【2019年高考理科数学三轮冲刺直线与圆 教案

2019年高考理科数学三论冲刺讲直线与圆
教材版本 全国通用 课时说明（建议） 120分钟
知识点 直线与圆方程、直线与圆的位置关系
复习目标 会在复杂图形关系下，求直线方程、论证三点共线或直线与直线的位置关系. 能够用恰当的集合关系转化点到直线距离、直线与圆以及圆与圆的位置关系. 能够恰当运用参数，建立函数，求解最值或参数取值范围.
复习重点 直线方程，圆的标准方程和一般方程 直线与圆、圆与圆的位置关系
复习难点 能够恰当运用参数，建立函数，求解最值或参数取值范围. 对含有多字母的方程进行化简，运用方程思想解决相关定点定值问题

一、高考回顾
近几年对直线与圆的考查，一般是一大一小。小题往往考查直线与圆的位置关系或者隐形圆的问题。大题主要考查直线与圆的位置关系，有一定灵活性。高考对本章的考查会保持相对稳定，即在题型、题量、难度、重点考查内容等方面不会有太大的变化。
二、知识清单
1.思维导图
(
核心方法
思维特征
动点
方程
F(x,y)=0
直线方程、直线间关系
圆的标准和一般方程
直线与圆、圆与圆位置关系
核心知识
直线与圆
利用几何方法研究性质
利用代数方程研究性质
利用向量方法研究性质
图象语言
符号化语言
描述性语言
思维载体
)


2.知识再现
（1）两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2?k1＝k2.特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2平行．
(2)两条直线垂直
如果两条直线l1，l2斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2?k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直．
（2）两直线相交
交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应．
相交?方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；
平行?方程组无解；
重合?方程组有无数个解．
（3）三种距离公式
点A(x1，y1)、B(x2，y2)间的距离：AB＝.
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离：d＝.
两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0 (C1≠C2)间的距离为d＝.
（4）圆的标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中(a，b)为圆心，r为半径．
（5）圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0，其中圆心为，半径r＝.
（6）确定圆的方程的方法和步骤
确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；
(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；
(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．
（7）点与圆的位置关系
点和圆的位置关系有三种．
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)
(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；
(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；
(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2（8）直线与圆的位置关系
1.位置关系有三种：相离、相切、相交.
2.判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：
①代数法：利用判别式Δ，即直线方程与圆的方程联立方程组消去或整理成一元二次方程后，计算判别式Δ
②几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：

（9）圆的切线方程
1.若圆的方程为，点在圆上，则过点且与圆相切的切线方程为．
注：点必须在圆上．
2.经过圆上点的切线方程为：
．
（10）计算直线被圆截得的弦长的常用方法
①几何方法
运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．
②代数方法
运用韦达定理及弦长公式
说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．
（11）圆与圆的位置关系
1.圆与圆的位置关系可分为五种：相离、相交、外切、内切、内含.
2.判断圆与圆的位置关系常用方法：
(几何法)设两圆圆心分别为、，半径为、，当相离；外切；相交；内切；内含．
3.已知两圆和相交，则与两圆共交点的圆系方程为，其中为的任意常数，因此圆系不包括第二个圆．
4.当时，为两圆公共弦所在的直线，方程为.
三、例题精讲
题型一直线方程、两直线的位置关系
例1已知两直线和.试确定、的值，使：
(1)与相交于点；
(2)∥；
(3)⊥，且在轴上的截距为－1.

【答案】（1），.
（2），时或，时，∥.
（3），
【解析】(1)由题意得，解得，.
(2)当时，显然不平行于；
当时，由，得　或.
即，时或，时，∥.
(3)当且仅当，即时，⊥.又，∴.
即，时，⊥，且在轴上的截距为－1.

【易错点】忽略对的情况的讨论
【思维点拨】遇到直线类题型，首先要注意特殊情况如斜率不存在时或时，并且对于直线平行和垂直时与和间的关系要熟练记忆。

例2如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y－3＝0所截的线段的中点在直线l3：x－y－1＝0上，求其方程．


【答案】.
【解析】与、平行且距离相等的直线方程为.
设所求直线方程为，即.又直线过，∴.解.∴所求直线方程为.

【易错点】求错与、平行且距离相等的直线方程
【思维点拨】本题的关键在于求到、平行且距离相等的直线方程，再利用这条直线求出和第三条支线的交点，从而求解本题.


