【2019年高考理科数学三轮冲刺坐标系与参数方程 教案

2019年高考理科数学三轮冲刺坐标系与参数方程
教材版本 全国通用 课时说明（建议） 120分钟
知识点 直角坐标与极坐标的互化、直线、圆的极坐标方程、参数方程；
复习目标 ⑴了解参数方程，了解参数的意义． ⑵能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程． ⑶理解坐标系的作用． ⑷了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况
复习重点 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．
复习难点 极坐标与参数方程的综合应用；通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义．

一、高考回顾
高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.
二、知识清单
1.思维导图





2.知识再现
1）、直角坐标与极坐标的互化
如图，把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则

【特别提醒】在曲线方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．
2）、直线、圆的极坐标方程
(1)直线的极坐标方程
若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．
几个特殊位置直线的极坐标方程
①直线过极点：θ＝α；
②直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a；
③直线过点M且平行于极轴：ρsin θ＝b.
(2)几个特殊位置圆的极坐标方程
①圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；
②圆心位于M(r,0)，半径为r：ρ＝2rcos θ；
③圆心位于M，半径为r：ρ＝2rsin θ.
【特别提醒】当圆心不在直角坐标系的坐标轴上时，要建立圆的极坐标方程，通常把极点放置在圆心处，极轴与x轴同向，然后运用极坐标与直角坐标的变换公式．
3）、参数方程
(1)直线的参数方程
过定点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．
(2)圆、椭圆的参数方程
①圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数，0≤θ≤2π)．
②椭圆＋＝1的参数方程为(θ为参数)．
【特别提醒】在参数方程和普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．

三、例题精讲
题型一 曲线的极坐标方程
例1 、在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求C1，C2的极坐标方程；
(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积.
【答案】（1）C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0；
（2）面积为.
【解析】(1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，
C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.
(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，
得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.
故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.
由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为.
【易错点】互化公式：x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)，要注意ρ，θ的取值范围及其影响.
【思维点拨】１．进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)，要注意ρ，θ的取值范围及其影响，灵活运用代入法等技巧.
２．由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解.

题型二 参数方程及其应用
例2、已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数).
(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
(2)过曲线C上任一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值.
【答案】（1）2x＋y－6＝0；（2）最大值为，最小值为.
【解析】(1)曲线C的参数方程为(θ为参数).
直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.
(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离为
d＝|4cos θ＋3sin θ－6|.
则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝.
当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为；
当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.
【易错点】参数方程要变形使用.
【思维点拨】1.将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件.
在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解.

题型三 极坐标与参数方程的综合应用
例3、在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.
【答案】（1）x＋y－4＝0；（2）最小值为，此时点P的直角坐标为.
【解析】(1)C1的普通方程为＋y2＝1，曲线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.
(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos α，sin α).因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值.
又d(α)＝＝，当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，
最小值为，此时点P的直角坐标为.
【易错点】
【思维点拨】1.涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.
2.数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.
四、成果巩固

题型一 曲线的极坐标方程
1.在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.求直线C1与曲线C2交点的极坐标.
【答案】.
【解析】联立方程解之得θ＝且ρ＝－2.
所以直线C1与曲线C3交点的极坐标为.

2.在极坐标系中，已知极坐标方程C1：ρcos θ－ρsin θ－1＝0，C2：ρ＝2cos θ.
(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；
(2)若曲线C1，C2交于A，B两点，求两点间的距离.
【答案】（1）x－y－1＝0，表示一条直线，(x－1)2＋y2＝1圆.
【解析】(1)由C1：ρcos θ－ρsin θ－1＝0，
∴x－y－1＝0，表示一条直线.
由C2：ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ.
∴x2＋y2＝2x，则(x－1)2＋y2＝1，
∴C2是圆心为(1，0)，半径r＝1的圆.
(2)由(1)知，点(1，0)在直线x－y－1＝0上，因此直线C1过圆C2的圆心.
∴两交点A，B的连线段是圆C2的直径，因此两交点A，B间的距离|AB|＝2r＝2.
3.在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.求圆C2关于极点的对称圆的方程.
【答案】ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0.
【解析】∵点(ρ，θ)与点(－ρ，θ)关于极点对称，设点(ρ，θ)为对称圆上任意一点，则(－ρ，θ)在圆C2上，
∴(－ρ)2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0，
故所求圆C2关于极点的对称圆方程为ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0.

题型二 参数方程及其应用
1.若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为(　　)
A．ρ＝，0≤θ≤
B．ρ＝，0≤θ≤
C．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤
D．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤
【答案】A
【解析】∵∴y＝1－x化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρ＝.∵0≤x≤1，∴线段在第一象限内(含端点)，∴0≤θ≤.故选A.
2.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数).以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)写出直线l的普通方程以及曲线C的极坐标方程；
(2)若直线l与曲线C的两个交点分别为M，N，直线l与x轴的交点为P，求|PM|·|PN|的值.

【答案】（1）ρ＝4sin θ；（2）1.
【解析】(1)直线l的参数方程为(t为参数)，
消去参数t，得x＋y－1＝0.
曲线C的参数方程为(θ为参数)，
利用平方关系，得x2＋(y－2)2＝4，则x2＋y2－4y＝0.
令ρ2＝x2＋y2，y＝ρsin θ，代入得C的极坐标方程为ρ＝4sin θ.
(2)在直线x＋y－1＝0中，令y＝0，得点P(1，0).
把直线l的参数方程代入圆C的方程得t2－3t＋1＝0，
∴t1＋t2＝3，t1t2＝1.
由直线参数方程的几何意义，|PM|·|PN|＝|t1·t2|＝1.

题型三 极坐标与参数方程的综合应用
1.在直角坐标系中，圆的方程为．
（1）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；
（2）直线的参数方程是（为参数）, 与交于两点，，求的斜率．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由可得的极坐标方程
（2）在（I）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为
由所对应的极径分别为将的极坐标方程代入的极坐标方程得

于是
[来源:学科网]
由得，
所以的斜率为或
2.已知曲线C的参数方程为(θ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin＝4.
(1)写出曲线C的极坐标方程和直线l的普通方程；
(2)若射线θ＝与曲线C交于O，A两点，与直线l交于B点，射线θ＝与曲线C交于O，P两点，求△PAB的面积.
【答案】（1）x＋y－8＝0；（2）2.
【解析】(1)由(θ为参数)，消去θ.
普通方程为(x－2)2＋y2＝4.
从而曲线C的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＝0，即ρ＝4cos θ，
因为直线l的极坐标方程为ρsin＝4，即ρsin θ＋ρcos θ＝4，
∴直线l的直角坐标方程为x＋y－8＝0.
(2)依题意，A，B两点的极坐标分别为，，
联立射线θ＝与曲线C的极坐标方程，
得P点极坐标为，
∴|AB|＝2，
∴S△PAB＝×2×2sin＝2.
五、课堂小结
1.在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决.
2.要熟悉常见曲线的参数方程、极坐标方程，如：圆、椭圆、及过一点的直线，在研究直线与它们的位置关系时常用的技巧是转化为普通方程解答.
3.过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为(t为参数)，t的几何意义是的数量，即|t|表示P0到P的距离，t有正负之分.使用该式时直线上任意两点P1，P2对应的参数分别为t1，t2，则|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中点对应的参数为(t1＋t2).




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