第19章 四边形 单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）从n边形的一个顶点出发可以连接8条对角线，则n＝（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
2．（4分）下列能判定一个四边形是平行四边形的是（ ）
A．对角线相等，且一组对角相等的四边形是平行四边形
B．一对邻角的和为180°的四边形是平行四边形
C．两条对角线相互垂直的四边形是平行四边形
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
3．（4分）正八边形的每一个内角的度数为（ ）
A．120° B．60° C．135° D．45°
4．（4分）用形状，大小完全相同的图形不能镶嵌成平面图案的是（ ）
A．等腰三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
5．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，E，F分别是AC，BC上两点，AE＝16，BF＝12，点P，Q，D分别是AF，BE，AB的中点，则PQ的长为（ ）
A．10 B．8 C．2 D．20
6．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝65°，CD⊥AB，垂足为D，E是BC的中点，连接ED，则∠EDC的度数是（ ）
A．25° B．30° C．50° D．65°
7．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则此平行四边形的周长为（ ）
A．28或32 B．28或36 C．32或36 D．28或32或36
8．（4分）如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为12cm，点B，D之间的距离为16cm，则线段AB的长为（ ）
A．9.6cm B．10cm C．20cm D．12cm
9．（4分）如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是（ ）
A．30 B．34 C．36 D．40
10．（4分）如图，在锐角△ABC中，延长BC到点D，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，MN分别交∠ACB、∠ACD的平分线于E，F两点，连接AE、AF，在下列结论中：
①OE＝OF；
②CE＝CF；
③若CE＝12，CF＝5，则OC的长为6；
④当AO＝CO时，四边形AECF是矩形．
其中正确的是（ ）
A．①④ B．①② C．①②③ D．②③④
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．（5分）如图，∠B+∠C+∠D+∠E﹣∠A等于 ．
12．（5分）如图，△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC，D为AB中点，若DE＝5，BE＝8．则EC＝ ．
13．（5分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若AG＝13，CF＝6，则BG＝ ．
14．（5分）如图，已知∠XOY＝60°，点A在边OX上，OA＝2．过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD＝a，OE＝b，则a+2b的取值范围是 ．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）一个多边形的每个内角都相等，并且其中一个内角比它相邻的外角大100°，求这个多边形的边数．
16．（8分）已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，且AC＝BD，E、F分别是AB、CD的中点，E、F分别交BD、AC于点G、H．求证：OG＝OH．
17．（8分）.过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形共有k条对角线，求代数式（m﹣k）n．
18．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于点O，且O是BD的中点．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AC＝8，BD＝12，且AC⊥BD，求?ABCD的面积．
19．（10分）如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，过点E作EF∥CD交BC的延长线于点F，连接CD．
（1）求证：DE＝CF；
（2）求EF的长．
20．（10分）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DCB＝90°，E、F分别是BD、AC的中点，
（1）请你猜测EF与AC的位置关系，并给予证明；
（2）当AC＝8，BD＝10时，求EF的长．
21．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，EF经过对角线BD的中点O，分别交AD，BC于点E，F．
（1）求证：△BOF≌△DOE；
（2）当EF⊥BD时，求AE的长．
22．（12分）阅读与推理
[阅读]三角形的外角定理：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
例如：在图1中，∠ACD是△ABC的一个外角，则有∠ACD＝∠A+∠B．理由是：∠ACD+∠ACB＝180°，∠A+∠B+∠ACB＝180°．
[实践]小轩在课外书上看到这样一题：在五角星形ABCDE中，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．小轩思考：∠AFG是△FEC的外角，根据“三角形的外角定理”可得∠AFG＝ + ，类似地，∠AGF＝ + ，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝ °．
