【2019年高考理科数学三轮冲刺导数的定义与J基础应用 教案

2019年高考三轮冲刺导数的定义与基础应用
教材版本 全国通用 课时说明（建议） 120分钟
知识点 导数的定义、几何性质；切线方程、极值、最值
复习目标 能利用导数解决常见的简单问题，如求切线方程，单调性问题，极值、最值问题
复习重点 求切线方程，单调性问题，极值、最值问题
复习难点 求切线方程，单调性问题，极值、最值问题

一、高考回顾
导数是高考的难点，一般在高考中是一大一小，小题多考切线相关问题，或者单调性、极值最值问题；而大题一直是压轴题，考查不等式恒成立、含参问题等。对大多数学生来说，导数部分能熟练掌握简单的切线问题、简单的单调性、极值最值问题即可，部分优秀学生可以挑战压轴难度的题目。

二、知识清单
1.思维导图










2.知识再现
（一）导数概念
函数在处的瞬时变化率为函数在处的导数，记作或，即
说明：
函数应在点的附近有定义，否则导数不存在
在定义导数的极限式中，趋近于可正、可负、但不为，而可能为
导数是一个局部概念，它只与函数在及其附近的函数值有关，与无关
在定义式中，设，则，当趋近于0时，趋近于，因此，导数的定义式可写成

若极限不存在，则称函数在点处不可导
导数反映函数在点处变化的快慢程度.
导数的物理意义:瞬时速度，气球的瞬时膨胀率等.
求函数在处的导数的一般方法：
①求函数的改变量，
②求平均变化率，
③取极限，得导数＝.
（二）导数的几何意义
设曲线是函数的图象，点是曲线 上一点作割线PQ当点Q 沿着曲线无限地趋近于点P，割线PQ无限地趋近于某一极限位置PT我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线c在点P 处的切线

函数在处的导数的几何意义是在曲线上点处的切线的斜率.
说明：
1. 设割线PQ的倾斜角为，切线PT的倾斜角为，既然割线PQ 的极限位置上的直线PT 是切线，所以割线PQ 斜率的极限就是切线PQ的斜率,即

2.当时，函数图象是上升的，且越大，图象上升越快，越“陡峭”;
当时，函数图象是下降的，且越小，图像下降越快，越“平缓”;
3．切线的方程
如果函数在处可导，则曲线在点处的切线的方程为
.
说明：
求曲线的切线方程时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者.

（三）导数公式及运算法则
1．三角函数的导数

2．幂函数的导数.
(为任意实数)，则. 特别地
3．对数函数的导数
()，则特别地
4．指数函数的导数
若()，则. 特别地
和(差)的运算法则：
.
6．积的运算法则：
（1）. （2） .
7．商的运算法则：

8．反函数的导数：
9．复合函数的导数：若函数在点可导，在点可导，则复合函数在点可导，则
（四）函数的单调性与导数
已知函数在区间可导：
1. 在区间内单调递增的充要条件是如果在区间内，导函数，并且在的任何子区间内都不恒等于零；
2. 在区间内单调递减的充要条件是如果在区间内，导函数，并且在的任何子区间内都不恒等于零；
说明：
1.已知函数在区间可导,则在区间内成立是在内单调递增的必要不充分条件
2.若为增函数，则一定可以推出；更加具体的说，若为增函数，则，或者除了x在一些离散的值处导数为零外，其余的值处都；
3. 时，不能简单的认为为增函数，因为的含义是或，当函数在某个区间恒有时，也满足,但在这个区间为常函数.

（五）函数的极值
1.极大值：设函数在点及附近有定义，如果对附近的所有点都满足，就说是函数的一个极大值，记作，是极大值点.
2.极小值：设函数在点及附近有定义，如果对附近的所有点都满足，就说是函数的一个极小值，记作，是极小值点.
3.极值：极大值与极小值统称为极值.
说明：
1.“在点附近”可以理解为一个要多小有多小的开区间，满足.
2.注意区分极值与极值点的区别：极值是函数值，极值点是函数取得极值时对应的自变量的取值.
3.从定义可以看出极值是函数的局部最值，一个函数在某区间上可以既有极大值也有极小值，也可以有不止一个极大（小）值.
4.极大值和极小值没有确定的大小关系. 一个函数在某区间上的极大值有可能比极小值小.
（六）函数的最值
函数存在最值的一个充分条件：
如果函数的图象在闭区间上连续，那么它必有最大值和最小值．
说明：
（1）给定函数的区间必须是闭区间，在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如函数在内连续，但没有最大值与最小值；
（2）如果函数在开区间内有唯一的极值，则此极值必是函数的最值。
（3）函数的最值是函数在某个范围的整体性质；相对于最值,函数的极值反映了函数的局部性质,重要价值在于它是函数单调区间的临界点.
（4）函数是否有极值与函数是否有最值没有必然的关系:有极值的未必有最值，有最值的未必有极值．
三、例题精讲
题型一 对导数定义的理解与考查
例1、如图，直线和圆，当从开始在平面上绕点O匀速旋转（旋转角度不超过90o）时，它扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数，它的图像大致是（ ）。


【答案】D
【解析】在直线旋转的过程中，可以发现面积的平均变化率是先增大后减小，但是始终都是正数，即面积是时间的增函数，且增幅是先快再慢。选D.
【易错点】不能把实际问题与导数的定义联系起来
【思维点拨】深刻理解导数的定义--导数反映函数在点处变化的快慢程度.理解导数的几何意义，即在某点处的导数值为该点处切线的斜率。

题型二 求切线方程
例2、曲线的方程为，求此曲线在点处的切线的斜率，以及切线的方程.

