北师大版本 数学 九年级下 1.1 锐角三角函数（1）教学设计
课题
1.1 锐角三角函数（1）
单元
第一单元
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
知识与技能：
①理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值；
②能够根据正切的概念进行简单的计算；
③能运用正切、坡度解决问题。
过程与方法：
①了解计算一个锐角的正切值的过程、方法；
②逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；
③领会教学活动中的类比思想，提高学生学习数学的积极性；
情感态度与价值观：
①通过解答实际问题，激发学生学数学的兴趣，增长社会见识。
②使学生亲身经历用正切函数计算坡度的过程，感受数学实用性，培养学生积极情感.
重点
理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。
难点
能运用正切、坡度解决问题。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
知识探究
在前面的学习中，我们已经学过有关直角三角形的知识，一起回顾下勾股定理：
1.定义：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB2=_AC2+BC2_.
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，AC=_8_.
而在生活中，我们还会遇到类似梯子陡的问题，今天开始我们将一起学习有关三角函数。
观察与思考：
问题：图中的台阶哪个更陡？你是怎么判断的？
（1）高度相同，怎么判断哪个梯子陡？
高度相同，用梯子的低端离墙的远近来判断：
水平距离越短，倾斜角越大，梯子越陡.
（2）水平距离相同，怎么判断哪个梯子陡？
水平距离相同，用梯子的放在墙上的高低来判断：
梯子越高，铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡.
【合作探究】如图，小明想通过测量B1C1及AC1，算出它们的比，来说明梯子AB1的倾斜程度；
而小亮则认为，通过测量B2C2及AC2，算出它们的比，也能说明梯子AB1的倾斜程度.
你同意小亮的看法吗?
（1）Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?
Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2
（2） 和有什么关系? =
（3）如果改变B2在梯子上的位置（如B3C3 ）呢?
==
由此你得出什么结论?
结论：在直角三角形中,若一个锐角的对边与邻边的比值是一个定值,那么这个角的值也随之确定.
学生思考并回答问题。并跟着教师的讲解思路思考问题，并探究知识。
导入新课，利用导入的例子引起学生的注意力。
讲授新课
直角三角形中边与角的关系:锐角的三角函数——正切函数
在Rt△ABC中，如果说锐角A确定， 那么∠A 的对边与邻边的比便随之确定，这个比 叫做∠A 的正切（tangent）记作tan A，即
tanA=
注意：tan A 是一个完整的符号，它表示 ∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”．以后学的 sin A， cos A 也是这样.
1.tanA是在直角三角形中定义的,∠A是一个锐角（注意数形结合，构造直角三角形）.
2.tanA是一个完整的符号,表示∠A的正切,习惯省去“∠”号（tan A不是tan乘以A）；
3.tanA是一个比值（直角边之比.注意比的顺序,且tanA﹥0,无单位）.
4.tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.
5.角相等,则正切值相等；两锐角的正切值相等,则这两个锐角相等.
观察 梯子的倾斜程度与tanA有关系吗？
结论：tan A的值越大，梯子越陡.
结合导入的思考和老师的讲解，利用探究理解和掌握正切函数的定义与相关概念。
讲授知识，让学生掌掌握理解和掌握正切函数额定义与相关概念。
例题讲解
【例1】下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?
解:甲梯中,tan α=
乙梯中,tanβ=
∵tanβ＞tanα，∴乙梯更陡.
提示:在生活中,常用一个锐角的正切表示梯子的倾斜程度.
思考：锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？可以大于1吗？
解：可以等于1，此时为等腰直角三角形；
可以大于1，当锐角的对边比邻边长的时候.
对于锐角A的每一个确定的值，tanA都有唯一的确定的值与它对应.
老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解。
巩固加深对知识的理解与应用，也让学生知道本节课的学习内容和重点。
扩展知识
正切也经常用来描述山坡的坡度.例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m，那么山坡的坡度i (即tanα)就是:
坡面与水平面的夹角(α)称为坡角，坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度i(或坡比)，即坡度等于坡角的正切.
坡度越大，坡角越大，坡面就越陡.
【例2】如图，某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B.已知山顶B到山脚下的垂直距离是55m，求山坡的坡度(结果精确到0.001m).
解：i=tan A=
借助例题，认真思考，将新课与扩展知识相结合起来。
巩固加深本节课的教学内容，同时借助扩展，扩展学生的知识面。
随堂练习
随堂练习
1.下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D.指出∠A和∠B的对边、邻边.
2.∠A∠B为锐角，(1)若∠A=∠B,则tan A= tan B ;
(2)若tan A=tan B,则∠A = ∠B.
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7，BC=5，则 tan A=_____，tan B =___．
4.如图，在Rt△ABC中，锐角A的对边和邻边同时扩大100倍，tanA的值（ C ）
A.扩大100倍
B.缩小100倍
C.不变 D.不能确定
5.如图，△ABC是等腰直角三角形,你能根据图中所给数据求出tanC吗？
解：tan C=
6.在等腰△ABC中, AB=AC=13, BC=10,求tanB.
解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，
∴在Rt△ABD中，易知BD=5，AD=12.
∴tan B=
7在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，tan A=,求AC和BC.
解：如图，∵tan A=
∴设BC=3k，则AC=4k
∴（3k）2+（4k）2=152
∴25k2=225
∴k=3
∴BC=3k=3×3=9，AC=4k=4×3=12.
