18.1.2 平行四边形的判定
第1课时
【教学目标】
知识与技能:
1.掌握平行四边形的判定定理,能运用判定定理判定四边形是平行四边形.
2.能运用平行四边形的性质和判定定理进行计算或证明.
过程与方法:
经历探索平行四边形判定条件的探索过程,发展学生的合情推理意识和表述能力,培养合情推理能力,以及严谨的书写表达,体会几何思维的真正内涵.
情感态度与价值观:
在小组合作交流中,培养协作精神、探究精神,增强学习信心.
【重点难点】
重点:平行四边形的判定方法及应用.
难点:平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用.
【教学过程】
一、创设情境,导入新课:
1.复习平行四边形的性质:
平行四边形有哪些性质?你能说出这些性质的逆命题吗?
2.问题设置:
(1)你熟悉下面图形吗?想一下生活中还有哪些是平行四边形,你是如何判断的?
(2)小明的父亲手中有一些木条,他想通过适当的测量、割剪,钉制一个平行四边形框架,你能帮他想出一些办法来吗?
导入新课:
带着这些问题,让我们开始平行四边形判定方法的探索之旅吧.
二、探究归纳
活动1:平行四边形的判定方法1
1.问题:(1)平行四边形定义是什么?如何表示?
(2)平行四边形性质是什么?如何概括?
2.探究:已知:四边形ABCD, AB=CD,AD=BC.求证:四边形ABCD是平行四边形.
3.证明:学生完成.
4.归纳:(1)平行四边形的判定定理1:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
(2)符号语言:∵AB=CD,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形.
活动2:平行四边形的判定方法2
1.探究:已知:四边形ABCD, ∠A=∠C,∠B=∠D.
求证:四边形ABCD是平行四边形.
2.证明:学生完成.
3.归纳:(1)平行四边形的判定定理2:两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
(2)符号语言:∵∠A=∠C,∠B=∠D,∴四边形ABCD是平行四边形.
活动3:平行四边形的判定方法3
1.探究:已知:四边形ABCD, 对角线AC,BD相交于点O,且OA=OC,OB=OD.
求证:四边形ABCD是平行四边形.
2.证明:在△OAB和△OCD中,
∴△OAB≌△OCD,∴∠ABO=∠CDO,
∴AB∥CD.
同理:AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形.
3.归纳:(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形.
(2)符号语言:∵OA=OC,OB=OD,∴四边形ABCD是平行四边形.
活动4:平行四边形的判定方法4
1.探究:已知:如图1,四边形ABCD中,AB∥CD,AB=CD.
求证:四边形ABCD是平行四边形.
2.证明:连接BD,如图2,
∵AB∥CD,∴∠ABD=∠CDB,∵AB=CD,BD=BD, ∴△ABD≌△CDB (SAS),∴∠ADB=
∠CBD,∴AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形(平行四边形的定义).
3.归纳:(1)平行四边形的判定定理4:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
(2)符号语言:∵AB????CD,∴四边形ABCD是平行四边形.
4.归纳总结:
(1)平行四边形的判定定理1:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
(2)平行四边形的判定定理2:两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
(3)平行四边形的判定定理3:对角线互相平分的四边形是平行四边形.
(4)平行四边形的判定定理4:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
活动5:例题讲解:
【例1】 如图,点B、E、C、F在一条直线上,AB=DF,AC=DE,BE=FC.
(1)求证:△ABC≌△DFE;
(2)连接AF、BD,求证:四边形ABDF是平行四边形.
【分析】(1)由SSS证明△ABC≌△DFE即可;
(2)连接AF、BD,由全等三角形的性质得出∠ABC=∠DFE,证出AB∥DF,即可得出结论.
证明:(1)∵BE=FC,
∴BC=EF,
在△ABC和△DFE中,
∴△ABC≌△DFE(SSS);
(2)由(1)知△ABC≌△DFE,
∴∠ABC=∠DFE,
∴AB∥DF,
∵AB=DF,
∴四边形ABDF是平行四边形.
总结:判定一个四边形是平行四边形的方法:
(1)从边看:①两组对边分别平行的四边形是平行四边形;
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;
(2)从角看:④两组对角分别相等的四边形是平行四边形;
(3)从对角线看:⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形.
【例2】 (2018·岳阳中考)如图,在平行四边形ABCD中,AE=CF,求证:四边形BFDE是平行四边形.
【分析】首先根据四边形ABCD是平行四边形,判断出AB∥CD,且AB=CD,然后根据AE=CF,判断出BE=DF,即可推得四边形BFDE是平行四边形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,且AB=CD,
又∵AE=CF,
∴BE=DF,
∵BE∥DF且BE=DF,
∴四边形BFDE是平行四边形.
