第1讲 考前必记的54个知识点
1．集合
(1)集合间关系的两个重要结论
①A?B包含A＝B和A?B两种情况，两者必居其一，若存在x∈B且x?A，说明A≠B，只能是A?B.
②集合相等的两层含义：若A?B且B?A，则A＝B；若A＝B，则A?B且B?A.
[提醒] 〈1〉任何一个集合是它本身的子集，即A?A.
〈2〉对于集合A，B，C，如果A?B且B?C，则有A?C.
〈3〉含有n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．
〈4〉集合中元素的三大特性：确定性、互异性、无序性．
(2)集合之间关系的判断方法
①A?B?A?B且A≠B，类比于a
②A?B?A?B或A＝B，类比于a≤b?a③A＝B?A?B且A?B，类比于a＝b?a≤b且a≥b.
2．常见关键词及其否定形式
关键词 等于 大于 小于 是 一定是 都是 至少有一个 至多有一个 存在
否定词 不等于 不大于 不小于 不是 不一定是 不都是 一个也没有 至少有两个 不存在
3.命题
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假性
原命题 逆命题 否命题 逆否命题
真 真 真 真
真 假 假 真
假 真 真 假
假 假 假 假
[提醒] 〈1〉两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．
〈2〉两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
〈3〉在判断一些命题的真假时，如果不容易直接判断，则可以判断其逆否命题的真假．
4．充分、必要条件
记p，q对应的集合分别为A，B，则有
①A?B，p是q的充分不必要条件；
②A?B，p是q的必要不充分条件；
③A＝B，p是q的充要条件；
④A?B且A?B，p是q的既不充分也不必要条件．
5．函数的定义域及相关的6个结论
(1)如果f(x)是整式函数，那么函数的定义域是R.
(2)如果f(x)是分式函数，那么函数的定义域是使分母不等于0的实数的集合．
(3)如果f(x)是偶次根式函数，那么函数的定义域是使被开方数大于或等于0的实数的集合．
(4)如果f(x)是对数函数，那么函数的定义域是使真数大于0的实数的集合．
(5)如果f(x)是由几个代数式构成的，那么函数的定义域是使各式子都有意义的实数的集合．
(6)如果f(x)是从实际问题中得出的函数，则要结合实际情况考虑函数的定义域．
6．函数的值域
求函数值域常用的7种方法
(1)配方法：二次函数及能通过换元法转化为二次函数的函数类型．
(2)判别式法：分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为x2A(y)＋xB(y)＋C(y)＝0的形式，再利用判别式加以判断．
(3)换元法：无理函数、三角函数(用三角代换)等，如求函数y＝2x－3＋的值域．
(4)数形结合法：函数和其几何意义相联系的函数类型，如求函数y＝的值域．
(5)不等式法：利用几个重要不等式及推论求最值，如a2＋b2≥2ab，a＋b≥2(a，b为正实数)．
(6)有界性法：一般用于三角函数类型，即利用sin x∈[－1,1]，cos x∈[－1,1]等．
(7)分离常数法：适用于解析式为分式形式的函数，如求y＝的值域．
7．指数函数与对数函数
解析式 y＝ax(a>0且a≠1) y＝logax(a>0且a≠1)
定义域 R (0，＋∞)
值域 (0，＋∞) R
图象
关系 指数函数―→对数函数
奇偶性 非奇非偶 非奇非偶
单调性 0时，在R上是增函数 01时，在(0，＋∞)上是增函数
[提醒] 直线x＝1与所给指数函数图象的交点的纵坐标即底数，直线y＝1与所给对数函数图象的交点的横坐标即底数．
8．函数零点的判断方法
(1)利用零点存在定理判断法：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0.这个c也就是方程f(x)＝0的根．口诀：函数零点方程根，数形本是同根生，函数零点端点判，图象连续不能忘．
(2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．
(3)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
9．导数
(1)基本初等函数的导数公式
①(sin x)′＝cos x，(cos x)′＝－sin x.
②(ln x)′＝(x>0)，(logax)′＝(x>0，a>0，且a≠1)．
③(ex)′＝ex，(ax)′＝axln a(a>0，且a≠1)．
(2)导数的四则运算法则
①(u±v)′＝u′±v′?[f1(x)＋f2(x)＋…＋fn(x)]′＝f′1(x)＋f′2(x)＋…＋f′n(x)．
②(uv)′＝vu′＋v′u?(cv)′＝c′v＋cv′＝cv′(c为常数)．
③′＝(v≠0)．
[提醒] 〈1〉若两个函数可导，则它们的和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．
〈2〉利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如(xn)′＝nxn－1中n∈Q*，(cos x)′＝－sin x.
〈3〉注意公式不要用混，如(ax)′＝axln a，而不是(ax)′＝xax－1.
〈4〉导数的加法与减法法则，可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的情形，即[u(x)±v(x)±…±w(x)]′＝u′(x)±v′(x)±…±w′(x)．
〈5〉一般情况下，[f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x)，[f(x)·g(x)]′≠f′(x)＋g′(x)，′≠，′≠f′(x)－g′(x)．
10．极值与最值
(1)判断极大、极小值的方法
当函数f(x)在点x0处连续时
①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则f(x0)是极大值．
②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则f(x0)是极小值．
[提醒] 〈1〉可导函数极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点，如函数f(x)＝x3，x＝0时就不是极值点，但f′(0)＝0.
