(共41张PPT)
第四章 因式分解
2 提公因式法
第1课时 提公因式法（一）
课前预习
1. 多项式各项都含有的________，叫做这个多项式各项的公因式.
2. 如果一个多项式的各项含有_______，那么就可以把这个_________提出来，从而将多项式化成两个__________的形式. 这种分解因式的方法叫做提公因式法.
3. 把多项式x2-x提取公因式x后，余下的部分是（ ）
A. x B. x-1 C. x+1 D. x2
相同因式
公因式
公因式
因式乘积
B
4. 多项式m2-m与多项式2m2-4m+2的公因式是
（ ）
A. m-1 B. m+1
C. m2-1 D. （m-1）2
5. 把多项式-8a2b3c+16a2b2c2-24a3bc3分解因式，应提的公因式是（ ）
A. -8a2bc B. 2a2b2c3
C. -4abc D. 24a3b3c3
A
A
课堂讲练
新知1 公因式及确定公因式
典 型 例 题
【例1】下列各式中，公因式是a的是（ ）
A. ax+ay+5
B. 3ma-6ma2
C. 4a2+10ab
D. a2-2a+ma
D
【例2】分别写出下列多项式的公因式：
（1）ax+ay：________；
（2）3x3y4+12x2y：__________；
（3）25a3b2+15a2b-5a3b3：__________.
a
3x2y
5a2b
1. 多项式12ab3c-8a3b的公因式是（ ）
A. 4ab2 B. -4abc
C. -4ab2 D. 4ab
2. （1）多项式x2y-y的公因式是_________；
（2）多项式5x3-10x2+5x的公因式是_________；
（3）多项式-2a2b+6a3b2的公因式是_________.
模 拟 演 练
D
y
5x
-2a2b
新知2 提公因式法
典 型 例 题
【例3】下列因式分解正确的是（ ）
A. mn（m-n）-m（n-m）=-m（n-m）（n+1）
B. 6(p+q)2-2（p+q）=2（p+q）（3p+q-1）
C. 3(y-x)2+2（x-y）=（y-x）（3y-3x+2）
D. 3x（x+y）-(x+y)2=（x+y）（2x+y）
A
【例4】因式分解：
（1）a2x2-ax;
（2）-14abc-7ab+49ab2c.
解:（1）a2x2-ax=ax（ax-1）.
（2）-14abc-7ab+49ab2c=7ab（-2c-1+7bc）.
【例5】已知a+b=2，ab=2，求a2b+ab2的值.
解:∵a+b=2，ab=2，
∴a2b+ab2
=ab（a+b）
=2×2
=4.
3. 下列多项式分解因式正确的是（ ）
A. 12xyz-9x2y2=3xyz（4-3xyz）
B. 3a2y-3ay+6y=3y（a2-a+2）
C. -x2+xy-xz=-x（x2+y-z）
D. a2b+5ab-b=b（a2+5a）
模 拟 演 练
B
4. 因式分解：
（1）2x2-12xy2+8xy3;
（2）3a2-6a2b+2ab.
解：（1）2x2-12xy2+8xy3=2x（x-6y2+4y3）.
（2）3a2-6a2b+2ab=a（3a-6ab+2b）.
5. 已知x+2y+4=0，xy=3，求-6x2y-12xy2的值.
解：由x+2y+4=0，得x+2y=-4.
∴-6x2y-12xy2
=-6xy（x+2y）
=-6×3×（-4）
=72.
1. 多项式15m3n2+5m2n-20m2n3的公因式是（ ）
A. 5mn B. 5m2n2
C. 5m2n D. 5mn2
2. 将多项式-6a3b2-3a2b2+12a2b3分解因式时，应提取的公因式是（ ）
A. -3a2b2 B. -3ab
C. -3a2b D. -3ab2
课后作业
夯 实 基 础
新知1 公因式及确定公因式
C
A
3. 下列多项式：①a2-4b2；②a2+4ab+4b2；③a2b+2ab2；④a3+2a2b，它们的公因式是__________.
