华师大版数学八年级下册19.1.1 矩形的性质教学设计
课题
19.1.1 矩形的性质
单元
第十九章矩形、菱形与正方形
学科
数学
年级
八
学习
目标
知识目标：
1、掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别和联系．
2、会初步运用矩形的概念和性质解决有关问题．
能力目标：
经历探索矩形性质的过程，通过灵活运用矩形的性质解决有关问题，渗透几何思维方法．
情感目标：
通过探究学习，体会逻辑思维推理的价值，培养学生的合作意识和树立学习的自信心．
重点
矩形的性质．
难点
灵活运用矩形的性质解决有关的问题．
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
师：什么是平行四边形？
平行四边形具有哪些性质呢？
矩形是特殊的平行四边形，它具有哪些性质？本节课我们就学习一种特殊的平行四边形——矩形．
回顾平行四边形的定义及性质．
通过对平行四边形性质及定义的回顾为本节课的学习做好铺垫．
讲授新课
师：课件演示活动的平行四边形框架，学生观察并探究：
（1）在运动过程中四边形还是平行四边形吗？
（2）在运动过程中四边形不变的是什么？改变的是什么？
（3）在角的大小改变过程中有特殊值吗？这时的平行四边形是什么图形？
归纳板书：矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
几何语言：
在□ABCD中，∠A=90。， ∴四边形ABCD是矩形．
师：运用课件演示，学生观察并探究：
（1）矩形是中心对称图形吗？若是，对称中心是什么？
（2）矩形是轴对称图形吗？若是，对称轴是什么？
归纳探究结果：矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形，对称中心是对角线的交点，对称轴是 经过对边中点的直线．
师：请同学们猜想矩形有哪些特殊的性质？
生：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等．
师：如何证明你的猜想？
生：完成定理的证明．
归纳：矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角．
几何语言：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°．
矩形性质定理2：矩形的对角线相等．
几何语言：∵四边形ABCD为矩形，
∴AC=BD．
引导学生按边、角、对角线归纳矩形的性质．
完成下面的表格：
例1 如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果 四个小三角形周长的和是86 cm，矩形的对角线长是13 cm，那么该矩形的周长是多少？
例2 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，BE⊥AC，垂足为点E．试求BE的长．
例3 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直且平分线段BO，垂足为点E，BD＝15 cm.求AC、AB的长．
观察课件演示并进行探究．
观察课件演示，进行问题的探究．
猜想、证明、归纳矩形的性质．
归纳总结矩形的性质．
完成例题的解答．
通过探究活动理解矩形的特殊性，归纳出矩形的定义．
通过探究活动理解并掌握矩形的对称性．
通过猜想、证明、归纳理解并掌握矩形的性质．
进一步掌握矩形的性质，认识矩形的特殊性．
通过对例题的解决，熟练掌握矩形的性质，培养学生逻辑思维能力．
课堂练习
1、矩形具有而平行四边行不具有的的性质是（ ）
A．对角相等
B．对角线相等
C．对角线互相平分
D．对边平行且相等
2、矩形的一条对角线与一边的夹角为40°，则两条对角线相交所成的锐角是（ ）
A．20° B． 40° C．60° D．80°
3、已知一个矩形的长为4 cm，宽为3 cm，则其对角线长为________ ．
4 、如图所示，矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E．若AB=6，DE=4，则矩形ABCD的周长是________ ．
5、如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0，AB=2 cm，AC=4 cm．
（1）根据“矩形的对角线_____________”，可以得到BD=________cm；
（2）根据“矩形的对角线_____________”，可以得到AO=BO=AC=_____cm，且AB=2cm，所以△AOB是_______三角形．
6、如图，在矩形ABCD中，AB比AD的一半长2cm，AD=10cm，问△ABD的周长比△AOD的周长长多少？
7、如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=4 cm，求矩形对角线的长．
拓展提高：
8、如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，CE//DB，交AD的延长线于点E．
（1）求证：四边形BCED为平行四边形；
（2）试说明：CE=2AO．
中考链接：
1、 【2018·黑龙江】如图，将一个矩形纸片ABCD，沿着BE折叠，使C、D两点分别落在点C1、D1处．若∠C1BA=50° ，则∠ABE的度数为（ ）????
