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多边形
9.1.2三角形的内角和与外角和
课前预习单
学习目标
1.掌握三角形的内角和定理，理解直角三角形的两个锐角互余的性质。
2.掌握三角形外角的性质。
3.会用三角形的内角与外角的性质来进行相关计算或比较。
基础题
（1）证明三角形内角和为180°.（已知：∠A，∠B，∠ACB是△A B C的三个内角， 证明：∠A +∠B +∠C =180°）
猜想三角形的外角与内角有什么关系呢？证明自己的猜想
选择题
三角形的三个角的度数之比是2:3:4，则此三角形是（ ）
锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定
下列说法正确的是（ ）
三角形内角中最多有一个锐角 B.三角形内角中最多有两个锐角
三角形内角中最多有一个直角 D.三角形内角都大于60°
在△ABC中，∠A=2(∠B+∠C),则∠A的度数（ ）
A.30° B.60° C.90° D.120°
已知三角形的两个内角的差等于第三个内角，则它是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定
培优题
三、解答题
(1)如图，已知∠B=40°，∠C=59°，∠DEC=47°，求∠F的度数。
(2)如图，DB是△ABC的高，AE是角平分线，∠BAE=26°，求∠BFE的度数。
参考答案
一、(1)证明:作CE∥AB ,并延长BC到D，
∴∠1= ∠A(两直线平行,内错角相等)
∠2= ∠B (两直线平行,同位角相等)
∵∠1+ ∠2+ ∠ACB=180° (平角定义)
∴∠A+ ∠B + ∠ACB=180° (等量代换)
∠ACD+ ∠ACB=180°
∠A+ ∠B+ ∠ACB=180°
所以， ∠A+ ∠B= ∠ACD
二、选择题
ABDB
三、解答题
（1）∠F=34°
（2）∠BFE=64°
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9.1.2 三角形内角和与外角和
第九章 多边形
1.掌握三角形的内角和定理，理解直角三角形的两个锐角互余的性质。
2.掌握三角形外角的性质。
3.会用三角形的内角与外角的性质来进行相关计算或比较。
学习目标
新知导入
⒈我们学习了平行线的哪些性质呢？
⑴两直线平行，同位角相等．
⑵两直线平行，内错角相等．
⑶两直线平行，同旁内角互补．
如果a∥b， 则 ∠1 = ∠2
则 ∠1 = ∠3
则 ∠1+∠4=180°
新知导入
请同学们回忆上一节三角形按角分类分为哪几类？
想一想，锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三角之和有什么共同特点？
锐角三角形;
直角三角形;
钝角三角形.
你是怎样知道的呢？
共同特点：三角形的内角和等于180°
撕一撕
拼一拼
证一证
新知讲解
新知讲解
你有什么办法可以验证它呢?
方法一:剪拼法.把三个角拼在一起试试看？
想一想
探索1.三角形的内角和.
新知讲解
1
2
3
2
1
图1
1
2
3
2
3
图2
2
3
1
如果我们不用剪拼办法，可不可以用说理的办法说明该结论正确呢？
新知讲解
证明:作CE∥AB ,并延长BC到D，
∴∠1= ∠A(两直线平行,内错角相等)
∠2= ∠B (两直线平行,同位角相等)
∵∠1+ ∠2+ ∠ACB=180° (平角定义)
∴∠A+ ∠B + ∠ACB=180° (等量代换)
2
1
2
3
1
已知：∠A，∠B，∠ACB是△A B C的三个内角，
证明：∠A +∠B +∠C =180°
2
1
E
D
C
B
A
新知讲解
F
2
1
E
C
B
A
证明:过点A作EF∥BC
∴∠B=∠2，∠C=∠1 （两直线平行,内错角相等）∵∠2+∠1+∠BAC=180°（平角定义）
∴∠B+∠C+∠BAC=180° (等量代换)
已知： ∠A，∠B，∠ACB是△A B C的三个内角，
证明：∠A +∠B +∠C =180°
1
2
3
3
2
三角形的内角和定理
文字语言：三角形的内角和等于180°
符号语言：
∵ ∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角
∴ ∠A＋∠B＋∠C＝180°（三角形的内角和等180°）
总结
新知讲解
直角三角的两个锐角互余
新知讲解
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线。在平面几何里，辅助线通常画成虚线。
为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角,这种转化思想是数学中的常用方法.
思路总结
课堂练习
1、在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 ° 则∠C= .