[应用]如图3，∠MON＝90°，点A、B分别在OM、ON上运动，（不与点O重合），BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线交∠OAB的平分线于点D．试问：随着点A、B的运动，∠D的大小会改变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由．
23．（14分）如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长．
第19章 四边形 单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）从n边形的一个顶点出发可以连接8条对角线，则n＝（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
解：由题意得：n﹣3＝8，解得n＝11，
故选：D．
2．（4分）下列能判定一个四边形是平行四边形的是（ ）
A．对角线相等，且一组对角相等的四边形是平行四边形
B．一对邻角的和为180°的四边形是平行四边形
C．两条对角线相互垂直的四边形是平行四边形
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
解：A、对角线相等，且一组对角相等的四边形无法确定是平行四边形，故此选项不合题意；
B、一对邻角的和为180°的四边形是平行四边形，错误，有可能是梯形，故此选项不合题意；
C、两条对角线相互垂直的四边形无法确定是平行四边形，故此选项不合题意；
D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，正确，符合题意．
故选：D．
3．（4分）正八边形的每一个内角的度数为（ ）
A．120° B．60° C．135° D．45°
解：∵内角正八边形的内角和：（8﹣2）?180°＝1080°，
∴每一个内角的度数1080°÷8＝135°，
故选：C．
4．（4分）用形状，大小完全相同的图形不能镶嵌成平面图案的是（ ）
A．等腰三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
解：A、正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺；
B、正方形的每个内角是90°，4个能密铺；
C、正五边形每个内角是：180°﹣360°÷5＝108°，不能整除360°，不能密铺；
D、正六边形每个内角为120度，能找出360度，能密铺．
故选：C．
5．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，E，F分别是AC，BC上两点，AE＝16，BF＝12，点P，Q，D分别是AF，BE，AB的中点，则PQ的长为（ ）
A．10 B．8 C．2 D．20
解：∵∠C＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵点P，D分别是AF，AB的中点，
∴PD＝BF＝6，PD∥BC，
∴∠PDA＝∠CBA，
同理，QD＝AE＝8，∠QDB＝∠CAB，
∴∠PDA+∠QDB＝90°，即∠PDQ＝90°，
∴PQ＝＝10，
故选：A．
6．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝65°，CD⊥AB，垂足为D，E是BC的中点，连接ED，则∠EDC的度数是（ ）
A．25° B．30° C．50° D．65°
解：∵∠ACB＝90°，∠A＝65°，
∴∠B＝25°，
∵CD⊥AB，E是BC的中点，
∴ED＝BC＝EB，
∴∠EDB＝∠B＝25°，
∴∠EDC＝90°﹣25°＝65°，
故选：D．
7．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则此平行四边形的周长为（ ）
A．28或32 B．28或36 C．32或36 D．28或32或36
解：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10，
若以AC，BC为边，则平行四边形的周长＝2（AC+BC）＝2×（6+8）＝28，
若以AC，AB为边，则平行四边形的周长＝2（AC+AB）＝2×（6+10）＝32，
若以AB，BC为边，则平行四边形的周长＝2（AB+BC）＝2×（10+8）＝36，
故选：D．
8．（4分）如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为12cm，点B，D之间的距离为16cm，则线段AB的长为（ ）
A．9.6cm B．10cm C．20cm D．12cm
解：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC、BD交于点O．
由题意知：AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两个矩形等宽，
∴AR＝AS，
∵AR?BC＝AS?CD，
∴BC＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
在Rt△AOB中，∵OA＝AC＝6cm，OB＝BD＝8cm，
∴AB＝＝10（cm），
故选：B．
9．（4分）如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是（ ）
A．30 B．34 C．36 D．40
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA，
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴AH＝BE＝CF＝DG．
在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，