【答案】
【解析】利用导数的几何意义，曲线在点处的切线的斜率等于函数在处的导数值，再利用直线的点斜式方程写出切线方程.
由得，所以曲线在点处的切线斜率为，
过点P的切线方程为，即.
【易错点】不能根据曲线的方程起初切线的斜率
【思维点拨】曲线在某点处的切线斜率，即在该点处导函数的函数值
题型三 单调性问题
例3、已知在R上是减函数，则的取值范围 .

【答案】
【解析】函数的导数：
由已知得在R上恒成立.
当时，，显然在R上不是恒成立；
当时，有解得.
综上，所求的取值范围是
【易错点】丢掉a=0的情况
【思维点拨】对参数问题，务必保持警惕，不要因为“潜在假设”而失误
题型四 极值问题
例4．求函数的极值.
【答案】时，有极大值，并且极大值为；当时，有极小值，并且极小值为.
【解析】(1) .
令，解得：或.
当变化时，，的变化情况如下表：
(-∞，-1) -1 (-1，1) 1 (1,+∞)
+ 0 - 0 +
↗ 5 ↘ 1 ↗

因此，时，有极大值，并且极大值为；当时，有极小值，并且极小值为.
【易错点】极值是指的函数值，而非自变量x的值，定义要清楚
【思维点拨】用导数求函数极值的步骤
（1）求；
（2）求出方程所有的根；
（3）对于在函数定义域内的根，逐个进行检验：（建议列表）
①如果在根附近的左侧，右侧，那么是极大值；
②如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值．
（4）应当指出的是，有些函数在某些点处的导数不存在，这些点需要单独验证是否是极值点.例如，在处的导数不存在，但是函数的极值点.
题型五 最值问题
例5．求函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】函数在区间上的最大值为，最小值为.
【解析】(1) . 令，解得：或.
当变化时，的变化情况如下表：
-3 (-3,-2) -2 (-2，2) 2 (2,4) 4
+ 0 - 0 +
7 ↗ ↘ ↗

因此，函数在区间上的最大值为，最小值为.
【易错点】不知道去计算、去比较哪些函数值
【思维点拨】求函数在闭区间上的最值的步骤：
（1）求函数在开区间)内的极值；
（2）将函数的各极值与和比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

四、成果巩固

题型一 对导数定义的理解与考查
1. 3.如果质点A按规律s=2t3运动，则在t=3 s时的瞬时速度为
A.6 B.18 C.54 D.81
【答案】C
【解析】∵s′=6t2，∴s′|t=3=54.
2．若，则等于 （ ）
A. －2 B. －4 C. 2 D. 0
【答案】B
【解析】
∵，∴，∴，∴ ，∴ ，故选B
3. (如图所示）函数在点P处的切线方程是，则=

【答案】2
【解析】
因为函数在点P处的切线方程是，所以，所以=2.考

题型二 求切线方程
1.求曲线经过点的切线方程.
【答案】见解析
【解析】本题要分点是切点和不是切点两类进行求解.
由得，所以曲线在点处切线的斜率为
若点是切点，则，于是切线方程为，即；
若点不是切点，则切线率，解之得，所以，所以切线方程是，即.
2. 设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．
【答案】（1,1）
【解析】∵(ex)′＝e0＝1，设P(x0，y0)，有′＝－＝－1，又∵x0＞0，∴x0＝1，故P的坐标为(1，1)．
3．设函数，曲线在点处的切线方程为，
（1）求，的值；
（2）求的单调区间.
【答案】略
【解析】（1）因为，所以
依题设，，即 解得：
（2）由（I）知
由即知，与同号
令，则
所以，当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增
故是在区间上的最小值，从而
综上可知，，，
故的单调递增区间为
题型三 单调性问题
1．设，求函数)的单调区间。
【答案】见解析
【解析】，因为x>0,a>0，所以x2+(2a-4)x+a2>0；x2+(2a-4)x+a2<0.
（1）当a1时，对所有x>0，有x2+(2a-4)x+a20，即(x)0,f(x)在(0,+∞)上单调递增；
（2）当00，
解得x<2-a-或x>2-a+，
因此，f(x)在(0,2-a-)，(2-a+,+∞)内单调递增，
而当2-a-所以f(x)在(2-a-,2-a+)内单调递减。
2.是定义在内的函数，为其导函数，且恒成立（ ）
A． B． C． D .
【答案】C
【解析】 由于，得即
所以构造函数，由知在是增函数。
对于A：即为，错误；
对于B：即为，错误；
对于C：即为，正确；