总结:平行四边形的判定思路
1.如果已知一组对边平行,常考虑证这组对边相等或者证另一组对边平行;
2.如果已知一组对边相等,常考虑证这组对边平行或者证另一组对边相等;
3.如果已知条件与对角线有关,常考虑对角线互相平分的四边形为平行四边形.
三、交流反思
这节课我们学习了平行四边形的判定方法.根据平行四边形的判定思路进行判定:
1.如果已知一组对边平行,常考虑证这组对边相等或者证另一组对边平行;
2.如果已知一组对边相等,常考虑证这组对边平行或者证另一组对边相等;
3.如果已知条件与对角线有关,常考虑对角线互相平分的四边形为平行四边形.
四、检测反馈
1.不能判定一个四边形是平行四边形的条件是( )
A.两组对边分别平行
B.一组对边平行另一组对边相等
C.一组对边平行且相等的
D.两组对边分别相等
2.四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是( )
A.AB∥DC,AD∥BC
B.AB=DC,AD=BC
C.AO=CO,BO=DO
D.AB∥DC,AD=BC
3.点A、B、C、D在同一平面内,从①AB∥CD;②AB=CD;③BC∥AD;④BC=AD这四个条件中任意选两个,能使四边形ABCD是平行四边形的有( )
A.3种 B.4种 C.5种 D.6种
4.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,请你添加一个条件,使得四边形ABCD成为平行四边形,你添加的条件是________ .?
5.如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别在AD、BC边上,且AE=CF.
求证:(1)△ABE≌△CDF;
(2)四边形BFDE是平行四边形.
6.如图,点A,F,C,D在同一直线上,点B和点E分别在直线AD的两侧,且AB=DE,∠A=∠D,AF=DC.
(1)请写出图中两对全等的三角形;
(2)求证:四边形BCEF是平行四边形.
7.如图,在?ABCD中,点E是AD的中点,BE的延长线与CD的延长线相交于点F,
(1)求证:△ABE≌△DFE;(2)试连接BD、AF,判断四边形ABDF的形状,并证明你的结论.
五、布置作业
教科书第50页习题18.1第4,5,6题
六、板书设计
18.1.2 平行四边形的判定第1课时一、平行四边形的判定方法 (1)从边看: (2)从角看: (3)从对角线看:二、平行四边形的性质与判定的综合应用三、例题讲解四、板演练习
七、教学反思
平行四边形在实际生活和工作中具有广泛的应用,因此它的判定是本章的重点内容.性质和判定的学习是一个互逆的过程,性质是判定学习的基础.平行四边形的判定的四种方法,在探讨时从边、角、平分线三点来分别探讨,要求学生将每种判定的数学语言和符号语言都按照格式书写出来,这样有利于他们数学习惯的培养.在教学过程中,引导学生通过动手实践、猜想、论证的过程得出结论和方法,有利于锻炼学生的综合能力.
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18.1.2 平行四边形的判定
第2课时
【教学目标】
知识与技能:
1.理解三角形中位线的概念,掌握三角形的中位线性质定理.
2.能较熟练地应用三角形中位线性质定理进行有关的证明和计算.
过程与方法:
经历探索、猜想、证明三角形中位线性质定理的过程,进一步发展推理论证的能力.能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论.进一步发展推理论证的能力,感悟几何学的推理方法.
情感态度与价值观:
培养学生探索的勇气和信念,增强挑战困难的勇气和信心.
培养合情推理能力,以及严谨的书写表达,体会几何思维的真正内涵.
【重点难点】
重点:掌握三角形的中位线定理.会应用三角形的中位线定理进行计算或证明.
难点:三角形的中位线性质定理的证明.
【教学过程】
一、创设情境,导入新课:
1.思考:平行四边形的性质与判定之间有什么联系?
2.探索:你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗?你是如何分割的?(答案如图)
图中有几个平行四边形?你是如何判断的?
你能解决上面所提出的问题吗?这一节我们就来探究.
二、探究归纳
活动1:三角形的中位线定义:
1.(1)定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
(2)符号表示:如图,点D、E分别为△ABC边AB、AC的中点,线段DE是△ABC的中位线.
2.思考:
(1)想一想:①一个三角形的中位线共有几条?②三角形的中位线与中线有什么区别?
(2)三角形的中位线与第三边有怎样的关系?
提示:(1)一个三角形的中位线共有三条;三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同.中位线是中点与中点的连线;中线是顶点与对边中点的连线. (2)三角形的中位线与第三边的关系:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.
活动2:探索三角形中位线的定理:
1.如图,点D、E分别为△ABC边AB、AC的中点,求证:DE∥BC且DE=BC.
分析:所证明的结论既有平行关系,又有数量关系,联想已学过的知识,可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中,利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立,从而使问题得到解决,这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形.