，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），
∴EH＝FE＝GF＝GH，∠AEH＝∠BFE，
∴四边形EFGH是菱形，
∵∠BEF+∠BFE＝90°，
∴∠BEF+∠AEH＝90°，
∴∠HEF＝90°，
∴四边形EFGH是正方形，
∵AB＝BC＝CD＝DA＝8，AE＝BF＝CG＝DH＝5，
∴EH＝FE＝GF＝GH＝＝，
∴四边形EFGH的面积是：×＝34，
故选：B．
10．（4分）如图，在锐角△ABC中，延长BC到点D，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，MN分别交∠ACB、∠ACD的平分线于E，F两点，连接AE、AF，在下列结论中：
①OE＝OF；
②CE＝CF；
③若CE＝12，CF＝5，则OC的长为6；
④当AO＝CO时，四边形AECF是矩形．
其中正确的是（ ）
A．①④ B．①② C．①②③ D．②③④
解：∵MN∥CB，
∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠ACF
∵∠ACE＝∠BCE，∠ACF＝∠DCF，
∴∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF，
∴OC＝OE＝OF，故①正确，
∵∠BCD＝180°，
∴∠ECF＝90°，
若EC＝CF，则∠OFC＝45°，显然不可能，故②错误，
∵∠ECF＝90°，EC＝12，CF＝5，
∴EF＝＝13，
∴OC＝EF＝6.5，故③错误，
∴OE＝OF，OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF＝90°，
∴四边形AECF是矩形．
故选：A．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．（5分）如图，∠B+∠C+∠D+∠E﹣∠A等于 180° ．
解：∵∠B+∠C＝∠CGE＝180°﹣∠1，∠D+∠E＝∠DFG＝180°﹣∠2，
∴∠B+∠C+∠D+∠E﹣∠A＝360°﹣（∠1+∠2+∠A）＝180°．
故答案为：180°．
12．（5分）如图，△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC，D为AB中点，若DE＝5，BE＝8．则EC＝ 4 ．
解：∵BE⊥AC，
∴∠AEB＝90°，
∵D为AB中点，
∴AB＝AC＝2DE＝2×5＝10，
∵BE＝8，
∴AE＝＝6，
∴EC＝AC﹣AE＝4，
故答案为：4．
13．（5分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若AG＝13，CF＝6，则BG＝ 5 ．
解：∵AG∥BD，BD＝FG，
∴四边形BGFD是平行四边形，
∵CF⊥BD，
∴CF⊥AG，
又∵点D是AC中点，
∴BD＝DF＝AC，
∴四边形BGFD是菱形，
设GF＝x，则AF＝13﹣x，AC＝2x，
∵在Rt△ACF中，∠CFA＝90°，
∴AF2+CF2＝AC2，即（13﹣x）2+62＝（2x）2，
解得：x＝5，
即BG＝5．
故答案是：5．
14．（5分）如图，已知∠XOY＝60°，点A在边OX上，OA＝2．过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD＝a，OE＝b，则a+2b的取值范围是 2≤a+2b≤5 ．
解：过P作PH⊥OY交于点H，
∵PD∥OY，PE∥OX，
∴四边形EODP是平行四边形，∠HEP＝∠XOY＝60°，
∴EP＝OD＝a，
Rt△HEP中，∠EPH＝30°，
∴EH＝EP＝a，
∴a+2b＝2（a+b）＝2（EH+EO）＝2OH，
当P在AC边上时，H与C重合，此时OH的最小值＝OC＝OA＝1，即a+2b的最小值是2；
当P在点B时，OH的最大值是：1+＝，即（a+2b）的最大值是5，
∴2≤a+2b≤5．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）一个多边形的每个内角都相等，并且其中一个内角比它相邻的外角大100°，求这个多边形的边数．
解：设每个内角度数为x度，则与它相邻的外角度数为180°﹣x°，
根据题意可得x﹣（180﹣x）＝100，
解得x＝140．
所以每个外角为40°，
所以这个多边形的边数为360÷40＝9．
答：这个多边形的边数为4．
16．（8分）已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，且AC＝BD，E、F分别是AB、CD的中点，E、F分别交BD、AC于点G、H．求证：OG＝OH．
解：取BC边的中点M，连接EM，FM，
∵M、F分别是BC、CD的中点，
∴MF∥BD，MF＝BD，
同理：ME∥AC，ME＝AC，
∵AC＝BD
∴ME＝MF
∴∠MEF＝∠MFE，
∵MF∥BD，
∴∠MFE＝∠OGH，
同理，∠MEF＝∠OHG，
∴∠OGH＝∠OHG
∴OG＝OH．
17．（8分）.过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形共有k条对角线，求代数式（m﹣k）n．
解：据题意得，
m﹣3＝7，n＝3，
解得：m＝10
k（k﹣3）＝k，
解得：k＝5，
所以（m﹣k）n＝（10﹣5）3＝125．
18．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于点O，且O是BD的中点．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AC＝8，BD＝12，且AC⊥BD，求?ABCD的面积．
（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABO＝∠CDO，
∵OB＝OD，∠AOB＝∠COD，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴AB＝CD．
