【2019年高考理科数学三轮冲刺不等式选讲 教案

2019年高考三轮冲刺 不等式选讲
教材版本 全国通用 课时说明（建议） 120分钟
知识点 含绝对值得不等式性质及其解法；基本不等式的证明；柯西不等式（排序不等式）
复习目标 如何选择合适的重要不等式．
复习重点 含绝对值不等式的解法
复习难点 利用不等式求函数的最值

一、高考回顾
近几年对不等式选讲的考查，一般是第23题，分值为10分.内容题型都相对稳定,难度中档,重点考查含有绝对值的不等式的解法,含有绝对值函数的图像与性质及相关不等式的最值问题,考查利用数形结合、分类讨论思想解决问题的能力.不等式选讲的内容包括:不等式的基本性质和基本不等式、含有绝对值的不等式、不等式的证明、几个著名的不等。高考对本章的考查会保持相对稳定，即在题型、题量、难度、重点考查内容等方面不会有太大的变化。

二、知识清单
1.思维导图







2.知识再现
1）．含有绝对值的不等式的解法
(1)|f(x)|>a(a>0)?f(x)>a或f(x)<－a；
(2)|f(x)|0)?－a(3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．
2）．含有绝对值的不等式的性质
|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.
问题探究：不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中，“＝”成立的条件分别是什么？
提示：不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.
3）．基本不等式
定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立．
定理2：如果a、b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立．
定理3：如果a、b、c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
定理4：(一般形式的算术—几何平均值不等式)如果a1、a2、…、an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．
4）．柯西不等式
（1）柯西不等式的代数形式：对任意实数a，b，c，d，有(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(当向量(a，d)与向量(c，d)共线时，等号成立)．
（2）柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．
（3）设a1，a2，…，an与b1，b2，…，bn是两组实数，则有(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当向量(a1，a2，…，an)与向量(b1，b2，…，bn)共线时，等号成立．

三、例题精讲
题型一 解绝对值不等式
例1、设函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|.
(1)解不等式f(x)＞3；
(2)若f(x)＞a对x∈R恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）(－∞，0)∪(3，＋∞)；（2）(－∞，1).
【解析】(1)因为f(x)＝|x－1|＋|x－2|＝
所以当x＜1时，3－2x＞3，解得x＜0；
当1≤x≤2时，f(x)＞3无解；
当x＞2时，2x－3＞3，解得x＞3.
所以不等式f(x)＞3的解集为(－∞，0)∪(3，＋∞).
(2)因为f(x)＝所以f(x)min＝1.
因为f(x)＞a恒成立，
【易错点】如何恰当的去掉绝对值符号
【思维点拨】用零点分段法解绝对值不等式的步骤：(1)求零点；(2)划区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值.

题型二 利用绝对值的几何意义或图象解不等式
例2、(1)若不等式|x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．
【答案】(1).
【解析】(1)∵|x－1|＋|x＋2|≥|(x－1)－(x－2)|＝3，
∴a2＋a＋2≤3，解得≤a≤.
即实数a的取值范围是.
【易错点】绝对值的几何意义和如何把恒成立问题转化为最值问题
【思维点拨】解含参数的不等式存在性问题，只要求出存在满足条件的x即可；不等式的恒成立问题，可转化为最值问题，即f(x)f(x)max，f(x)>a恒成立?a题型三 不等式的证明与应用
例3、设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：
(1)若ab>cd，则＋>＋；
(2)＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件．
【答案】略.
【解析】[证明]　(1)因为(＋)2＝a＋b＋2，(＋)2＝c＋d＋2，
由题设a＋b＝c＋d，ab>cd得(＋)2>(＋)2.
因此＋>＋.
(2)①若|a－b|<|c－d|，则(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.
因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.
由(1)得＋>＋.
②若＋>＋，则(＋)2>(＋)2，即
a＋b＋2>c＋d＋2.
因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.
因此|a－b|<|c－d|.
综上，＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件．
【易错点】不等式的恒等变形.
【思维点拨】分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．
成果巩固

题型一 解绝对值不等式

1.不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为________
【答案】{x|x≤－3或x≥2}.
【解析】原不等式等价于
或
或
解得x≥2或x≤－3.
故原不等式的解集为{x|x≤－3或x≥2}．


