19.1.1 矩形的性质 试卷
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19.1.1矩形的性质 同步练习
时间：30分钟，总分：100分 班级：_____________ 姓名：_____________
一、选择题（每小题5分，共30分）
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是（ ）
A．∠ABC=90° B．AC=BD C．OA=OB D．OA=AD
2．矩形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．四边相等
3．矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD=120°，AC=8，则△ABO的周长为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
4．如图，在矩形ABCD中，若∠1=40°，则两条对角线AC、BD所夹的锐角∠AOB的度数为（ ）
A．80° B．60° C．45° D．40°
5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠ACB=30°，AB=2，则BD的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．如图，矩形ABCD的对角线AC与数轴重合（点C在正半轴上），AB=5，BC=12，点A表示的数是﹣1，则对角线AC、BD的交点表示的数是（ ）
A．5.5 B．5 C．6 D．6.5
二．填空题（每小题5分，共30分）
7．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是__________（填序号）．
①对边平行且相等；②对角线互相平分；③对角相等；④对角线相等；⑤4个角都是90°．
8．如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=2，则矩形的对角线AC的长是______．
9．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于O点，且AB=OA=2cm，则BD的长为_______cm．
10．如图，在矩形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，若AC=4，则BD=________．
11． 矩形的一组邻边长分别为3cm、4cm，它的对角线长为_______，面积为_______．
12．已知矩形ABCD，过对角线BD的中点O作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F，若△ABE的周长为7cm，则矩形ABCD的周长为_______ cm．
三、解答题（共40分）
13．（本题满分12分）如图，四边形ABCD是矩形，点E是AD的中点，点F是BC的中点．
求证：△ABF≌△CDE．
14．（本题满分14分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，EF⊥BD于点O，交AD于点E，交BC于点F，且EF=BF．
求证：OF=CF．
15．（本题满分14分）如图，在矩形ABCD中，E为AD上的一点，EF⊥CE交AB于F，且CE=EF，
（1）求证：△AEF≌△DCE；
（2）若DE=2，矩形ABCD的周长为16，求AE的长．
参考答案
一、选择题：
1．【答案】D．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°，AC=BD，OA=AC，OB=BD，∴OA=OB，∴A、B、C正确，D错误，故选D．
2．【答案】B．
【解析】∵矩形的对角线互相平分且相等，平行四边形的对角线互相平分；∴矩形具有而平行四边形不具有的性质是对角线相等；故选B．
3．【答案】A．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA=AC=4，OB=BD，AC=BD，∴OA=OB，∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=OB=4，∴△ABO的周长=OA+OB+AB=12；故选A．
4．【答案】A．
【解析】∵矩形的性质对角线相等且互相平分，∴OB=OC，∴△BOC是等腰三角形，∴∠OBC=∠1，则∠AOB=2∠1=80°．故选A．
5．【答案】A．
【解析】在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∵∠ACB=30°，AB=2，∴AC=2AB=2×2=4，∵四边形ABCD是矩形，∴BD=AC=4．故选A．
6．【答案】A．
【解析】连接BD交AC于E，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，AE=AC，∴AC===13，∴AE=6.5，∵点A表示的数是﹣1，∴OA=1，∴OE=AE﹣OA=5.5，∴点E表示的数是5.5，即对角线AC、BD的交点表示的数是5.5；故选A．
二、填空题：
7．【答案】④⑤．
【解析】矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是：④对角线相等；⑤4个角都是90°．故答案为：④⑤．
8．【答案】4．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AC=2AO，BD=2BO，AC=BD，∴AO=OB，∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=AO=2，即AC=2AO=4，故答案为：4．
9．【答案】4
【解析】∵矩形ABCD，∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∠ABC=90°，∴OA=OB，∵AB=OA=2，∴BD=AC=2OA=4．故答案为4．
10．【答案】4．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴BD=AC，∵AC=4，∴BD=4．
11．【答案】5cm，12cm2．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AC=BD，在Rt△ABC中，AB=3cm，BC=4cm，由勾股定理得：AC==5（cm），∴BD=AC=5cm，矩形ABCD的面积是AB×BC=3cm×4cm=12cm2．
12．【答案】14．
【解析】∵EF垂直平分BD，∴ED=EB，∵△ABE的周长为7cm，∴AB+AE+BE=AB+AE+DE=AB+AD=7cm，∴矩形ABCD的周长为14cm．
三、解答题：
13．【答案】见解析．
【解析】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠D=90°，AB=CD，AD=BC，∵点E是AD的中点，点F是BC的中点，∴DE=AD BF=BC，∴BF=DE，在△ABF和△CDE中，∵，∴△ABF≌△CDE（SAS）．
14．【答案】见解析．
【解析】证明：在矩形ABCD中，OA=OC，AD∥BC，∴∠OAE=∠OCF，在△AOE和△COF中，∵，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE=OF，∵EF=BF，∴BF=2OF，∵EF⊥BD，∴在Rt△BOF中，∠OBC=30°，∠BFO=90°﹣30°=60°，又∵矩形ABCD中，OB=OC，∴∠OCB=30°，∴∠COF=∠BFO﹣∠OCB=60°﹣30°=30°，∴∠OCB=∠COF，∴OF=CF．
15．【答案】（1）见解析；（2）3．
【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=90°，∵EF⊥CE，∴∠FEC=90°，∴∠AEF+∠DEC=90°，又∵∠AEF+∠AFE=90°，∴∠AFE=∠DEC，在△AEF和△DCE中，，∴△AEF≌△DCE（AAS）；