〈2〉极值点不是一个点，而是一个数x0，当x＝x0时，函数取得极值．在x0处有f′(x0)＝0是函数f(x)在x0处取得极值的必要不充分条件．
〈3〉函数f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点函数值中的最大值，函数f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点函数值中的最小值．
(2)极值与最值的区别与联系
①区别：
函数的极值 函数的最值
函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 使函数取得最大值，最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点
函数的极值是通过比较极值点附近的函数值得出的 函数的最值是通过比较整个定义域内的函数值得出的
函数的极值可能不止一个，也可能一个没有 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个
函数的极大值不一定大于函数的极小值 函数的最大值一定大于函数的最小值
②联系：(ⅰ)当连续函数在开区间内的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点；
(ⅱ)极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值．
11．定积分
(1)由定积分的定义可得定积分f(x)dx是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量没有关系，即f(x)dx＝f(t)dt＝f(u)du.
(2)定积分满足性质：①kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)；②[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx；③f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a[提醒] 〈1〉xmdx＝xm＋1(m∈Q*)；
〈2〉cos xdx＝sin x；
〈3〉sin xdx＝(－cos x).
12．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商的关系：tan α＝.
[提醒] 〈1〉公式常见变形：sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，sin α＝±，cos α＝±，sin α＝cos αtan α，cos α＝等．
〈2〉对“同角”的理解：只要是同一个角，基本关系式就成立，不拘泥于角的形式，比如sin2＋cos2＝1，tan 3α＝等都成立，但sin2＋cos2＝1就不一定成立．
13．三角函数的诱导公式
公式一：
sin(2kπ＋α)＝sin α，cos(2kπ＋α)＝cos α，tan(2kπ＋α)＝tan α，k∈Z.
公式二：
sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α.
公式三：
sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α.
公式四：
sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，tan(π－α)
＝－tan α.
公式五：
sin＝cos α，cos＝sin α.
公式六：
sin＝cos α，cos＝－sin α.
推广公式：
sin＝－cos α，cos＝sin α，
sin＝－cos α，cos＝－sin α.
[提醒] 奇变偶不变，符号看象限
“奇、偶”指的是的倍数是奇数，还是偶数，“变与不变”指的是三角函数名称的变化，“变”是指正弦变余弦(或余弦变正弦)．“符号看象限”的含义是：把角α看作锐角，看n·±α(n∈Z)是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号．
14．三角函数的图象变换
(1)y＝sin x的图象向左平移φ(φ>0)个单位得到y＝sin(x＋φ)的图象(当φ<0时，则向右平移|φ|个单位)．
(2)y＝sin x的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，得到y＝sin ωx的图象．
(3)y＝sin x的图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y＝Asin x的图象．
[提醒] 〈1〉由y＝sin ωx的图象经过平移变换得到y＝sin(ωx＋φ)的图象，平移的单位不是|φ|，而是.
〈2〉函数图象平移、伸缩变换的实质是点的变化，所以可以借助三角函数图象上特征点坐标的变化寻找平移、伸缩变换的规律，一般借助于两个函数图象上的最高点或最低点的坐标来分析．
15．三角函数的对称性
(1)曲线y＝sin x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z，对称轴方程为x＝kπ＋，k∈Z.
(2)曲线y＝cos x的对称中心为，k∈Z，对称轴方程为x＝kπ，k∈Z.
(3)曲线y＝tan x的对称中心为，k∈Z，无对称轴．
(4)求曲线y＝Asin(ωx＋φ)(y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ))的对称中心(或对称轴)，只需令ωx＋φ等于对应的值，求出x即可．
16．三角恒等变换
(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.
cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β.
tan(α±β)＝
sin(α＋β)sin(α－β)＝sin2α－sin2β(平方正弦公式)．
cos(α＋β)cos(α－β)＝cos2α－sin2β.
(2)二倍角公式
sin 2α＝2sin αcos α.
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
tan 2α＝.
17．正、余弦定理及其推论
(1)正弦定理
＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)?a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C?a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
(2)余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝c2＋a2－2cacos B，c2＝a2＋b2－2abcos C.
(3)三角形内角和定理
在△ABC中，有A＋B＋C＝π?C＝π－(A＋B)?＝－?2C＝2π－2(A＋B)．
(4)三角形面积公式
S△ABC＝bcsin A＝acsin B＝absin C(A，B，C是△ABC的三边a，b，c所对的角)
18．平面向量
(1)平面向量共线的坐标表示的两种形式
①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?x1y2＝x2y1，此形式对任意向量a，b(b≠0)都适用．
②若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x2y2≠0，则a∥b?＝.
需要注意的是可以利用＝来判定a∥b，但是反过来不一定成立．
(2)有关数量积应用的常见结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
①a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
②|a|＝＝.
③cos〈a，b〉＝＝.
