
所以 .因为，所以，.
因为，
所以.
【易错点】
【思维点拨】
例2（1）若，则（ ）
(A) (B) (C) 1 (D)
（2）（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）A（2）
【解析】（1）由，，得，或，
，所以，则，故选A
（2）原式=
【易错点】
【思维点拨】
例3已知函数f(x)＝sinsin x－cos2x.
(1)求f(x)的最小正周期和最大值；
(2)讨论f(x)在上的单调性．
【答案】（1）f(x)的最小正周期为π，最大值为,（2）f(x)在上单调递增；在上单调递减
【解析】 (1)f(x)＝sinsin x－cos2x
＝cos xsin x－(1＋cos 2x)＝sin 2x－cos 2x－＝sin－，
因此f(x)的最小正周期为π，最大值为.
(2)当x∈时，0≤2x－≤π，从而当0≤2x－≤，即≤x≤时，
f(x)单调递增，
当≤2x－≤π，即≤x≤时，
f(x)单调递减．
综上可知，f(x)在上单调递增；在上单调递减．
【易错点】
【思维点拨】解答技巧，方法策略等
题型六 简单的三角恒等变换
例1(2018·新疆第二次适应性检测)的值是________．
【答案】2
【解析】依题意得＝＝＝＝2.
【易错点】
【思维点拨】解答技巧，方法策略等
例2已知tan α＝2.
(1)求tan的值；
(2)求的值．
【答案】（1）-3（2）1
【解析】(1)tan＝＝＝－3.
(2)
＝
＝＝＝1.
【易错点】
【思维点拨】
解三角函数的给值求值问题的基本步骤
(1)先化简所求式子或所给条件；
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系；
(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．
例3若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C.或 D.或
【答案】A
【解析】选A　∵α∈，∴2α∈，∵sin 2α＝，∴2α∈.
∴α∈且cos 2α＝－，又∵sin(β－α)＝，β∈，∴β－α∈，cos(β－α)＝－，
∴cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α＝×－×＝，
又α＋β∈，所以α＋β＝.
【易错点】
【思维点拨】
对于给值求角问题，通过先求角的某个三角函数值来求角，在选取函数时，遵循以下原则：
(1)已知正切函数值，选正切函数．
(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．
若角的范围是，选正弦或余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；若角的范围为，选正弦函数较好．
四、成果巩固
题型一 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式
1. 已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，若是角终边上一点，且，则 .
【答案】-8.
【解析】由tan＝＝，得tanθ＝，∴sinθcosθ＝＝＝＝.故填.
2. (1)已知tan α＝2，求值：
①；②4sin2α－3sin αcos α－5cos2α.
(2)已知θ∈(0，π)，且sin θ＋cos θ＝，求sin θ－cos θ的值．
【答案】(1)①-1②1(2)
【解析】(1)①＝＝＝－1.
②4sin2α－3sin αcos α－5cos 2α
＝＝
＝＝1.
(2)∵sin θ＋cos θ＝，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，
∴sin θcos θ＝－.∵θ∈(0，π)，θ∈，
∴sin θ>0>cos θ，sin θ－cos θ>0.
由(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1＋＝，得sin θ－cos θ＝.
3.若cos(π－α)＝且α∈，则sin(π＋α)＝(　　)
A．－　　　 B．－
C．－　　　 D．±
　
【答案】B
【解析】cos (π－α)＝－cos α＝，∴cos α＝－.
又∵α∈，∴sin α＝＝＝，
∴sin (π＋α)＝－sin α＝－，故选B．
题型二 三角函数图像
1. (2018·浙江温州模拟)为了得到函数y＝sin 3x＋cos 3x的图象，可以将函数y＝cos 3x的图象(　A　)
A．向右平移个单位　　　 B．向右平移个单位
C．向左平移 个单位　　　 D．向左平移个单位
【答案】A
【解析】因为y＝sin 3x＋cos 3x＝cos，所以将y＝cos 3x的图象向右平移个单位后可得到y＝cos的图象.
2.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，若x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝(　　)

A．1　　　 B．　　　
C．　　　 D．
【答案】D
【解析】　观察图象可知，A＝1，T＝π，∴ω＝2，f(x)＝sin(2x＋φ).
将代入上式得sin＝0.
由|φ|<，得φ＝，则f(x)＝sin.
函数图象的对称轴为x＝＝.
