北师大版本 数学 九年级下 1.4 解直角三角形 教学设计
课题
1.4 解直角三角形
单元
第一单元
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
知识与技能：
①归纳直角三角形的边、角之间的关系；
②利用这些关系式解直角三角形，并利用解直角三角形的有关知识解决实际问题．
过程与方法：
①正确运用直角三角形中的边角关系解直角三角形；
②逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；
③领会教学活动中的类比思想，提高学生学习数学的积极性；
情感态度与价值观：
①通过解答实际问题，激发学生学数学的兴趣，增长社会见识。
②使学生亲身经历用直角三角形中的边角关系解直角三角形的过程，感受数学实用性，培养学生积极情感.
重点
灵活运用锐角三角函数解直角三角形。
难点
灵活运用锐角三角函数解直角三角形。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
知识探究
在上节课中，我们已经学习了有关正弦、余弦以及正切的定义，以及特殊角度的正弦、余弦、正切的值。而我们这节课要进一步探究直角三角形的三角函数。在上新课之前，我们一起回忆下前面学习的知识。
/
生活中，我们常常遇到与直角三角形有关的问题．知道直角三角形的边可以求出角，知道角也可以求出相应的边．
直角三角形中有6个元素，分别是三条边和三个角．
在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三个角），其中∠C=90°，那么其余五个元素之间有怎样的关系呢？
（1）直角三角形的三边关：
a2+b2=c2(勾股定理)
（2）直角三角形的锐角关系： ∠A+∠B=90°.
（3）直角三角形的边和锐角之间关系:
sin A==
a
c
cos A==
b
c
tan A==
a
b
【思考问题】在一个直角三角形中，除直角外有5个元素（3条边、2个锐角），要至少知道其中的几个元素就可以求出其余的元素？
如果知道的2个元素都是角，不能求解.因为此时的直角三角形有无数多个.
如果已知2个元素，且至少有一个边是边就可以了.
【问题探究】在直角三角形ABC中，如果已知其中两边的长，你能求出这个三角形的其他元素吗？
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a=
15
，b=
5
求这个直角三角形的其他元素.
/
解：在Rt△ABC中，a2+b2=c2, a=
15
，b=
5
∴c=
b
2
+a2
=2
5
.
在Rt△ABC中，sinB=
b
c
=
5
2
5
=
1
2
∴ ∠?B = 30° ，∠?A = 60°
已知直角三角形两边的长度，可以求出其他元素.
在直角三角形ABC中，如果已知一边和一个锐角，你能求出这个三角形的其他元素吗？
【例1】在 Rt△ABC 中，∠?C 为直角，∠?A，∠?B，∠?C 所对的边分别为 a， b，c，且 b = 30，∠?B=25° ，求这个三角形的其他元素（边长精确到1）．
解：在 Rt△ABC 中，∠?C = 90° ，∠?B = 25°，
∴ ∠?A = 65
∵ sin B =
b
c
，b = 30， ∴ c =
b
?????????
=
30
??????25°
≈ 71.
∵ tan B =
b
??
b = 30， ∴ a =
b
?????????
=
30
???????25°
≈ 64.
如果已知直角三角形的一边和一个锐角，可以求出其他元素.
学生思考并回答问题。并跟着教师的讲解思路思考问题，并探究知识。
导入新课，利用导入的例子引起学生的注意力。
讲授新课
例题讲解
从刚刚导入新课的探究中，我们可以发现：
在直角三角形中，除直角外的5个元素(即3条边和2个锐角)，只要知道其中的2个元素(至少有一个是边)，根据三角函数，就可以求出其余的3个未知元素。
在直角三角形中，由直角三角形中已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形.
解直角三角形的依据：
(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；
(2)锐角之间的关系:∠A＋∠B＝ 90°；
(3)边角关系:sin A＝
a
c
，cos A=
b
c
，tan?A=
a
b
.
(4)面积公式：S△ABC=
1
2
????=
1
2
??·?
接下来，我们再看一些具体的例子：
【例3】如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.若AB＝12，CD＝6，tan A＝
3
2
，求sin B＋cos B的值．
/
解：在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，
∴tan A＝
CD
AD
＝
6
AD
＝32，∴AD＝4，∴BD＝AB－AD＝12－4＝8.
在Rt△BCD中，∵∠BDC＝90°，BD＝8，CD＝6，
∴BC＝
BD
2
+
CD
2
＝10，
∴sin B＝
CD
BC
＝35，cos B＝
BD
BC
＝
4
5
，∴sin B＋cos B＝
3
5
+
4
5
＝
7
5
.
说说解直角三角形时，有哪些注意点？
1.做标注：在遇到解直角三形的问题时，先画一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，以得于分析解决问题.
2.找关系式：选取关系式时要尽量利用原始数据，以防止“累积错误”.
3.遵循规则：遵循“有斜用弦，无斜用切；宁乘勿除，化斜为直”.
结合导入的思考和老师的讲解，利用探究理解和掌握解直角三角形的定义和方法。
老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解。
讲授知识，让学生熟练利用探究理解和掌握解直角三角形的定义和方法。
巩固加深对知识的理解与应用，也让学生知道本节课的学习内容和重点。
随堂练习
随堂练习
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别记作a，b，c.
(1)直角三角形的三边之间的关系为a2+b2=c2(勾股定理)_；
(2)直角三角形的两个锐角之间的关系为_∠A+∠B=90°；
(3)直角三角形的边和锐角之间的关系为sin A＝__
a
c
__，
cos A＝__
??
c
__，tan A＝__
??
??
__，tan B＝__
??
??