19．等差数列
(1)等差数列的判断方法
①定义法：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)?{an}是等差数列．
②通项公式法：an＝a1＋(n－1)d(其中a1，d为常数，n∈N*)?{an}为等差数列．
③等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}是等差数列．
④前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)?{an}是等差数列．
(2)等差数列前n项和的最大值、最小值的求法
①通项公式法：当a1>0，d<0时，Sn有最大值，可由an≥0且an＋1≤0求得n，从而求出Sn的最大值；当a1<0，d>0时，Sn有最小值，可由an≤0且an＋1≥0求得n，从而求出Sn的最小值．
②二次函数法：用求二次函数最值的方法求Sn的最值．
值得注意的是n∈N*，因此等差数列前n项和取得最值时n的值可能不是一个值，也有可能是两个值．
20．等比数列的判断方法
(1)定义法：＝q(q为常数且q≠0，n∈N*)或＝q(q为常数且q≠0，n≥2)?{an}为等比数列．
(2)等比中项法：a＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)?{an}为等比数列．
(3)通项公式法：an＝a1qn－1(其中a1，q为非零常数，n∈N*)?{an}为等比数列．
[提醒] 判断一个数列是否是等比数列，还有一种直观的判断方法，即前n项和公式法：若Sn表示数列{an}的前n项和，且Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0，q≠1)，则数列{an}是公比为q的等比数列．但此方法不能用于证明一个数列是等比数列．
21．数列中项的最值的求法
(1)根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数f(n)＝an，利用求解函数最值的方法(多利用函数的单调性)进行求解，但要注意自变量的取值必须是正整数的限制．
(2)利用数列的单调性求解，由不等式an＋1≥an(或an＋1≤an)求解出n的取值范围，从而确定数列单调性的变化，进而确定相应的最值．
(3)转化为关于n的不等式组求解：若求数列{an}的最大项，则可解不等式组若求数列{an}的最小项，则可解不等式组求出n的取值范围之后再确定取得最值的项．
22．不等式的解法
(1)分式不等式的解法
分式不等式>0(或<0)的求解可应用同解原理，转化为整式不等式求解．
>0(<0)?f(x)·g(x)>0(<0)；≥0(≤0)?
[提醒] 对于解分式不等式，将分式不等式转化成整式不等式时，如果不等式是含有等号的不等式形式，则很容易忘掉分母不为0的情形，从而导致出错；另一种可能出现错误的情形是在两边进行平方时，容易扩大或缩小不等式的范围．
(2)指数、对数不等式的解法
①解指数、对数不等式的依据是指数、对数函数的概念和性质，因而同底法是解指数、对数不等式的基本方法．当然最终的目的是将它们转化为代数不等式，其主要类型和解法有：
(ⅰ)af(x)>aφ(x)?f(x)>φ(x)(a>1)或f(x)<φ(x)(0(ⅱ)logaf(x)>logaφ(x)?f(x)>φ(x)>0(a>1)或0②在解对数不等式时，要注意变形的等价性；也要注意底数大于零且不等于1，真数大于零的制约因素．
(3)一元二次不等式的恒成立问题
①在实数集R上，ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立，则a>0(a<0)，且Δ<0，反之也成立；ax2＋bx＋c≥0(≤0)恒成立，则a>0(a<0)，且Δ≤0，反之也成立．
②若一元二次不等式在某一区间上恒成立，则可结合相应二次函数的图象，判断函数图象在这个区间上与对称轴的相对位置，列出不等式恒成立时满足的条件即可．
③一般地，不等式恒成立的问题通常转化为函数的最值问题来解决．如f(x)≤a恒成立?f(x)max≤a，f(x)≥a恒成立?f(x)min≥a.
23．简单的线性规划
(1)画二元一次不等式组表示的平面区域的基本要点
①画线——画出不等式对应的方程所表示的直线(如果原不等式中含有等号，则画成实线，否则，画成虚线)．
②定域——将某个区域位置明显的特殊点的坐标代入不等式，根据“同侧同号、异侧异号”的规律确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧．
③求“交”——如果平面区域是由不等式组所确定的，则在确定了各个不等式所表示的区域后，再求这些区域的公共部分，这个公共部分就是不等式组所表示的平面区域．这种方法俗称“直线定界，特殊点定域”．
(2)线性目标函数在约束条件下的最值问题
①作图——画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l.
②平移——将直线l平移，确定最优解所对应的点的位置．
③求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．
[提醒] 最优解有时是唯一的，有时不是唯一的，甚至是无穷多的．
(3)求解线性目标函数的最优整点解
当线性目标函数的最优整点解不在可行域的顶点或边界处取得，此时不能直接代入顶点坐标求最值，可用下面的方法求解：
①平移直线法：先在可行域内打网格，再描整点，平移目标函数所表示的直线，最先经过或最后经过的整点坐标就是最优整点解．
②检验优值法：当可行域内整点个数较少时，也可将整点坐标逐一代入目标函数求值，经过比较得出最优整点解．
③调整优值法：先求非整数点最优解及最优值，再借助不定方程知识调整最优值，最后筛选出最优整点解．
24．基本不等式
(1)基本不等式的变形
①根式形式：a＋b≥2(a>0，b>0)，当且仅当a＝b时，等号成立．
②整式形式：ab≤2(a，b∈R)，a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，(a＋b)2≥4ab(a，b∈R)，2≤(a，b∈R)，以上不等式当且仅当a＝b时，等号成立．
③分式形式：＋≥2(ab>0)，当且仅当a＝b时，等号成立．
④倒数形式：a＋≥2(a>0)，当且仅当a＝1时，等号成立；a＋≤－2(a<0)，当且仅当a＝－1时，等号成立．
(2)利用基本不等式求最值
①对于正数x，y，若积xy是定值p，则当x＝y时，和x＋y有最小值2.
②对于正数x，y，若和x＋y是定值s，则当x＝y时，积xy有最大值s2.
③已知a，b，x，y为正实数，若ax＋by＝1，则有＋＝(ax＋by)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2.
④已知a，b，x，y为正实数，若＋＝1，则有x＋y＝(x＋y)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2.