又x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，∴＝，
∴x1＋x2＝，∴f(x1＋x2)＝sin＝，故选D．
3.已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)讨论f(x)在区间上的单调性.
【答案】(1) ω＝1(2) f(x)在区间上单调递增，
在区间上单调递减.
【解析】 (1)因为f(x)＝2sin的最小正周期为π，且ω>0.从而有＝π，故ω＝1．
(2)因为f(x)＝2sin.
若0≤x≤，则≤2x＋≤.
当≤2x＋≤，即0≤x≤时，f(x)单调递增；
当<2x＋≤，即综上可知，f(x)在区间上单调递增，
在区间上单调递减.
题型三 三角函数性质
1. 已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是(　　)
A．　　　 B．
C．　　　 D．[0,2]
【答案】A
【解析】由0得，＋<ωx＋<ωπ＋.又y＝sin x在上递减，所以
解得≤ω≤，故选A．
2. (2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是(　　)
A．f(x)的一个周期为－2π
B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x＋π)的一个零点为x＝
D．f(x)在单调递减
【答案】D
【解析】根据函数解析式可知函数f(x)的最小正周期为2π，所以函数一个周期为－2π，A项正确；当x＝时，x＋＝3π，所以cos＝－1，所以B项正确；f(x＋π)＝cos ＝cos，当x＝时，x＋＝，所以f(x＋π)＝0，所以C项正确；函数f(x)＝cos在上单调递减，在上单调递增，故D项不正确，故选D．
3. (2017·湖南岳阳一中月考)已知函数①y＝sin x＋cos x，②y＝2sin xcos x，则下列结论正确的是(　　)
A．两个函数的图象均关于点中心对称
B．两个函数的图象均关于直线x＝－对称
C．两个函数在区间上都是单调递增函数
D．将函数②的图象向左平移个单位得到函数①的图象
【答案】C
【解析】函数①y＝sin x＋cos x＝sin，②y＝2·sin xcos x＝sin 2x，由于①的图象关于点中心对称，②的图象不关于点中心对称，故A项不正确；由于函数①的图象不可能关于直线x＝－对称，故B项不正确；由于这两个函数在区间上都是单调递增函数，故C项正确；将函数②的图象向左平移个单位得到函数y＝sin的图象，而y＝sin≠sin，故D项不正确，故选C．
题型四三角函数范围问题
1.(2018全国Ⅰ,理16)已知函数f(x)=2sin x+sin 2x,则f(x)的最小值是　　　　　.?
【答案】
【解析】由题意可得T=2π是f(x)=2sin x+sin 2x的一个周期,所以求f(x)的最小值可考虑求f(x)在[0,2π)上的值域.
由f(x)=2sin x+sin 2x,得f'(x)=2cos x+2cos 2x=4cos2x+2cos x-2.令f'(x)=0,可得cos x=或cos x=-1,x∈[0,2π)时,解得x=或x=或x=π.因为f(x)=2sin x+sin 2x的最值只能在x=,x=,x=π或x=0时取到,且f,f=-,f(π)=0,f(0)=0,所以函数f(x)的最小值为-
2.已知y＝3－sin x－2cos2x，x∈，求y的最大值与最小值之和．
【答案】
【解析】　∵x∈，∴sin x∈.
又y＝3－sin x－2cos2x＝3－sin x－2(1－sin2x)
＝22＋，
∴当sin x＝时，ymin＝；
当sin x＝－或sin x＝1时，ymax＝2.
故函数的最大值与最小值的和为2＋＝.
3.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(0<ω<1,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称.
(1)求ω，φ的值；
(2)求f(x)的单调递增区间；
(3)若x∈，求f(x)的最大值与最小值，
【答案】(1)ω＝.(2) ，k∈Z(3) 函数f(x)的最大值为1，最小值为0.
【解析】(1)因为f(x)＝sin(ωx＋φ)是R上的偶函数，所以φ＝＋kπ，k∈Z，且0≤φ≤π，则φ＝，即f(x)＝cos ωx.
因为图象关于点M对称，
所以ω×π＝＋mπ，m∈Z，ω＝＋，
又0<ω<1，所以ω＝.
(2)由(1)得f(x)＝cos x，由－π＋2kπ≤x≤2kπ，且 k∈Z得，3kπ－≤x≤3kπ，k∈Z，
所以函数的递增区间是，k∈Z.
