【2019年高考三轮冲刺 导数的综合应用 教案

2019年高考三轮冲刺导数的综合应用
教材版本 全国通用 课时说明（建议） 120分钟
知识点 导数的定义、几何性质；切线方程、极值、最值
复习目标 掌握导数部分常见问题的解决方法，如含参的不等式、单调性、极值问题，以中等难度为主
复习重点 掌握数学思想方法，比如数形结合，分类讨论等
复习难点 含参的各类问题，如不等式、单调性、极值问题

一、高考回顾
导数是高考的难点，一般在高考中是一大一小，小题多考切线相关问题，或者单调性、极值最值问题；而大题一直是压轴题，考查不等式恒成立、含参问题等。对大多数学生来说，导数部分能熟练掌握简单的切线问题、简单的单调性、极值最值问题即可，部分优秀学生可以挑战压轴难度的题目。本
二、知识清单
1.思维导图











2.知识再现
（一）导数概念
函数在处的瞬时变化率为函数在处的导数，记作或，即
说明：
函数应在点的附近有定义，否则导数不存在
在定义导数的极限式中，趋近于可正、可负、但不为，而可能为
导数是一个局部概念，它只与函数在及其附近的函数值有关，与无关
在定义式中，设，则，当趋近于0时，趋近于，因此，导数的定义式可写成

若极限不存在，则称函数在点处不可导
导数反映函数在点处变化的快慢程度.
导数的物理意义:瞬时速度，气球的瞬时膨胀率等.
求函数在处的导数的一般方法：
①求函数的改变量，
②求平均变化率，
③取极限，得导数＝.
（二）导数的几何意义
设曲线是函数的图象，点是曲线 上一点作割线PQ当点Q 沿着曲线无限地趋近于点P，割线PQ无限地趋近于某一极限位置PT我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线c在点P 处的切线

函数在处的导数的几何意义是在曲线上点处的切线的斜率.
说明：
1. 设割线PQ的倾斜角为，切线PT的倾斜角为，既然割线PQ 的极限位置上的直线PT 是切线，所以割线PQ 斜率的极限就是切线PQ的斜率,即

2.当时，函数图象是上升的，且越大，图象上升越快，越“陡峭”;
当时，函数图象是下降的，且越小，图像下降越快，越“平缓”;
3．切线的方程
如果函数在处可导，则曲线在点处的切线的方程为
.
说明：
求曲线的切线方程时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者.

（三）导数公式及运算法则
1．三角函数的导数

2．幂函数的导数.
(为任意实数)，则. 特别地
3．对数函数的导数
()，则特别地
4．指数函数的导数
若()，则. 特别地
和(差)的运算法则：
.
6．积的运算法则：
（1）. （2） .
7．商的运算法则：

8．反函数的导数：
9．复合函数的导数：若函数在点可导，在点可导，则复合函数在点可导，则
（四）函数的单调性与导数
已知函数在区间可导：
1. 在区间内单调递增的充要条件是如果在区间内，导函数，并且在的任何子区间内都不恒等于零；
2. 在区间内单调递减的充要条件是如果在区间内，导函数，并且在的任何子区间内都不恒等于零；
说明：
1.已知函数在区间可导,则在区间内成立是在内单调递增的必要不充分条件
2.若为增函数，则一定可以推出；更加具体的说，若为增函数，则，或者除了x在一些离散的值处导数为零外，其余的值处都；
3. 时，不能简单的认为为增函数，因为的含义是或，当函数在某个区间恒有时，也满足,但在这个区间为常函数.

（五）函数的极值
1.极大值：设函数在点及附近有定义，如果对附近的所有点都满足，就说是函数的一个极大值，记作，是极大值点.
2.极小值：设函数在点及附近有定义，如果对附近的所有点都满足，就说是函数的一个极小值，记作，是极小值点.
3.极值：极大值与极小值统称为极值.
说明：
1.“在点附近”可以理解为一个要多小有多小的开区间，满足.
2.注意区分极值与极值点的区别：极值是函数值，极值点是函数取得极值时对应的自变量的取值.
3.从定义可以看出极值是函数的局部最值，一个函数在某区间上可以既有极大值也有极小值，也可以有不止一个极大（小）值.
4.极大值和极小值没有确定的大小关系. 一个函数在某区间上的极大值有可能比极小值小.
（六）函数的最值
函数存在最值的一个充分条件：
如果函数的图象在闭区间上连续，那么它必有最大值和最小值．
说明：
（1）给定函数的区间必须是闭区间，在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如函数在内连续，但没有最大值与最小值；
（2）如果函数在开区间内有唯一的极值，则此极值必是函数的最值。
（3）函数的最值是函数在某个范围的整体性质；相对于最值,函数的极值反映了函数的局部性质,重要价值在于它是函数单调区间的临界点.
（4）函数是否有极值与函数是否有最值没有必然的关系:有极值的未必有最值，有最值的未必有极值．



