16.3 二次根式的加减
第1课时
【教学目标】
知识与技能:
1.理解二次根式合并的原理,能进行二次根式的合并.
2.掌握二次根式加减的法则,会运用法则进行二次根式的加减.
过程与方法:
先提出问题,分析问题,在分析问题中,渗透对二次根式进行加减的方法的理解.再总结经验,用它来指导二次根式的计算和化简. 培养学生较熟练的运算能力.
情感态度与价值观:
帮助学生正确对待学习,养成良好的学习习惯,寻找有效的学习方法.
【重点难点】
重点:理解二次根式合并的原理,掌握二次根式加减的法则,会运用法则进行二次根式的加减.
难点:掌握二次根式加减的法则,能熟练运用法则进行二次根式的加减.
【教学过程】
一、创设情境,导入新课:
[问题情境]
如图,面积为48 cm2的正方形四个角是面积为3 cm2的小正方形,现将四个角剪掉,制作一个无盖的长方体盒子,求这个长方体的底面边长和高分别是多少?
解:原大正方形边长为=4(cm),小正方形边长为 cm.长方体的底面的边长为4-2.接下来怎样计算呢?这就是这节课我们要学习的二次根式的加减.
二、探究归纳
活动1:二次根式的合并的条件
1.(1)什么是最简二次根式?
(2)化简二次根式并找出被开方数相同的二次根式:
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
⑦
(3)上面二次根式哪些能合并?
答案:①与⑥ ③与⑤ ④与⑦.
2.归纳:二次根式的合并的条件
把二次根式化成最简二次根式,被开方数相同的二次根式能合并.
活动2:探索二次根式加减的法则
1.填空:3+2=(3+2),其运算根据是______?
答案:分配律
2.+=4+3 ①
=(4+3) ②
=7.
问题:(1)其中第①步是怎样运算的?______ ;?
答案:化成最简二次根式
(2)第②步运算根据是________ .?
答案:分配律
3.思考:同类项可以合并,被开方数相同的最简二次根式能合并吗?
提示:能.
4.归纳:二次根式加减的法则:二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.
活动3:例题讲解
【例1】 确定下列哪组二次根式能合并.
(1), (2),
(3), (4),
分析:化成最简二次根式后,被开方数相同的二次根式可以合并.
解:(1)=3与不能合并;(2)=与能合并;
(3)=5,=10,5与10不能合并;
(4)与不能合并.
点拨:二次根式合并的方法
1.将二次根式都化为最简二次根式;
2.把被开方数相同的二次根式合并.
【例2】 计算:(1)+2+-.
(2)a+-.
分析:先把各二次根式化成最简二次根式,再把被开方数相同的二次根式合并.
解:(1)+2+-
=++2-
=++2-=+.
(2)a+-
=+2-+
=+(2+1)=+3.
总结:二次根式加减的步骤:
1.化简:将每一个二次根式都化为最简二次根式.
2.判断:判断哪些二次根式的被开方数相同,把被开方数相同的二次根式结合在一起.
3.合并:合并被开方数相同的二次根式,将二次根式的系数相加,被开方数不变.
三、交流反思
这节课我们学习了二次根式的加减运算,在运算时要注意按照:“一化二找三合并”的步骤进行,细心运算.
四、检测反馈
1.计算:-=________.?
A. B.2 C. D.2+
2.化简-(-1)的结果是 ( )
A.2-1 B.2-
C.1 D.2+
3.下列根式中,不能与合并的是 ( )
A. B. C. D.
4.计算-9的结果是 ( )
A.- B.
C.- D.
5.下列计算正确的是 ( )
A.4-3=1 B.+=
C.2= D.3+2=5
6.已知最简二次根式与能合并,则a的值可以是 ( )
A.5 B.3 C.7 D.8
7.请确定下列二次根式是否能合并,说明理由.
(1)和;(2)和;(3)和.
8.计算:
(1)-
(2)+6-3x
五、布置作业
教科书第15页习题16.3第1,2,3题
六、板书设计
16.3 二次根式的加减第1课时一、二次根式合并的条件 1.将二次根式都化为最简二次根式. 2.被开方数相同的二次根式可以合并.二、二次根式加减的步骤: 1.化; 2.找; 3.合并.三、例题讲解 四、板演练习
七、教学反思
本节课学习了二次根式加减,关键是掌握二次根式加减的步骤:(1)化:将每一个二次根式都化为最简二次根式;(2)找:找出被开方数相同的二次根式,把被开方数相同的二次根式结合在一起;(3)合并:将被开方数相同的二次根式的系数相加,被开方数不变.并能运用步骤进行计算.
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16.3 二次根式的加减
第2课时
【教学目标】
知识与技能:
1.会进行二次根式的混合运算.