[提醒] 利用基本不等式求最大值、最小值时应注意“一正、二定、三相等”，即：①所求式中的相关项必须是正数；②求积xy的最大值时，要看和x＋y是否为定值，求和x＋y的最小值时，要看积xy是否为定值，求解时，常用到“拆项”“凑项”等解题技巧；③当且仅当各项相等时，才能取等号．以上三点应特别注意，缺一不可．
25．空间几何体的表面积和体积
(1)直棱柱的侧面积：S侧＝cl(c是底面周长，l为侧棱长)．
正棱锥的侧面积：S侧＝ch′(c是底面周长，h′为斜高)．
正棱台的侧面积：S侧＝(c＋c′)h′(c，c′分别是上、下底面周长，h′为斜高)．
圆柱的侧面积：S侧＝cl＝2πrl(c是底面周长，l为母线长)．
圆锥的侧面积：S侧＝cl＝πrl(c是底面周长，l为母线长)．
圆台的侧面积：S侧＝(c＋c′)l＝π(r＋r′)l(c，c′分别是上、下底面周长，l为母线长)．
球的表面积：S＝4πR2.
(2)柱体的体积：V柱＝Sh(S为底面积，h是柱体的高)．
锥体的体积：V锥＝Sh(S为底面积，h是锥体的高)．
球的体积：V球＝πR3＝S表R.
26．球的组合体
(1)球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长．
(2)球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长．
(3)球与正四面体的组合体：棱长为a的正四面体的内切球的半径为a，外接球的半径为a.
27．证明空间位置关系的方法
(1)线面平行：?a∥α，?a∥α，
?a∥α.
(2)线线平行：?a∥b，?a∥b，
?a∥b，?c∥b.
(3)面面平行：?α∥β，?α∥β，
?α∥γ.
(4)线线垂直：?a⊥b.
(5)线面垂直：?l⊥α，?a⊥β，
?a⊥β，?b⊥α.
(6)面面垂直：?α⊥β，?α⊥β.
[提醒] 利用定理证明线面关系时要注意结合几何体的结构特征，尤其要注意灵活利用正棱柱、正棱锥等特殊几何体的性质，进行空间线面关系的相互转化．
28．空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
(1)a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3；
(2)a∥b?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0)；
(3)a⊥b?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(b≠0)；
(4)|a|＝＝；
(5)cos〈a，b〉＝＝(a≠0，b≠0)；
(6)点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离d＝||＝.
29．空间向量的应用
(1)夹角公式：设非零向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则cos〈a，b〉＝.
推论：(a1b1＋a2b2＋a3b3)2≤(a＋a＋a)(b＋b＋b)．
(2)异面直线所成的角：cos θ＝|cos〈a，b〉|＝＝，其中θ(0°≤θ≤90°)为异面直线a，b所成的角，a，b分别表示异面直线a，b的方向向量．
(3)直线AB与平面α所成的角θ满足：sin θ＝|cos〈，m〉|＝(m是平面α的法向量)．
(4)二面角α－l－β的平面角θ满足：|cos θ|＝|cos〈m，n〉|＝(m，n分别是平面α，β的法向量)．
[提醒] 在处理实际问题时，要根据具体图形确定二面角的平面角是锐角还是钝角，以确定角的大小．
(5)点B到平面α的距离：d＝(n为平面α的法向量，A∈α，AB是平面α的一条斜线段)．
30．直线
(1)直线方程的5种形式
名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围
点斜式 y－y0＝k(x－x0) (x0，y0)是直线上一定点，k是斜率 不垂直于x轴
斜截式 y＝kx＋b k是斜率，b是直线在y轴上的截距 不垂直于x轴
两点式 ＝ (x1，y1)，(x2，y2)是直线上两定点 不垂直于x轴和y轴
截距式 ＋＝1 a是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距 不垂直于x轴和y轴，且不过原点
一般式 Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零) A，B都不为零时，斜率为－，在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为－ 任何位置的直线
(2)两条直线的位置关系
①已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，A2，B2全不为0)，则l1，l2相交?≠，l1∥l2?＝≠，l1，l2重合?＝＝.
当A1，B1，A2，B2中有0时，应单独讨论．
②直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0，且A＋B≠0)垂直?A1A2＋B1B2＝0.
[提醒] 讨论两条直线的位置关系时应注意斜率不存在或斜率为0的情况，当两条直线中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，它们也垂直．
31．圆
(1)圆的四种方程
①圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．
②圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．
③圆的参数方程：(θ为参数)．
④圆的直径式方程：(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0(圆的直径的端点是A(x1，y1)，B(x2，y2))．
(2)直线与圆的位置关系
直线l：Ax＋By＋C＝0和圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)有相交、相离、相切三种情况．可从代数和几何两个方面来判断：
①代数方法(判断直线与圆的方程联立所得方程组的解的情况)；Δ>0?相交；Δ<0?相离；Δ＝0?相切；
②几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d，则dr?相离；d＝r?相切．
(3)圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)，则其位置关系的判断方法如下表：
方法 位置 关系 几何法 代数法 公切线的条数
圆心距d与r1，r2的关系 联立两圆方程组成方程组的解的情况
外离 d>r1＋r2 无解 4
外切 d＝r1＋r2 一组实数解 3
相交 |r1－r2|内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解 1
内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解 0
32.椭圆
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
图形
几何性质 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a
对称性 对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点
焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)； B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)； B1(－b,0)，B2(b,0)
轴 线段A1A2，B1B2分别是椭圆的长轴和短轴，长轴长为2a，短轴长为2b
焦距 |F1F2|＝2c
离心率 焦距与长轴长的比值：e∈(0,1)
a，b，c的关系 b2＝a2－c2
[提醒] 椭圆的离心率反映了焦点远离中心的程度，e的大小决定了椭圆的形状，反映了椭圆的圆扁程度．因为a2＝b2＋c2，所以＝，因此，当e越趋近于1时，越趋近于0，椭圆越扁；当e越趋近于0时，越趋近于1，椭圆越接近于圆．所以e越大椭圆越扁，e越小椭圆越圆．当且仅当a＝b，c＝0时，椭圆变为圆，方程为x2＋y2＝a2.
