第十七章 勾 股 定 理
17.1 勾 股 定 理
第1课时
【教学目标】
知识与技能:
1.掌握勾股定理的证明.
2.会用勾股定理进行简单的计算.
过程与方法:
经历探究勾股定理的过程,在探索勾股定理的过程中,发展合情推理能力,体会数形结合思想,学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究结果,体验数学思维的严谨性.
情感态度与价值观:
(1)通过对勾股定理历史的了解,感受数学的文化,激发学习热情.
(2)在探究活动中,学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究的结果;学生通过适当训练,养成数学说理的习惯,培养学生参与的积极性,逐步体验数学说理的重要性;在探究活动中,体验解决问题方法的多样性,培养学生的合作交流意识和探究精神.
【重点难点】
重点:掌握勾股定理的证明,会用勾股定理进行简单的计算.
难点:勾股定理的证明.
【教学过程】
一、创设情境,导入新课:
一个直角三角形的两条直角边长分别是3和4,你知道它的斜边长是多少吗?已知直角三角形的两条边长,你能求出它的第三边长吗?实际上,利用勾股定理我们可以很容易地解决这些问题.
勾股定理是一个古老的定理,人类很早就发现了这个定理.2002年世界数学家大会在我国北京召开,投影显示本届世界数学家大会的会标:会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形,数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号.今天我们就来一同探索勾股定理.
二、探究归纳
活动1:探索勾股定理
1.填空:
(1)借助方格纸画一个直角三角形,使其两直角边分别是3 cm,4 cm,则量取其斜边为________ cm.?
(2)如图,四边形均是正方形,SA=16、SB=9、SC=25则它们的面积之间满足:
______ .?
2.思考:(1)问题1中的直角三角形三边的平方,满足什么关系?
(2)问题2中由正方形A、B、C的面积关系,可以得到直角三角形的三边的平方有什么关系?
3.归纳:勾股定理:如果直角三角形两直角边长分别为a、b,斜边长为c,那么______.?
活动2:利用拼图证明勾股定理
1.方法1:(1)引导学生从面积角度观察图形:
问:你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗?
(2)观察下面两幅图:
2.归纳:探索图形A、B、C面积的关系,引导学生得出勾股定理:如果直角三角形两直角边长分别为a、b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
方法2:
1.如图,将4个非等腰直角三角形,拼为一个大的正方形.
(1)拼得大正方形的边长为________,则它的面积是________;大正方形的面积还可以表示为______+4×ab.?
(2)由它们的面积关系可得____ = ____+4×ab,整理得__________ .?
2.归纳:勾股定理:如果直角三角形两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
活动3:应用举例
【例1】 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D.已知BC=8,AC=6,求线段CD的长.
分析:先由勾股定理求出AB的长,再根据三角形面积公式求出CD的长
解:∵∠ACB=90°,BC=8,AC=6,∴AB=10.∵CD⊥AB,∴AB·CD=AC·BC,
即×10×CD=×8×6,∴CD=.
总结:运用勾股定理求解线段长度问题的方法
1.找出图中的直角三角形,或作辅助线构造直角三角形;
2.找出所求线段与直角三角形的关系;
3.根据勾股定理计算相关线段的平方,然后确定线段长度.
【例2】 如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A、B、C、D的面积分别为2,5,1,2.则最大的正方形E的面积是__________.?
分析:根据正方形的面积公式,结合勾股定理,能够推导出正方形A,B,C,D的面积和即为最大正方形E的面积.
解:根据勾股定理的几何意义,可得A、B的面积和为S1,C、D的面积和为S2,S1+S2=S3,于是S3=S1+S2,即S3=2+5+1+2=10.
答案:10
总结:本题考查了勾股定理的应用.能够发现正方形A,B,C,D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边,根据勾股定理最终能够证明正方形A,B,C,D的面积和即是最大正方形的面积.
【例3】 一个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法.如图,火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置,连接CC′,设AB=a,BC=b,AC=c,请利用四边形BCC′D′的面积验证勾股定理:a2+b2=c2.
分析:四边形BCC′D′的面积从大的一方面来说属于直角梯形,可利用直角梯形的面积公式进行表示.从组成来看,由三个直角三角形组成,可利用三角形的面积公式来进行表示.
证明:四边形BCC′D′为直角梯形.
∴S梯形BCC′D′=(BC+C′D′)·BD′=.
