第十八章 平行四边形
18.1 平行四边形
18.1.1 平行四边形的性质
第1课时
【教学目标】
知识与技能:
1.理解平行四边形的概念及两条平行线间的距离.
2.会用平行四边形的边角性质进行计算或证明.
过程与方法:
经历探索平行四边形性质的过程,通过探索、发现、论证培养学生类比、转化的数学思想方法,锻炼学生缜密的逻辑思维能力,渗透“转化”的数学思想.
情感态度与价值观:
让学生在观察、合作、讨论、交流中感受数学的实际应用价值,同时培养学生善于发现、积极思考、合作学习的学习态度.
【重点难点】
重点:平行四边形的定义,平行四边形对角、对边相等的性质,以及性质的应用.
难点:运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算.
【教学过程】
一、创设情境,导入新课:
请同学们欣赏一组日常生活中常见的图片,想一想它们是什么几何图形的形象?你能观察到图片中有我们学过的哪些四边形?
平行四边形是我们常见的图形,你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗?
你能总结出平行四边形的定义吗?平行四边形具有什么性质,这一节我们就来研究这些问题.
二、探究归纳
活动1:平行四边形的定义、表示
1.定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2.表示:(1)平行四边形用符号“?” 表示,平行四边形ABCD,记作“?ABCD”.
(2)还可以用符号语言来描述平行四边形的定义:
?四边形ABCD是平行四边形.
活动2:平行四边形的性质
1.由定义可知平行四边形的对边平行.
2.问题:平行四边形除以上性质外还有其他性质吗?鼓励学生大胆猜想(提示:请学生仿照三角形的学习方法从边和角去探索)
第一步:猜想边和角之间的数量关系(对边相等,对角相等)
第二步:小组合作学习探索:让各组学生画平行四边形,用测量、旋转、平移、推理等方法验证上面的猜想.
3.归纳:
(1)平行四边形的对边相等.
(2)平行四边形的对角相等.
4.推理:(如何证明上述结论?)
已知:?ABCD.
求证:①AB=DC,AD=BC, ②∠A=∠C,∠B=∠D.
分析:解决四边形问题的常用方法:转化为三角形的问题.
证明:(运用多媒体)
连接AC,在△ABC和△CDA中,
∵AB∥DC,∴∠1=∠3,
∵AD∥BC,∴∠2=∠4,
AC是△ABC和△CDA的公共边,
∴△ABC≌△CDA(ASA),
∴AB=CD,CB=AD,∠B=∠D,∠BAD=∠BCD.
5.平行四边形性质的几何表示:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴①AB=CD,AD=BC.
∴②∠A=∠C, ∠B=∠D.
活动3:两条平行线之间的距离
两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离.
活动4:例题讲解
【例1】 如图,在?ABCD中,DE平分∠ADC,AD=6,BE=2,则?ABCD的周长是_____.?
分析:根据角平分线的定义以及两直线平行,内错角相等求出∠CDE=∠CED,再根据等角对等边的性质可得CE= CD,然后利用平行四边形对边相等求出CD、BC的长度,再求出?ABCD的周长.
解:∵DE平分∠ADC,∴∠ADE=∠CDE,
∵?ABCD中,AD∥BC,∴∠ADE=∠CED,
∴∠CDE=∠CED,∴CE=CD,
∵在?ABCD中,AD=6,BE=2,∴AD=BC=6,
∴CE=BC-BE=6-2=4,∴CD=AB=4,
∴?ABCD的周长=6+6+4+4=20.
答案:20
总结:利用平行四边形的边角性质计算解决问题
(1)利用平行四边形对边相等,求边长及周长等;
(2)利用平行四边形对角相等,求角.
【例2】 (2018·无锡中考)如图,平行四边形ABCD中,E、F分别是BC、AD的中点,求证:∠ABF=∠CDE.
分析:根据平行四边形的性质以及全等三角形的性质即可求出答案.
解:在?ABCD中,AD=BC,∠A=∠C,
∵E、F分别是BC、AD的中点,
∴AF=CE,在△ABF与△CDE中,
∴△ABF≌△CDE(SAS).
∴∠ABF=∠CDE.
总结:利用平行四边形的边角性质进行证明
利用平行四边形对边平行且相等,对角相等进行证明
三、交流反思
这节课我们学习了平行四边形的定义和性质.能灵活应用平行四边形的性质进行计算或证明.
四、检测反馈
1.已知?ABCD中,∠A+∠C=200°,则∠B的度数是( )
A.100° B.160° C.80° D.60°
2.在?ABCD中,下列结论一定正确的是 ( )
A.AC⊥BD B.∠A+∠B=180°
C.AB=AD D.∠A≠∠C
3.如图,在?ABCD中,AD=5,AB=3,AE平分∠BAD交BC边于点E,则线段BE、EC的长度分别为 ( )
A.2和3 B.3和2
C.4和1 D.1和4
4.?ABCD中,两邻角之比为1∶2,则它的四个内角的度数分别是________.?
