16.2 二次根式的乘除
第1课时
【教学目标】
知识与技能:
1.掌握二次根式的乘法法则:·=(a≥0,b≥0)和=·(a≥0,b≥0).
2.能利用二次根式的乘法法则进行计算或化简.
过程与方法:
经历探索二次根式乘法法则的过程,发展学生的归纳探索能力及逆向思维能力.
情感态度与价值观:
通过观察一些特殊的情形,获得一般结论,使学生感受归纳的思想方法.
【重点难点】
重点:理解二次根式的乘法法则:·=(a≥0,b≥0)和=·
(a≥0,b≥0),能利用其进行计算或化简.
难点:理解二次根式的乘法法则:·=(a≥0,b≥0)和=·
(a≥0,b≥0),能利用其进行计算或化简.
【教学过程】
一、创设情境,导入新课:
如图,长方形内有两个相邻的正方形,面积分别为16和3,那么阴影部分的面积是多少?
解:∵两个小正方形的面积分别为16和3,
∴每个正方形的边长分别为4和.
∴阴影部分的面积为×(4-)=4-×.
这个结果还能继续化简吗?怎样化简?为了解决类似问题,我们这一节课来探究二次根式的乘法.
二、探究归纳
活动1:探索二次根式的乘法法则
1.计算下列各式,观察计算结果,你发现什么规律?
(1)×=________,=________;?
(2)×=________,=________;?
(3)×=________,=________.?
答案:(1)6 6 (2)20 20 (3)60 60
2.用“>”、“<”或“=”填空:
(1)×______?;
(2)×______?;
(3)×______?;
答案:(1)= (2)= (3)=
3.思考:由上面的计算可得两个二次根式相乘,就是把被开方数怎样?
提示:相乘.
4.归纳:二次根式的乘法法则:·=(a≥0,b≥0)
活动2:探索积的算术平方根的性质
1.填空:(1)==________(a≥0,b≥0);?
(2)··=________(a≥0,b≥0).?
答案:2ab 2ab
2.归纳:=·(a≥0,b≥0).
注意:积的算术平方根的性质实质是把二次根式的乘法法则反过来.
活动3:应用举例
【例1】 计算:(1)·;(2)·;
(3)2×(-3);(4)·(a≥0).
分析:应用二次根式的乘法法则:·=把系数及被开方数分别相乘,再化简得出结果.
解:(1)·==1;
(2)·===9;
(3)2×(-3)=(-3×2)×=-6=-54;
(4)∵a≥0,∴·===4a.
总结:二次根式相乘的方法
1.被开方数:二次根式相乘,把被开方数相乘,
2.二次根式前面有系数时,把系数及被开方数分别相乘.
【例2】 化简:(1);(2)(a≥0,b≥0);
(3).
分析:先将被开方数因式分解,化为乘积的形式,然后利用=·(a≥0,b≥0)进行化简.
解:(1)==5.
(2)=×=××=4a.
(3)=
==×=8×4=32.
总结:利用积的算术平方根性质化简的步骤
1.先将被开方数进行因数分解或因式分解,
2.再应用积的算术平方根的性质,将能开得尽方的因数或因式开出来.
三、交流反思
本节课我们主要学习了探索二次根式的乘法法则,并把它反过来得出积的算术平方根性质,注意二者之间的联系与区别,并能运用它们进行计算与化简.
四、检测反馈
1.计算×的结果为 ( )
A.2 B.4 C.8 D.
2.化简-的结果是 ( )
A.-10 B.-2 C.-4 D.-20
3.下列各等式成立的是 ( )
A.4×2=8 B.5×4=20
C.4×3=7 D.5×4=20
4.二次根式的计算结果是 ( )
A.2 B.-2 C.6 D.12
5.等式·=成立的条件是 ( )
A.x≥1 B.x≥-1
C.-1≤x≤1 D.x≥1或x≤-1
6.若是整数,则正整数n的最小值为________.?
7.化简与计算:
(1);
(2);
(3)×;
(4)×.
8.已知长方形的长为5,宽为3, 求这个长方形的面积.
五、布置作业
教科书第10页习题16.2第1,3题,第11页第8题
六、板书设计
16.2 二次根式的乘除第1课时一、二次根式的乘法 1.二次根式的乘法法则:·=(a≥0,b≥0). 2.积的算术平方根性质:=·(a≥0,b≥0).二、例题讲解 三、板演练习
七、教学反思
这节课我们学习了运用二次根式乘法法则:·=(a≥0,b≥0)及逆用法则——积的算术平方根的性质:=·(a≥0,b≥0),对二次根式进行化简,运算时要特别注意对含有字母的被开方数隐含条件的挖掘,考虑问题要全面,防止因片面理解导致错误.
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16.2 二次根式的乘除
第2课时
【教学目标】
知识与技能:
1.掌握二次根式的除法法则=(a≥0,b>0)和商的算术平方根性质=
(a≥0,b>0).
2.能利用二次根式的除法法则进行化简、计算.
3.能利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算.
4.会判断二次根式是否为最简二次根式.
过程与方法:
在探索二次根式的除法法则=(a≥0,b>0)和商的算术平方根性质时,发展学生的归纳探索能力及逆向思维能力.
情感态度与价值观:
通过观察一些特殊的情形,获得一般结论,使学生感受归纳的思想方法.