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴S菱形ABCD＝?AC?BD＝×8×12＝48．
19．（10分）如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，过点E作EF∥CD交BC的延长线于点F，连接CD．
（1）求证：DE＝CF；
（2）求EF的长．
解：（1）∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∵EF∥CD
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DE＝CF．
（2）∵四边形DEFC是平行四边形，
∴DC＝EF，
∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，
∴AD＝BD＝1，CD⊥AB，BC＝2，
∴DC＝EF＝．
20．（10分）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DCB＝90°，E、F分别是BD、AC的中点，
（1）请你猜测EF与AC的位置关系，并给予证明；
（2）当AC＝8，BD＝10时，求EF的长．
解：（1）EF⊥AC．理由如下：
连接AE、CE，
∵∠BAD＝90°，E为BD中点，
∴AE＝DB，
∵∠DCB＝90°，
∴CE＝BD，
∴AE＝CE，
∵F是AC中点，
∴EF⊥AC；
（2）∵AC＝8，BD＝10，E、F分别是边AC、BD的中点，
∴AE＝CE＝5，CF＝4，
∵EF⊥AC．
∴EF＝＝＝3
21．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，EF经过对角线BD的中点O，分别交AD，BC于点E，F．
（1）求证：△BOF≌△DOE；
（2）当EF⊥BD时，求AE的长．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠BFO＝∠DEO，∠FBO＝∠EDO，
又∵O是BD中点，
∴OB＝OD，
∴△BOF≌△DOE（ASA）．
（2）连接BE．
∵EF⊥BD，O为BD中点，
∴EB＝ED，
设AE＝xcm，由EB＝ED＝AD﹣AE＝（4﹣x）cm，
在Rt△ABE中，AB＝3cm，
根据勾股定理得：AB2+AE＝BE2，即9+x2＝（4﹣x）2，
解得：x＝，
∴AE的长是 cm．
22．（12分）阅读与推理
[阅读]三角形的外角定理：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
例如：在图1中，∠ACD是△ABC的一个外角，则有∠ACD＝∠A+∠B．理由是：∠ACD+∠ACB＝180°，∠A+∠B+∠ACB＝180°．
[实践]小轩在课外书上看到这样一题：在五角星形ABCDE中，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．小轩思考：∠AFG是△FEC的外角，根据“三角形的外角定理”可得∠AFG＝ ∠E + ∠C ，类似地，∠AGF＝ ∠B + ∠D ，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝ 180 °．
[应用]如图3，∠MON＝90°，点A、B分别在OM、ON上运动，（不与点O重合），BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线交∠OAB的平分线于点D．试问：随着点A、B的运动，∠D的大小会改变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由．
解：（1）在△CEF中，直接可得∠AFG＝∠C+∠E，在△BDG中，可得，
∠AFG＝∠E+∠C，AGF＝∠B+∠D，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠AFG+AGF+∠A＝180°；
故答案为∠E+∠C，∠B+∠D，180°；
（2）设AD与BO相交于点E，
∠D＝180°﹣∠DBO﹣∠AEO
＝180°﹣∠ABN﹣（90°﹣∠OAE）
＝90°﹣∠ABN+∠OAB
＝90°﹣（180°﹣∠ABO）+∠OAB
＝（∠ABO+∠OAB）
＝×90°＝45°；
∴∠D的度数不发生改变．
23．（14分）如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长．
解：（1）如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAD＝∠EAB，
∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，
∴EM＝EN，
∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，
∴四边形ANEM是矩形，
∴∠MEN＝∠DEF＝90°，
∴∠DEM＝∠FEN，
∵∠EMD＝∠ENF＝90°，
∴△EMD≌△ENF，
∴ED＝EF，
∵四边形DEFG是矩形，
∴四边形DEFG是正方形．
（2）∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，
∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝∠CDE，
∴△ADG≌△CDE，
∴AG＝CE，
∴AE+AG＝AE+EC＝AC＝AD＝4．
（3）如图，作EH⊥DF于H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝4，AB∥CD，
∵F是AB中点，
∴AF＝FB2
∴DF＝＝2，
∵△DEF是等腰直角三角形，EH⊥AD，
∴DH＝HF，
∴EH＝DF＝，
∵AF∥CD，
∴AF：CD＝FM：MD＝1：2，
∴FM＝，
∴HM＝HF﹣FM＝，
在Rt△EHM中，EM＝＝．