5.?ABCD的周长是28 cm,△ABC的周长是22 cm,则AC的长是________.?
6.如图,已知?ABCD中,AB=4,BC=6,BC边上的高AE=2,则DC边上的高AF的长是________.?
7.如图,在平行四边形ABCD中,AE∥CF,
求证:△ABE≌△CDF.
8.如图,在?ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,若∠EAF=60°,BE=2 cm,DF=3 cm,求?ABCD的周长和面积.若问题改为CF=2 cm,CE=3 cm,求?ABCD的周长和面积.
9.如图,在?ABCD中,M、N是对角线BD上的两点,BN=DM,请判断AM与CN有怎样的数量关系,并说明理由.它们的位置关系如何呢?
10.?ABCD中,E在边AD上,以BE为折痕,将△ABE向上翻折,点A正好落在CD上的点F处,若△FDE的周长为8,△FCB的周长为22,求CF的长.
五、布置作业
教科书第49页习题18.1第1,2,4题
六、板书设计
第十八章 平行四边形 18.1 平行四边形 18.1.1 平行四边形的性质第1课时一、平行四边形的定义、表示二、平行四边形的性质三、两条平行线之间的距离四、例题讲解五、板演练习
七、教学反思
平行四边形的性质这一节课是本章的第一节,也是本章重点内容之一,它在本章中起着承上启下的作用,并为我们接下来研究各种特殊平行四边形——矩形、菱形、正方形等奠定重要基础;而平行四边形性质的探索需要借助我们已学过的平行线、三角形全等和四边形的内角和等相关知识,并且为证明线段相等和角相等提供重要依据和方法.因此,上好这一节课非常关键,既不能让学生感觉太难,也不能让他们糊弄过关.所以,我在设计本节课时就遵循着这个原则,希望让学生能在亲身的动手操作中体会它的性质,并用心感受平行四边形在实际生活中的广泛应用.
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18.1.1 平行四边形的性质
第2课时
【教学目标】
知识与技能:
1.掌握平行四边形的对角线互相平分的性质.
2.熟练应用平行四边形的性质进行计算或证明
过程与方法:
经历探究平行四边形的性质三的过程,培养独立思考,自主探究的能力以及综合运用数学知识的能力以及创新能力.
情感态度与价值观:
通过推理,培养逐步深入理性认识几何图形的科学态度,在知识推理归纳过程中感受数学的严谨变化之美.
【重点难点】
重点:理解平行四边形中心对称的特征,掌握平行四边形对角线互相平分的性质.
难点:能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形有关计算的问题及简单的证明题.
【教学过程】
一、创设情境,导入新课:
(1)什么样的四边形是平行四边形?四边形与平行四边形的关系是:
(2)平行四边形的性质:①具有一般四边形的性质(内角和是360°).
②角:平行四边形的对角相等,邻角互补.
边:平行四边形的对边相等.
(3)探究归纳: 请学生在纸上画两个全等的?ABCD和?EFGH,并连接对角线AC、BD和EG、HF,设它们分别交于点O.把这两个平行四边形重叠在一起,在点O处钉一个图钉,将?ABCD绕点O旋转180°,观察它还和?EFGH重合吗?你能从中看出前面所得到的平行四边形的边、角关系吗?进一步,你还能发现平行四边形的什么性质吗?这一节我们就来研究.
二、探究归纳
活动1:复习已学过的平行四边形的性质:
(1)什么样的四边形是平行四边形?四边形与平行四边形的关系是什么?
(2)平行四边形的性质:
①具有一般四边形的性质(内角和是360°).
②角:平行四边形的对角相等,邻角互补.
③边:平行四边形的对边相等.
活动2【动手操作】
1.学生活动:请学生在纸上画两个全等的?ABCD和?EFGH,并连接对角线AC、BD和EG、HF,设它们分别交于点O.把这两个平行四边形重叠在一起,在点O处钉一个图钉,将?ABCD绕点O旋转180°,观察它还和?EFGH重合吗?你能从中看出前面所得到的平行四边形的边、角关系吗?进一步,你还能发现平行四边形的什么性质吗?
2.归纳:
(1)平行四边形是中心对称图形,两条对角线的交点是对称中心;
(2)平行四边形的性质3:平行四边形的对角线互相平分.
几何表述:∵?ABCD的对角线AC、BD相交于点O,
∴OA=OC,OB=OD.
3.平行四边形的高:在平行四边形中,从一条边上的任意一点,向对边画垂线,这点与垂足间的距离(或从这点到对边垂线段的长,或者说这条边和对边的距离),叫做以这条边为底的平行四边形的高.这里所说的“底”是相对高而言的.
4.平行四边形的面积:等于它的底和高的积,
即S?ABCD=a·h.(其中a可以是平行四边形的任何一边,h必须是a边与其对边的距离,即对应的高)
活动3:例题讲解
【例1】 如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,EF过点O且与AB、CD分别交于点E、F,求证:△AOE≌△COF.
