第十八章 平行四边形
18.1 平行四边形
18.1.1 平行四边形的性质（第 1 课时）
本课是在复习小学关于平行四边形学习经验的基础上，进一步用观察实验的方法得到平行四边形边和角的性质的猜想，并用演绎推理证明猜想，发展理性思维，获得平行四边形的新知识．
1.理解平行四边形的概念；
2.探索并掌握平行四边形对边相等、对角相等的性质，通过探究的过程发展学生的直观想象的能力；
3.通过平行四边形性质定理的探究，初步体会几何研究的一般思路与方法，并培养学生逻辑推理的能力.
4.经历对平行四边形性质的猜想与证明的过程，渗透转化思想，体会图形性质探究的一般思路．
平行四边形边角性质的证明和应用.
课件
一、复习引入
小区的伸缩门、庭院的竹篱笆、载重汽车的防护栏，它们是否都有平行四边形的形象？你还能举出一些例子吗？
设计意图：通过一组图片，让学生感受到平行四边形是生活中常见的几何图形，这里要让学生多举出一些平行四边形的实例.
你还记得小学学的平行四边形的定义吗？
定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
表示方法：平行四边形用“□”表示，如下图，平行四边形ABCD记作“□ABCD”.
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几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形（已知），
∴AB∥CD，AD∥BC（平行四边形的定义）．
反过来，∵AB∥CD，AD∥BC（已知），
∴四边形ABCD是平行四边形（平行四边形的定义）．
设计意图：通过回顾平行四边形的概念，进一步加强对平行四边形图形特征的认识，特别地，要结合图形，强调“对边”的含义.说明定义的两方面作用：既可以作为性质，又可以作为判定平行四边形的依据.介绍平行四边形的符号表示方法.
如图，□ABCD中，对边有 组，分别是 ；
对角有 组，分别是 ；
对角线有 条，它们是 .
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设计意图：观察平行四边形的对角、对边、对角线的情况，加深对平行四边形的理解.
点D，E，F分别在△ABC的三边AB，BC，AC上，且DE∥AC，DF∥BC，EF∥AB，则图中共有______个平行四边形，分别是_________________________________．
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设计意图：识别图形中的平行四边形，加深对平行四边形的理解.
二、概括证明，探究性质
回忆我们前面学习几何图形经历，回顾研究几何图形一般思路是什么？
师生活动:学生可能难以回答，此时教师引导学生回顾全等三角形的学习过程，得出研究的一般过程：先给出定义，再研究性质和判定.教师进一步指出：性质的研究，其实就是对边、角等基本要素的研究.
探究平行四边形的边、角的性质：
（1）拼图实验：
①将一张纸对折，剪下两张叠放的三角形纸片，将这两个三角形相等的一组边重合，你拼出了怎样的四边形？
师生活动：学生动手实验，教师帮助学生总结，要拼成四边形的关键是让两条相等的对应边重合即可，共有以下六种拼法：
②观察拼出来的六种四边形，有哪些是平行四边形，你能说明理由吗？
师生活动：指出这六个四边形中，有三个是平行四边形，可以用两组对边互相平行来判定.
（2）猜一猜：
根据刚才的拼图实验，请猜想平行四边形的边之间有何数量关系？它的角之间有何数量关系？度量一下，和你的猜想一致吗？
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学生猜想：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等.
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注：此图片是动画缩略图，拖动图形构造不同形状的平行四边形，观察其边和角的情况，从旋转和度量两个角度进行探究，如需使用此资源，请插入动画“【知识探究】探究平行四边形边、角的性质”．
（3）证一证：
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形.
求证：AB=CD，BC=AD，∠A=∠C，∠B=∠D.
分析：利用三角形全等得出全等三角形对应边相等，对应角相等，是证明线段相等、角相等的重要防范，为此，我们通过添加辅助线，构造两个三角形，通过三角形全等进行证明.
证明：连接AC，
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∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
∴∠1+∠4=∠2+∠3，
即∠BAD=∠DCB.
又∵AC=CA，
∴△ABC≌△CDA（ASA）
∴AB=CD，BC=AD，∠B=∠D.
追问1 不添加辅助线，你能否直接运用平行系变形的定义，证明其对角相等？
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠B+∠BAD=180°，∠BAD+∠D=180°.
∴∠B=∠D，
同理可证，∠BAD=∠DCB.
追问2 已知平行四边形一个内角的度数，你能确定其他内角的度数吗？
三、运用新知
1.在□ABCD中，∠B=40°，则∠A= ；∠C= ；∠D= .
2．在□ABCD中，AD=8，其周长为24，则AB= ；BC= ；CD= .
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四、综合运用
例1 如图，在□ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．求证：AE=CF．
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分析：要想证明AE=CF，需证明△ADE≌△BCF，利用平行四边形的性质即可判定.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD=CB.