4. 下列多项式：①8y3+24y2+4y；②32x3y+16xy2+28x3；③4x4-12x3+8x2；
④-8x3+4x2-24x.其中公因式与多项式8x3+24x2+4x的公因式相同的有__________（填写所有符合条件的序号）.
a+2b
②④
5. 在横线上写出下列各多项式的公因式：
（1）x2-5xy：_________；
（2）-3m2+12mn：__________；
（3）12b3-8b2+4b：__________；
（4）-4a3b2-12ab3：__________；
（5）-x3y3+x2y2+2xy：__________；
（6）8x3y2-12xy3：__________.
x
-3m
4b
-4ab2
-xy
4xy2
新知2 提公因式法
6. 将3a（x-y）-b（x-y）用提公因式法分解因式，应提出的公因式是（ ）
A. 3a-b B. 3（x-y）
C. x-y D. 3a+b
7. 把多项式a2-9a分解因式，结果正确的是（ ）
A. a（a-9） B. a（a+3）（a-3）
C. （a+3）（a-3） D. (a-3)2-9
C
A
8. 若ab=-3，a-2b=5，则a2b-2ab2的值是（ ）
A. -15 B. 15 C. 2 D. -8
9. 多项式mx+n可分解为m（x-y），则n表示的整式为（ ）
A. m B. my C. -y D. -my
10. 设P=a2（-a+b-c），Q=-a（a2-ab+ac），则P与Q的关系是（ ）
A. P=Q B. P＞Q
C. P＜Q D. 互为相反数
A
D
A
11. 若m-n=-2，mn=1，则m3n+mn3=（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
12. 将下列多项式因式分解：
（1）6x3-18x2+3x；
（2）4x4y2-5x2y2-9y；
（3）2m3n-6m2n+mn；
（4）-8x2y2-4x2y+2xy.
A
解：（1）6x3-18x2+3x=3x（2x2-6x+1）.
（2）4x4y2-5x2y2-9y =y（4x4y-5x2y-9）.
（3）2m3n-6m2n+mn =mn（2m2n-6mn+1）.
（4）-8x2y2-4x2y+2xy=-2xy（4xy+2x-1）.
能力提升
13. 长、宽分别为a，b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为__________.
70
14. 已知（19x-31）（13x-17）-（17-13x）（11x-23）可因式分解成（ax+b）（30x+c），其中a，b，c均为整数，求a+b+c的值.
解：（19x-31）（13x-17）-（17-13x）（11x-23）
=（19x-31）（13x-17）+（13x-17）（11x-23）
=（13x-17）（30x-54）.
依题意，得a=13，b=-17，c=-54.
∴a+b+c=-58.
15. 已知2x+y=a，x-3y=b，用含a，b的式子表示7x（x-3y）2-2（3y-x）3的值.
解：7x（x-3y）2-2（3y-x）3
=7x（x-3y）2+2（x-3y）3
=（x-3y）2（7x+2x-6y）
=3（x-3y）2（3x-2y）.
∵2x+y=a，x-3y=b，
∴两式相加，得3x-2y=a+b.
则原式=3b2（a+b）.
第四章 因式分解
2 提公因式法
第2课时 提公因式法（二）
课前预习
1. 将3a2m-6amn+3a分解因式，下面是四位同学分解的结果：
①3am（a-2n+1）；②3a（am+2mn-1）；③3a（am-2mn）；④3a（am-2mn+1）.
其中，正确的是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
D
2. （-8）2 014+（-8）2 013能被下列哪个数整除？
（ ）
A. 3 B. 5 C. 7 D. 9
3. 计算（-2）100+（-2）99的结果是（ ）
A. 2 B. -2 C. -299 D. 299
C
D
课堂讲练
新知 用提公因式法因式分解
典 型 例 题
【例1】因式分解：
（1）m（a2+b2）+n（a2+b2）；
（2）18（a-b）3-12b（b-a）2；
（3）（2a+b）（2a-3b）-3a（2a+b）；
（4）x（x+y）（x-y）-x（x+y）2.
解:（1）m（a2+b2）+n（a2+b2）
=（a2+b2）（m+n）.