2.会解含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用.
过程与方法:
经历探索二次根式的混合运算方法步骤的过程,进一步培养学生的计算能力.
情感态度与价值观:
通过对二次根式的混合运算的探索,让学生体会探索学习的乐趣,从而培养学生解决问题的能力.
【重点难点】
重点:会进行二次根式的混合运算.
难点:会进行二次根式的混合运算.
【教学过程】
一、创设情境,导入新课:
复习引入:
请同学们完成下列各题:
1.计算:(1)(2x+y)·zx;(2)(2x2y+3xy2)÷xy;
2.计算:(1)(2x+3y)(2x-3y);(2)(2x+1)2+(2x-1)2
教师点评:这些内容是整式运算的再现.主要有(1)单项式×单项式;(2)单项式×多项式;(3)多项式÷单项式;(4)完全平方公式;(5)平方差公式的运用.
提出问题:
如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢?以上的运算规律是否仍成立呢?
解:仍成立.
整式运算中的x、y、z是一种字母,它的意义十分广泛,可以代表所有一切,当然也可以代表二次根式,所以,整式中的运算规律也适用于二次根式.
这节课我们继续学习二次根式的加减.
二、探究归纳
活动1:二次根式的混合运算
1.填空:
(1)(+)×=×+×
=3+6………………依据______?
=9.
(2)(+3)(-5)=()2-5+3-15
……………… 依据________法则?
=-2-13.
(3)(+)(-)=()2-()2
……………… 依据______?
=2-3=-1.
(4)(-2)2=()2-2××2+(2)2
……………… 依据______?
=6-12+12=18-12.
答案:(1)乘法分配律 (2)多项式乘法 (3)平方差公式 (4)完全平方公式
2.思考:根据(1)(2)(3)(4)的填空,你能得到什么结论?
答案:多项式的乘法法则、运算律及乘法公式在二次根式运算中仍然适用.
3.归纳:在二次根式的混合运算中,多项式的乘法法则和乘法公式仍然适用.
活动2:例题讲解:
【例1】 计算:(1)(4+3)2;
(2)(2+3)(2-3);
(3)(2+)(2-)-(1+)2.
解:(1)(4+3)2=42+2×4×3+(3)2
=16+24+45=61+24.
(2)(2+3)(2-3)
=(2)2-(3)2=12-18=-6.
(3)(2+)(2-)-(1+)2
=22-()2-(1+2+2)
=4-3-1-2-2=-2-2.
总结:根据题目特点灵活应用运算律、乘法法则和乘法公式进行计算、化简.
【例2】 计算:(-)÷+(1-)2
解:(-)÷+(1-)2
=÷-÷+1-2+3
=-2+1-2+3=2-.
点拨:二次根式的混合运算的方法:二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样,先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号内的.
三、交流反思
这节课我们学习了二次根式的混合运算,整式的乘法法则、乘法公式和运算律在二次根式运算中同样适用,二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样,先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号内的.
四、检测反馈
1.计算:(-)(+)的结果是 ( )
A.2 B.-2 C.2 D.-2
2.下列各式正确的是 ( )
A.(+)=×=7
B.(+)(-)=5-
C.(-)(+)=3-2=1
D.(-)2=5-3=2
3.若x=-,y=+,则xy的值为 ( )
A.2 B.2 C.a+b D.a-b
4.计算:(9-5)÷2=________.?
5.计算:(+1)(-1)=________;(+1)2=________.?
6.已知a=3+2,b=3-2,则ab2-a2b=________.?
7.计算:(1)·;
(2)(2-)(+);
(3)(3+2)2;
(4)(-)(--);
(5)(+)(-)×-()-1.
五、布置作业
教科书第15页习题16.3第4,6,8题.
六、板书设计
16.3 二次根式的加减第2课时一、整式的乘法法则及公式 在二次根式运算中的应用二、二次根式的混合运算三、例题讲解四、板演练习
七、教学反思
1.整式的乘法法则及乘法公式在二次根式运算中的应用,可通过对复习引入中的分析,归纳总结二次根式仍然满足整式的运算规律,所以直接可用整式的运算规律.二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立.
教师出示例题和练习题目,引导学生类比多项式的乘法法则和乘法公式进行计算.体会整式的乘法法则及公式和二次根式运算的联系.教师强调最后结果要化成最简二次根式.
2.关于二次根式的混合运算,要引导学生在复习巩固整式运算的基础上,采用类比的方法讲授二次根式的混合运算,强调整式运算的分配律、多项式的乘法法则和乘法公式在二次根式混合运算中同样适用,注意运算顺序,多练习掌握二次根式的混合运算的方法.
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