第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第 2 课时
勾股定理有广泛应用，本节课学习应用勾股定理进行直角三角形的边长计算，解决一些简单的实际问题．
能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未知边之间长度的联系，进而求出未知边长解决实际问题，培养学生的建模思想；
通过勾股定理建立已知边和未知边之间的关系列出方程解决实际问题，培养学生的方程思想.
如何利用或构造直角三角形利用勾股定理解决问题.
课件.
一、知识回顾
1.直角三角形的性质
如图，在△ABC中，已知∠C=90°，则∠A和∠B的关系为 ；
a，b为直角边，c为斜边，三边关系为 ；
a，b，c，h之间的关系式为 .
2.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c是△ABC的三边，则
c= （已知a、b，求c）；
a= （已知b、c，求a）；
b= （已知a、c，求b）
3.（1）在Rt△ABC，∠C=90°，a=3，b=4，则c= .
（2）在Rt△ABC，∠C=90°，a=6，c=10，则b= .
（3）在Rt△ABC，∠C=90°，b=12，c=13，则a= .
设计意图：通过复习勾股定理，进一步复习直角三角形中三边关系，从而为后面研究实际问题提供知识保证.
二、解决实际问题
例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
分析：此题可看出，木板横着或竖着都不能通过门框，只能试试斜着能否通过.而门框对角线AC的长度是斜着能通过的最大长度，所以求出AC，再与木板的宽进行比较，就将此实际问题转化为已知直角三角形的两直角边，求斜边的问题，利用勾股定理轻松求解.
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，
AC2=AB2+BC2=12+22=5.
∴AC=≈2.24.
∵AC大于木板的宽2.2m，所以木板能从门框内通过.
设计意图：将实际问题转化为数学问题，建立几何模型，画出几何图形，分析已知量、待求量，让学生掌握解决实际问题的一般套路.
例2 如图，一架2.6米长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO 为2.4米．
（1）求梯子的底端B距墙角O多少米？
（2）如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5米，那么梯子底端B也外移0.5米吗？
分析：已知斜边和一直角边求另一直角边.
解：可以看出，BD=OD-OB.
在Rt△AOB中，根据勾股定理，OB===1；
在Rt△COD中，根据勾股定理，OD===≈1.77；
∴BD=OD-OB≈1.77-1=0.77.
答：梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端外移约0.77m.
例3 池塘中有一株荷花的茎长为OA，无风时露出水面部分CA=0.4米，如果把这株荷花旁边拉至使它的顶端A恰好到达池塘的水面B处，此时荷花顶端离原来位置的距离BC=1.2米，求这颗荷花的茎长OA．
解：如图，已知AC=0.4m，BC=1.2m，∠OCB=90°
设OA=OB=x，则OC=OA-AC=(x-0.4)m
在Rt△OBC中，由勾股定理可知OC2+BC2=OB2
∴(x-0.4)2+1.22=x2
解得，x=2
答：荷花的茎长OA等于2m.
设计意图：将实际问题转化为数学问题，如果不能直接用已知线段求待求线段时，应想到设未知数列方程，这里勾股定理是常用列方程的方法.
练习1 如图，一棵树被台风吹折断后，树顶端落在离底端3米处，测得折断后长的一截比短的一截长1米，你能计算树折断前的高度吗？
解：
根据题意画出图形，已知∠ACB=90°，AC=3，AB-BC=1.
设BC=x，则AB=BC+1=x+1.
在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AC2+BC2=AB2
∴32+x2=(x+1)2
解得，x=4.
∴AB+BC=3+5=8m.
答：树折断前的高度为8m.
【点拨】此题中能将实际问题的条件转化为数学问题是解题的关键.
例4 科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地的距离．
解：过B点作BD⊥AC于D，
在Rt△ABD中，∵∠BAD=60°，∴∠ABD=90°-∠BAD=30°，∴AD=AB=2km.
∴BD==km.
在Rt△BCD中，∵∠DBC=45°，∴CD=BD=km.∴BC==km.
答：B，C两地的距离为km.
练习2 如图所示，两艘货船分别从点A出发离开码头，甲船以16海里/时的速度向北偏东60o的方向行驶，乙船以12海里/时的速度向南偏东30o的方向行驶，若两船同时出发，2小时后两船相距多远？
解：根据题意可得∠BAC=90o，AB=16ｘ2=32海里，AC=12ｘ2=24海里，
根据勾股定理可得BC===40.
∴2小时后两船相距40海里.
例5 如图所示，C城市在A城市正东方向，现计划在A、C两城市间修建一条高速公路（即线段AC），经测量，森林保护区的中心P在A城市的北偏东60°方向上，在线段AC上距A城市120km的B处测得P在北偏东30°方向上，已知森林保护区是以点P为圆心，100km为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速公路是否穿越保护区，为什么？（参考数据≈1.73）
【分析】此题中，过P点作AB的垂线，由垂线段最短可知，P点是直线AB上所有点的连线中DP最短，也就是公路上D点离P最近，如果此时DP＜100km，则D点在保护区内，即公路穿越了保护区；反之，则不会穿越保护区.