（2）18（a-b）3-12b（b-a）2
=6（a-b）2［3（a-b） -2b］
=6（a-b）2（3a-5b）.
（3）（2a+b）（2a-3b）-3a（2a+b）
=（2a+b）（2a-3b-3a）
=-（2a+b）（a+3b）.
（4）x（x+y）（x-y）-x（x+y）2
=x（x+y）［x-y-（x+y）］
=-2xy（x+y）.
【例2】求（2x-y）（2x+y）-（2x+y）（2y-x）的值，其中x=2，y=1.
解:（2x-y）（2x+y）-（2x+y）（2y-x）
=（2x+y）（3x-3y）
=3（2x+y）（x-y）.
当x=2，y=1时，原式=3×5×1=15.
1. 因式分解：
（1）7ab（m-n）+21bc（n-m）；
（2）a（x-y）-b（y-x）+c（x-y）；
（3）p2（a-1）+p（1-a）；
（4）a（a-b）3+2a2（b-a）2-2ab（b-a）.
模 拟 演 练
解：（1）7ab（m-n）+21bc（n-m）
=7b（m-n）（a-3c）.
（2）a（x-y）-b（y-x）+c（x-y）
=（x-y）（a+b+c）.
（3）p2（a-1）+p（1-a）
= p（a-1）（p-1）.
（4）a（a-b）3+2a2（b-a）2-2ab（b-a）
=a（a-b）［（a-b）2+2a（a-b）+2b］
=a（a-b）（3a2+b2-4ab+2b）.
2. 求15x2（y+4）-30x（y+4）的值，其中x=2,y=-2.
解：∵x=2，y=-2，
∴15x2（y+4）-30x（y+4）
=15x（y+4）（x-2）
=15×2×（-2+4）×（2-2）
=0.
新知用提公因式法因式分解
1. 分解因式（a-b）（a2-ab+b2）-ab（b-a）为（ ）
A. （a-b）（a2+b2） B. （a-b）2（a+b）
C. （a-b）3 D. -（a-b）3
2. 将（-2）2 015+（-2）2 016因式分解后的结果是（ ）
A. 22 015 B. -2 C. -22 015 D. -1
课后作业
夯 实 基 础
新知 用提公因式法因式分解
A
A
3. 若（p-q）2-（q-p）3=（q-p）2E，则E是（ ）
A. 1-q-p B. q-p
C. 1+p-q D. 1+q-p
4. 因式分解（a+b）（a+b-1）-a-b+1的结果为__________.
C
（a+b-1）2
5. 因式分解：
（1）-6（2a-b）2-4（b-2a）2；
（2）6（x+y）2-2（x-y）（x+y）；
（3）-3（x-y）2-（y-x）3；
（4）3a（m-n）-2b（n-m）；
（5）9（a-b）（a+b）-3（a-b）2.
解：（1）-6（2a-b）2-4（b-2a）2
=-10（2a-b）2.
（2）6（x+y）2-2（x-y）（x+y）
=2（x+y）［3（x+y）-（x-y）］
=2（x+y）（2x+4y）
=4（x+y）（x+2y）.
（3）-3（x-y）2-（y-x）3
=-3（x-y）2+（x-y）3
=（x-y）2（-3+x-y）.
（4）3a（m-n）-2b（n-m）
=3a（m-n）+2b（m-n）
=（m-n）（3a+2b）.
（5）9（a-b）（a+b）-3（a-b）2
=3（a-b）［3（a+b）-（a-b）］
=3（a-b）（2a+4b）
=6（a-b）（a+2b）.
6. 用简便方法计算：
-2.7×56+7.9×（-56）+6×5.6.
解：-2.7×56+7.9×（-56）+6×5.6
=5.6×（-2.7×10-7.9×10+6）
=5.6×（-100）
=-560.
7. 先化简，再求值：
（1）2（a2b-ab2）-3（a2b-1）+2ab2+1，其中a=1，b=2;
（2）2a（a+b）-（a+b）2，其中a=3，b=5.
解：（1）2（a2b-ab2）-3（a2b-1）+2ab2+1
=2a2b-2ab2-3a2b+3+2ab2+1
=-a2b+4.
