第10章 相交线、平行线与平移 单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）如图所示，小明同学的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭乘公交车，他选择P→C路线，用数学知识解释其道理正确的是（ ）
A．两点确定一条直线 B．垂线段最短
C．两点之间线段最短 D．三角形两边之和大于第三边
2．（4分）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠FOD＝90°，若∠BOD：∠BOE＝1：2，则∠AOF的度数为（ ）
A．70° B．75° C．60° D．54°
3．（4分）下列说法，正确的是（ ）
A．若ac＝bc，则a＝b B．两点之间的所有连线中，线段最短
C．相等的角是对顶角 D．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
4．（4分）如图所示，下列结论中不正确的是（ ）
A．∠1和∠2是同位角 B．∠2和∠3是同旁内角
C．∠1和∠4是同位角 D．∠2和∠4是内错角
5．（4分）将一副三角尺按如图的方式摆放，则∠α的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．105°
6．（4分）如图，∠1＝68°，直线a平移后得到直线b，则∠2﹣∠3的度数为（ ）
A．78° B．132° C．118° D．112°
7．（4分）下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC距离的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（4分）在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，则a与c的距离为（ ）
A．1cm B．3cm C．5cm或3cm D．1cm或3cm
9．（4分）若直线l上一点P和直线l外一点Q的距离为8cm，则点Q到直线l的距离是（ ）
A．等于8cm B．小于或等于8cm
C．大于8cm D．以上三种都有可能
10．（4分）给出下列判断：①两条不相交的直线叫做平行线；②不相等的两个角一定不是对顶角；③若两个角的一边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角相等；④如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．（5分）如图，∠1＝∠2＝40°，∠3＝50°，则∠4＝ ．
12．（5分）下列四种说法：
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线段；
③相等的角是对顶角；
④在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交．
其中，错误的是 （填序号）．
13．（5分）如图所示，AB⊥l1，AC⊥l2，则点A到直线l1的距离是线段 的长度．
14．（5分）已知直线a∥b，点M到直线a的距离是5cm，到直线b的距离是3cm，那么直线a和直线b之间的距离为 ．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）如图，已知：点A、点B及直线l．
（1）请画出从点A到直线l的最短路线，并写出画图的依据．
（2）请在直线l上确定一点O，使点O到点A与点O到点B的距离之和最短，并写出
画图的依据．
16．（8分）在下列解题过程的空白处填上适当的内容（推理的理由或数学表达式）如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠4．
求证：EF∥GH
证明：∵∠1+∠2＝180°（已知），
∠AEG＝∠1（对顶角相等）
∴ ，
∴AB∥CD（ ），
∴∠AEG＝∠ （ ）
∵∠3＝∠4（已知），
∴∠3+∠AEG＝∠4+∠ （等式性质），
∴EF∥GH．
17．（8分）如图，点B、C、D在同一条直线上，CG⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为G、F，DF交AC于点E，CG是△ABC的角平分线，那么∠1与∠2相等吗？为什么？
18．（8分）如图，直线AB，CD相交于O点，OM平分∠AOB．
