第十八章 平行四边形
18.1 平行四边形
18.1.1 平行四边形的性质（第 2 课时）
本课学习平行线间的距离，进一步探索和证明对角线的性质．
1.了解平行线间距离的概念；
2.掌握平行四边形对角线互相平分的性质；
3.经历对平行四边形性质的猜想与证明的过程，渗透转化思想，体会图形性质探究的一般思路．
平行四边形对角线性质的证明和应用.
课件，多媒体素材.
一、知识回顾
在□ABCD中，AB CD，AD BC；
∠A ∠C，∠B ∠D.
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二、观察抽象，形成概念
如图，a∥b，c∥d，c，d与a，b分别相交于A，B，C，D四点，请探究AB与CD的数量关系？并说明理由.
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解：∵a∥b，c∥d，
∴AB∥CD，AC∥BD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD.
【总结】两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.
两条平行线之间的距离定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.如下图，AB或CD的长度都表示a，b之间的距离，平行线间的距离处处相等.
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体会两平行线之间的距离、点与直线的距离、点与点之间的距离的区别与联系：
两条平行线间的距离?点到直线的距离?点与点之间的距离.
三、概念辨析与应用
练习1 如图，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，E，G为垂足，则下列说法不正确的是( )
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A．AB＝CD
B．EC＝FG
C．A，B两点的距离就是线段AB的长度
D．a与b的距离就是线段CD的长度
练习2 如图，已知直线a∥b，点C，D在直线a上，点A，B在直线b上，线段BC，AD相交于点E，写出图中面积相等的三角形：
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四、情境导入
一位饱经沧桑的老人经过一辈子的辛勤劳动，到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地.由于年迈体弱，他决定把这块土地平分给他的四个孩子，他是这样分的：当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己分的地少，同学们：老人这样分地合理吗？
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师：合理不合理关键看平行四边形的对角线有什么性质，这节课我们就来继续研究平行四边形的性质.
设计意图：用实际问题（置疑）创设情境导入新课，既激发了学生学习新知识的积极性和主动性，又让学生感受到数学知识来源于生活，又服务于生活.
五、概括证明，探究性质
注：此图片是动画缩略图，拖动图形构造不同形状的平行四边形，观察其对角线的情况，如需使用此资源，请插入动画“【知识探究】探究平行四边形对角线的性质”．
探究证明：平行四边形的对角线互相平分.
已知：如图，□ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O.
/
求证：OA=OC，OB=OD.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD（平行四边形的对边相等），
AB∥CD（平行四边形的定义）.
∴∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO.
∴△ABO≌△CDO（ASA）.
∴OA=OC,OB=OD.
定理：平行四边形的对角线互相平分.
六、应用知识，解决问题
例1 如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AD＝8，BD＝12，AC＝6，则△OBC的周长为 .
/
例2 若□ABCD的周长为100 cm，两条对角线相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长多10 cm，则AB＝________ cm，BC＝________ cm.
例3 如图，在□ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC. 求BC，CD，AC，OA的长，以及□ABCD的面积．
/
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=8，CD=AB=10.
∵AC⊥BC，
∴△ABC是直角三角形.
根据勾股定理，AC===6.
又∵OA=OC，
∴OA=AC=3，
S□ABCD=BC·AC=8×6=48.
例4 在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F．求证：OE=OF．
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证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AB∥CD，
∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO.
∴△AOE≌△COF（AAS）.
∴OE=OF.
七、课堂小结
1.平行四边形的边、角和对角线各有什么性质？
平行四边形的对边相等且平行；
平行四边形的对角相等；
平行四边形的对角线互相平分.
2.研究平行四边形常用的方法是什么？
研究平行四边形常常把它转化为三角形问题，体现了化归的数学思想.
3.什么是两条平行线之间的距离？
课件18张PPT。18.1 平行四边形18.1.1 平行四边形的性质（第 2 课时）第十八章 平行四边形一、知识回顾在□ABCD中，AB CD，AD BC；
∠A ∠C，∠B ∠D. 平行四边形的对边相等且平行，对角相等.====二、观察抽象，形成概念 如图，a∥b，c∥d，c，d与a，b分别相交于A，B，C，D四点，请探究AB与CD的数量关系？并说明理由.解：∵AB∥CD，AC∥BD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴AB=CD.
请用一句话总结你发现的结论：
两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.二、观察抽象，形成概念 如图，直线a∥b，A，B为直线a上任意两点，点A到直线b的距离和点B到直线b的距离相等吗？二、观察抽象，形成概念两条平行线之间的距离：
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.
二、观察抽象，形成概念 两条平行线之间的距离和点与点之间的距离、点到直线的距离有何联系与区别？两条平行线之间的距离点到直线的距离点与点之间的距离二、观察抽象，形成概念两点之间线段的长度叫两点之间的距离两点之间线段最短直线外一点到这条直线垂线段的长度叫点到直线的距离垂线段最短两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离两条平行线之间的任何两条平行线段都相等三、概念辨析与应用练习1 如图，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，E，G为垂足，则下列说法不正确的是( )
A．AB＝CD
B．EC＝FG
C．A，B两点的距离就是线段AB的长度
D．a与b的距离就是线段CD的长度D三、概念辨析与应用练习2 如图，已知直线a∥b，点C，D在直线a上，点A，B在直线b上，线段BC，AD相交于点E，写出图中面积相等的三角形：
.△ABC和△ABD，△ACD和△BCD，△ACE和△BDE四、情境导入 一位饱经沧桑的老人经过一辈子的辛勤劳动，到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地.由于年迈体弱，他决定把这块土地平分给他的四个孩子，他是这样分的：当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己分的地少，同学们：老人这样分地合理吗？四、情境导入 合理不合理关键看平行四边形的对角线有什么性质.这节课我们就来继续研究平行四边形的性质.五、概括证明，探究性质探究证明：平行四边形的对角线互相平分.
已知：在□ABCD中，对角线AC和BD相交于O.
求证：OA=OC，OB=OD.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC.
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴△AOD≌△COB.
∴OA=OC，OD=OB.六、应用知识，解决问题例1 如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AD＝8，BD＝12，AC＝6，则△OBC的周长为 .17六、应用知识，解决问题例2 若□ABCD的周长为100 cm，两条对角线相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长多10 cm，则AB＝________ cm，BC＝________ cm.3020六、应用知识，解决问题例3 如图，在□ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC. 求BC，CD，AC，OA的长，以及□ABCD的面积．六、应用知识，解决问题例4 在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F．求证：OE=OF．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，OA=OC,∴∠EAC=∠FCO，
又∵∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF.
∴OE=OF.七、课堂小结1.平行四边形的边、角和对角线各有什么性质？
平行四边形的对边相等且平行；
平行四边形的对角相等；
平行四边形的对角线互相平分.
2.研究平行四边形常用的方法是什么？
研究平行四边形常常把它转化为三角形问题，体现了化归的数学思想.
3.什么是两条平行线之间的距离？再 见