当a=1，b=2时，原式=-12×2+4=2.
（2）2a（a+b）-（a+b）2
=（a+b）（2a-a-b）
=（a+b）（a-b）
=a2-b2.
当a=3，b=5时，原式=32-52=-16.
8. 用提公因式法化简：
（1）（2a+b）（3a-2b）-4a（2a+b）;
（2）8a（b-a）2+12（a-b）3;
（3）
解：（1）（2a+b）（3a-2b）-4a（2a+b）
=（2a+b）［（3a-2b）-4a］
=（2a+b）（-a-2b）.
能 力 提 升
（2）8a（b-a）2+12（a-b）3
=4（a-b）2［2a+3（a-b）］
=4（a-b）2（5a-3b）.
9. 对于实数a，b，c，d，规
定一种运算 ，分解因式：
.
解：根据题中的新定义，得
原式=4x（1-x）-2（x-1）2（x+1）
=（x-1）［-4x-2（x+1）（x-1）］
=2（x-1）（-x2-2x+1）.(共46张PPT)
第四章 因式分解
3 公 式 法
第1课时 公式法（一）
课前预习
1. 下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A. x2-1 B. x2+2x-1
C. x2+x+1 D. 4x2+4x+1
2. 分解因式：16-x2=（ ）
A. （4-x）（4+x） B. （x-4）（x+4）
C. （8+x）（8-x） D. （4-x）2
D
A
3. 下列各式分解因式，正确的是（ ）
A. 4a2+4a+1=（2a+1）2
B. a2-4b2=（a-4b）（a+b）
C. a2-2a-1=（a-1）2
D. a2+b2=（a+b）（a-b）
A
4. 为了应用平方差公式计算（a-b+c）（a+b-c），必须先适当变形，下列变形正确的是（ ）
A. ［（a+c）-b］［（a-c）+b］
B. ［（a-b）+c］［（a+b）-c］
C. ［（b+c）-a］［（b-c）+a］
D. ［a-（b-c）］［a+（b-c）］
D
课堂讲练
新知1 用平方差公式因式分解
典 型 例 题
【例1】下列各式能用平方差公式分解因式的有
（ ）
①x2+y2；②x2-y2；③-x2-y2；④-x2+y2；
⑤-x2+2xy-y2.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
B
【例2】因式分解：9（m+n）2-（m-n）2.
解:9（m+n）2-（m-n）2
=［3（m+n）+（m-n）］［3（m+n）-（m-n）］
=（4m+2n）（2m+4n）
=4（2m+n）（m+2n）.
1. 下列各式中，能用平方差公式分解因式的是
（ ）
A. a2+4b2 B. -x2+16y2
C. -a2-4b2 D. a-4b2
模 拟 演 练
B
2. 因式分解：（a-4b）（a+b）+3ab.
解：（a-4b）（a+b）+3ab
=a2-3ab-4b2+3ab
=a2-4b2
=（a+2b）（a-2b）.
新知2 用完全平方公式因式分解
典 型 例 题
【例3】下列各式能用完全平方公式分解的是（ ）
①x2-4x+4；②6x2+3x+1；③4x2-4x+1；④x2+4xy+2y2；⑤9x2-20xy+16y2
A. ①② B. ①③
C. ②③ D. ①⑤
B
【例4】因式分解4+a2-4a，正确的是（ ）
A. 4（1-a）+a2 B. （2-a）2
C. （2+a）（2-a） D. （2+a）2
【例5】因式分解：m4-2m2+1.
B
解:m4-2m2+1
=（m2-1）2
=（m+1）2（m-1）2.
3. 下列各式不能用完全平方公式分解的个数为
（ ）
①x2-10x+25；②4a2+4a-1；③x2-2x-1；
④-m2+m- ；⑤4x4-x2+ .
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
模 拟 演 练
C
4. 将多项式（x2-1）2+6（1-x2）+9因式分解，正确的是（ ）
A. （x-2）4 B. （x2-2）2
C. （x2-4）2 D. （x+2）2（x-2）2
5. 分解因式：-x2+4xy-4y2.