三、例题精讲
题型一 含参数的分类讨论
已知函数，导函数为，
（1）求函数的单调区间；
（2）若在[—1，3]上的最大值和最小值。
【答案】略
【解析】（I），（下面要解不等式，到了分类讨论的时机，分类标准是零）
当单调递减；
当的变化如下表：

+ 0 — 0 +
极大值 极小值

此时，单调递增， 在单调递减；
（II）由
由（I）知，单调递增。
【易错点】搞不清分类讨论的时机，分类讨论不彻底
【思维点拨】分类讨论的难度是两个，（1）分类讨论的时机，也就是何时分类讨论，先按自然的思路推理，由于参数的存在，到了不能一概而论的时候，自然地进入分类讨论阶段；（2）分类讨论的标准，要做到不重复一遗漏。还要注意一点的是，最后注意将结果进行合理的整合。
题型二 已知单调性求参数取值范围问题
例1 已知函数， 若函数在上是单调增函数，求的取值范围
【答案】
【解析】,依题意在上恒有成立，
方法1：
函数，对称轴为，故在上单调递增，故只需即可，得，所以的取值范围是；
方法2： 由，得，只需，易得，因此，，所以的取值范围是；
【易错点】本题容易忽视中的等号
【思维点拨】已知函数在区间可导：
1. 在区间内单调递增的充要条件是如果在区间内，导函数，并且在的任何子区间内都不恒等于零；
2. 在区间内单调递减的充要条件是如果在区间内，导函数，并且在的任何子区间内都不恒等于零；
说明：
1.已知函数在区间可导,则在区间内成立是在内单调递增的必要不充分条件
2.若为增函数，则一定可以推出；更加具体的说，若为增函数，则或者，或者除了x在一些离散的值处导数为零外，其余的值处都；
3. 时，不能简单的认为为增函数，因为的含义是或，当函数在某个区间恒有时，也满足,但在这个区间为常函数.
题型三 方程与零点
1．已知函数，若存在三个零点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】很明显 ，由题意可得： ，则由 可得 ，
由题意得不等式： ，即： ，
综上可得的取值范围是 .本题选择D选项.
【易错点】找不到切入点，“有三个零点”与函数的单调性、极值有什么关系？挖掘不出这个关系就无从下手。
【思维点拨】函数零点的求解与判断
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
题型四、导数证明不等式
例1 当时，证明不等式成立。
【答案】略
【解析】设则
∵∴ ∴在内单调递减，而
∴ 故当时，成立。
【易错点】不能顺利把不等式转化为等价的函数、方程问题
【思维点拨】注意观察不等式的结构，选择合理的变形，构造函数，把不等式问题转化为函数的极值、最值问题。

四、成果巩固
题型一 含参的分类讨论

1. 已知函数
（I）求的单调区间； （II）若在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。
【答案】略
【解析】（I）
当且仅当时取“=”号，单调递增。

当变化时，、的变化如下表：
—1
+ 0 — 0 +
极大值 极小值


（II）当恒成立。
由（I）可知

若上单调递减，
上不单增，不符合题意；
综上，a的取值范围是[0，1]
2. 已知函数，求函数的极值.
【答案】略
【解析】由可知:
①当时,,函数为上的增函数,函数无极值;
②当时,由,解得;
时,,时,
在处取得极小值,且极小值为,无极大值.
综上:当时,函数无极值
当时,函数在处取得极小值,无极大值.
3. 已知,求的单调区间。
【答案】略
【解析】函数的导数
（ⅰ）当时，若，则；若,则；
则在（－∞，0）内为减函数，在（0，＋∞）内为增函数。
（ⅱ）当a>0时，由＞0
则在（－∞，－）内为增函数，在（0，＋∞）内为增函数。
由＜0，在（－，0）内为减函数。
（ⅲ）当a<0时，由＞00由＜0x<0或x>-，在（－∞,0）∪（-，+∞）内为减函数。
4. 若函数没有极值点，求的取值范围。
【答案】略
【解析】由已知可得 ，若函数不存在极值点，则在方程即中，有，解之得
规律小结：极值点的个数，一般是使方程根的个数，一般情况下导函数若可以化成二次函数，我们可以利用判别式研究，若不是，我们可以借助图形研究。