A．10°
B．20°
C．30°
D．40°
2、【2018·四川】?矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB=AO，则∠ABD的度数是________．
完成课堂练习．
通过对课堂练习的解答，使学生掌握矩形的性质，并能够运用矩形的性质解决问题，培养学生解决问题的能力．
课堂小结
1、矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形是矩形．
2、矩形的性质：
（1）平行四边形的所有性质．
（2）矩形的四个角都是直角．
（3）矩形的对角线相等．
（4）矩形既是轴对称图形又是中心对称图形．
对本节课的知识进行归纳．
通过对本节课知识的总结，使学生系统掌握本节课所学的知识，培养学生归纳的习惯．
板书
有一个角是直角的平行四边形是矩形．
边：矩形对边平行且相等．
角：矩形的四个角都是直角．
对角线：矩形的对角线相等且平分．
对称性：矩形既是轴对称图形又是中
心对称图形．
例1
例2
例3
19.1.1矩形的性质 同步练习
时间：30分钟，总分：100分 班级：_____________ 姓名：_____________
一、选择题（每小题5分，共30分）
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是（ ）
A．∠ABC=90° B．AC=BD C．OA=OB D．OA=AD
2．矩形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．四边相等
3．矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD=120°，AC=8，则△ABO的周长为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
4．如图，在矩形ABCD中，若∠1=40°，则两条对角线AC、BD所夹的锐角∠AOB的度数为（ ）
A．80° B．60° C．45° D．40°
5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠ACB=30°，AB=2，则BD的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．如图，矩形ABCD的对角线AC与数轴重合（点C在正半轴上），AB=5，BC=12，点A表示的数是﹣1，则对角线AC、BD的交点表示的数是（ ）
A．5.5 B．5 C．6 D．6.5
二．填空题（每小题5分，共30分）
7．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是__________（填序号）．
①对边平行且相等；②对角线互相平分；③对角相等；④对角线相等；⑤4个角都是90°．
8．如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=2，则矩形的对角线AC的长是______．
9．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于O点，且AB=OA=2cm，则BD的长为_______cm．
10．如图，在矩形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，若AC=4，则BD=________．
11． 矩形的一组邻边长分别为3cm、4cm，它的对角线长为_______，面积为_______．
12．已知矩形ABCD，过对角线BD的中点O作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F，若△ABE的周长为7cm，则矩形ABCD的周长为_______ cm．
三、解答题（共40分）
13．（本题满分12分）如图，四边形ABCD是矩形，点E是AD的中点，点F是BC的中点．
求证：△ABF≌△CDE．
14．（本题满分14分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，EF⊥BD于点O，交AD于点E，交BC于点F，且EF=BF．
求证：OF=CF．
15．（本题满分14分）如图，在矩形ABCD中，E为AD上的一点，EF⊥CE交AB于F，且CE=EF，
（1）求证：△AEF≌△DCE；
（2）若DE=2，矩形ABCD的周长为16，求AE的长．
参考答案
一、选择题：
1．【答案】D．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°，AC=BD，OA=AC，OB=BD，∴OA=OB，∴A、B、C正确，D错误，故选D．
2．【答案】B．
【解析】∵矩形的对角线互相平分且相等，平行四边形的对角线互相平分；∴矩形具有而平行四边形不具有的性质是对角线相等；故选B．
3．【答案】A．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA=AC=4，OB=BD，AC=BD，∴OA=OB，∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=OB=4，∴△ABO的周长=OA+OB+AB=12；故选A．
4．【答案】A．
【解析】∵矩形的性质对角线相等且互相平分，∴OB=OC，∴△BOC是等腰三角形，∴∠OBC=∠1，则∠AOB=2∠1=80°．故选A．
5．【答案】A．
【解析】在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∵∠ACB=30°，AB=2，∴AC=2AB=2×2=4，∵四边形ABCD是矩形，∴BD=AC=4．故选A．
6．【答案】A．