33．双曲线
(1)双曲线的标准方程及几何性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
几何性质 范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R
对称性 对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点
焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
轴 线段A1A2，B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为2a，虚轴长为2b
焦距 |F1F2|＝2c
离心率 焦距与实轴长的比值：e∈(1，＋∞)
渐近线 y＝±x y＝±x
a，b，c的关系 b2＝c2－a2
[提醒] 〈1〉离心率e的取值范围(1，＋∞)．当e越接近于1时，双曲线开口越小；当e越接近于＋∞时，双曲线开口越大．
〈2〉满足||PF1|－|PF2||＝2a的点P的轨迹不一定是双曲线，当2a＝0时，点P的轨迹是线段F1F2的中垂线；当0<2a<|F1F2|时，点P的轨迹是双曲线；当2a＝|F1F2|时，点P的轨迹是两条射线；当2a>|F1F2|时，点P的轨迹不存在．
(2)双曲线的方程与渐近线方程的关系
①若双曲线的方程为－＝1，则渐近线的方程为－＝0，即y＝±x.
②若渐近线的方程为y＝±x，即±＝0，则双曲线的方程可设为－＝λ.(λ≠0)．
③若所求双曲线与双曲线－＝1有公共渐近线，其方程可设为－＝λ(λ>0，焦点在x轴上；λ<0，焦点在y轴上)．
④焦点到渐近线的距离总是b.
34．抛物线
(1)抛物线的标准方程及几何性质
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
几何性质 对称轴 x轴 y轴
顶点 O(0,0)
焦点 F F F F
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
离心率 e＝1
(2)抛物线焦点弦的常用结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α为直线AB的倾斜角，则
①焦半径|AF|＝x1＋＝，|BF|＝x2＋＝.
②x1x2＝，y1y2＝－p2.
③弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝.
④＋＝.
⑤以弦AB为直径的圆与准线相切．
⑥S△OAB＝(O为抛物线的顶点)．
35．直线与圆锥曲线的位置关系
(1)弦长的求解方法
设直线与圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若直线AB的斜率存在(设为k)，则|AB|＝|x1－x2|；若k≠0，则|AB|＝|y1－y2|，其中|x1－x2|＝，|y1－y2|＝.
当直线AB的斜率不存在时，可直接求出直线与圆锥曲线的交点坐标，利用两点间的距离公式求弦长．
(2)圆锥曲线中的最值问题
①利用圆锥曲线的定义进行转化，一般在三点共线时取得最值．
②求圆锥曲线上的点到已知直线的距离的最值，则当已知直线的平行线与圆锥曲线相切时，两平行线间的距离即所求．
③利用基本不等式求最值．
36．频率与概率的区别与联系
(1)区别
①频率具有随机性，在不同的试验中，同一事件发生的频率可能不同；
②概率是频率的稳定值，是一个确定的常数，不管进行多少次试验，同一事件发生的概率是不变的．
(2)联系
①频率和概率都是用来刻画随机事件发生的可能性大小的量；
②概率可看作频率在理论上的期望值，随试验次数的增加，频率可近似地作为这个事件的概率．
37．事件的关系与运算
(1)包含关系：如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A，记作B?A(或A?B)．
(2)相等事件：如果B?A且A?B，那么称事件A与事件B相等，记作A＝B.
(3)并(和)事件：若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)，记作A∪B(或A＋B)．
(4)交(积)事件：若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)，记作A∩B(或AB)．
(5)互斥事件：若A∩B为不可能事件(即A∩B＝?)，那么称事件A与事件B互斥，其含义是事件A与事件B在任何一次试验中都不会同时发生．
(6)对立事件：若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，其含义是事件A与事件B在任何一次试验中有且只有一个发生．
[提醒] 互斥事件与对立事件都是指两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生以外，还要求二者必须有一个发生．因此，对立事件一定是互斥事件，而互斥事件未必是对立事件．
38．概率的几个基本性质
(1)任何事件A的概率都在0～1之间，即0≤P(A)≤1.
(2)若A?B，则P(A)≤P(B)．
(3)必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0.
(4)当事件A与事件B互斥时，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．注意没有事件A与事件B互斥这一条件时，这个公式不成立．
(5)若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＋P(B)＝1.
[提醒] 当一事件的概率不易直接求，但其对立事件的概率易求时，可运用(5)，即用间接法求概率．
39．古典概型的概率公式
如果随机事件A包含的基本事件数为m，总的基本事件数为n，则
P(A)＝＝.
[提醒] 求解古典概型问题的步骤
〈1〉判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件A.
〈2〉分别计算总的基本事件的个数n和所求的事件A所包含的基本事件的个数m.
〈3〉利用古典概型的概率公式P(A)＝，求出事件A的概率．
40．几何概型的概率公式
在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：
P(A)＝.