又∵∠AB′C′=90°,Rt△ABC≌Rt△AB′C′,
∴∠BAC=∠B′AC′,
∴∠CAC′=∠CAB′+∠B′AC′=∠CAB′+∠BAC=90°;
∴S梯形BCC′D′=S△ABC+S△CAC′+S△D′AC′=ab+c2+ab=;
∴=;
∴a2+b2=c2.
点拨:勾股定理的证明
证明勾股定理的方法很多,通过对图形的割补、拼接等方法,利用图形面积之间的关系进行证明.
三、交流反思
这一节课我们探索了勾股定理,并进行简单应用的学习. 勾股定理:如果直角三角形两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
四、检测反馈
1.如图,△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线,已知AB=5,AD=3,则BC的长为
( )
A.5 B.6 C.8 D.10
2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,已知BC=8,AC=6,则斜边AB上的高是 ( )
A.10 B.5 C. D.
3.如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3,则最大正方形E的面积是( )
A.13 B.26 C.47 D.94
4.下列选项中,不能用来证明勾股定理的是( )
5.一直角三角形的两边长分别为3和4.则第三边的长为( )
A.5 B. C. D.5或
6.如图所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=3,AC=5,将△ABC折叠,使点C与点A重合,折痕为DE,则△ABE的周长为________.?
7.我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边分别为a、b,那么(a+b)2的值是______.?
8.已知:如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD⊥DC,AB⊥AC,∠B=60°,CD=1 cm,求BC的长.
9.如图,用硬纸板做成的两种直角三角形各有若干个,图①中两直角边长分别为a和b,斜边长为c;图②中两直角边长为c.请你动脑,将它们拼成一个能够证明勾股定理的图形.
(1)请你画出一种图形,并验证勾股定理.
(2)你非常聪明,能再拼出另外一种能证明勾股定理的图形吗?请画出拼后的图形(无需证明).
五、布置作业
教科书第28页习题17.1第1,7,8题
六、板书设计
第十七章 勾股定理 17.1 勾股定理第1课时一、勾股定理的证明二、应用勾股定理进行简单计算三、勾股定理与图形面积四、例题讲解五、板演练习
七、教学反思
新课程标准对勾股定理这部分的教学要求是:体验勾股定理的探索过程,会运用勾股定理解决简单的问题.勾股定理是中学数学几个重要定理之一,它揭示了直角三角形三边之间的数量关系,既是直角三角形性质的拓展,也是后续学习“解直角三角形”的基础.它紧密联系了数学中两个最基本的量——数与形,能够把形的特征(三角形中一个角是直角)转化成数量关系(三边之间满足a2+b2=c2),堪称数形结合的典范,在理论上占有重要地位.另外八年级学生已具备一定的分析与归纳能力,初步掌握了探索图形性质的基本方法.但是学生在用割补方法和用面积计算方法证明几何命题的意识和能力方面存在障碍,对于如何将图形与数有机结合起来还很陌生.基于以上三点的原因,本节课教学应把学生的探索活动放在首位,一方面要求学生在教师引导下自主探索,合作交流;另一方面要求学生对探究过程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识,从而教给学生探求知识的方法,教会学生获取知识的本领.本节课精心设计,激情上课,充分调动学生积极性,提高课堂效率,分层作业,新颖灵活,让学生轻松学习,快乐减负.
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17.1 勾股定理
第2课时
【教学目标】
知识与技能:
1.能利用勾股定理解决实际问题.
2.会利用勾股定理解决立体图形中两点距离最短问题.
过程与方法:
经历探究与勾股定理有关的实际问题的过程,学会利用勾股定理解决实际问题的方法.
情感态度与价值观:
在小组合作交流中,培养协作精神、探究精神,增强学习信心.
【重点难点】
重点:能利用勾股定理解决简单的实际问题.
难点:能利用勾股定理解决立体图形中两点之间距离最短问题.
【教学过程】
一、创设情境,导入新课:
【导入新课】
如图,原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路,后因技术攻关,可以打隧道由A地到B地直接修建,已知高速公路一千米造价为300万元,隧道总长为2千米,隧道造价每千米为1 000万元,AC=80千米,BC=60千米,则改建后可省工程费用是多少?
你能解答上面问题吗?这一节课我们就来探究这类问题.