【解析】连接BD交AC于E，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，AE=AC，∴AC===13，∴AE=6.5，∵点A表示的数是﹣1，∴OA=1，∴OE=AE﹣OA=5.5，∴点E表示的数是5.5，即对角线AC、BD的交点表示的数是5.5；故选A．
二、填空题：
7．【答案】④⑤．
【解析】矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是：④对角线相等；⑤4个角都是90°．故答案为：④⑤．
8．【答案】4．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AC=2AO，BD=2BO，AC=BD，∴AO=OB，∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=AO=2，即AC=2AO=4，故答案为：4．
9．【答案】4
【解析】∵矩形ABCD，∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∠ABC=90°，∴OA=OB，∵AB=OA=2，∴BD=AC=2OA=4．故答案为4．
10．【答案】4．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴BD=AC，∵AC=4，∴BD=4．
11．【答案】5cm，12cm2．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AC=BD，在Rt△ABC中，AB=3cm，BC=4cm，由勾股定理得：AC==5（cm），∴BD=AC=5cm，矩形ABCD的面积是AB×BC=3cm×4cm=12cm2．
12．【答案】14．
【解析】∵EF垂直平分BD，∴ED=EB，∵△ABE的周长为7cm，∴AB+AE+BE=AB+AE+DE=AB+AD=7cm，∴矩形ABCD的周长为14cm．
三、解答题：
13．【答案】见解析．
【解析】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠D=90°，AB=CD，AD=BC，∵点E是AD的中点，点F是BC的中点，∴DE=AD BF=BC，∴BF=DE，在△ABF和△CDE中，∵，∴△ABF≌△CDE（SAS）．
14．【答案】见解析．
【解析】证明：在矩形ABCD中，OA=OC，AD∥BC，∴∠OAE=∠OCF，在△AOE和△COF中，∵，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE=OF，∵EF=BF，∴BF=2OF，∵EF⊥BD，∴在Rt△BOF中，∠OBC=30°，∠BFO=90°﹣30°=60°，又∵矩形ABCD中，OB=OC，∴∠OCB=30°，∴∠COF=∠BFO﹣∠OCB=60°﹣30°=30°，∴∠OCB=∠COF，∴OF=CF．
15．【答案】（1）见解析；（2）3．
【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=90°，∵EF⊥CE，∴∠FEC=90°，∴∠AEF+∠DEC=90°，又∵∠AEF+∠AFE=90°，∴∠AFE=∠DEC，在△AEF和△DCE中，，∴△AEF≌△DCE（AAS）；
（2）∵△AEF≌△DCE，∴AE=CD，∵2（AD+CD）=16，DE=2，∴2（AE+2+AE）=16，∴AE=3．
课件25张PPT。矩形的性质数学华师大版 八年级下新知导入1、什么是平行四边形？ 两组对边分别平行的四边形是平行四边形．2、平行四边形具有哪些性质呢？对称性：边：角：对角线：中心对称图形新知讲解如图，用四根木条做一个平行四边形的活动木框，将其直立在地面上并轻轻推动，你会发现什么？角的大小变了，但不管如何，它仍然保持平行四边形的形状．新知讲解矩形是特殊的平行四边形，特殊在有一个角是直角哟！有一个角是直角的平行四边形是矩形．在□ABCD中，∠A=90。， ∴四边形ABCD是矩形．平行四边形矩形矩形的定义几何语言：新知讲解具备平行四边形所有的性质对称性：边：角：对角线：中心对称图形矩形是特殊的平行四边形，因此矩形除具有平行四边形的性质外，还有它的特殊性质．你能说出矩形有哪些特殊性质吗?新知讲解1、矩形是中心对称图形吗？若是，对称中心是什么？2、矩形是轴对称图形吗？若是，对称轴是什么？ABCDO矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形，对称中心是对角线的交点，对称轴是经过对边中点的直线．新知讲解OO┓观察下列图形的变换，从中你能得到什么感悟？矩形的四个角是直角．矩形的对角线相等．新知讲解命题：矩形的四个角都是直角．已知：四边形ABCD是矩形．
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°．证明：∵矩形ABCD是平行四边形（已知），
∴ ∠B+∠C=180 °（平行四边形邻角互补）．
又 ∵ ∠B=90° （已知），
∴ ∠C=90 °（等式的性质）．
同理：∠D=90° ，∠A=90°，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°．定理：矩形的四个角都是直角．新知讲解命题：矩形的对角线相等．已知：四边形ABCD是矩形．求证： AC = BD． 证明： ∵ABCD是矩形（已知），
∴∠ABC = ∠DAB = 90° ，BC = AD（矩形有性质）．
在△ABC≌△BAD中
∵
∴△ABC≌△BAD（SAS），