[提醒] 在几何概型中，“等可能”一词应理解为对应于每个试验结果的点落入某区域内的可能性大小仅与该区域的几何度量成正比，而与该区域的位置与形状无关．
41．几何概型与古典概型的差异
名称 古典概型 几何概型
相同点 基本事件发生的可能性相等
不同点 ①基本事件有有限个；
②P(A)＝0?A为不可能事件；
③P(B)＝1?B为必然事件 ①基本事件有无限个；
②P(A)＝0?A为不可能事件；
③P(B)＝1?B为必然事件
42.均值的相关结论
(1)E(k)＝k(k为常数)．
(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(3)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．
(4)若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)．
(5)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p.
(6)若X服从二项公布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np.
[提醒] E(X)是一个常数，由X的分布列唯一确定，它描述X取值的平均状态作为随机变量X是可变的，可取不同的值．
43．方差的相关性质结论
(1)D(k)＝0(k为常数)．
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．
(3)D(X)＝E(X2)－[E(X)]2.
(4)若X1，X2，…，Xn两两独立，则D(X1＋X2＋…＋Xn)＝D(X1)＋D(X2)＋…＋D(Xn)．
[提醒] 〈1〉随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动，焦中与离散的程度，其中标准差与随机变量本身有相同的单位．
〈2〉方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负的．
44．二项分布与正态分布
(1)条件概率的计算公式：当P(B)>0时，在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率P(A|B)＝；类似地，当P(A)>0时，在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率P(B|A)＝.
(2)二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(ξ＝k)＝Cpk(1－p)n－k，其中k＝0,1，…，n.
(3)①若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(a0)．
②正态分布密度函数的性质：函数图象关于直线x＝μ对称；σ(σ>0)的大小决定函数图象的“胖”“瘦”；P(μ－σ③在实际问题中进行概率、百分比计算时，关键是把正态分布的两个重要参数μ，σ求出，然后确定三个区间(范围)：(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)与已知概率值进行联系求解．
45．排列数、组合数公式及其相关性质
(1)排列数
〈1〉公式
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝(m≤n，m，n∈N*)，A＝n！＝n(n－1)(n－2)…2·1(n∈N*)，
〈2〉A＝主要有两个作用：
①当m，n较大时，可使用计算器快速算出结果；
②对含有字母的排列数的式子进行变形时常使用此公式．
(2)组合数
〈1〉公式
C＝＝＝
(m≤n，n，m∈N*)．
〈2〉C＝主要有两个作用：
①当m，n较大时，利用此公式计算组合数较为简便；
②对含有字母的组合数的式子进行变形或证明时，常用此公式．
〈3〉组合数的性质
C＝C(m≤n，n，m∈N*)，C＝C＋C
(m≤n，n，m∈N*)，
C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n，
C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
46．求解排列组合问题常用的解题方法
(1)元素相邻的排列问题——“捆绑”法．
(2)元素相间的排列问题——“插空”法．
(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序”法，即先把这几个有顺序限制的元素及其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数．
(4)带有“含”“不含”“至多”“至少”的组合(排列)问题——间接法，即先不考虑限制条件求出组合(排列)数，再排除不符合要求的组合(排列)数．
47．二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)，这个公式叫作二项式定理，右边的多项式叫作(a＋b)n的二项展开式，它一共有n＋1项，其中各项的系数C(k＝0,1，…，n)叫作二项式系数，式中的Can－kbk叫作二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即通项为展开式的第k＋1项：Tk＋1＝Can－kbk(其中0≤k≤n，k∈N，n∈N*)．
[提醒] 〈1〉(a＋b)n的二项展开式的第k＋1项是Can－kbk，(b＋a)n的二项展开式的第k＋1项是Cbn－kak.
〈2〉二项式系数与项的系数是两个完全不同的概念，二项式系数与a，b的值无关，项的系数不仅与项数有关，也与a，b的值有关．
48．三种抽样法
类别 共同点 各自特点 联系 适用范围
简单随 机抽样 ①抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等； ②每次抽出个体后不再将它放回，即不放回抽样 从总体中逐个抽取 最基本的抽样方法 总体中的个体较少
系统抽样 将总体分成几部分，按预先确定的规则在各部分中抽取 在第一部分抽样时采用简单随机抽样 总体中的个体较多
分层抽样 将总体分成几层，分层按比例进行抽取 分层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样 总体由差异明显的几部分组成
[提醒] 〈1〉用系统抽样法抽样时，如果总体容量N能被样本容量n整除，则抽样间隔为k＝；如果总体容量N不能被样本容量n整除，先用简单随机抽样剔除多余个体，抽样间隔k＝.
〈2〉用分层抽样法抽样时，各层抽样标准要一致，互不重叠；各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，即.
49．变量间的相关关系
线性相关系数r是从数值上来判断变量间的线性相关程度，若|r|的值越接近于1，说明变量之间的线性相关程度越高；|r|的值越接近于0，说明变量之间的线性相关程度越低．当两个变量的关系可用一次函数表示时，r＝±1，若斜率为正，r＝1，否则r＝－1.r为正时表示正相关，r为负时表示负相关．
50．线性回归方程的求解步骤
(1)利用散点图或进行相关性检验判定两个变量具有线性相关关系．
(2)列表求出，，，iyi.
(3)利用相应公式计算，.
