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人教版数学八年级下册19.2.2一次函数第一课时教学设计
课题 19.2.2一次函数第一课时 单元 第十九章 学科 数学 年级 八年级下
学习 目标 知识技能：结合具体情境理解一次函数的意义.数学思考：能辨别正比例函数与一次函数的区别与联系；初步体会用待定系数法求一次函数解析式的方法.问题解决：能结合实际问题中的数量关系写出一次函数的解析式.情感态度：激发学生学数学、用数学的兴趣.
重点 一次函数的概念，一次函数与正比例函数的关系.
难点 一次函数的概念.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 知识回顾：大屏出示第1-5题 二、创设情境：某登山队大本营所在地的气温为5 ℃，海拔每升高1 km气温下降6 ℃.登山队员由大本营向上登高x km时，他们所处位置的气温是y ℃.试用函数解析式表示y与x之间的关系．教师出示问题： 试用函数解析式表示y与x的关系 它是正比例函数吗？ 它与正比例函数有什么不同？这种形式的函数还会有吗？教师由问题的解决，得到y与x的函数解析式，一个不同于正比例函数的解析式，同时指出：这就是我们这节课要学的新内容—一次函数． 学生独立完成 学生思考后写出正确的解析式，与同伴交流． 温故知新，为抓住本节重点、突破难点做知识储备. 为了激发学生的求知欲望，吸引同学们的注意力，这里采用了学生熟悉的情景引入新课，为学习新知识作好铺垫.
讲授新课 三、探究新知：下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式，这些函数解析式有哪些共同特征？ (1)有人发现，在20 ℃～25 ℃时蟋蟀每分鸣叫次数c与温度t(单位： ℃)有关，且c的值约是t的7倍与35的差； (2)一种计算成年人标准体重G(单位： kg)的方法是，以厘米为单位量出身高值h，再减常数105，所得差是G的值； (3)某城市的市内电话的月收费额y(单位：元)包括月租费22元和拨打电话x min的计时费(按0.1元/min收取)； (4)把一个长10 cm，宽5 cm的矩形的长减少x cm，宽不变，矩形面积y(单位：cm2)随x的值而变化． 教师巡视指导学习困难的学生写出函数解析式，师生共同评价． (1)c＝7t－35(20≤t≤25)；(2)G＝h－105； (3)y＝0.1x＋22；(4)y＝－5x＋50(0≤x≤10)． 观察以上四个函数解析式，很显然它们不是正比例函数，那么它们有什么共同特征呢？ 根据学生的回答板书解析式 教师根据学生归纳的共同特点，教师给出一次函数的定义.并让学生理解一次函数的特点一次函数的特点如下： （1）解析式中自变量x的次数是（ ）次; （2）比例系数（ ）； （3）常数项：（ ）思考：当b=0时，一次函数y=kx+b变为什么函数？ 一次函数与正比例函数有什么关系？根据学生的意见，适时引导与正比例函数的区别与联系.运用新知：大屏出示练习1-4题典例精析 例1 已知函数y=(m-1)x+1-m2 （1）当m为何值时，这个函数是一次函数?（2）当m为何值时，这个函数是正比例函数? 引导学生注意一次函数和正比例函数的条件 例2 ：已知一次函数 y=kx+b，当 x=1时，y=1；当x=-1时，y=-5．求 k 和 b 的值 出示变式训练1-4题一次函数的简单应用 如果长方形的周长是30cm，长是xcm，宽是ycm.(1)写出y与x之间的函数解析式，它是一次函数吗？(2)若长是宽的2倍，求长方形的面积.出示对应训练1、2题 学生思考后写出解析式并展示. 学生从解析式的形式上找共同点. 师生共同归纳得其特点:函数的形式都是自变量x的k倍与一个常数的和. 观察写出的解析式与正比例函数对比，发表见解，小组内叙述，其他成员补充.学生独立完成练习，小组交流成果 对应练习学生先独立思考，组内交流思路． 从大量生动有趣的实际问题情景出发，通过对一般规律的探索过程，从实际问题中抽象出一次函数的概念. 进一步理解从特殊到一般的解决问题的方法. 发展学生的抽象思维能力和概括能力 对解析式结构的分析与比较，加深对已有知识的理解，促进认知结构的完善. 充分加强数学与现实的联系，促进学生新的认知结构的建立和数学应用能力的发展.