（1）若∠1＝∠2，求∠NOD的度数；
（2）若∠BOC＝4∠1，求∠AOC与∠MOD的度数．
19．（10分）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC三个顶点的位置如图所示，现将△ABC平移，使点A移动到点A'，点B、C的对应点分别是点B'、C'．
（1）△ABC的面积是 ；
（2）画出平移后的△A'B'C'；
（3）若连接AA'、CC′，这两条线段的关系是 ．
20．（10分）如图，直线AB与CD相交于O，OE⊥AB，OF⊥CD．
（1）①图中与∠AOF互余的角是 ；
②与∠COE互补的角是 ．
（把符合条件的角都写出来）
（2）如果∠AOC比∠EOF的小6°，求∠BOD的度数．
（12分）三角板是学习数学的重要工具，将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图方式叠放在一起，当0°＜∠ACE＜90°且点E在直线AC的上方时，解决下列问题：（友情提示：∠A＝60°，∠D＝30°，∠B＝∠E＝45°）．
（1）①若∠DCE＝45°，则∠ACB的度数为 ；
②若∠ACB＝140°，则∠DCE的度数为 ；
（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．
（3）这两块三角板是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE的角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．
22．（12分）如图，AB、CD交于点O，∠AOE＝4∠DOE，∠AOE的余角比∠DOE小10°（题中所说的角均是小于平角的角）．
（1）求∠AOE的度数；
（2）请写出∠AOC在图中的所有补角；
（3）从点O向直线AB的右侧引出一条射线OP，当∠COP＝∠AOE+∠DOP时，求∠BOP的度数．
23．（14分）已知，射线BC∥射线OA，∠C＝∠BAO＝100°，试回答下列问题：
（1）如图①，求证：OC∥AB；
（2）若点E、F在线段BC上，且满足∠EOB＝∠AOB，并且OF平分∠BOC，
Ⅰ）如图②，若∠AOB＝30°，则∠EOF的度数等于多少（直接写出答案即可）；
Ⅱ）若平行移动AB，当∠BOC＝6∠EOF时，求∠ABO．
相交线、平行线与平移 单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）如图所示，小明同学的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭乘公交车，他选择P→C路线，用数学知识解释其道理正确的是（ ）
A．两点确定一条直线 B．垂线段最短
C．两点之间线段最短 D．三角形两边之和大于第三边
解：某同学的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭公交车，他选择P→C路线，是因为垂直线段最短，
故选：B．
2．（4分）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠FOD＝90°，若∠BOD：∠BOE＝1：2，则∠AOF的度数为（ ）
A．70° B．75° C．60° D．54°
解：∵∠BOD：∠BOE＝1：2，OE平分∠BOC，
∴∠BOD：∠BOE：∠EOC＝1：2：2，
∴∠BOD＝36°，
∴∠AOC＝36°，
又∵∠COF＝∠DOF＝90°，
∴∠AOF＝90°﹣36°＝54°．
故选：D．
3．（4分）下列说法，正确的是（ ）
A．若ac＝bc，则a＝b B．两点之间的所有连线中，线段最短
C．相等的角是对顶角 D．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
解：A、若ac＝bc（c≠0），则a＝b，故此选项错误；
B、两点之间的所有连线中，线段最短，正确；
C、相等的角不一定是对顶角，故此选项错误；
D、经过一点有且只有一条直线与已知直线平行，应强调在经过直线外一点，故此选项错误．
故选：B．
4．（4分）如图所示，下列结论中不正确的是（ ）
A．∠1和∠2是同位角 B．∠2和∠3是同旁内角
C．∠1和∠4是同位角 D．∠2和∠4是内错角
解：A、∠1和∠2是同旁内角，故本选项错误，符合题意；
B、∠2和∠3是同旁内角，故本选项正确，不符合题意；
C、∠1和∠4是同位角，故本选项正确，不符合题意；