(4)写出线性回归方程．
[提醒] 回归直线一定经过样本点的中心(，)，据此性质可以解决有关的计算问题、判断结论的正确性．
51．独立性检验的基本方法
一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表如表：
y1 y2 总计
x1 a b a＋b
x2 c d c＋d
总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
根据观测数据计算由公式K2＝所给出的检验随机变量K2的观测值k，并且k的值越大，说明“X与Y有关系”成立的可能性越大，可以利用数据来确定“X和Y有关系”的可信程度．
52．算法的三种基本逻辑结构
顺序结构 条件结构 循环结构
定义 由若干个依次执行的步骤组成 算法的流程根据条件是否成立会有不同的流向，条件结构就是处理这种过程的结构 从算法某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤，反复执行的步骤称为循环体
程序框图
[提醒] 一般地，循环结构中都有一个计算变量和累加(乘)变量；计数变量用于记录循环次数，同时它的取值还用于判断循环是否终止；累加(乘)变量用于表示每一步的计算结果．计数变量和累加(乘)变量一般同步执行，累加(乘)一次，计数一次．
53．复数的四则运算法则
(1)(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.
(2)(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.
(3)(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)．
[提醒] 几个结论：〈1〉(1±i)2＝±2i.
〈2〉＝i，＝－i.
〈3〉i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.
〈4〉ω＝－±i，且ω0＝1，ω2＝，ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0.
54．合情推理的思维过程
(1)归纳推理的思维过程
―→—
(2)类比推理的思维过程
―→—
第2讲 考前必讲的10大陷阱
陷阱1 混淆概念致误
【典例1】 若z＝sin θ－＋i是纯虚数，则tan的值为( )
A．－7 B．－
C．7 D．－7或－
[易错分析] 本题易混淆复数的有关概念，忽视虚部不为零的限制条件，导致所求tan的值为多解，从而错选D而导致错误．
[正确解析] 由纯虚数的概念，可知
由①，得sin θ＝，故cos θ＝±＝±＝±，而由②，可得cos θ≠，故cos θ＝－，所以tan θ＝＝－.
而tan＝＝＝－7.故选A.
[答案] A
[跳出陷阱] 在解答概念类试题时，一定要仔细辨析试题中待求的问题，在准确用好概念的前提下再对试题进行解答，这样才能避免概念性错误．如本题，要搞清楚虚数，纯虚数，实数与复数的概念．
陷阱2 错求目标失分
【典例2】 设向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝，a·(a－b)＝0，则|2a＋b|等于( )
A．12 B．2
C．4 D．4
[易错分析] 在本题求解向量模的运算过程中易忘记开平方，误把向量模的平方当成所求结论而错选结果．[正确解析] 法一：由a·(a－b)＝0，可得a·b＝a2＝1.
由|a－b|＝，可得(a－b)2＝3，即a2－2a·b＋b2＝3，解得b2＝4.
故(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝12，故|2a＋b|＝2.故选B.
法二：由a·(a－b)＝0，可知a⊥(a－b)．
而2a＋b＝3a－(a－b)．
所以(2a＋b)2＝[3a－(a－b)2]＝(3a)2＋(a－b)2－2×3a·(a－b)＝9a2＋(a－b)2＝9×12＋()2＝12，
故|2a＋b|＝2，故选B.
[答案] B
[跳出陷阱] 求解向量模的问题，一般是先求该向量的自身的数量积，即向量模的平方，易出现的问题就是最后忘记开方导致失误．求解此类问题一定要注意审题，明确解题目标，求出结果之后再对照所求验证一遍，就可以避免此类失误．
陷阱3 错用结论失分
【典例3】 函数f(x)的图象由函数g(x)＝4sin xcos x的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)而得到，则f等于( )
A. B.
C. D.
[易错分析] 该题易出现的问题主要有两个方面：一是不能准确确定函数解析式的变换与图象左右平移方向之间的关系；二是记错函数图象上点的横坐标的变化规律与函数解析式的变换的关系．
[正确解析] 函数g(x)＝4sin xcos x＝2sin 2x的图象向左平移个单位得到函数y＝2sin＝2sin的图象，该函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)所得图象对应的函数，即f(x)＝2sin＝2sin.
所以f＝2sin＝2
＝2＝.故选D.
[答案] D
[跳出陷阱] 三角函数图象的平移与伸缩变换问题，关键是把握变换前后两个函数解析式之间的关系，熟记相关的规律．如函数y＝f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位，得到函数y＝f(x＋m)的图象；若向右平移m(m>0)个单位，得到函数y＝f(x－m)的图象．若函数y＝f(x)的图象上点的横坐标变为原来的ω倍，则得到函数y＝f的图象．
陷阱4 遗漏条件致误
【典例4】 若a，b∈{－1,0,1,2}，则函数f(x)＝ax2＋2x＋b有零点的概率为( )
A. B.
C. D.
[易错分析] 该题易出现的问题是求解基本事件的个数时，不按照一定的顺序列举导致漏、重现象．
[正确解析] 法一：因为a，b∈{－1,0,1,2}，所以不同的取法为：
(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，共16种．
当a＝0时，f(x)＝2x＋b，无论b取{－1,0,1,2}中何值，原函数必有零点，所以有4种取法；
当a≠0时，函数f(x)＝ax2＋2x＋b为二次函数，若有零点须使Δ≥0，即4－4ab≥0，即ab≤1，所以a，b取值组成的数对分别为：(－1,0)，(1,0)，(2,0)，(－1,1)，(－1，－1)，(1,1)，(1，－1)，(－1,2)，(2，－1)，共9种，
综上，所求的概率为＝，故选A.
法二：(排除法)：由法一可知，总的方法种数为16，
其中原函数若无零点，则有a≠0且Δ<0即ab>1，
所以此时a，b取值组成的数对分别为(1,2)，(2,1)，(2,2)，共3种，所以所求的概率为1－＝，故选A.