二、探究归纳
活动1:利用勾股定理解决实际问题的一般步骤:
1.将实际问题转化为数学问题;
2.明确已知条件及结论;
3.利用勾股定理解答,确定实际问题的答案.
活动2:立体图形异面两点之间的距离问题:
1.如图,有一个圆柱,它的高等于16 cm,底面半径等于4 cm,在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物,在求需要爬行的最短路程时首先需将圆柱体展开,连接A、B,圆柱的侧面展开图是______,点B的位置应该在长方形的边CD的______处.点A到点B的最短距离为线段______的长度.?
答案:长方形 中点 AB
2.如图,正四棱柱的底面边长为5 cm,侧棱长为6 cm,一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到C1处,求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长时,由点A到点C1的展开图有两种情况.
活动3:例题讲解
【例1】 一架长5米的梯子AB,斜立在一竖直的墙上,这时梯子底端距墙底3米.如果梯子的顶端沿墙下滑1米,梯子的底端在水平方向沿一条直线也将滑动1米吗?用所学知识,论证你的结论.
分析:根据勾股定理可求得如果梯子的顶端沿墙下滑1米,梯子的底端在水平方向沿一条直线也将滑动1米.
解:是.
证明1:在Rt△ACB中,BC=3,AB=5,AC==4米,DC=4-1=3米.
在Rt△DCE中,DC=3,DE=5,CE==4米,BE=CE-CB=1,即梯子底端也滑动了1米.
证明2:
在Rt△ACB中,BC=3,AB=5,AC==4米,DC=4-1=3米,
可证Rt△ECD≌Rt△ACB,
∴CE=AC=4米,BE=CE-CB=1,即梯子底端也滑动了1米.
总结:应用勾股定理解决实际问题的步骤
1.读懂题意,分析数量关系,数形结合,正确标图,将条件反映到图形中,建立数学模型;
2.应用勾股定理进行计算或建立等量关系,构建方程求解,解决实际问题.
【例2】 如图,长方体盒子(无盖)的长、宽、高分别是12 cm,8 cm,30 cm.
(1)在AB中点C处有一滴蜜糖,一只小虫从D处爬到C处去吃,有无数种走法,则最短路程是多少?
(2)此长方体盒子(有盖)能放入木棒的最大长度是多少?
分析:(1)要求长方体中两点之间的最短路径,最直接的作法,就是将长方体的侧面展开,然后利用两点之间线段最短解答.
(2)利用长方体的性质,连接AG,BG利用勾股定理解答即可.
解:(1)将长方体沿AB剪开,使AB与D在同一平面内,得到如图所示的长方形,连接CD,
∵长方体盒子(无盖)的长、宽、高分别是12 cm,8 cm,30 cm,即DE=12 cm,EF=
30 cm,AE=8 cm,
∴CD====25 cm.
(2)连接AG,BG,
在Rt△BFG中,GF=12 cm,BF=8 cm,由勾股定理得,
GB=== cm,
在Rt△AGB中,GB= cm,AB=30 cm,
由勾股定理得,AG===2cm.
总结:求立体图形表面上两点之间的最短距离的问题,关键是把立体图形的侧面展开成平面图形,采用“化曲为直”的方法,利用平面上“两点之间线段最短”的公理解题.把空间图形转化为平面图形是解数学题中的重要转化思想之一.
三、交流反思
这节课我们学习了利用勾股定理解决实际问题及应用勾股定理求最短距离问题.关键是建立数学模型,把实际问题转化为数学问题,再用勾股定理等知识来解答.
四、检测反馈
1.如图所示,一场暴雨过后,垂直于地面的一棵树在距地面1 m处折断,树尖B恰好碰到地面,经测量AB=2 m,则树高为 ( )
A. m B. m C.(+1)m D.3 m
2.如图,一根12 m高的电线杆两侧各用15 m的铁丝固定,两个固定点AB之间的距离是 ( )
A.13 B.9 C.18 D.10
3.如图,有一个圆锥,高为8 cm,直径为12 cm.在圆锥的底边B点处有一只蚂蚁,它想吃掉圆锥顶部A处的食物,则它需要爬行的最短路程是 ( )
A.8 cm B.9 cm C.10 cm D.11 cm
4.如图,圆柱的底面周长为6 cm,AC是底面圆的直径,高BC=6 cm,点P是母线BC上一点,且PC=BC.一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是 ( )
A.cm B.5 cm
C.6 cm D.7 cm
5.如图,在高为5 m,坡面长为13 m的楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要______ m.?