3. 已知.
（I）讨论的单调性；
（II）当有最大值,且最大值大为时,求的取值范围.
【答案】见解析
【解析】（I）的定义域为，，若，则，在时单调递增。若，则当时，当时。所以在单调递增，在单调递减。
（II）由（I）知当时在无最大值；当时，在取得最大值，最大值为，因此，令，则在是增函数，。于是当时，；当时，。因此的取值范围是
4. 设函数。证明：在单调递减，在单调递增；
【答案】见解析
【解析】设函数。证明：在单调递减，在单调递增；
解析：（I）因为，所以
在R上恒成立，所以在R上单调递增。而，所以时，；所以时，；
所以在单调递减，在单调递增。

题型四 极值问题
1．设函数的导函数为，若为奇函数，且在上存在极大值，则的图像可能为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】若为奇函数，则的导函数为是偶函数，否AC。
又由于在上存在极大值，即的图象在有“峰”，所以在存在变号零点且由正变负。选D
2． 设在和处都取得极值，则与的值为 ，这时极大值点是 ；极小值点是 。
【答案】，x=2，x=1。
【解析】 因为f(x)在(0,+∞)上连续，可导，又f(x)在x1=1，x2=2处取得极值，所以，又+2bx+1，所以解得
所以.[来源:Z*xx*k.Com]
所以当x∈(0,1)时，，所以f(x)在(0,1]上递减；
当x∈(1,2)时，，所以f(x)在[1，2]上递增；
当x∈(2,+∞)时，，所以f(x)在[2，+∞）上递减。
综上可知f(x)在x1=1处取得极小值，在x2=2处取得极大值。
答案：，x=2，x=1。
3. 已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．
【答案】略
【解析】(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.
由已知，得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8.
从而a＝4，b＝4.
(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，
f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2).
令f′(x)＝0得，x＝－ln 2或x＝－2.
从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)＞0；
当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)＜0.
故f(x)在(－∞，－2]，[－ln 2，＋∞)上单调递增，在[－2，－ln 2]上单调递减．当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．
题型五 最值问题
1．设函数若对于任意都有成立，求实数的取值范围。
【答案】略
【解析】 令得或。
∵当或时，∴在和上为增函数，
在上为减函数，∴在处有极大值，在处有极小值。
极大值为, 而, ∴在上的最大值为7。
若对于任意x都有成立, 得m的范围 。
2．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0，1)内有最小值，则a的取值范围是(　　)
A．[0，1) B．(－1，1)
C. D．(0，1)
【答案】D
【解析】f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)．当a≤0时，f′(x)＞0，
∴f(x)在(0，1)内单调递增，无最小值．
当a＞0时，f′(x)＝3(x－)(x＋)．
当x∈(－∞，－)和(，＋∞)时，f(x)单调递增；
当x∈(－，)时，f(x)单调递减，
所以当＜1，即0＜a＜1时，f(x)在(0，1)内有最小值．
答案　D
3. 已知a∈R，函数f(x)＝＋ln x－1.
(1)当a＝1时，求曲线x＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)求f(x)在区间(0，e]上的最小值．
【答案】略
【解析】(1)当a＝1时，f(x)＝＋ln x－1，x∈(0，＋∞)，
所以f′(x)＝－＋＝，x∈(0，＋∞)．
因此f′(2)＝，即曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为.
又f(2)＝ln 2－，
所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为
y－(ln 2－)＝(x－2)，即x－4y＋4ln 2－4＝0.
(2)因为f(x)＝＋ln x－1，
所以f′(x)＝－＋＝，x∈(0，＋∞)．
令f′(x)＝0，得x＝a.
①若a≤0，则f′(x)>0，f(x)在区间(0，e]上单调递增，此时函数f(x)无最小值．
②若0函数f(x)在区间(0，a)上单调递减，当x∈(a，e]时，
f′(x)>0，函数f(x)在区间(a，e]上单调递增，
所以当x＝a时，函数f(x)取得最小值ln a.
③若a≥e，则当x∈(0，e]时，f′(x)≤0，函数f(x)在区间(0，e]上单调递减，
所以当x＝e时，函数f(x)取得最小值.
综上可知，当a≤0时，函数f(x)在区间(0，e]上无最小值；
当0当a≥e时，函数f(x)在区间(0，e]上的最小值为.
五、课堂小结
（1）对于可导函数，某点为极值点的必要条件是这点的导数为0；某一点是极值点的充分条件是在这点两侧的导数异号。此外，函数的极值点也可能是不可导点。
（2）求可导函数极值的步骤：
首先：求导数；再求导数=0的根；最后：检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取极大值；如果左负右正，那么在这个根处取极小值。
（3）利用导数求最值，先确定函数的极值是关键，同时，最值通常应在极值及端点处取得。当函数f（x）为连续函数且在[a,b]单调时，其最大值、最小值在端点处取得；当连续函数f（x）在（a，b）内只有一个可疑点时，若在这一点处f（x）有极大（小）值，则可以判定f（x）在该点处取得最大（小）值，这里（a，b）也可以是无穷区间。

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