分析:根据平行四边形的性质可知,AO=CO,
∠EAO=∠FCO,又根据对顶角相等可知,
∠AOE=∠COF,再根据全等三角形判定法则ASA,
△AOE≌△COF,得证.
解:∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,
∴AO=CO,AB∥CD,∴∠EAO=∠FCO.
在△AOE和△COF中,
∴△AOE≌△COF.
总结:利用平行四边形对角线互相平分的性质可进行与对角线有关的计算与证明.
【例2】 已知:如图(a)?ABCD的对角线AC、BD相交于点O,EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F.
求证:OE=OF,AE=CF,BE=DF.
分析:先利用平行四边形的性质证得∠1=∠2,∠3=∠4,OA=OC,证明△AOE≌
△COF,得出OE=OF,AE=CF,再利用平行四边形的性质得出AB=CD,通过线段和差计算得出答案.
证明:∵在?ABCD中,AB∥CD,
∴∠1=∠2.∠3=∠4.
又OA=OC(平行四边形的对角线互相平分),
∴△AOE≌△COF.
∴OE=OF,AE=CF(全等三角形对应边相等).
∵?ABCD,∴ AB=CD(平行四边形对边相等).
∴AB-AE=CD-CF.即BE=FD.
【引申】例题中的条件都不变,将EF转动到图(b)的位置,那么结论是否成立?若将EF向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交(图(c)和图(d)),结论是否成立,说明你的理由.
【例3】 如图,在?ABCD中,AC与BD相交于点O,则下列结论不一定成立的是
( )
A.BO=DO
B.CD=AB
C.∠BAD=∠BCD
D.AC=BD
分析:依据平行四边形的性质:对边平行且相等,对角相等,对角线互相平分,逐一判断即可.
解:选D.根据平行四边形的对角线互相平分,BO=DO,选项A不符合题意;根据平行四边形的对边相等,AB=CD,选项B不符合题意;根据平行四边形的对角相等,
∠BAD=∠BCD,选项C不符合题意;而选项D中“AC=BD”说明对角线相等,平行四边形没有这一性质,因此选项D符合题意.
利用平行四边形的性质可证线段或角相等或进行与平行四边形有关的边角计算.
三、交流反思
这节课我们学习了平行四边形对角线的性质:平行四边形的对角线互相平分.能综合运用平行四边形的性质进行计算或证明.
四、检测反馈
1.如图,在?ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若AC=8,BD=10,AB=6,则△OAB的周长为 ( )
A.12 B.13 C.15 D.16
2.如图所示,在平行四边形ABCD中,O为对角线AC、BD的交点,与△AOD全等的是( )
A.△ABC B.△ADC
C.△BCD D.△COB
3.如图,在平行四边形ABCD中,下列结论中错误的是( )
A.∠1=∠2 B.∠BAD=∠BCD
C.AB=CD D.AC⊥BD
4.在?ABCD中,AC、BD交于点O,已知AB=8 cm,BC=6 cm,△AOB的周长是18 cm,那么△AOD的周长是________;若S△AOB=2 cm2,则S?ABCD=________.?
5.?ABCD的周长为60 cm,对角线交于点O,若△BOC的周长比△AOB的周长小8 cm,则AB=________cm,BC=____________cm;若AC=8,AB=6,BD=m,那么m的取值范围是________.?
6.?ABCD中,E、F在AC上,四边形DEBF是平行四边形.求证:AE=CF.
7.已知:如图,O为?ABCD的对角线AC的中点,过点O作一条直线分别与AB、CD交于点M、N,点E、F在直线MN上,且OE=OF.
(1)图中共有几对全等三角形?请把它们都写出来;
(2)求证:∠MAE=∠NCF.
五、布置作业
教科书第49页习题18.1第3、5、12题.
六、板书设计
18.1.1 平行四边形的性质第2课时一、平行四边形对角线的性质平行四边形的对角线互相平分.二、平行四边形的性质综合运用 (1)证明线段或角相等. (2)进行与平行四边形有关的边角计算.三、例题讲解四、板演练习
七、教学反思
本节课学习了平行四边形对角线性质及平行四边形性质的综合运用.要熟练掌握性质并会熟练应用.
1. 平行四边形对角线性质:通过引例引导学生分析总结得出:①平行四边形是中心对称图形,两条对角线的交点是对称中心;②平行四边形的对角线互相平分.
2.平行四边形的性质综合运用:
教师引导学生分析得出:研究平行四边形的性质往往从边、角、对角线3个方面考虑:(1)边:平行四边形的对边平行且相等.(2)角:平行四边形的对角相等、邻角互补.(3)对角线:平行四边形的对角线互相平分.
利用平行四边形的性质可证线段或角相等或进行与平行四边形有关的边角计算.通过例题或练习巩固.
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