D、∠3和∠4是邻补角，故本选项正确，不符合题意；
故选：A．
5．（4分）将一副三角尺按如图的方式摆放，则∠α的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．105°
解：如图：
∵∠DEC＝∠ABE＝90°，
∴AB∥DE，
∴∠AGD＝∠D＝30°，
∴∠α＝∠AHG＝180°﹣∠A﹣∠AGD＝180°﹣45°﹣30°＝105°，
故选：D．
6．（4分）如图，∠1＝68°，直线a平移后得到直线b，则∠2﹣∠3的度数为（ ）
A．78° B．132° C．118° D．112°
解：延长直线，如图：
，
∵直线a平移后得到直线b，
∴a∥b，
∴∠5＝180°﹣∠1＝180°﹣68°＝112°，
∵∠2＝∠4+∠5，
∵∠3＝∠4，
∴∠2﹣∠3＝∠5＝112°，
故选：D．
7．（4分）下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC距离的是（ ）
A． B．
C． D．
解：线段AD的长表示点A到直线BC距离的是图D，
故选：D．
8．（4分）在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，则a与c的距离为（ ）
A．1cm B．3cm C．5cm或3cm D．1cm或3cm
解：当直线c在a、b之间时，
∵a、b、c是三条平行直线，
而a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，
∴a与c的距离＝4﹣1＝3（cm）；
当直线c不在a、b之间时，
∵a、b、c是三条平行直线，
而a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，
∴a与c的距离＝4+1＝5（cm），
综上所述，a与c的距离为5cm或3cm．
故选：C．
9．（4分）若直线l上一点P和直线l外一点Q的距离为8cm，则点Q到直线l的距离是（ ）
A．等于8cm B．小于或等于8cm
C．大于8cm D．以上三种都有可能
解：根据题意，点P到l的距离为P到直线l的垂线段的长度，其垂足是P到直线l上所有点中距离最小的点；
而不能明确PQ与l是否垂直，则点P到l的距离应小于等于PQ的长度，即不大于8cm．
故选：B．
10．（4分）给出下列判断：①两条不相交的直线叫做平行线；②不相等的两个角一定不是对顶角；③若两个角的一边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角相等；④如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线，故①错误；
不相等的两个角一定不是对顶角，故②正确；
若两个角的一边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角相等或互补，故③错误；
∵∠AOC和∠BOC是邻补角，
∴∠AOC+∠BOC＝180°，
∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠DOC＝∠AOC，∠EOC＝BOC，
∴∠DOE＝∠DOC+∠EOC＝×180°＝90°，
即∠DOE是直角，故④正确；
即正确的个数是2个，
故选：B．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．（5分）如图，∠1＝∠2＝40°，∠3＝50°，则∠4＝ 50° ．
解：∵∠ABC＝∠1，
∵∠1＝∠2＝40°，
∴∠2＝∠ABC＝40°，
∴a∥b，
∴∠3＝∠4＝50°，
故答案为：50°
12．（5分）下列四种说法：
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线段；
③相等的角是对顶角；
④在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交．
其中，错误的是 ①②③ （填序号）．
解：∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，∴①错误；
∵在同一平面内，两条不相交的线段可能在一条直线上，说两线段是平行线段不对，∴②错误；
∵相等的角不一定是对顶角，∴③错误；
∵在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交，正确，∴④正确；
故答案为：①②③．