课堂小结 什么是一次函数？ 一次函数与正比例函数有何关系？ 一次函数表达式中的k、b以及x的次数有何特点？
板书 19.2.2 一次函数第一课时 （一次函数概念） 一、列解析式 例1 例2 例3 二、一次函数的概念 练习三、一次函数的特点 作业布置：教材90页练习第1、2、3题 教材习题19.2第6题
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19.2.2 一次函数第一课时
（一次函数概念）
数学人教版 八年级下
新知导入
1.正比例函数的概念：一般地，形如_____（K是_____ ，K _____ ）
的函数，叫做 ，其中K叫做_____ 。
2.下列函数是正比例函数的是： _____。
A.y=-4x B.y=x+2 C.y= D.y= E.y=x2 +1 F.y= +1
一、知识回顾：
3. 正比例函数y=kx,（1）若比例系数为 –5，则函数关系式为 .
（2）若经过（5，1），则函数关系式 .
4. 已知 y=(m-2)x ，m= 时，y 是x 的正比例函数。
5. 函数y=–5x的图象在第 象限，经过点（0 ， ）与点（1， ），
y随x的增大而 .
y=kx
常数
≠0
正比例函数
比例系数
A、D
y=-5x
0
二、四
0
-5
减小
导入新课
问题：某登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1km气温
下降6℃.登山队员由大本营向上登高x km时，他们所在位
置的气温是y℃.
y=5-6x
(1)试用函数解析式表示y与x的关系；
(2)它是正比例函数吗？
y=5-6x 不是正比例函数
新知导入
二、创设情境
（3）它与正比例函数有什么不同？这种形式的函数还会有吗？
讲授新课
问题1 下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？
如果是，请写出函数解析式.
（1）有人发现，在20 ℃～25 ℃时蟋蟀每分鸣叫次数c 与温度t（单位：℃）有关，且c的值约是t的7倍与35的差；
（2）一种计算成年人标准体重G（单位：kg）的方法是，以cm为单位量出身高值 h ，再减常数105，所得差是G 的值；
新知讲解
三、探究新知
函数解析式为 c = 7 t - 35 (20 ≤ t ≤25)
是函数关系
是函数关系
函数解析式为 G = h - 105
（3）某城市的市内电话的月收费额 y（单位：元）包括月租费
22元和拨打电话 x min 的计时费（按0.1元/min收取）；
（4）把一个长10 cm，宽5 cm的矩形的长减少 x cm，宽不变，
矩形面积 y（单位：cm2）随x的值而变化．
新知讲解
三、探究新知
函数解析式为 y = 0.1 x + 22
是函数关系
是函数关系
函数解析式为 y = - 5 x + 50 (0 ≤ x ＜10)
新知讲解
问题2 观察以上出现的四个函数解析式，很显然它们不 是正比例函数，那么这些函数解析式有什么共同特征呢？
三、探究新知
归纳发现：
它们都是常数与自变量的 与常数的 的形式.
乘积
和
（1） c = 7 t - 35
（2） G = h -105
（3） y = 0.1 x + 22
（4） y = -5 x + 50
问题3 观察以上出现的四个函数解析式，这些函数解析式可以写成
什么形式？我们把它们命名为什么函数呢？
y
k(常数)
x
=
b(常数）
+
（1） c = 7 t - 35
（2） G = h -105
（3） y = 0.1 x + 22
（4） y = -5 x + 50
一般地，形如y=kx+b （k， b 是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数.
思考：当b=0时，一次函数y=kx+b变为什么函数？
一次函数与正比例函数有什么关系？
当b=0时，y=kx+b 即y=kx(k≠0)，此时该一次函数是正比例函数.
正比例函数是特殊的一次函数.
（2）正比例函数是一种特殊的一次函数.
新知讲解
三、探究新知
一次函数的特点如下：
（1）解析式中自变量x的次数是 次;
（2）比例系数 ；
（3）常数项：
1
k≠0
通常不为0，但也可以等于0.
正比例函数 一次函数
定义
表达式
一般地，形如y=kx ( k是常数，k≠0 )的函数
一般地，形如y=kx+b( k，b是常数，k≠0 )的函数
y=kx
( k是常数，k≠0 )
y=kx+b
( k，b是常数，k≠0 )
当b=0时，一次函数是正比例函数.
正比例函数是特殊的一次函数.
一次函数与正比例函数的关系
新知讲解
（7） ；
1.下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？
（4） ；
（5） ；
（6） ；
（8） .
解：（1）（4）（5）（7）（8）是一次函数，
（1）是正比例函数
课堂练习
四、运用新知
注意：正比例函数是特殊的一次函数，因此，（1）既是一次函数又是正比例函数
课堂练习
四、运用新知
2.下列说法正确的是（ ）
A.一次函数是正比例函数. B.正比例函数不是一次函数.