6.如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图,根据图中的尺寸(单位:mm),计算两圆孔中心A和B的距离为________ mm.?
7.木工师傅做一个人字形屋梁,如图所示,上弦AB=AC=4 m,跨度BC为6 m,现有一根长为3 m的木料打算做中柱AD(AD是△ABC的中线),请你通过计算说明这根木料的长度是否适合做中柱AD.(只考虑长度、不计损耗)
8.我们古代数学中有这样一道数学题:
有一棵枯树直立在地上,树高2丈,粗3尺,有一根藤条从树根处缠绕而上,缠绕7周到达树顶,(如图)请问这根藤条有多长?
(注:枯树可以看成圆柱;树粗3尺,指的是:圆柱底面周长为3尺,1丈=10尺).
五、布置作业
教科书第28页习题17.1第2,3,4,5,10题
六、板书设计
17.1 勾股定理第2课时一、利用勾股定理解决实际问题二、应用勾股定理求最短距离问题三、例题讲解四、板演练习
七、教学反思
1.利用勾股定理解决实际问题关键是做到:
(1)引导学生分析实际问题,明确如何将实际问题转化为数学问题,注意条件的转化;学会如何利用数学知识、思想、方法解决实际问题. 引导学生分析总结得出应用勾股定理解决实际问题的步骤;
(2)读懂题意,分析数量关系,数形结合,正确标图,将条件反映到图形中,建立数学模型;
(3)应用勾股定理进行计算或建立等量关系,构建方程求解,解决实际问题.
2.应用勾股定理求最短距离问题:
(1)引导学生分析总结得出求立体图形表面上两点之间的最短距离的问题,关键是把立体图形的侧面展开成平面图形,采用“化曲为直”的方法,利用平面上“两点之间线段最短”的公理解题.把空间图形转化为平面图形是解数学题中的重要转化思想之一.
(2)关于立体图形中两点距离最短问题,这对不少学生来说是一个难点,教师要引导学生充分发挥空间想象能力,把立体图形转化成平面图形,让学生体会解决此类问题的方法:将立体图形(或曲面)展开为平面图形,再利用勾股定理求解.通过例题讲解及练习让学生掌握.
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17.1 勾股定理
第3课时
【教学目标】
知识与技能:
1.掌握利用勾股定理在数轴上表示无理数.
2.能用勾股定理解决求直角坐标系或网格中求线段长度的问题.
过程与方法:
经历探索用勾股定理在数轴上表示无理数探索过程,体会数与形的密切联系,增强应用意识,提高运用勾股定理解决问题的能力,发展学生的合情推理能力和有条理的表达能力,通过情境教学,培养学生应用能力.
情感态度与价值观:
培养数形结合的数学思想,并积极参与交流,并积极发表意见,让学生体会数学的应用价值.
【重点难点】
重点:能用勾股定理在数轴上表示无理数.能用勾股定理解决求直角坐标系或网格中线段长问题.
难点:用勾股定理解决求直角坐标系或网格中线段长问题.
【教学过程】
一、创设情境,导入新课:
如图是一美丽的海螺图,而在数学中也有这样一幅美丽的“海螺型”图案.你知道“海螺型”图案怎么画出的吗?你会画出吗?你能在数轴上画出表示的点吗?那表示的点呢?表示的点呢?这一节课我们就来研究这一问题.
二、探究归纳
活动1:探究在数轴上表示无理数
1.填空:
(1)在数轴上表示.
要在数轴上画出表示的点,只要画出长为的线段即可.利用勾股定理,长为的线段是直角边为正整数______ ,______的直角三角形的斜边.?
(2)如图,在数轴上找出表示3的点A,则OA=____,过点A 作直线l垂直于OA,在l上取点B,使AB=____,以原点O为圆心,以OB为半径作弧,弧与数轴的交点____ 即为表示的点.?
答案:(1)3 2 (2)3 2 C
2.思考:在数轴上如何画出表示的点?
提示:利用勾股定理,长为的线段是直角边为正整数10,1的直角三角形的斜边,可以作出长为的线段,进而在数轴上画出此点.
3.归纳:在数轴上,可以画出表示,,,,,……,(n是正整数)的点.