D
解：-x2+4xy-4y2
=-（x2-4xy+4y2）
=-（x-2y）2.
1. 下列各式可以用平方差公式的是（ ）
A. （-a+4c）（a-4c）
B. （x-2y）（2x+y）
C. （-3a-1）（1-3a）
课后作业
夯 实 基 础
新知1 用平方差公式因式分解
C
2. 分解因式（2x+3）2-x2的结果是（ ）
A. 3（x2+4x+3）
B. 3（x2+2x+3）
C. （3x+3）（x+3）
D. 3（x+1）（x+3）
3. 下列多项式因式分解的结果是（x+y-z）（x-y+z）的是（ ）
A. x2-（y+z）2 B. （x-y）2-z2
C. -（x-y）2+z2 D. x2-（y-z）2
D
D
4. 若a+b=3，a-b=7，则b2-a2的值为（ ）
A. -21 B. 21 C. -10 D. 10
5. 若两个连续的奇数的平方差总可以被k整除，则k等于（ ）
A. 6 B. 8
C. 6的倍数 D. 8的倍数
A
B
6. 因式分解：
（1）25x2-16y2; （2）x2y2-x2（y-1）2.
解：（1）25x2-16y2
=（5x-4y）（5x+4y）.
（2）x2y2-x2（y-1）2
=x2［y2-（y-1）2］
=x2［y+（y-1）］［y-（y-1）］
=x2（y+y-1）（y-y+1）
=x2（2y-1）.
7. 已知：A=4x+y，B=4x-y，计算A2-B2.
解：∵A=4x+y，B=4x-y，
∴A2-B2=（A+B）（A-B）
=（4x+y+4x-y）（4x+y-4x+y）
=8x·2y
=16xy.
新知2 用完全平方公式因式分解
8. 9（a-b）2+12（a2-b2）+4（a+b）2因式分解的结果是（ ）
A. （5a-b）2
B. （5a+b）2
C. （3a-2b）（3a+2b）
D. （5a-2b）2
A
9. 计算：1002-2×100×99+992=（ ）
A. 0 B. 1 C. -1 D. 39 601
10. 如果代数式x2+kx+49能分解成（x-7）2，那么k的值为（ ）
A. 7 B. -14 C. ±7 D. ±14
11. 已知9x2-mxy+16y2能运用完全平方公式分解因式，则m的值为（ ）
A. 12 B. ±12 C. 24 D. ±24
B
B
D
12. 因式分解：（1）x4-2x2y2+y4；
（2）（x2-3）2+2（3-x2）+1.
解：（1）x4-2x2y2+y4
=（x2-y2）2
=（x-y）2（x+y）2.
（2）（x2-3）2+2（3-x2）+1
=（x2-3）2-2（x2-3）+1
=（x2-3-1）2
=（x2-4）2
=（x+2）2（x-2）2.
13. 已知x2+y2-4x+6y+13=0，求x2-6xy+9y2的值.
解：∵x2+y2-4x+6y+13
=（x-2）2+（y+3）2
=0，
∴x-2=0，y+3=0，即x=2，y=-3.
则x2-6xy+9y2
=（x-3y）2
=112
=121.
能 力 提 升
14. 248-1可以被60和70之间某两个数整除，求这两个数.
解：248-1
=（224-1）（224+1）
=（212-1）（212+1）（224+1）
=（26-1）（26+1）（212+1）（224+1）
=63×65×（212+1）（224+1）.
则这两个数为63与65.
15. （1）已知x=-5，y=- ，求x2·x2n·（yn）2（n为正整数）的值；
（2）观察下列各式：32-12=8×1，52-32=8×2，72-52=8×3，…，探索以上式子的规律，试写出第n个等式，并运用所学的数学知识说明你所写式子的正确性.
（2）规律：（2n+1）2-（2n-1）2=8n.
验证：（2n+1）2-（2n-1）2=［（2n+1）+（2n-1）］［（2n+1）-（2n-1）］=4n×2=8n.