解：公路不会穿越保护区，理由如下：
过P作PD⊥AC于D，
在Rt△BDP中，∵∠PBD=60°，
∴∠BPD=90°-∠PBD=30°，
∴PB=2BD，
设BD=x，则PB=2x，
∴PD==x.
∵∠PBD=∠A+∠APB，
∴∠APB=∠PBD-∠A=30°，
∴∠A=∠APB，
∴PB=AB=120km，
∴2x=120
解得，x=60.
∴PD=x=60≈103.8km＞100km.
∴这条公路不会穿过保护区.
练习3 如图，一幢居民楼与马路平行且相距9米，在距离载重汽车41米处（图中B点位置）就会受到噪音影响，试求在马路上以4米/秒速度行驶的载重汽车，给这幢居民楼带来多长时间的噪音影响？若影响时间超过25秒，则此路禁止该车通行，那么载重汽车可以在这条路上通行吗？
解：如图，
过点A作AC⊥BD于点C， ∵由题意得AC=9，AB=AD=41，AC⊥BD， ∴Rt△ACB中，BC==40m， ∵AB=AD，AC⊥BD，∴BD=2BC=80m，∴80÷4=20（s），∴受影响时间为20s； ∵20＜25，∴可以通行．
三、课堂小结
解决实际问题时，首先要将实际问题转化为数学问题，即画出几何图形，明确已知和未知，借助直角三角形勾股定理来解决问题；
有时需要先构造直角三角形，通过作垂线构造直角三角形来解决问题.
课件16张PPT。17.1 勾股定理第 2 课时第十七章 勾股定理一、知识回顾1.直角三角形性质
如图，在△ABC中，已知∠C=90°，则∠A和∠B的关系为: ；
a、b为直角边，c为斜边，三边关系为 ；
a、b、c、h之间的关系式为 .一、知识回顾2.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c是△ABC的三边，则
c= （已知a、b，求c）；
a= （已知b、c，求a）；
b= （已知a、c，求b）.
一、知识回顾 3.（1）在Rt△ABC，∠C=90°，a=3，b=4，则c= .
（2）在Rt△ABC，∠C=90°，a=6，c=10，则b= .
（3）在Rt△ABC，∠C=90°，b=12，c=13，则a= .
二、解决实际问题例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？例2 如图，一架2.6 m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4 m．
（1）求梯子的底端B距墙角多少米？
（2）如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5 m，那么梯子底端B也外移0.5 m吗？二、解决实际问题二、解决实际问题例3 池塘中有一株荷花的茎长为OA，无风时露出水面部分CA=0.4米，如果把这株荷花旁边拉至使它的顶端A恰好到达池塘的水面B处，此时荷花顶端离原来位置的距离BC=1.2米，求这颗荷花的茎长OA．解：如图，已知AC=0.4m，BC=1.2m、∠OCB=90°
设OA=OB=x，则OC=OA-AC=(x-0.4)m
在Rt△OBC中，由勾股定理可知OC2+BC2=OB2
∴(x-0.4)2+1.22=x2
解得，x=2
答：荷花的茎长OA等于2m.练习1 如图，一棵树被台风吹折断后，树顶端落在离底端3米处，测得折断后长的一截比短的一截长1米，你能计算树折断前的高度吗？二、解决实际问题二、解决实际问题例4 科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地的距离．练习2 如图所示，两艘货船分别从点A出发离开码头，甲船以16海里/时的速度向北偏东60°的方向行驶，乙船以12海里/时的速度向南偏东30°的方向行驶，若两船同时出发，2小时后两船相距多远？二、解决实际问题二、解决实际问题例5 如图所示，C城市在A城市正东方向，现计划在A、C两城市间修建一条高速公路（即线段AC），经测量，森林保护区的中心P在A城市的北偏东60°方向上，在线段AC上距A城市120 km的B处测得P在北偏东30°方向上，已知森林保护区是以点P为圆心，100 km为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速公路是否穿越保护区，为什么？（参考数据： ≈1.73）二、解决实际问题例5练习3 如图，一幢居民楼与马路平行且相距9米，在距离载重汽车41米处（图中B点位置）就会受到噪音影响，试求在马路上以4米/秒速度行驶的载重汽车，给这幢居民楼带来多长时间的噪音影响？若影响时间超过25秒，则此路禁止该车通行，那么载重汽车可以在这条路上通行吗？ 二、解决实际问题解：如图，过点A作AC⊥BD于点C，
∵由题意得AC=9，AB=AD=41，AC⊥BD，
∴Rt△ACB中，BC= =40m，
∵AB=AD，AC⊥BD，
∴BD=2BC=80m，
∴80÷4=20（s），
∴受影响时间为20s；
∵20＜25，
∴可以通行．二、解决实际问题练习3 1.解决实际问题时，首先要将实际问题转化为数学问题，即画出几何图形，明确已知和未知，借助直角三角形勾股定理来解决问题；
2.有时需要先构造直角三角形，通过作垂线构造直角三角形来解决问题.三、课堂小结再 见