活动2:在方格中表示无理数
如图所示,在5×5的正方形网格中,每个最小正方形的边长都等于1,则线段AB=________.?
答案:
活动3:例题讲解
【例1】 如图,在平面直角坐标系中,点P坐标为(-2,3),以点O为圆心,以OP的长为半径画弧,交x轴的负半轴于点A,则点A的横坐标介于 ( )
A.-4和-3之间 B.3和4之间
C.-5和-4之间 D.4和5之间
分析:先根据勾股定理求出OP的长,由于OP=OA,所以先估算出OP的长,再根据点A在x轴的负半轴上即可得出结论.
解:选A.∵点P坐标为(-2,3),∴OP==,∵点A、P均在以点O为圆心,以OP为半径的圆上,∴OA=OP=,∵9<13<16,∴3<<4.∵点A在x轴的负半轴上,∴点A的横坐标介于-4和-3之间.
总结:在数轴上表示无理数的方法
1.利用勾股定理把要表示的无理数中根号下的整数,拆分成两个整数的平方和的形式,即可得出哪两条线段长的平方和等于所画线段(斜边)长的平方.
2.以数轴原点为直角三角形一条直角边的顶点,在数轴的正半轴上找到表示其中较大整数的点作为直角顶点,过这点作数轴的垂线,构造直角三角形,找出斜边;
3.以数轴原点为圆心,以斜边长为半径画弧,即可在数轴上找到表示该无理数的点.
【例2】 如图,正方形网格中,每个小正方形的边长为1,求网格上的三角形ABC的面积和周长.
分析:利用三角形ABC的面积=正方形的面积-3个直角三角形的面积可求得三角形ABC的面积,利用勾股定理分别求出AB、BC、CA的长,再求三角形ABC的周长.
解:△ABC的面积=4×4-×1×4-×3×2-×2×4=16-2-3-4=16-9=7;
由勾股定理得
AB==,BC==,
AC==2,
所以,△ABC的周长=++2.
总结:在网格中,利用勾股定理可求线段长. 关键是构造直角三角形.
三、交流反思
这节课我们学习了在数轴上表示无理数的方法和勾股定理在网格中的应用,关键是构造直角三角形,利用勾股定理解决问题.
四、检测反馈
1.如图,矩形OABC的边OA长为2 ,边AB长为1,OA在数轴上,以原点O为圆心,对角线OB的长为半径画弧,交正半轴于一点,则这个点表示的实数是 ( )
A.2.5 B.2 C. D.
2.如图,在数轴上表示实数的点可能是 ( )
A.点P B.点Q C.点M D.点N
3.如图,正方形OABC的边长为1,OA在数轴上,以原点O为圆心,对角线OB的长为半径画弧,交正半轴于一点,则这个点表示的实数是 ( )
A.1 B. C.1.5 D.2
4.如图,正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则网格上的三角形ABC中,边长为无理数的边数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
5.如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(-6,0)、(0,8).以点A为圆心,以AB长为半径画弧,交x正半轴于点C,则点C的坐标为________.?
6.如图,由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形,连接小正方形的三个顶点,可得到△ABC,则△ABC中BC边上的高是________.?
7.如图所示是10×8的网格,网格中每个小正方形的边长均为1,A、B两点在小正方形的顶点上,使以A、B、C为顶点的三角形分别满足以下要求:
(1)请在图中取一点C(点C必须在小正方形的顶点上),使△ABC为等腰钝角三角形;
(2)通过计算,直接写出△ABC的周长.
五、布置作业
教科书第28页习题17.1第6题
六、板书设计
17.1 勾股定理第3课时一、在数轴上表示无理数二、勾股定理在网格中的应用三、例题讲解四、板演练习
七、教学反思
1.在数轴上表示无理数:(1)要引导学生明确将在数轴上表示无理数的问题可转化为求长为无理数的线段长的问题.(2)方法步骤:①利用勾股定理拆分出哪两条线段长的平方和等于所画线段(斜边)长的平方,注意一般其中一条线段的长是整数;②以数轴原点为直角三角形斜边的顶点,构造直角三角形;③以数轴原点为圆心,以斜边长为半径画弧,即可在数轴上找到表示该无理数的点.
2.勾股定理在网格中的应用:(1)要引导学生构造所求线段所在的直角三角形;(2)在构造的直角三角形中,利用勾股定理求线段的长.
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