题型二 已知单调性求参数范围
1. 设函数
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）若函数在区间内单调递增，求的取值范围.
【答案】略
【解析】
（Ⅰ）
（Ⅱ）由，得，
若，则当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
若，则当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若，则当且仅当，
即时，函数内单调递增，
若，则当且仅当，
即时，函数内单调递增，
综上可知，函数内单调递增时，的取值范围是
2. 已知在R上是减函数，求的取值范围。
【答案】略
【解析】：对求导得，由题意可知对任意实数恒有,
讨论：
当，显然不符合题意；
当时也不符合题意；
当时，依题意必有，即，
综上可知的取值范围是
3.已知，函数在是一个单调函数。
试问函数在上是否为单调减函数？请说明理由；
若函数在上是单调增函数，试求的取值范围。
【答案】略
【解析】解：（1），若函数在区间上单调递减，则在上恒成立，即对恒成立，这样的值不存在。所以函数在区间上不是单调减函数。
（2）函数在区间上是单调增函数，则，即在上恒成立，在此区间上，从而得
规律小结：函数在区间上递增，递减在此基础上再研究参数的取值范围（一般可用不等式恒成立理论求解）注意：解出的参数的值要是使恒等于0，则参数的这个值应舍去，否则保留。

题型三 方程与零点
1.已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当时，，函数有两个零点，不符合；当时，，令，得，可知在必有一个零点，也不符合；当时，，得，故选C
2.设为实数，函数 ，当为何值时，方程恰好有两个实数根.
【答案】略
【解析】求导得，
∵当或时，；
当，；
∴在和单调递减，在在单调递增，
∴的极小值为，的极大值为；
要使方程恰好有两个实数根，只需的图象与轴恰有两个公共点，画出的草图，
∴且或且；
∴或
故当或时，方程恰有两个实数根.






3.若函数，当时，函数有极值，
（1）求函数的解析式；
（2）若函数有3个解，求实数的取值范围．
【答案】略
【解析】
求导得，
（1）由题意，得
所求解析式为
（2）由（1）可得：
令，得或
当变化时，、的变化情况如下表：

—
单调递增↗ 单调递减↘ 单调递增↗

因此，当时，有极大值
当时，有极小值
函数的图象大致如图：
由图可知：



题型四、导数证明不等式
1、当时，证明不等式成立。
【答案】略
【解析】设则
令则当时，在上单调递增，而 在上恒成立，即在恒成立。在上单调递增，又即时，成立。
2、已知函数其中,为常数.当时，证明：对任意的正整数,当时，有。
【答案】略
【解析】证法一：，
当为偶数时，令
则.
当时，单调递增，又 ，
恒成立，成立。
当为奇数时， 要证,由于，只需证,
令 , 则
当时，单调递增，又，
当时，恒有, 即，命题成立.
综上所述，结论成立.
证法二：当时，
当时，对任意的正整数，恒有，故只需证明
令,则
当时，，故在上单调递增，
因此，当时，，即成立.
故当时，有.即.
3、 设函数，证明：当时，；
【答案】略
【解析】证明：
所以在上单增，而
故当时，
4、已知函数，设，
证明：
【答案】略
【解析】
证明：，设

当时 ，当时 ，
即在上为减函数，在上为增函数
∴，又 ∴，
即
设
，
当时，，因此在区间上为减函数；
因为，又 ∴，
即
故
综上可知，当 时，

五、课堂小结
一、单调性
1.已知函数在区间可导,则在区间内成立是在内单调递增的必要不充分条件
2.若为增函数，则一定可以推出；更加具体的说，若为增函数，则或者，或者除了x在一些离散的值处导数为零外，其余的值处都；
3. 时，不能简单的认为为增函数，因为的含义是或，当函数在某个区间恒有时，也满足,但在这个区间为常函数.
二、零点问题
函数零点的求解与判断
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．




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