∴AC = BD（对应边相等）．定理：矩形的对角线相等．新知讲解┒邻边：四个角都是直角 互相平分 AO＝CO； BO＝DO（1）边：（2）角：（3）对角线：对边：（共性）（共性）（特性）（特性）（特性）（共性）ABCDO平行 AD∥BC； AB∥CD 相等 AB＝CD； AD＝BC 相 等 AC＝BD 互相垂直 AB⊥BC； AB⊥ADABDC O∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝ 90°┒┒┒OA=OB=OC=OD=相等的对角线的一半．对角相等、邻角互补 （共性）新知讲解对边平行
且相等对角相等
邻角互补对角线互
相平分中心对称图形对边平行
且相等四个角
为直角对角线互相
平分且相等中心对称图形
轴对称图形新知讲解 例1 如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果 四个小三角形周长的和是86 cm，矩形的对角线长是13 cm，那么该矩形的周长是多少？ 解：∵△AOB、△BOC、△COD和△AOD四个小三角形周长的和为86 cm，
∴AB+BC+CD+DA+2（OA+OB+OC+OD）
=AB+BC+CD+DA+2（AC+BD）=86．
又∵AC=BD=13（矩形的对角线相等），
∴AB+BC+CD+DA=86-2（AC+BD）=86-4×13=34（cm），
即矩形ABCD的周长等于34 cm．新知讲解例2 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，BE⊥AC，垂足为点E．试求BE的长．解：在矩形ABCD中，∠ABC=90°，
，
又∵ ，
∴ ．新知讲解例3 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直且平分线段BO，垂足为点E，BD＝15 cm.求AC、AB的长．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=15（矩形的对角线相等），
∴AO= AC=7.5，
∵AE垂直且平分BO，
∴AB=AO=7.5，
即AC的长为15 cm，AB的长为7.5 cm．课堂练习1、矩形具有而平行四边行不具有的的性质是（ ）
A．对角相等 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对边平行且相等
2、矩形的一条对角线与一边的夹角为40°，则两条对角线相交所成的锐角是（ ）
A．20° B． 40° C．60° D．80°
3、已知一个矩形的长为4 cm，宽为3 cm，则其对角线长为________ ．
4 、如图所示，矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E．
若AB=6，DE=4，则矩形ABCD的周长是________ ．BD5 cm32课堂练习5、如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0，AB=2 cm，AC=4 cm．
（1）根据“矩形的对角线_____________”，可以得到BD=________cm；
（2）根据“矩形的对角线_____________”，可以得到AO=BO= AC=
_____cm，且AB=2cm，所以△AOB是_______三角形．相等4互相平分2等边课堂练习6、如图，在矩形ABCD中，AB比AD的一半长2cm，AD=10cm，问△ABD的周长比△AOD的周长长多少？ 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD=90°，OA=OB= BD， ∵AB比AD的一半长2cm，AD=10cm， ∴AB= AD+2cm=7cm， ∴△ABD的周长?△AOD的周长=(AB+AD+BD)?(OA+OB+AD)=AB=7cm． 课堂练习7、如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=4 cm，求矩形对角线的长．解:∵ 四边形ABCD是矩形，
∴AC与BD相等且互相平分，
∴OA=OB．
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=AB=4 cm．
∴ 矩形的对角线长AC=BD=2OA=8 cm．拓展提高8、如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，CE//DB，交AD的延长线于点E．
（1）求证：四边形BCED为平行四边形；
（2）试说明：CE=2AO．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD//BC，AC=DB=2AO， 又∵CE//DB， ∴四边形BCED是平行四边形；
（2）证明：∵四边形BCED是平行四边形， ∴CE=BD， 由（1）得：DB=AC=2AO， ∴CE=2AO．中考链接1、 【2018·黑龙江】如图，将一个矩形纸片ABCD，沿着BE折叠，使C、D两点分别落在点C1、D1处．若∠C1BA=50° ，则∠ABE的度数为（ ）????
A．10° B．20° C．30° D．40°
2、【2018·四川】?矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB=AO，则∠ABD的度数是________．
60°B课堂总结1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．2、矩形的性质：（1）平行四边形的所有性质．
（2）矩形的四个角都是直角．
（3）矩形的对角线相等．
（4）矩形既是轴对称图形又是中心对称图形．板书设计有一个角是直角的平行四边形是矩形．边：矩形对边平行且相等．角：矩形的四个角都是直角．对角线：矩形的对角线相等且平分．对称性：矩形既是轴对称图形又是中
心对称图形．例1
例2
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