16. 在学习中，小明发现：当a=-1，0，1时，a2-6a+11的值都是正数，于是小明猜想：当a为任意整数时，a2-6a+11的值都是正数，小明的猜想正确吗？简要说明你的理由. 你还有什么发现吗？
解：小明的猜想正确. 理由如下.
a2-6a+11=a2-6a+32+2=（a-3）2+2.
∵（a-3）2≥0，∴（a-3）2+2≥2.
∴当a为任意整数时，a2-6a+11的值都是正数.
发现，当a为任意实数时，a2-6a+11的值都是正数（答案合理即可）.
第四章 因式分解
3 公 式 法
第2课时 公式法（二）
课前预习
1. 分解因式：y3-4y2+4y=（ ）
A. y（y2-4y+4） B. y（y-2）2
C. y（y+2）2 D. y（y+2）（y-2）
2. 下列因式分解正确的是（ ）
A. x2-y2=（x-y）2 B. a2+a+1=（a+1）2
C. 2xy-6x=2x（y-3） D. a2+4a+21=a（a+4）+21
B
C
3. 分解因式：xy2-9x=________________.
4. 已知x+y= ，xy= ，则x2y+xy2的值为
_______.
x（y-3）（y+3）
课堂讲练
新知 综合运用提公因式法和公式法因式分解
典 型 例 题
【例1】下列因式分解正确的是（ ）
A. 6x2-8x=x（6x-8）
B. a2+4b2-4ab=（a-2b）2
C. 8xyz-6x2y2=2xyz（4-3xy）
D. 4a2-b2=（4a-b）（4a+b）
B
【例2】因式分解：（1）x3-6x2+9x；
（2）xy3-2x2y2+x3y；（3）a2（x-y）-9（x-y）.
（2）xy3-2x2y2+x3y
=xy（y2-2xy+x2）
=xy（y-x）2.
解:（1）x3-6x2+9x
=x（x2-6x+9）
=x（x-3）2.
（3）a2（x-y）-9（x-y）
=（x-y）（a2-9）
= （x-y）（a+3）（a-3）.
【例3】已知x+y=4，xy=2，求2x3y+4x2y2+2xy3的值.
解：∵x+y=4，xy=2，
∴2x3y+4x2y2+2xy3
=2xy（x2+2xy+y2）
=2xy（x+y）2
=2×2×42
=64.
模 拟 演 练
1. 下列因式分解错误的是（ ）
A. 3x2-6xy=3x（x-2y）
B. x2-9y2=（x-3y）（x+3y）
C. 4x2+4x+1=（2x+1）2
D. x2-y2+2y-1=（x+y+1）（x-y-1）
D
2. 将下列各式因式分解：
（1）3x2+6xy+3y2；
（2）a2（x-y）-b2（x-y）；
（3）y4-8y2+16.
解：（1）3x2+6xy+3y2
=3（x2+2xy+y2）
=3（x+y）2.
（2）a2（x-y）-b2（x-y）
=（x-y）（a2-b2）
=（x-y）（a+b）（a-b）.
（3）y4-8y2+16
=（y2-4）2
=（y+2）2（y-2）2.
3. 已知x-y=1，xy=3，求x3y-2x2y2+xy3的值.
解：x3y-2x2y2+xy3
=xy（x2-2xy+y2）
=xy（x-y）2.
当x-y=1，xy=3时，
原式=3×12=3.
1. 把多项式x3-xy2分解因式，下列结果正确的是
（ ）
A. x（x+y）2 B. x（x-y）2
C. x（x-y）（x+y） D. x（x2-y2）
课后作业
夯 实 基 础
新知 综合运用提公因式法和公式法因式分解
C
2. 一次作业中，小敏做了如下四道因式分解题，你认为她做得不完整的是（ ）
A. a3-a=a（a2-1）
B. m2-2mn+n2=（m-n）2
C. x2y-xy2=xy（x-y）
D. x2-y2=（x-y）（x+y）
A
3. 若a，b，c是△ABC的三边，满足a2-2ab+b2=0且b2-c2=0，则△ABC的形状是
（ ）
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
4. 因式分解：2a2b-4ab2+2b3=____________.