题型二 圆的方程（对称问题、圆的几何性质运用）
例1已知实数、满足方程.
(1)求的最大值和最小值；
(2)求的最大值和最小值．

【答案】（1）的最大值为，最小值为.
（2）的最大值为，最小值为.

【解析】(1)原方程化为，表示以点为圆心，以为半径的圆．设，即，当直线与圆相切时，斜率取最大值和最小值，此时，解得.故的最大值为，最小值为.
(2)设，即，当与圆相切时，纵截距取得最大值和最小值，此时，即.故的最大值为，最小值为.

【易错点】理解错给定要求结果的含义
【思维点拨】正确理解给定结果的含义，在利用题中的条件解决问题。

例2已知点，为圆上一动点，当点在圆上运动时，的中点的轨迹方程是　　　　　.
【答案】.
【解析】设点为所求轨迹上任意一点，.
因为M为PQ的中点，所以即
又因为点在圆上，
所以，
故所求的轨迹方程为.

【易错点】中点的错误应用
【思维点拨】求出中点横纵坐标的方程及求出所求的直线

题型三 直线与圆、圆与圆的位置关系
例1在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+(y-3)2=2，点A是x轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ长的取值范围是　　　　.
【答案】PQ∈.
【解析】设∠PCA=θ，所以PQ=2sin θ.
又cos θ=，AC∈[3，+∞)，所以cos θ∈，
所以cos2θ∈，sin2θ=1-cos2θ∈，
所以sin θ∈，所以PQ∈.


【易错点】直接去求线段的长度
【思维点拨】转化思想，把要求的线段长度转化为角度的关系，从而解决问题.

例2已知圆
(1)若圆的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；
(2)从圆外一点向该圆引一条切线，切点为为坐标原点，且有求使得取得最小值时点的坐标．

【答案】（1），或.
（2）
【解析】(1)将圆配方得.
当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为 ，
由，解得，得.
当直线在两坐标轴上的截距不为零时，
设直线方程为，由，得，.
∴直线方程为，或.
(2)由,得，
即点在直线上．
当取最小值时，即取得最小值，直线，
∴直线的方程为.
得点的坐标为.

【易错点】没有分类讨论
【思维点拨】考查用点斜式、斜截式求直线的方法，利用分类讨论思想来解决问题


题型四 定点定值轨迹问题
例1已知t∈R，圆C：x2+y2-2tx-2t2y+4t-4=0.
(1)若圆C的圆心在直线x-y+2=0上，求圆C的方程.
(2)圆C是否过定点?如果过定点，求出定点的坐标；如果不过定点，请说明理由.

【答案】（1）圆C的方程为x2+y2+2x-2y-8=0或x2+y2-4x-8y+4=0.
（2）过定点，定点坐标为
【解析】(1)由原方程配方得(x-t)2+(y-t2)2=t4+t2-4t+4，其圆心为C(t，t2).
依题意知t-t2+2=0，所以t=-1或2.
即圆C的方程为x2+y2+2x-2y-8=0或x2+y2-4x-8y+4=0.
(2)整理圆C的方程为(x2+y2-4)+(-2x+4)t+(-2y)·t2=0，
令
所以圆C过定点(2，0).

【易错点】漏解
【思维点拨】判定圆是否过定点，或是求圆所过定点坐标的问题，可以在方程形式上转化为关于某个参量的方程，结合恒等式的关系，再构造关于x，y的方程组求该点的坐标.若方程组有解，则说明圆过定点，否则圆不过定点.


例2如图，已知圆C：x2+(y-3)2=4，一动直线l过点A(-1，0)与圆C相交于P，Q两点，M是PQ的中点，l与直线m：x+3y+6=0相交于点N.
(1)求证：当l与m垂直时，l必过圆心C.
(2)当PQ=2时，求直线l的方程.
(3)探索·是否与直线l的倾斜角有关?若无关，请求出其值；若有关，请说明理由.


【答案】（1）见解析
（2）x=-1或4x-3y+4=0.
（3）·与直线l的倾斜角无关，且·=-5.
【解析】(1)因为l与m垂直，且km=-，所以kl=3.又kAC=3，所以当l与m垂直时，l的方程为y=3(x+1)，l必过圆心C.
(2)①当直线l与x轴垂直时，易知x=-1，符合题意.
②当直线l与x轴不垂直时，
设直线l的方程为y=k(x+1)，即kx-y+k=0.
因为PQ=2 ，所以CM==1，
则由CM==1，得k=，
所以直线l：4x-3y+4=0，
从而所求的直线l的方程为x=-1或4x-3y+4=0.
因为CM⊥MN，所以
·=(+)·=·+·=·.
①当l与x轴垂直时，易得N，
则=.又=(1，3)，
所以·=·=-5；
②当l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x+1)，
则由得N，
则=，
所以·=·=+=-5.
综上，·与直线l的倾斜角无关，且·=-5.