2.已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.
(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围
【答案】（1）{x|x≤1或x≥4}；（2）[－3,0]．
【解析】(1)当a＝－3时，f(x)＝
当x≤2时，由f(x)≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；
当2当x≥3时，由f(x)≥3得2x－5≥3，解得x≥4；
所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}．
(2)f(x)≤|x－4|?|x－4|－|x－2|≥|x＋a|.
当x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|
?4－x－(2－x)≥|x＋a|?－2－a≤x≤2－a.
由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0.
故满足条件的a的取值范围为[－3,0]．
3.设函数f(x)＝.
(1)当a＝－5时，求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的定义域为R，试求a的取值范围.
【答案】（1）(－∞，－2]∪[3，＋∞)；（2）a≥－3.
【解析】(1)由题设知|x＋1|＋|x－2|－5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数y＝|x＋1|＋|x－2|和y＝5的图象，知定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞).
(2)由题设知，当x∈R时，恒有|x＋1|＋|x－2|＋a≥0，即|x＋1|＋|x－2|≥－a，又由(1)知|x＋1|＋|x－2|≥3，
所以－a≤3，即a≥－3.

题型二 利用绝对值的几何意义或图象解不等式
1.已知函数.
（1）图中画出的图像；
（2）求不等式的解集．
【答案】（1）见解析（2）.
【解析】⑴如图所示：

（2）

2.不等式|x＋1|－|x－2|>k的解集为R，则实数k的取值范围是__________．
【答案】(－∞，－3)
【解析】解法一：根据绝对值的几何意义，设数x，－1,2在数轴上对应的点分别为P，A，B，则原不等式等价于PA－PB>k恒成立．∵AB＝3，即|x＋1|－|x－2|≥－3.故当k<－3时，原不等式恒成立．
解法二：令y＝|x＋1|－|x－2|，
则y＝
要使|x＋1|－|x－2|>k恒成立，从图象中可以看出，只要k<－3即可．故k<－3满足题意．


题型三 不等式的证明与应用
已知a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1；求证：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8(1－a)(1－b)(1－c).
【答案】略.
【解析】证明：因为a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1，所以要证原不等式成立，
即证[(a＋b＋c)＋a][(a＋b＋c)＋b][(a＋b＋c)＋c]
≥8[(a＋b＋c)－a][(a＋b＋c)－b][(a＋b＋c)－c]，
也就是证[(a＋b)＋(c＋a)][(a＋b)＋(b＋c)][(c＋a)＋(b＋c)]≥8(b＋c)(c＋a)(a＋b).①
因为(a＋b)＋(b＋c)≥2＞0，
(b＋c)＋(c＋a)≥2＞0，
(c＋a)＋(a＋b)≥2＞0，
三式相乘得①式成立，故原不等式得证.

2.设a、b、c、d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：
(1)若ab＞cd，则＋＞＋；
(2)＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要条件．
【答案】略.
【解析】证明　(1)因为(＋)2＝a＋b＋2，(＋)2＝c＋d＋2，
由题设a＋b＝c＋d，ab＞cd得(＋)2＞(＋)2.
因此＋＞＋.
(2)①若|a－b|＜|c－d|，
则(a－b)2＜(c－d)2，
即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.
因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.
由(1)得＋＞＋.
②若＋＞＋，则(＋)2＞(＋)2，即a＋b＋2＞c＋d＋2.
因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，于是
(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.
因此|a－b|＜|c－d|.
综上，＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要条件．
3.设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：
(1)ab＋bc＋ac≤；
(2)＋＋≥1.
【答案】略.
【解析】(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.
(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c.
所以＋＋≥1.


五、课堂小结
[方法技巧]
1．绝对值不等式求解的根本方向是去除绝对值符号．
2．绝对值不等式在求与绝对值运算有关的最值问题时需灵活运用，同时还要注意等号成立的条件．
3．在证明不等式时，应根据命题提供的信息选择合适的方法与技巧．如在使用柯西不等式时，要注意右边为常数．
[易错点睛]
1．对含有参数的不等式求解时，分类要完整．
2．应用基本不等式和柯西不等式证明时要注意等号成立的条件．
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