D
2b（a-b）2
5. 因式分解：
（1）2x2y-8xy+8y；
（2）a2（x-y）-9b2（x-y）；
（3）9（3m+2n）2-4（m-2n）2；
（4）（y2-1）2+6（1-y2）+9.
解：（1）2x2y-8xy+8y
=2y（x2-4x+4）
=2（x-2）2.
（2）a2（x-y）-9b2（x-y）
=（x-y）（a2-9b2）
=（x-y）（a+3b）（a-3b）.
（3）9（3m+2n）2-4（m-2n）2
=［3（3m+2n）-2（m-2n）］［3（3m+2n）+2（m-2n）］
=（7m+10n）（11m+2n）.
（4）（y2-1）2+6（1-y2）+9
=（y2-1-3）2
=（y+2）2（y-2）2.
6. 给出下列三个多项式：①2x2+4x-4；②2x2+12x+4；③2x2-4x，请你把其中任意两个多项式进行加法运算（写出所有可能的结果），并把每个结果因式分解.
解：①+②，得2x2+4x-4+2x2+12x+4=4x2+16x=4x（x+4）；
①+③，得2x2+4x-4+2x2-4x=4x2-4=4（x+1）（x-1）；
②+③，得2x2+12x+4+2x2-4x=4x2+8x+4=4（x2+2x+1）=4（x+1）2.
7. 如果x+y=0，求x3+x2y+xy2+y3的值.
解：x3+x2y+xy2+y3
=x2（x+y）+y2（x+y）
=（x2+y2）（x+y）.
∵x+y=0，
∴原式=0.
能 力 提 升
8. 已知（2x-y-1）2+ =0，求4x3y-4x2y2+xy3的值.
9. 已知a+b= ，求代数式（a－1）2+b（2a+b）+2a的值.
10. 若A=101×9996×10005，B=10004×9997×101，则A-B之值为何？
解：∵A=101×9996×10005，B=10004×9997×101，
∴A-B=101×9996×10005-10004×9997×101=101×［（10000-4）×（10000+5）-（10000+4）×（10000-3）］=101×（100000000+10000-20-100000000-10000+12）=101×（-8）=-808.
11. 利用因式分解计算(共19张PPT)
第四章 因式分解
1 因式分解
课前预习
1. 把一个_________化成几个_______的_____的形式，这种变形叫做因式分解.
2.(x+3)2=x2+6x+9从左到右的变形是__________.
3.4x2-9=(2x+3)(2x-3)从左到右的变形是__________.
多项式
整式
积
整式乘法
因式分解
课前预习
4. 下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（ ）
A. a(m+n)=am+an
B. a2-b2-c2=(a-b)(a+b)-c2
C. 10x2-5x=5x(2x-1)
D. x2-16+6x=(x+4)(x-4)+6x
C
课堂讲练
新知1 因式分解的定义
典型例题
【例1】下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A. x2+2x-1=(x-1)2
B. (a+b)(a-b)=a2-b2
C. x2+4x+4=(x+2)2
D. ax2-a=a(x2-1)
C
【例2】9993-999能被998整除吗？能被1 000整除吗？为什么？
解:∵原式=999×（9992-1）
=999×（999+1）（999-1）
=999×1 000×998, ∴9993-999能被998整除，也能被1 000整除.
模拟演练
1. 下列各式从左到右的变形，为因式分解的是（ ）
A. x(a-b)=ax-bx
B. x2-1+y2=(x-1)(x+1)+y2
C. y2-1=(y+1)(y-1)
D. ax+by+c=x(a+b)+c
C
2. 32 013-4×32 012+10×32 011能被7整除吗？为什么？
解：∵原式=32 011×（9-4×3+10）
=32 011×7,
∴32 013-4×32 012+10×32 011能被7整除.
新知2 因式分解与整式乘法的关系
典例题型
【例3】（1） 5a（a-1）=5a2-5a是__________运算；
（2）5a2-5a=5a（a-1）是__________运算.