__．
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝
5
，AC＝
15
，则∠A的度数为( D )
A．90° B．60° C．45° D．30°
3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则cos A的值是( A )
A.
3
5
B.
4
5
C.
4
3
D.
5
4
4.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，a=5，求∠B，b，c.
/
解：∵∠B=90°-∠A=60° ,∠A=30°.且tan B=
??
??
.
∴b=a·tan B=5·tan60°=5
3
∵sin A=
a
c
∴??=
a
?????????
=
5
??????30°
=
5
1
2
=10.
5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cos A =
1
3
，BC = 5， 试求AB的长.
解：∵ ∠C=90° ，cos A =
1
3
，∴
????
????
=
1
3
设AB=x，则AC=
1
3
??.
又AB2=AC2+BC2，则x2=（
1
3
x）2+52
∴x1=
15
2
4
,x2=?
15
2
4
（舍去）
∴AB的长为
15
2
4
.
学生自主完课堂练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。
学生自主完课堂练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。
中考链接
（2018·上海）如图，已知△ABC中，AB＝BC＝5，tan∠ABC=
3
4
．
（1）求边AC的长；
（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求
AD
DB
的值．
解：（1）作A作AE⊥BC.
在Rt△ABE中，tan∠ABC=
AE
BE
=
3
4
，AB＝5，
∴AE＝3，BE＝4，
（2）∵DF垂直平分BC，
∴BD＝CD，BF＝CF=
5
2
，
∵tan∠DBF=
DF
BF
=
3
4
，
∴DF=
15
8
，
在Rt△BFD中，根据勾股定理得：BD=
(
5
2
)
2
+(
15
8
)
2
=
25
8
，
∴AD＝5?
25
8
=
15
8
，则
AD
BD
=
3
5
．
学生自主完课堂练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。
课堂小结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
1.概念：在直角三角形中，由直角三角形中已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形.
2.依据：
(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；
(2)锐角之间的关系:∠A＋∠B＝ 90°；
(3)边角之间的关系:sin A＝
a
c
，cos A=
b
c
，tan?A=
a
b
.
(4)面积公式：S△ABC=
1
2
????=
1
2
??·?
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识。
帮助学生加强记忆知识。
板书
解直角三角形
1.概念：在直角三角形中，由直角三角形中已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形.
2.依据：
(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）；
(2)锐角之间的关系:∠A＋∠B＝ 90°；
(3)边角之间的关系:sin A＝
a
c
，cos A=
b
c
，tan?A=
a
b
.
(4)面积公式：S△ABC=
1
2
????=
1
2
??·?
借助板书，让学生知识本节课的重点。
课后练习
教材第17页习题1.5第1、2题.
教材第18页习题1.5第3、4题.
/
课件21张PPT。1.4 解直角三角形数学北师大版 九年级下回顾知识?????????30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：(1) 三边之间的关系:a2+b2=_____；(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=_____；(3)边角之间的关系：sinA=_____，cosA=_____，tanA=_____. 在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三个角），其中∠C=90°，那么其余五个元素之间有怎样的关系呢？90°回顾知识c2??? 在一个直角三角形中，除直角外有5个元素（3条边、2个锐角），要至少知道其中的几个元素就可以求出其余的元素？如果知道的2个元素都是角，不能求解.因为此时的直角三角形有无数多个.如果已知2个元素，且至少有一个元素是边就可以了.新课讲解新课讲解 在直角三角形ABC中，如果已知其中两边的长，你能求出这个三角形的其他元素吗？??如果已知直角三角形两边的长度，可以求出其他元素.新课讲解 在直角三角形ABC中，如果已知一边和一个锐角，你能求出这个三角形的其他元素吗？ 【例2】在 Rt△ABC 中，∠?C 为直角，∠?A，∠?B，∠?C 所对的边分别为 a， b，c，且 b = 30，∠?B=25° ，求这个三角形的其他元素（边长精确到1）．?如果已知直角三角形的一边和一个锐角，可以求出其他元素. 在直角三角形的6个元素(即3条边和3个锐角)中，直角是已知元素，如果再知道一条边和第三个元素，这个三角形的所有元素就可以确定下来新课讲解新课讲解解直角三角形的依据：(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）； (2)锐角之间的关系:∠A＋∠B＝ 90°；?? 在直角三角形中，由直角三角形中已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形.??新课讲解新课讲解 1.做标注：在遇到解直角三形的问题时，先画一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，以得于分析解决问题.2.找关系式：选取关系式时要尽量利用原始数据，以防止“累积错误”.3.遵循规则：遵循“有斜用弦，无斜用切；宁乘勿除，化斜为直”.说说解直角三角形时，有哪些注意点？课堂练习 1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别记作a，b，c.
(1)直角三角形的三边之间的关系为________________；
(2)直角三角形的两个锐角之间的关系为__________________；
(3)直角三角形的边和锐角之间的关系为sin A＝_____，
cos A＝_____，tan A＝_____，tan B＝_____．a2+b2=c2(勾股定理)∠A+∠B=90°????课堂练习?DA课堂练习 4.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，a=5，求∠B，b，c. ?课堂练习??中考链接??E中考链接??课堂总结解直角三角形2.依据：(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）； (2)锐角之间的关系:∠A＋∠B＝ 90°；?? 1.概念：在直角三角形中，由直角三角形中已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形.板书设计解直角三角形2.依据：(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理）； (2)锐角之间的关系:∠A＋∠B＝ 90°；?? 1.概念：在直角三角形中，由直角三角形中已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形.作业布置教材第17页习题1.5第1、2题.
教材第18页习题1.5第3、4题. 谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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