【易错点】忽略对斜率不存在情况的讨论
【思维点拨】一般地，涉及到圆的切线或考虑其弦长问题时，若需要求直线的方程，则务必要全面考虑问题，即要考虑直线的斜率存在与不存在两种情况.


四、成果巩固

题型一直线方程、两直线的位置关系

1.已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
(1)试判断l1与l2是否平行；
(2)l1⊥l2时，求a的值．

【答案】（1）当a＝－1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行
（2）a＝
【解析】（1）由A1B2－A2B1＝0，得a(a－1)－1×2＝0，由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1)－1×6≠0，
∴l1∥l2?，
故当a＝－1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行．
（2）　由A1A2＋B1B2＝0得a＋2(a－1)＝0?a＝.

2.已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，在坐标平面内求一点P，使PA＝PB，且点P到直线l的距离为2.

【答案】P的坐标为或
【解析】设点P的坐标为(a，b)，∵A(4，－3)，B(2，－1)，
∴线段AB的中点M的坐标为(3，－2)，
∴线段AB的垂直平分线方程为y＋2＝x－3，即x－y－5＝0.
∵点P(a，b)在上述直线上，∴a－b－5＝0.①
又P(a，b)到直线l：4x＋3y－2＝0的距离为2，∴＝2，即4a＋3b－2＝±10，②
联立①②可得或.∴所求点P的坐标为或.

3.如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是________．


【答案】CD＝2
【解析】由题意知点P关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(－2,0)，则光线所经过的路程PMN的长为CD＝2.



题型二 圆的方程（对称问题、圆的几何性质运用）
1.根据下列条件，求圆的方程：
(1)经过P(－2,4)、Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6；
(2)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)．

【答案】（1）x2＋y2－2x－4y－8＝0，或x2＋y2－6x－8y＝0
（2）(x－1)2＋(y＋4)2＝8
【解析】(1)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将P、Q点的坐标分别代入得
又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③
设x1，x2是方程③的两根，由|x1－x2|＝6有D2－4F＝36，④
由①、②、④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8，或D＝－6，E＝－8，F＝0.
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0，或x2＋y2－6x－8y＝0.
(2)　如图，设圆心(x0，－4x0)，依题意得＝1，
∴x0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r＝2，
故圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.

2.在平面直角坐标系xOy中，二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)与两坐标轴有三个交点.记过三个交点的圆为圆C.
(1)求圆C的方程；
(2)圆C是否经过定点(与b的取值无关)?证明你的结论.

【答案】（1）x2+y2+2x-(b+1)y+b=0.
（2）圆C必过定点(0，1)，(-2，1)
【解析】(1)设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，令y=0，得x2+Dx+F=0，这与x2+2x+b=0是同一个方程，故D=2，F=b；令x=0，得y2+Ey+b=0，此方程有一个根为b，代入得E=-b-1，所以圆C的方程为x2+y2+2x-(b+1)y+b=0.
(2)圆C必过定点(0，1)，(-2，1).
证明如下：原方程转化为(x2+y2+2x-y)+b(1-y)=0，即解得或.

3.点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是___________．

【答案】(x－2)2＋(y＋1)2＝1
【解析】设圆上任一点坐标为(x0，y0)，x＋y＝4，连线中点坐标为(x，y)，
则?，代入x＋y＝4中得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.


题型三 直线与圆、圆与圆的位置关系
1.若过点P(1，1)的直线将圆形区域{(x，y)|x2+y2≤4}分为两部分，且使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为　　　　　　.
【答案】x+y-2=0

【解析】当圆心与点P的连线和过点P的直线垂直时，符合条件.圆心O与点P连线的斜率k=1，所以所求直线的斜率为-1，故所求直线方程为x+y-2=0.

2. 直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是________．

【答案】
【解析】
设圆心为，弦的中点为，当时，
.∴当时，圆心到直线的距离.∴.∴，∴

3.若圆O：x2+y2=5与圆O1：(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是　　　　.

【答案】

【解析】依题意得OO1==5，且△OO1A是直角三角形，=··OO1=·OA·AO1，因此AB===4.