又∵∠AED=∠CFB=90°，
∴△ADE≌△CBF，
∴AE=CF.
例2 如图，□ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F.
求证：AE=CF.
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证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD=CB.
又∵∠AED=∠CFB=90°，
∴△ADE≌△CBF.
∴AE=CF.
例3 △ABC是等腰三角形，AB=AC, P是底边BC上一动点，PE∥AB，PF∥AC，点E，F分别在AC，AB上．求证：PE+PF=AB．
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证明：∵PE∥AB，PF∥AC，∴四边形AEPF是平行四边形.
∴AF=PE，AE=PF.
∵AB=AC，∴∠B=∠C.
又∵PF∥AC，∴∠FPB=∠C.
∴∠B=∠FPB,∴BF=PF.
∵AF+BF=AB,∴PE+PF=AB.
五、课堂小结
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课件21张PPT。18.1 平行四边形18.1.1 平行四边形的性质（第 1 课时）第十八章 平行四边形一、复习引入 观察这些图片，它们是否都有平行四边形的形象？你还能还举出一些例子吗？ 一、复习引入你还记得平行四边形的定义吗？
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.一、复习引入表示方法：
平行四边形用“□”表示，如下图，平行四边形ABCD记作“□ABCD”.对边：AD和BC，AB和DC
对角：∠A和∠C，∠B和∠D一、复习引入几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC.
或 ∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.一、复习引入如图，□ABCD中，对边有 组，分别是 ；
对角有 组，分别是 ；
对角线有 条，它们是 .两AB和CD，AD和BC两∠BAD和∠BCD，∠ADC和∠ABC两AC和BD一、复习引入点D，E，F分别在△ABC的三边AB，BC，AC上，且DE∥AC，DF∥BC，EF∥AB，则图中共有______个平行四边形，分别是_________________________________．3□DECF,□ADEF,□BDFE二、概括证明，探究性质 回忆我们前面学习几何图形经历，回顾研究几何图形一般思路是什么？
给出图形的定义→研究图形的性质→探究图形的判定二、概括证明，探究性质 取两个全等的三角形纸片，将它们相等的一边重合，得到一个四边形，你能从中找出平行四边形吗？能找到几种不同形状的平行四边形？ 二、概括证明，探究性质拼一拼： 总结：平行四边形的一条对角线把它分成了两个全等的三角形.二、概括证明，探究性质猜一猜：
根据定义画一个平行四边形，观察它，除了“两组对边分别平行”外，它的边还有什么关系？它的角之间有什么关系？度量一下，和你的猜想一致吗？
猜想：平行四边形的对角相等，对边相等.二、概括证明，探究性质注：此图片是动画缩略图，拖动图形构造不同形状的平行四边形，观察其边和角的情况，从旋转和度量两个角度进行探究，如需使用此资源，请插入动画“【知识探究】探究平行四边形边、角的性质”．二、概括证明，探究性质证一证：请证明上面的猜想. 证明：如图，连接AC，
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
又AC是△ABC和△CDA的公共边，
∴△ABC≌△CDA.
∴AD=CB，AB=CD，∠B=∠D.
又∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1+∠4=∠2+∠3，
即∠BAD=∠BCD. 1432二、概括证明，探究性质 追问：不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的定义，证明其对角相等？ 证明：∵AD∥BC，AB∥CD，
∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°.
∴∠A=∠C，
同理可证，∠B=∠D. 二、概括证明，探究性质∵四边形ABCD是平行四边形（已知），
∴AB=CD，AD=BC（平行四边形的对边相等），
∠A=∠C，∠B=∠D（平行四边形的对角相等).
三、运用新知1.在□ABCD中，∠B=40°，则∠A= ；∠C= ；∠D= .
2．在□ABCD中，AD=8，其周长为24，则AB= ；BC= ；CD= .140°140°40°484四、综合运用例1 如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交DC于点E，
（1）若□ABCD中，DE=3，其周长为16，则AD= ；AB= .
（2）若∠DAE＝25°，则∠C= ，∠B= .3550°130°四、综合运用 例2 如图，□ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F.
求证：AE=CF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD=CB.
又∵∠AED=∠CFB=90°，
∴△ADE≌△CBF.
∴AE=CF.问：DE和BF相等吗？四、综合运用例3 △ABC是等腰三角形，AB=AC, P是底边BC上一动点，PE∥AB，PF∥AC，点E，F分别在AC，AB上．求证：PE+PF=AB．证明：∵PE∥AB，PF∥AC，∴四边形AEPF是平行四边形.
∴AF=PE，AE=PF.
∵AB=AC，∴∠B=∠C.
又∵PF∥AC，∴∠FPB=∠C.
∴∠B=∠FPB,∴BF=PF.
∵AF+BF=AB,∴PE+PF=AB.五、课堂小结 本节课学习了平行四边形的定义、表示方法和性质：再 见