【中考链接】（2018?柳州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，则tanB＝（ ）
A． B．C．D．
【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，
∴AB＝5，∴tanB，故选：D．
学生自主完课堂练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。
课堂小结
1.在Rt△ABC中，如果说锐角A确定， 那么∠A 的对边与邻边的比便随之确定，这个比 叫做∠A 的正切（tangent）记作tan A，即
tanA=
2.tanA：大小只与∠A的大小有关，与直角边长无关.
3.角相等，则正切值相等；两锐角的正切值相等，则这两个锐角相等.
4.正切也经常用来描述山坡的坡度.
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识。
帮助学生加强记忆知识。
板书
锐角的三角函数——正切函数
1.在Rt△ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，即
tanA=
2.tanA：大小只与∠A的大小有关，与直角边长无关.
3.角相等，则正切值相等；两锐角的正切值相等，则这两个锐角相等.
4.正切也经常用来描述山坡的坡度.
借助板书，让学生知识本节课的重点。
课后练习
教材第4页随堂练习第1、2题.
教材第4页习题1.1第1、2、4题.
课件25张PPT。1.1 锐角三角函数（1）
正切与坡度数学北师大版 九年级下勾股定理：
1.定义：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB2=____________.
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，AC=______.
8AC2+BC2610问题 你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？（1）高度相同，怎么判断哪个梯子陡？2.5m2m5m5mABCDEF 高度相同，用梯子的低端离墙的远近来判断：
水平距离越短，倾斜角越大，梯子越陡.??更陡（2）水平距离相同，怎么判断哪个梯子陡？2m2m3m5mABCDEF 水平距离相同，用梯子的放在墙上的高低来判断：
梯子越高，铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡.??更陡 如图，小明想通过测量B1C1及AC1，算出它们的比，来说明梯子AB1的倾斜程度； 而小亮则认为，通过测量B2C2及AC2，算出它们的比，也能说明梯子AB1的倾斜程度.你同意小亮的看法吗?（1）Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系? （3）如果改变B2在梯子上的位置（如B3C3 ）呢?由此你得出什么结论??Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2?? 结论：在直角三角形中,若一个锐角的对边与邻边的比值是一个定值,那么这个角的值也随之确定.直角三角形中边与角的关系:锐角的三角函数——正切函数? 在Rt△ABC中，如果说锐角A确定， 那么∠A 的对边与邻边的比便随之确定，这个比 叫做∠A 的正切（tangent）记作tan A，即定义中应该注意的几个问题:1. tan A 是一个完整的符号，它表示 ∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”．以后学的 sin A， cos A 也是这样.
2.tanA是在直角三角形中定义的,∠A是一个锐角（注意数形结合，构造直角三角形）.
3.tanA是一个完整的符号,表示∠A的正切,习惯省去“∠”号（tan A不是tan乘以A）；
4.tanA是一个比值（直角边之比.注意比的顺序,且tanA﹥0,无单位）.
5.tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.
6.角相等,则正切值相等；两锐角的正切值相等,则这两个锐角相等.观察 梯子的倾斜程度与tanA有关系吗？????结论：tan A的值越大，梯子越陡.【例1】下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡??提示:在生活中,常用一个锐角的正切表示梯子的倾斜程度.ABC┌ 思考：锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？可以大于1吗？ 对于锐角A的每一个确定的值，tanA都有唯一的确定的值与它对应.解：可以等于1，此时为等腰直角三角形；
可以大于1，当锐角的对边比邻边长的时候. 正切也经常用来描述山坡的坡度.例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m，那么山坡的坡度i (即tanα)就是: 坡面与水平面的夹角(α)称为坡角，坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度i(或坡比)，即坡度等于坡角的正切.
坡度越大，坡角越大，坡面就越陡. 【例2】如图，某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B.已知山顶B到山脚下的垂直距离是55m，求山坡的坡度(结果精确到0.001m).?1.下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D.指出∠A和∠B的对边、邻边. BCADBDAC 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7，BC=5，则 tan A=______，tan B =______．4.如图，在Rt△ABC中，锐角A的对边和邻边同时扩大100倍，tanA的值（ ）
A.扩大100倍 B.缩小100倍
C.不变 D.不能确定C2.已知∠A、∠B为锐角，(1)若∠A=∠B,则tan A tan B ;
(2)若tan A=tan B,则∠A ∠B.==??5.如图，△ABC是等腰直角三角形,你能根据图中所给数据求出tanC吗？ ?6.在等腰△ABC中, AB=AC=13, BC=10,求tanB.??4k3k???D锐角的三角函数——正切函数? 1.在Rt△ABC中，如果说锐角A确定， 那么∠A 的对边与邻边的比便随之确定，这个比 叫做∠A 的正切（tangent）记作tan A，即2.tanA：大小只与∠A的大小有关，与直角边长无关.
3.角相等，则正切值相等；两锐角的正切值相等，则这两个锐角相等.
4.正切也经常用来描述山坡的坡度.锐角的三角函数——正切函数? 1.在Rt△ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，即2.tanA：大小只与∠A的大小有关，与直角边长无关.
3.角相等，则正切值相等；两锐角的正切值相等，则这两个锐角相等.
4.正切也经常用来描述山坡的坡度.作业布置教材第4页随堂练习第1、2题.
教材第4页习题1.1第1、2、4题. 谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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