题型四 定点定值轨迹问题
1. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x+1)2+y2=1，圆C2：(x-3)2+(y-4)2=1.设动圆C同时平分圆C1、圆C2的周长.
(1)求证：动圆圆心C在一条定直线上运动.
(2)动圆C是否经过定点?若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由.


【答案】（1）动圆圆心C在定直线x+y-3=0上运动
（2）动圆C过定点，定点的坐标为和.

【解析】(1)设圆心C(x，y)，由题意，得CC1=CC2，
即=，
化简得x+y-3=0，
即动圆圆心C在定直线x+y-3=0上运动.
(2)圆C过定点.
设C(m，3-m)，则动圆C的半径为
=.
于是动圆C的方程为(x-m)2+(y-3+m)2=1+(m+1)2+(3-m)2，
整理，得x2+y2-6y-2-2m(x-y+1)=0，
联立方程组
解得或
所以动圆C过定点，定点的坐标为和.

2. 已知圆C：(x-3)2+(y-4)2=4，直线l1过定点A(1，0).
(1)若l1与圆相切，求直线l1的方程.
(2)若l1与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，又l1与l2：x+2y+2=0的交点为N，判断AM·AN是否为定值?若是，则求出定值；若不是，请说明理由.

【答案】（1）x=1或3x-4y-3=0.
（2）AM·AN是定值且为6.
【解析】(1)①若直线l1的斜率不存在，即直线为x=1，符合题意.
②若直线l1斜率存在，设直线l1的方程为y=k(x-1)，即kx-y-k=0.
由题意知，圆心(3，4)到已知直线l1的距离等于半径2，即=2，解得k=，
所以所求直线方程为x=1或3x-4y-3=0.
(2)方法一：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx-y-k=0.
由得N.
又因为直线CM与l1垂直，
由得M，
所以AM·AN=·
=·=6为定值.故AM·AN是定值且为6.
方法二：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx-y-k=0.
由得N.
再由
得(1+k2)x2-(2k2+8k+6)x+k2+8k+21=0，
所以x1+x2=，得M.
以下同方法一.
方法三：(几何法)

　(变式)
连接CA并延长交l2于点B，由题知kAC=2，=-，
所以CB⊥l2.
如图，△AMC∽△ABN，
所以=，
可得AM·AN=AC·AB=2·=6，是定值.


3. 　如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y=2x-4，设圆C的半径为1，圆心在直线l上.
(1)若圆心C也在直线y=x-1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
(2)若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围.


【答案】（1）y=3或3x+4y-12=0.
(2)
【解析】(1)由得圆心C为(3，2)，
因为圆C的半径为1，
所以圆C的方程为(x-3)2+(y-2)2=1.
由题知切线的斜率一定存在，
设所求圆C的切线方程为y=kx+3，即kx-y+3=0，
所以=1，所以|3k+1|=，
所以2k(4k+3)=0，所以k=0或k=-.
所以所求圆C的切线方程为y=3或y=-x+3，
即y=3或3x+4y-12=0.
(2)因为圆C的圆心在直线l：y=2x-4上，
所以设圆心C为(a，2a-4)，
则圆C的方程为(x-a)2+[y-(2a-4)]2=1.
又因为MA=2MO，所以设点M(x，y)，
则=2，整理得
x2+(y+1)2=4，设为圆D.
所以点M应该既在圆C上又在圆D上，即圆C和圆D有交点，所以|2-1|≤≤|2+1|，
由5a2-12a+8≥0得a∈R；
由5a2-12a≤0，得0≤a≤.
终上所述，实数a的取值范围为



五、课堂小结

1.有关直线的题目要注意对斜率存在与否进行讨论，直线的五种表达形式各有优缺点要随题意而定。
2.与圆有关的最值和范围的讨论常用以下方法：
(1)结合圆的方程的特点确定几何量之间的大小关系；
(2)函数值域求解法，即把所讨论的参数作为一个函数，一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的取值范围；
(3)利用不等式，若能将问题能转化为“和为定值”或“积为定值”，则可以用基本不等式求解.
3.定点问题的求解步骤：
(1)选参变量：需要证明过定点的动直线(曲线)往往随着某一个量的变化而变化，可以选择这个量为参变量(当涉及到的参变量较多时，也可以选择多个参变量)；
(2)求动直线(曲线)方程：求出只含上述参变量的动直线(曲线)方程，并由其他条件减少参变量的个数，最终使方程中只含一个参变量；
(3)定点：求出定点坐标.不妨设方程中所含参变量为λ，把方程写为形如f(x，y)+λg(x，y)=0的形式，然后解关于x，y的方程组得到定点坐标.





2
1