13．（5分）如图所示，AB⊥l1，AC⊥l2，则点A到直线l1的距离是线段 AB 的长度．
解：∵AB⊥l1，
∴点A到直线l1的距离是线段AB的长度．
故答案为：AB．
14．（5分）已知直线a∥b，点M到直线a的距离是5cm，到直线b的距离是3cm，那么直线a和直线b之间的距离为 2cm或8cm ．
解：当M在b下方时，距离为5﹣3＝2cm；
当M在a、b之间时，距离为5+3＝8cm．
故答案为：2cm或8cm
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）如图，已知：点A、点B及直线l．
（1）请画出从点A到直线l的最短路线，并写出画图的依据．
（2）请在直线l上确定一点O，使点O到点A与点O到点B的距离之和最短，并写出
画图的依据．
解：（1）如图所示：点E为所求，根据垂线段最短；
（2）如图所示：根据两点之间线段最短．
16．（8分）在下列解题过程的空白处填上适当的内容（推理的理由或数学表达式）如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠4．
求证：EF∥GH
证明：∵∠1+∠2＝180°（已知），
∠AEG＝∠1（对顶角相等）
∴ ∠AEG+∠2＝180° ，
∴AB∥CD（ 同旁内角互补，两直线平行 ），
∴∠AEG＝∠ EGD （ 两直线平行，内错角相等 ）
∵∠3＝∠4（已知），
∴∠3+∠AEG＝∠4+∠ EGD （等式性质），
∴EF∥GH．
证明：
∵∠1+∠2＝180°（已知），
∠AEG＝∠1（对顶角相等）
∴∠AEG+∠2＝180°，
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠AEG＝∠EGD（两直线平行，内错角相等），
∵∠3＝∠4（已知），
∴∠3+∠AEG＝∠4+∠EGD（等式性质），
∴EF∥GH，
故答案为：∠AEG+∠2＝180°，同旁内角互补，两直线平行，EGD，两直线平行，内错角相等，EGD．
17．（8分）如图，点B、C、D在同一条直线上，CG⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为G、F，DF交AC于点E，CG是△ABC的角平分线，那么∠1与∠2相等吗？为什么？
解：∠1＝∠2，
理由是：
∵CG⊥AB，DF⊥AB，
∴∠CGB＝∠DFB＝90°，
∴CG∥DF，
∴∠1＝∠BCG，∠2＝∠ACG，
∵CG是△ABC的角平分线，
∴∠BCG＝∠ACG，
∴∠1＝∠2．
18．（8分）如图，直线AB，CD相交于O点，OM平分∠AOB．
（1）若∠1＝∠2，求∠NOD的度数；
（2）若∠BOC＝4∠1，求∠AOC与∠MOD的度数．
解：（1）∵OM平分∠AOB，
∴∠1+∠AOC＝90°，
∵∠1＝∠2，
∴∠2+∠AOC＝90°，
∴∠NOD＝180°﹣90°＝90°；
（2）∵∠BOC＝4∠1，
∴90°+∠1＝4∠1，
∴∠1＝30°，
∴∠AOC＝90°﹣30°＝60°，
∠MON＝180°﹣30°＝150°．
19．（10分）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC三个顶点的位置如图所示，现将△ABC平移，使点A移动到点A'，点B、C的对应点分别是点B'、C'．
（1）△ABC的面积是 ；
（2）画出平移后的△A'B'C'；
（3）若连接AA'、CC′，这两条线段的关系是 平行且相等 ．
解：（1）△ABC的面积是3×3﹣×1×2﹣×2×3﹣×1×3＝，
故答案为：；
（2）如图所示，△A'B'C'即为所求，
（3）若连接AA'、CC′，这两条线段的关系是平行且相等，
故答案为：平行且相等．
20．（10分）如图，直线AB与CD相交于O，OE⊥AB，OF⊥CD．
（1）①图中与∠AOF互余的角是 ∠BOD，∠AOC ；
②与∠COE互补的角是 ∠EOD，∠BOF ．
（把符合条件的角都写出来）
（2）如果∠AOC比∠EOF的小6°，求∠BOD的度数．
解：（1）①图中与∠AOF互余的角是∠BOD，∠AOC；
②与∠COE互补的角是∠EOD，∠BOF，
故答案为：∠BOD，∠AOC；∠EOD，∠BOF；
（2）∵OE⊥AB，OF⊥CD
∴∠EOC+∠AOC＝90°，∠AOF+∠AOC＝90°
∴∠EOC＝∠AOF
设∠AOC＝x°，则∠EOC＝∠AOF＝（90﹣x）°
依题意，列方程x＝
解得，x＝25
∴∠BOD＝∠AOC＝25°