（2）∵△AEF≌△DCE，∴AE=CD，∵2（AD+CD）=16，DE=2，∴2（AE+2+AE）=16，∴AE=3．
时间：30分钟，总分：100分 班级：_____________ 姓名：_____________
一、选择题（每小题5分，共30分）
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是（ ）
A．∠ABC=90° B．AC=BD C．OA=OB D．OA=AD
2．矩形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．四边相等
3．矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD=120°，AC=8，则△ABO的周长为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
4．如图，在矩形ABCD中，若∠1=40°，则两条对角线AC、BD所夹的锐角∠AOB的度数为（ ）
A．80° B．60° C．45° D．40°
5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠ACB=30°，AB=2，则BD的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．如图，矩形ABCD的对角线AC与数轴重合（点C在正半轴上），AB=5，BC=12，点A表示的数是﹣1，则对角线AC、BD的交点表示的数是（ ）
A．5.5 B．5 C．6 D．6.5
二．填空题（每小题5分，共30分）
7．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是__________（填序号）．
①对边平行且相等；②对角线互相平分；③对角相等；④对角线相等；⑤4个角都是90°．
8．如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=2，则矩形的对角线AC的长是______．
9．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于O点，且AB=OA=2cm，则BD的长为_______cm．
10．如图，在矩形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，若AC=4，则BD=________．
11． 矩形的一组邻边长分别为3cm、4cm，它的对角线长为_______，面积为_______．
12．已知矩形ABCD，过对角线BD的中点O作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F，若△ABE的周长为7cm，则矩形ABCD的周长为_______ cm．
三、解答题（共40分）
13．（本题满分12分）如图，四边形ABCD是矩形，点E是AD的中点，点F是BC的中点．
求证：△ABF≌△CDE．
14．（本题满分14分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，EF⊥BD于点O，交AD于点E，交BC于点F，且EF=BF．
求证：OF=CF．
15．（本题满分14分）如图，在矩形ABCD中，E为AD上的一点，EF⊥CE交AB于F，且CE=EF，
（1）求证：△AEF≌△DCE；
（2）若DE=2，矩形ABCD的周长为16，求AE的长．
参考答案
一、选择题：
1．【答案】D．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°，AC=BD，OA=AC，OB=BD，∴OA=OB，∴A、B、C正确，D错误，故选D．
2．【答案】B．
【解析】∵矩形的对角线互相平分且相等，平行四边形的对角线互相平分；∴矩形具有而平行四边形不具有的性质是对角线相等；故选B．
3．【答案】A．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA=AC=4，OB=BD，AC=BD，∴OA=OB，∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=OB=4，∴△ABO的周长=OA+OB+AB=12；故选A．
4．【答案】A．
【解析】∵矩形的性质对角线相等且互相平分，∴OB=OC，∴△BOC是等腰三角形，∴∠OBC=∠1，则∠AOB=2∠1=80°．故选A．
5．【答案】A．
【解析】在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∵∠ACB=30°，AB=2，∴AC=2AB=2×2=4，∵四边形ABCD是矩形，∴BD=AC=4．故选A．
6．【答案】A．
【解析】连接BD交AC于E，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，AE=AC，∴AC===13，∴AE=6.5，∵点A表示的数是﹣1，∴OA=1，∴OE=AE﹣OA=5.5，∴点E表示的数是5.5，即对角线AC、BD的交点表示的数是5.5；故选A．
二、填空题：
7．【答案】④⑤．
【解析】矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是：④对角线相等；⑤4个角都是90°．故答案为：④⑤．
8．【答案】4．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AC=2AO，BD=2BO，AC=BD，∴AO=OB，∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=AO=2，即AC=2AO=4，故答案为：4．
9．【答案】4
【解析】∵矩形ABCD，∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∠ABC=90°，∴OA=OB，∵AB=OA=2，∴BD=AC=2OA=4．故答案为4．
10．【答案】4．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴BD=AC，∵AC=4，∴BD=4．
11．【答案】5cm，12cm2．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AC=BD，在Rt△ABC中，AB=3cm，BC=4cm，由勾股定理得：AC==5（cm），∴BD=AC=5cm，矩形ABCD的面积是AB×BC=3cm×4cm=12cm2．
12．【答案】14．
【解析】∵EF垂直平分BD，∴ED=EB，∵△ABE的周长为7cm，∴AB+AE+BE=AB+AE+DE=AB+AD=7cm，∴矩形ABCD的周长为14cm．
三、解答题：
13．【答案】见解析．
【解析】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠D=90°，AB=CD，AD=BC，∵点E是AD的中点，点F是BC的中点，∴DE=AD BF=BC，∴BF=DE，在△ABF和△CDE中，∵，∴△ABF≌△CDE（SAS）．
14．【答案】见解析．
【解析】证明：在矩形ABCD中，OA=OC，AD∥BC，∴∠OAE=∠OCF，在△AOE和△COF中，∵，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE=OF，∵EF=BF，∴BF=2OF，∵EF⊥BD，∴在Rt△BOF中，∠OBC=30°，∠BFO=90°﹣30°=60°，又∵矩形ABCD中，OB=OC，∴∠OCB=30°，∴∠COF=∠BFO﹣∠OCB=60°﹣30°=30°，∴∠OCB=∠COF，∴OF=CF．
15．【答案】（1）见解析；（2）3．
【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=90°，∵EF⊥CE，∴∠FEC=90°，∴∠AEF+∠DEC=90°，又∵∠AEF+∠AFE=90°，∴∠AFE=∠DEC，在△AEF和△DCE中，，∴△AEF≌△DCE（AAS）；
（2）∵△AEF≌△DCE，∴AE=CD，∵2（AD+CD）=16，DE=2，∴2（AE+2+AE）=16，∴AE=3．