【重点难点】
重点:理解二次根式的除法法则=(a≥0,b>0)和商的算术平方根性质=(a≥0,b>0),能利用其进行化简、计算,并会把二次根式化成最简二次根式.
难点:理解二次根式的除法法则=(a≥0,b>0)和商的算术平方根性质=
(a≥0,b>0),能利用其进行化简、计算,并会把二次根式化成最简二次根式.
【教学过程】
一、创设情境,导入新课:
上一节课我们学习了二次根式的乘法法则:·=(a≥0,b≥0 )和积的算术平方根的性质:=·(a≥0,b≥0 ),并应用它们把二次根式进行化简,那二次根式的除法有没有类似的法则呢?这一节课我们就来探究一下.
二、探究归纳
活动1:探索二次根式的除法法则
1.计算下列各式并填空,观察计算结果,你发现什么规律?
(1)=______,=______;?
(2)=______,=______;?
(3)=______,=______;?
(4)=______,______.?
答案:(1) (2) (3) (4)
2.用“>”、“<”或“=”填空:
(1)__?;(2)__?;
(3)__?;(4)__?.
答案:(1)= (2)= (3)= (4)=
3.思考:由上面填空可得出两个二次根式相除,就是把被开方数怎样?
提示:相除
4.归纳:二次根式的除法法则:=(a≥0,b>0).
活动2:探索商的算术平方根的性质
1.填空:商的算术平方根的性质
∵=____,=____,∴=.?
答案:
2.归纳:商的算术平方根性质:=(a≥0,b>0).
注意:商的算术平方根的性质实质是把二次根式的除法法则反过来.
活动3:最简二次根式
最简二次根式须满足:(1)被开方数不含分母;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
活动4:应用举例
【例1】 (1);(2)-÷;
(3)(a≥0,b>0).
分析:带分数先化成假分数,运用=(a≥0,b>0)进行计算.
解:(1)===2;
(2)-÷=-=-=-=-3.
(3)===2a.
总结:二次根式(a≥0,b>0)的运算方法
当a是b的倍数或a、b为分数时,直接利用=进行计算,注意结果要化成最简二次根式或整式.
【例2】 化简:(1);(2);
(3)(a>0,b>0).
分析:利用=(a≥0,b>0)进行二次根式的化简.
解:(1)===;
(2)====;
(3)==.
总结:二次根式(a≥0,b>0)的化简方法
先把小数或带分数化成分数或假分数,再利用商的算术平方根的性质=(a≥0,b>0)进行化简,注意结果要化成最简二次根式或整式.
【例3】 下列各式中属于最简二次根式的是________(填序号).?
(1);(2);(3);(4).
分析:根据最简二次根式的定义进行判断,得出答案.
解:(1)=;(2)=;(3)=2a;
(4)无法开方,故填(4).
答案:(4)
总结:最简二次根式应满足的条件:
(1)被开方数不含分母;
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
三、交流反思
这一节课我们学习了运用二次根式除法法则:=(a≥0,b>0)及商的算术平方根的性质:=(a≥0,b>0)对二次根式进行化简,运算时也要特别注意对含有字母的被开方数隐含条件的挖掘,以防出错.
四、检测反馈
1.计算:÷= ( )
A. B.7 C. D.
2.下列计算正确的是 ( )
A.·=1 B.-=1
C.÷=2 D.=±2
3.化简的结果是 ( )
A.- B.- C.- D.-
4.下列各式计算正确的是 ( )
A.===
B.==2
C.÷=
D.=5
5.下列式子中,属于最简二次根式的是 ( )
A. B. C. D.
6.等式=成立的条件是 ( )
A.x≥-1 B.x<2
C.x>2 D.x≥-1且x≠2
7.化简:=________.?
8.化简:
(1) (2) (3)
9.计算:
(1) (2) (3)
10.用两种方法计算:
(1) (2)
五、布置作业
教科书第10页习题16.2第2,3题,第11页第8题
六、板书设计
16.2 二次根式的乘除第2课时一、二次根式的除法 1.二次根式的除法法则:=(a≥0,b>0). 2.商的算术平方根性质:=(a≥0,b>0).二、例题讲解 三、板演练习
七、教学反思
本节内容是在前一节二次根式的学习基础上,在熟练计算积的算术平方根的情况下,学习商的算术平方根的性质,同时为分母有理化作准备.所以在教学中更应注重积和商的互相转换,让学生通过具体实例再结合积的性质,对比、归纳得到商的二次根式的性质.在此过程中给予适当的指导,提出问题让学生有一定的探索方向.这一部分的教学我主要是从以下几点进行的: 1.注意了对平方根和算术平方根的复习,从而引入了二次根式的乘除法法则,得到了二次根式乘除法的计算方法和计算公式.公式就是工具,工具顺手了工作就快,就有效率.因此,在这里让学生进行了大量的练习,熟练公式,打好基础. 2.注意了二次根式乘除法的计算公式的逆用.除法公式的逆用就是用来使“被开方数不含分母”,从而保证了结果是最简二次根式,注重方法的传授. 3.教学中强调了前面学过的运算法则和运算律对二次根式同样适用,使学生在学习中感到所学并不难.在教学中,充分利用教材内容,结合实际问题提高学生的学习积极性. 4.教学中不仅要抓整体,更要注意一些重要细节.在学生做题过程中让学生用心总结一些简单值和特殊值的乘除和化简的方法.
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