(3)因为x∈，所以x∈，
当x＝0时，即x＝0，函数f(x)的最大值为1，
当x＝－时，即x＝－，函数f(x)的最小值为0.

题型五三角函数求值问题
1.设α，β为钝角，且sin α＝，cos β＝－，则α＋β的值为(　　)
A．　　　 B．　　　　
C．　　　 D．或
【答案】　C
【解析】∵α，β为钝角，sin α＝，cos β＝－，∴cos α＝，sin β＝，
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝>0.
又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈，∴α＋β＝.
2.已知函数f(x)＝2cos2ωx－1＋2sin ωxcos ωx(0<ω<1)，直线x＝是函数f(x)的图象的一条对称轴.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)已知函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到的，若g＝，α∈，求sin α的值.
【答案】（1）f(x)的单调递增区间为(k∈Z)（2）
【解析】　(1)f(x)＝cos 2ωx＋sin 2ωx＝2sin，（2）
由于直线x＝是函数f(x)＝2sin的图象的一条对称轴，所以sin＝±1，因此ω＋＝kπ＋(k∈Z)，
解得ω＝k＋(k∈Z)，又0<ω<1，所以ω＝，
所以f(x)＝2sin.由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(2)由题意可得g(x)＝2sin，即g(x)＝2cos ，
由g＝2cos＝2cos＝，得cos＝，
又α∈，故<α＋<，所以sin＝，
所以sin α＝sin＝sincos －cossin ＝×－×＝.

3.已知cos＝，求cos－sin2的值.
【答案】－
【解析】　cos－sin2
＝cos－sin2
＝－cos－
＝－－＝－.
题型六 简单的三角恒等变换
1.已知sin＝cos，则cos 2α＝(　　)
A．1 B．－1
C. D．0
【答案】选D
【解析】　∵sin＝cos，
∴cos α－sin α＝cos α－sin α，即sin α＝－cos α，
∴tan α＝＝－1，∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝0.
2.计算 ＝________(用数字作答)．
【答案】
【解析】＝＝＝＝.
3.已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，则β＝________.
【答案】
【解析】由cos α＝，0<α<，
得sin α＝＝ ＝，
由0<β<α<，得0<α－β<，又∵cos(α－β)＝，
∴sin(α－β)＝＝ ＝.
由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝.
∴β＝.
五、课堂小结
1.求三角函数的周期、单调区间及判断其奇偶性的问题,常通过三角恒等变换将三角函数化为只含一个函数名称且角度唯一、最高次数为一次的形式.
2.由函数y=sin x的图象变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象有两种方法,一是先平移再伸缩,二是先伸缩再平移,要弄清楚是平移哪个函数的图象,得到哪个函数的图象;平移前后两个函数的名称是否一致,若不一致,应先利用诱导公式化为同名函数;当由y=Asin ωx的图象得到y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的图象时,需平移的单位数应为,而不是|φ|.
3.函数y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的性质主要有:(1)奇偶性,当φ=kπ(k∈Z)时,函数y=Asin(ωx+φ)为奇函数;当φ=kπ+(k∈Z)时,函数y=Asin(ωx+φ)为偶函数;(2)周期性,y=Asin(ωx+φ)的最小正周期为T=;(3)单调性,由-+2kπ≤ωx+φ≤+2kπ(k∈Z)得单调递增区间,由+2kπ≤ωx+φ≤+2kπ(k∈Z)得单调递减区间;(4)对称性,令ωx+φ=kπ(k∈Z),求得对称中心,令ωx+φ=kπ+(k∈Z),求得对称轴.
4.对于函数y=Asin(ωx+φ),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点,因此在判断直线x=x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断.
三角函数恒等变换
1.三角恒等变形的基本思路:
(1)“化异名为同名”“化异次为同次”“化异角为同角”;
(2)“切化弦”“1”的代换;
(3)角的变换是三角变换的核心,如β=(α+β)-α,2α=(α+β)+(α-β)等.
2.倍角、半角公式应用的技巧:公式的正用、逆用和变形用.
3.在处理三角形中的边角关系时,一般全部化为角的关系,或全部化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理,出现边的二次式一般采用到余弦定理.正弦定理的形式多样,其中a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C能够实现边角互化.
4.在解三角形中,三角形内角和定理起着重要作用,在解题中要注意根据这个定理确定角的范围,确定三角函数值的符号,防止出现增解等扩大范围的现象.

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