（12分）三角板是学习数学的重要工具，将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图方式叠放在一起，当0°＜∠ACE＜90°且点E在直线AC的上方时，解决下列问题：（友情提示：∠A＝60°，∠D＝30°，∠B＝∠E＝45°）．
（1）①若∠DCE＝45°，则∠ACB的度数为 135° ；
②若∠ACB＝140°，则∠DCE的度数为 40° ；
（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．
（3）这两块三角板是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE的角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．
解：（1）①∵∠ACD＝90°，∠DCE＝45°，
∴∠ACE＝45°，
∴∠ACB＝90°+45°＝135°，
故答案为：135°；
②∠ACB＝140°，∠ACD＝∠ECB＝90°，
∴∠ACE＝140°﹣90°＝50°，
∴∠DCE＝∠DCA﹣∠ACE＝90°﹣50°＝40°；
故答案为：40°；
（2）∠ACB与∠DCE互补．理由：
∵∠ACD＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣∠DCE，
又∵∠BCE＝90°，
∴∠ACB＝90°+90°﹣∠DCE，
∴∠ACB+∠DCE＝90°+90°﹣∠DCE+∠DCE＝180°，
即∠ACB与∠DCE互补；
（3）存在一组边互相平行，
当∠ACE＝45°时，∠ACE＝∠E＝45°，此时AC∥BE；
当∠ACE＝30°时，∠ACB＝120°，此时∠A+∠ACB＝180°，故AD∥BC．
22．（12分）如图，AB、CD交于点O，∠AOE＝4∠DOE，∠AOE的余角比∠DOE小10°（题中所说的角均是小于平角的角）．
（1）求∠AOE的度数；
（2）请写出∠AOC在图中的所有补角；
（3）从点O向直线AB的右侧引出一条射线OP，当∠COP＝∠AOE+∠DOP时，求∠BOP的度数．
解：（1）设∠DOE＝x，则∠AOE＝4x，
∵∠AOE的余角比∠DOE小10°，
∴90°﹣4x＝x﹣10°，
∴x＝20°，
∴∠AOE＝80°；
（2）∠AOC在图中的所有补角是∠AOD和∠BOC；
（3）∵∠AOE＝80°，∠DOE＝20°，
∴∠AOD＝100°，
∴∠AOC＝80°，
如图，当OP在CD的上方时，
设∠AOP＝x，
∴∠DOP＝100°﹣x，
∵∠COP＝∠AOE+∠DOP，
∴80°+x＝80°+100°﹣x，
∴x＝50°，
∴∠AOP＝∠DOP＝50°，
∵∠BOD＝∠AOC＝80°，
∴∠BOP＝80°+50°＝130°；
当OP在CD的下方时，
设∠DOP＝x，
∴∠BOP＝80°﹣x，
∵∠COP＝∠AOE+∠DOP，
∴100°+x＝80°+80°﹣x，
∴x＝30°，
∴∠BOP＝50°，
综上所述，∠BOP的度数为130°或50°．
23．（14分）已知，射线BC∥射线OA，∠C＝∠BAO＝100°，试回答下列问题：
（1）如图①，求证：OC∥AB；
（2）若点E、F在线段BC上，且满足∠EOB＝∠AOB，并且OF平分∠BOC，
Ⅰ）如图②，若∠AOB＝30°，则∠EOF的度数等于多少（直接写出答案即可）；
Ⅱ）若平行移动AB，当∠BOC＝6∠EOF时，求∠ABO．
（1）证明：∵BC∥OA，
∴∠C+∠COA＝180°，∠BAO+∠ABC＝180°，
∵∠C＝∠BAO＝100°，
∴∠COA＝∠ABC＝80°，
∴∠COA+∠OAB＝180°，
∴OC∥AB．
（2）Ⅰ）∵∠AOB＝∠EOB＝30°，∠AOC＝50°，
∴∠COE＝80°﹣60°＝20°，∠COB＝80°﹣30°＝50°，
∵CF平分∠COB，
∴∠COF＝∠COB＝25°，
∴∠EOF＝25°﹣20°＝5°
Ⅱ）如图②中，设∠EOF＝x，则∠BOC＝6x，∠BOF＝3x，∠BOE＝∠AOB＝4x，
∵∠AOB+∠BOC+∠OCB＝180°，
∴4x+6x+100°＝180°，
∴x＝8°，
∴∠ABO＝∠BOC＝6x＝48°．
如图③中，设∠EOF＝x，则∠BOC＝6x，∠BOF＝3x，∠BOE＝∠AOB＝2x，
∵∠AOB+∠BOC+∠OCB＝180°，
∴2x+6x+100°＝180°，
∴x＝10°，
∴∠ABO＝∠BOC＝6x＝60°．
综上所述，满足条件的∠ABO为48°或60°．
