玉山一中2018 —2019学年度第二学期高二期中考试
理科数学试卷(20—31班)
考试时间:120分钟 总分:150分 命题人:
第Ⅰ卷
一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合,则( )
A. B. C. D.
2.已知复数,则的共轭复数为( )
A . B. C. D.
3.方程表示的曲线不可能是( )
A.椭圆 B.抛物线 C.双曲线 D.直线
4.已知,则的值是( )
A. B. C. D.-1
5.若函数的导函数为奇函数,则的解析式可能为( )
A. B.
C. D.
6.设,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.已知命题“”是假命题,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题说法正确的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
9.已知抛物线的焦点为,准线为,点为抛物线上一点,且在第一象限,,垂足为,,则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
10.有编号依次为1,2,3,4,5,6的6名学生参加数学竞赛选拔赛,今有甲、乙、丙、丁四位老师在猜谁将得第一名,甲猜不是3号就是5号;乙猜6号不可能;丙猜是1号,2号,4号中的某一个;丁猜2号,3号,4号都不可能.若以上四位老师中只有一位老师猜对,则猜对者是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
11.设是椭圆的两个焦点,点在椭圆上,若线段的中点在轴上,则的值为( )
A. B. C. D.
12.已知是双曲线的左、右焦点,过的直线与双曲线的左支交于点,与右支交于点,若,则( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
本卷包括填空题和解答题两个部分. 第13-16题为填空题,第17-22题为解答题.
二、填空题(本大题共四小题,每小题5分,共20分)
13.抛物线的准线方程为 .
14.已知双曲线的右焦点为,过点向双曲线的一条渐近线引垂线,垂足为,再反向延长交另一条渐近线于点,若,则双曲线的离心率为 .
15.一个棱长为8的正方体形状的铁盒内放置一个正四面体,且能使该正四面体在铁盒内任意转动,则
该正四面体的棱长的最大值是 .
16.设命题:实数满足不等式;命题:函数无极值点.又已知“”为真命题,记为.命题:,若是的必要不充分条件,则正整数的值为 .
三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.本大题共70分)
17.(本小题满分10分)已知,命题:方程表示圆心在第一象限的圆;命题:方程表示焦点在轴上的椭圆.
(1)若命题是真命题,求实数的取值范围;
(2)若命题为假命题,求实数的取值范围.
18.(本小题满分12分)已知抛物线的焦点为,过焦点的直线交抛物
线于两点.
(1)求抛物线的方程;
(2)记抛物线的准线与轴交于点,若,求直线的方程.
19.(本小题满分12分)已知五面体ABCDEF中,四边形CDEF为矩形,,CD=2DE=2AD=2AB=4,AC=,.
(1)求证:AB平面ADE;
(2)求平面EBC与平面BCF所成的锐二面角的余弦值.
20.(本小题满分12分)玉山一中篮球体育测试要求学生完成“立定投篮”和“三步上篮”两项测试,“立定投篮”和“三步上篮”各有2次投篮机会,先进行“立定投篮”测试,如果合格才能参加“三步上篮”测试.为了节约时间,每项测试只需且必须投中一次即为合格.小华同学“立定投篮”和“三步上篮”的命中率均为.假设小华不放弃任何一次投篮机会且每次投篮是否命中相互独立.
(1)求小华同学两项测试均合格的概率;
(2)设测试过程中小华投篮次数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.
21.(本小题满分12分)
已知椭圆的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的长轴为直径的圆与直线相切.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知过点的动直线与椭圆的两个交点为,求的面积的取值范围.
22.(本小题满分12分)
已知函数(为正实数,).
(1)求函数的单调性;
(2)若函数有最大值,求的最小值.
高二理科数学20-31班参考答案
一、选择题(每小题5分,共60分)
1—5题:CDBCA 6—10 题:ABBBD 11—12题:DC
二、填空题(每小题5分,共20分)
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.由题意,命题,命题 (4分)
(1)由此得: (6分)
(2)为假命题,即. (10分)
18(1)由题意得; (3分)
(2)由题意,直线的斜率一定不为0,可设直线方程为:,点,且,则①
联立直线和抛物线方程,消元得代入①式,得或,即直线的方程为或. (12分)
19(1)
(6分)
(2) 直线DE,DC,DC两两互相垂直,故以点D为坐标原点,分别以正方向为轴正方向建立空间直角坐标系,则E (0,0,2),A(2,0,0),C(0,4,0),B(2,2,0),F(0,4,2),分别设平面EBC和平面BCF法向量为,,则,取得,同理, 设所求角为,则,即所求锐二面角的余弦值为 (12分)
20(1)小华同学“立定投篮”与“三步上篮”合格的概率均为,则小华同学两项测试均合格的概率为; (4分)
(2)由题意,随机变量X所有可能取值为2,3,4 (5分)
,,,其分布列为
X 2 3 4
(10分)
数学期望为 (12分)
21(1)由离心率为,椭圆的长轴为直径的圆与直线相切,即椭圆的标准方程 (4分)
(2)结合题意,设动直线方程为,点,且,联立直线和椭圆方程,消元得,则,原点到直线距离为,则的面积,令,则,又(当时取等号),则,即的面积的取值范围为. (12分)
22(1),当时,;当时,.即函数单调增区间为,单调减区间为. (5分)
(2)由(1)得,
令,当时,,当时,,即的最小值为. (12分)
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