证明:方法一:如图(1),延长DE到F,使EF=DE,连接CF,由△ADE≌△CFE,可得
AD∥FC,且AD=FC,因此有BD∥FC,BD=FC,所以四边形BCFD是平行四边形.所以
DF∥BC,DF=BC,因为DE=DF,所以DE∥BC且DE=BC.
方法二:如图(2),延长DE到F,使EF=DE,连接CF、CD和AF,又AE=EC,所以四边形ADCF是平行四边形.所以AD∥FC,且AD=FC.因为AD=BD,所以BD∥FC,且BD=FC.所以四边形ADCF是平行四边形.所以DF∥BC,且DF=BC,因为DE=DF,所以DE∥BC且DE=BC.
2.归纳:(1)三角形中位线的定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.
(2)符号表示:如图,∵线段DE是△ABC的中位线.∴DE∥BC且DE=BC.
活动3:例题讲解
【例1】 如图所示,吴伯伯家一块等边三角形的空地ABC,已知点E,F分别是边AB,AC的中点,量得EF=5 m,他想把四边形BCFE用篱笆围成一个圈放养小鸡,则需要篱笆的长是 ( )
A.15 m B.20 m C.25 m D.30 m
分析:根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出BC的长,也就是等边三角形的边长,周长也就不难得到.
解:选C.∵点E,F分别是边AB,AC的中点,EF=5 m,∴BC=2EF=10 m,∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC,∴BE=CF=BC=5 m,∴篱笆的长=BE+BC+CF+EF=5+10+5+5=
25 m.
总结:一个三角形中位线有3条,三角形的3条中位线构成的三角形的周长等于原三角形的周长的一半,面积等于原三角形的面积的四分之一.应用三角形中位线定理可解决测量等问题.
【例2】 已知:如图,在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.
求证:四边形EFGH是平行四边形.
分析:因为已知点E、F、G、H分别是线段的中点,可以设法应用三角形中位线性质找到四边形EFGH的边之间的关系.由于四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形,所以添加辅助线,连接AC或BD,构造“三角形中位线”的基本图形后,此题便可得证.
证明:如图,连接AC,△DAC中,
∵AH=HD,CG=GD,
∴HG∥AC,HG=AC(三角形中位线性质).
同理EF∥AC,EF=AC.
∴HG∥EF,且HG=EF.
∴四边形EFGH是平行四边形.
总结:顺次连接四边形四条边的中点,所得的四边形是平行四边形.
三、交流反思
这一节课我们学习了三角形中位线概念和定理,三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.一个题设两个结论,注意关键题目特点,选择使用.
四、检测反馈
1.如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,∠A=50°,∠ADE=60°,则∠C的度数为 ( )
A.50° B.60° C.70° D.80°
2.如图,小明想用皮尺测量池塘A,B间的距离,但现用皮尺无法直接测量,学习数学有关知识后,他想出了一个主意:先在地上取一个可以直接到达A,B两点的点O,连接OA,OB,分别在OA,OB上取中点C,D,连接CD,并测得CD=a,由此他即知道A,B间的距离是 ( )
A.a B.2a C.a D.3a
3.如图所示,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,连接DE,若DE=5,则BC=________.?
4.如图,?ABCD的周长为36,对角线AC,BD相交于点O,点E是CD的中点,BD=12,则△DOE的周长为________.?
5.已知:三角形的各边分别为8 cm,10 cm和12 cm ,求连接各边中点所成三角形的周长.
6.如图,△ABC的中线BF,CE相交于点O,点H,G分别是BO,CO的中点,试判断四边形EFGH的形状,并证明你的结论.
7.如图,△ABC中,D,E,F分别是AB,AC,BC的中点,
(1)若EF=5 cm,则AB=______ cm;若BC=9 cm,则DE=______ cm.?
(2)中线AF与中位线DE有什么特殊的关系?证明你的猜想.
五、布置作业
教科书第51页习题18.1第11题
六、板书设计
18.1.2 平行四边形的判定第2课时一、三角形中位线概念二、三角形中位线的性质定理三、例题讲解 四、板演练习
七、教学反思
这一节课我们学习了三角形中位线概念和性质定理,三角形中位线性质定理的证明过程,学生充分经历“探索—发现—猜想—证明”这一过程,体会合情推理与演绎推理在获得结论的过程中发挥的作用,同时渗透归纳、类比、转化等数学思想方法.
三角形中位线性质定理,一个题设两个结论,(一个是位置关系,一个是数量关系,根据需要选用相应的结论)它提供了一种证明直线平行和线段数量关系的新方法,应用定理的关键是找出符合定理的基本条件,并思考更多种添加辅助线的方法证明中位线定理.通过本节课的学习,应使学生理解三角形中位线定理不仅指出了三角形的中位线与第三边的位置关系和数量关系,而且为证明线段之间的位置关系和数量关系(倍分关系)提供了新的思路,从而提高学生分析问题、解决问题的能力.
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