【例4】若（x-3）（x+5）是x2+px+q的因式，则p为
（ ）
A. -15 B. -2 C. 8 D. 2
整式乘法
因式分解
D
模拟演练
3. 计算：
（1）（x-5）（x+7）=__________;
（2）x2+2x-35=_______________.
4. 已知多项式2x2+bx+c因式分解为2（x+1）（x-2），则b，c的值为（ ）
A. b=2，c=-4 B. b=-2，c=4
C. b=-2，c=-4 D. b=3，c=-1
x2+2x-35
（x-5）（x+7）
C
课后作业
夯实基础
新知1 因式分解的定义
1. 下列从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A. （x-4）（x+4）=x2-16
B. x2-y2+2=（x+y）（x-y）+2
C. 2ab+2ac=2a（b+c）
D. （x-1）（x-2）=（x-2）（x-1）
C
2. 下列从左到右的变形：
①15x2y=3x·5xy；②（a+b）（a-b）=a2-b2；
③a2-2a+1=(a-1)2；④x2+3x+1=x(x+3+ ) .其中是因式分解的有（ ）
A. 0个 B. 1个
C. 2个 D. 3个
3. 下列多项式能因式分解的是（ ）
A. m2-2m+1 B. m2-m+1
C. m2-n D. m2+n
B
A
4. 下列各式是因式分解且完全正确的是（ ）
A. ab+ac+d=a（b+c）+d
B. x3-x=x（x2-1）
C. （a+2）（a-2）=a2-4
D. a2-1=（a+1）（a-1）
D
5. 1012-9×1010能被91整除吗？为什么？
解：∵原式=1010×（102-9）
=1010×91,
∴1012-9×1010能被91整除.
新知2 因式分解与整式乘法的关系
6. 若x2-5x+m有一个因式是（x+1），则m的值是
（ ）
A. 6 B. -6 C. 4 D. -4
7. （x+3）（2x-1）是多项式__________因式分解的结果.
8. 把多项式x2+4mx+5因式分解得（x+5）（x+n），
则m+n的值为_________.
B
2x2+5x-3
9. 若多项式xn-yn因式分解的结果是（x-y）（x+y）（x2+y2），则n=________.
10. 下列从左到右的变形中，哪些是整式乘法？哪些是因式分解？哪些两者都不是？
（1）ax+bx+cx+m=（a+b+c）x+m;
（2）mx2-2mx+m=m（x-1）2;
（3）4a-2a（b+c）=4a-2ab-2ac;
（4）（x-3）（x+3）=（x+3）（x-3）;
（5）x2-y2-1=（x+y）（x-y）-1;
（6）（x-2）（x+2）=x2-4.
4
解：（1）ax+bx+cx+m=（a+b+c）x+m两者都不是;
（2）mx2-2mx+m=m（x-1）2是因式分解;
（3）4a-2a（b+c）=4a-2ab-2ac两者都不是;
（4）（x-3）（x+3）=（x+3）（x-3）两者都不是;
（5）x2-y2-1=（x+y）（x-y）-1两者都不是;
（6）（x-2）（x+2）=x2-4是整式乘法.
能 力 提 升
11. 两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x-1）（x-9），另一位同学因看错了常数项而分解成2（x-2）（x-4），求原多项式.
解：设原多项式为ax2+bx+c（其中a，b，c均为常数，且abc≠0）.
∵2（x-1）（x-9）=2（x2-10x+9）=2x2-20x+18，
∴a=2，c=18.
又∵2（x-2）（x-4）=2（x2-6x+8）=2x2-12x+16，
∴b=-12.
∴原多项式为2x2-12x+18.
12. 阅读理解题：我们知道因式分解与整式乘法是互逆的关系，那么逆用乘法公式（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，即x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）是否可以因式分解呢？当然可以，而且也很简单. 如：
（1）x2+4x+3=x2+（1+3）x+1×3=（x+1）（x+3）；
（2）x2-4x-5=x2+（1-5）x+1×（-5）=（x+1）（x-5）.
请你仿照上述方法，把多项式x2-7x-18分解因式.
解：x2-7x-18
=x2+（-9+2）x+（-9）×2
=（x-9）（x+2）.