C.不是正比例函数就不是一次函数. D.正比例函数是一次函数.
D
3.下列说法不正确的是 ( )
(A)一次函数不一定是正比例函数
(B)不是一次函数就一定不是正比例函数
(C)正比例函数是特定的一次函数
(D)不是正比例函数就不是一次函数
D
4.某工厂加工一批产品，为了提前交货，规定：每个工人完成100 个以内，每个产品付酬1.5元；超过100个，超过部分每个产品付酬增加0.3元；超过200个，超过部分除按上述规定外，每个产品再增加0.4元.求一个工人：
(1)完成100个以内所得报酬y(元)与产品数x(个)之间的函数关系式；
y = 1.5 x ( x ≤ 100 )
课堂练习
四、运用新知
(2)完成100个以上但不超过200个所得报酬y(元)与产品数x(个)之间的函数关系式；
y = 1.8 x - 30 ( 100 ＜ x ≤ 200 )
(3)完成200个以上所得报酬y(元)与产品数x(个)之间的函数关系式.
y = 2.2 x - 110 ( x ＞ 200 )
五、典例精析
例1 已知函数y=(m-1)x+1-m2
（1）当m为何值时，这个函数是一次函数?
解：由题意可得
m-1≠0，解得m≠1.
即m≠1时，这个函数是一次函数.
是一次函数的条件：
（1）k ≠ 0；
（2）自变量x的指数是“1”
（2）当m为何值时，这个函数是正比例函数?
解：由题意可得
m-1≠0，1-m2=0，解得m=-1.
即m=-1时，这个函数是正比例函数.
是正比例函数的条件：
（1）k ≠ 0
（2）自变量x的指数是“1”
（3）b=0
新知讲解
五、典例精析
新知讲解
例2 ：已知一次函数 y=kx+b，当 x=1时，y=1；当x=-1时，y=-5．
求 k 和 b 的值．
解：因为 当x=1时，y=1；当x=-1时，y=1
所以
解得k = 3，b = -2.
变式训练
1、已知函数y=2x|m|+(m+1).
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是正比例函数，求m的值.
解：（1）∵这个函数是一次函数
∴|m|=1
∴ m=±1.
（2）∵这个函数是正比例函数
∴|m|=1 且 m+1=0.
∴m =±1且m=-1
∴m=-1
课堂练习
课堂练习
2、如果y=（m+2）x +1是一次函数，那么m= _____
m2-3
2
3、当m= __ 时，函数y=xm+4x-5（x≠0）是一个一次函数。
0或1
4、已知一次函数 y=kx+b，当 x=1时，y=1；当x=2时，y=-1．
求 一次函数的解析式
y=-2x+3
拓展提高
例3. 如果长方形的周长是30cm，长是xcm，宽是ycm.
(1)写出y与x之间的函数解析式，它是一次函数吗？
(2)若长是宽的2倍，求长方形的面积.
解：(1) y=15-x，是一次函数.
(2)由题意可得x=2（15-x）.
解得x=10，所以y=15-x=5.
∴长方形的面积为10×5=50(cm2).
五、一次函数的简单应用
1、 汽车油箱中原有油50升，如果汽车每行驶50千米耗油9升, 求油箱的油量y（单位：升）随行驶时间x（单位：时）变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围，y是x 的一次函数吗？
y =50－ x
解：油量y与行驶时间x的函数关系式为：
y =50－ x
函数
，是x的一次函数.
自变量x的取值范围是 0≤x≤50.
课堂练习
五、一次函数的简单应用
2、一盘蚊香长105cm，点燃时每小时缩短10cm.
(1)请写出点燃后蚊香的长y(cm)与蚊香燃烧时间t(h)
之间的函数 关系式；
(2)该蚊香可燃烧多长时间？
y= -10 t + 105
当 y=0 时，t =10.5
∴该蚊香可燃烧10小时30分钟.
课堂练习
五、一次函数的简单应用
1、什么是一次函数？
一般地，形如y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数．
2、一次函数与正比例函数有何关系？
正比例函数是特殊的一次函数
3、一次函数表达式中的k、b以及x的次数有何特点？
一次项系数k≠0，自变量x的次数是1，常数项b为任意数，当常数项=0时，是正比例函数.
课堂总结
板书设计
19.2.2 一次函数第一课时
（一次函数概念）
一、列解析式
二、一次函数的概念
三、一次函数的特点
例1 例2 练习
例3
作业布置
教材90页练习第1、2、3题
教材习题19.2第6题
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