2、在△ABC中， ∠A :∠B:∠C=2:3:4，则∠A = ∠ B= . ∠ C= .
3、一个三角形中最多有 个直角？为什么？
4、一个三角形中最多有 个钝角？为什么？
5、一个三角形中至少有 个锐角？为什么？
102 °
80 °
60 °
40 °
2
1
1
课堂练习
700
800
350
300
700
6、∠C = ( ) , ∠E = ( ) , ∠J = ( ).
30°
115°
20°
三角形的内角和是180°
新知讲解
探索2：三角形的外角与内角有什么关系呢？
思考：三角形的一个外角与相邻的内角有什么关系呢？
∠ACD(外角)+∠ACB(相邻的内角)=180 ?（互补）
思考：三角形的一个外角与不相邻的两个内角又有什么关系呢？
外角
相邻的内角
不相邻的内角
在一张白纸上画出如图所示的图形，然后把 ∠1、∠2剪下拼在一起，放到∠ ４上，看看会出现什么结果？
发现： ∠１＋∠２＝∠４
新知讲解
做一做
为什么？
∠ACD+ ∠ACB=180°
∠A+ ∠B+ ∠ACB=180°
所以， ∠A+ ∠B= ∠ACD
A
B
C
新知讲解
方法1
新知讲解
2
1
E
D
C
B
A
证明:作CE∥AB，并延长BC到D
∴∠1= ∠A ∠2= ∠B
∴∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B
∵ ∠1+ ∠2= ∠ACD，
∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B
方法2
新知讲解
三角形的一个外角与三角形三个内角之间有何关系？
A
B
C
D
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角。
∠ACD= ∠ A+ ∠ B
∠ ACD+ ∠ ACB=180°
三角形的一个外角与任何一个与它不相邻的内角之间又有什么关系呢？
外角+相邻的内角=180 ?
新知讲解
与三角形每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角，从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和，如图所示∠1+∠2+∠3就是三角形外交和
三角形外角和的定义：
（
1
做一做
新知讲解
∠1+ =180° ∠2+ =180° ∠3+ =180°
三式相加可以得到
∠1+∠2+∠3+ + + = 。 ①
而 ∠ACB+∠BAC+∠ABC=180° ②
由①②比较得到
∠1+∠2+∠3=360°
（
1
如图所示
∠BAC
∠ABC
∠ACB
∠BAC
∠ABC
∠ACB
540°
由此可知，三角形的外角和是
360°
新知讲解
例、D是△ABC的BC边上的一点，∠B=∠BAD,∠ADC=80°，∠BAC=70°求：
（1）∠B的度数
（2）∠C的度数
解:(1)∵∠ADC是△ABD的外角（已知）
∴∠B+∠BAD=∠ADC=80°(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和)
又∵∠B=∠BAD（已知）
∴∠B=80° =40°（等量代换）
（2）∵∠B+∠BAC+∠C=180°(三角形的内角和是180°)
∴∠C=180°-∠B-∠BAC(等式的性质)
=180°-40°-70°
=70°
例、D是△ABC的BC边上的一点，∠B=∠BAD,∠ADC=80°，∠BAC=70°求：
（1）∠B的度数
（2）∠C的度数
新知讲解
课堂练习
7、判断
（1）三角形越大，它的内角和就越大。（ ）
（2） 一个三角形的三个内角度数是：70°、54°、45°。（ ）
（3）一个三角形中最多只有一个钝角或直角（ ）
（4） 一个三角形至少有两个锐角（ ）
（5）三角形的任何一个外角都大于其内角。（ ）
×
×
×
√
√
课堂练习
8.判断∠1与∠3的大小，并说明理由。
∵∠3 >∠2 ,∠2 >∠1
∴∠3 >∠1
解：∠3 > ∠1
课堂练习
9、已知△ABC中,∠ABC＝∠C=2∠A ,BD是AC边上的高，求∠DBC的度数。
（三角形内角和定理）
解：设∠A＝x，则∠ABC＝∠C＝2x
∴x＋2x＋2x＝ 180°
解得x＝36
∴∠C＝2×36°＝72°
∴∠DBC＝180°－90°－72°（三角形内角和定理）
在△BDC中，∵∠BDC＝90° (三角形高的定义）
∴∠DBC＝18°
课堂总结
内角和
三角形
外角与内角间的关系
通过本课时的学习，需要我们掌握
作业布置
从教材中选择
谢谢
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