[答案] A
[跳出陷阱] 利用列举法求基本事件时，一是注意用不同的字母或数字符号表示不同的元素，这样便于区分；二是要注意按照一定的顺序，如该题中a，b各有4个数可以取，写出对应的基本事件时，按照从左到右或从右到左的顺序进行列举，一一写出基本事件，否则就容易产生遗漏或重复的现象．
陷阱5 画图不准致误
【典例5】 已知定义在R上的函数f(x)满足：
①f(x)＋f(2－x)＝0；
②f(x－2)＝f(－x)；
③在[－1,1]上表达式为f(x)＝
则函数f(x)与函数g(x)＝的图象在区间[－3,3]上的交点个数为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
[易错分析] 该题易出现的问题是不能准确作出函数图象导致无法判断两个函数图象交点的个数．
[正确解析] 由①f(x)＋f(2－x)＝0可得f(1－x)＋f(1＋x)＝0，即f(x)的图象关于(1,0)对称；
由②f(x－2)＝f(－x)可得f(x－1)＝f(－x－1)，
即f(x)的图象关于直线x＝－1对称．
如图，先作出函数y＝f(x)在[－1,1]上的图象，然后作出其关于直线x＝－1对称的图象，即得函数在[－3，－1]上的图象，最后作其关于(1,0)对称的图象，即得函数在[1,3]上的图象．又作出函数y＝g(x)的图象，
由图象可知函数f(x)与函数g(x)的图象在[－3,3]上有6个交点．故选B.
[答案] B
[跳出陷阱] 该题是利用函数图象的直观性解决两函数图象的交点问题，准确利用函数的性质画出函数图象是解决此类问题的关键．要熟练把握函数的一些基本性质，如函数的奇偶性、对称性、周期性与单调性等．如该题中的函数y＝f(x)，根据已知，该函数既有对称中心，又有对称轴，所以该函数也具有周期性——其周期就是对称中心到对称轴距离的4倍，所以该函数的周期为T＝2×4＝8.所以如果研究函数在其他范围内的图象，就可以利用周期性作出函数图象．
陷阱6 忽视特例失分
【典例6】 已知l1：3x＋2ay－5＝0，l2：(3a－1)x－ay－2＝0.求使l1∥l2的a的值．
[易错分析] 本题易出现的问题是忽略直线斜率不存在的特殊情况．
[正确解析] 法一：当直线斜率不存在，即a＝0时，有l1：3x－5＝0，l2：－x－2＝0，符合l1∥l2；
当直线斜率存在时，l1∥l2?－＝且≠－?a＝－.
故使l1∥l2的a的值为－或0.
法二：由l1∥l2?3·(－a)－(3a－1)·2a＝0，
得a＝0或a＝－.
故使l1∥l2的a的值为0或－.
[跳出陷阱] 讨论两条直线的位置关系时，要注意对斜率是否存在进行讨论，还要注意对系数是否为零进行讨论．
陷阱7 跳步计算出错
【典例7】 (2018·西安调研)已知椭圆W：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为－1，O为坐标原点．
(1)求椭圆W的方程；
(2)设斜率为k的直线l与W相交于A，B两点，记△AOB面积的最大值为Sk，证明：S1＝S2.
[易错分析] 该题易出现的问题是坐标化已知条件以及联立方程确定点的坐标之间的关系时，由于计算过程不规范导致失误．
[正确解析] (1)[解] 由题意，得W的半焦距c＝1，右焦点F(1,0)，上顶点M(0，b)．
∴直线MF的斜率kMF＝＝－1，解得b＝1.
由a2＝b2＋c2，得a2＝2.
∴椭圆W的方程为＋y2＝1.
(2)[证明] 设直线l的方程为y＝kx＋m，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程组
得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
∴Δ＝16k2－8m2＋8>0.①
由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝.
∴|AB|＝＝，
∵原点O到直线y＝kx＋m的距离d＝，
∴S△AOB＝|AB|d＝，当k＝1时，S△AOB＝，
∴当m2＝时，S△AOB有最大值S1＝，验证满足①式，当k＝2时，S△AOB＝，∴当m2＝时，S△AOB的最大值S2＝，验证①式成立．因此S1＝S2.
[跳出陷阱] 目标函数法是求解析几何最值问题的法宝．先建立目标函数，根据题设条件中的关系，通过点的坐标，建立目标函数的关系式；然后寻找变量条件，挖掘题设条件和圆锥曲线中的隐含条件，得到目标函数式中的自变量的限制条件(如直线与圆锥曲线相交，关注Δ>0等)；最后求解函数的最值，常利用代数方法，如基本不等式法、配方法、导数法、单调性法等，将所求得的函数最值与目标中的几何最值形式所对应，得到问题的结论．
陷阱8 推论不当致误
【典例8】 如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BB1，AC1⊥A1B，
D为AC的中点．
(1)求证：B1C∥平面A1BD；
(2)求证：平面AB1C1⊥平面ABB1A1.
[易错分析] 推理过程不严谨，使用线面平行、面面垂直的判定定理时给出的定理条件不全面，造成了推理的不充分．
[正确解析] (1)设AB1∩A1B＝O，连接OD.
由于点O是AB1的中点，又D为AC的中点，
所以OD∥B1C，而B1C?平面A1BD，
OD?平面A1BD.所以B1C∥平面A1BD.
(2)因为AB＝BB1，所以四边形ABB1A1是正方形，则A1B⊥AB1，又A1B⊥AC1，且AC1，AB1?平面AB1C1，AC1∩AB1＝A，所以A1B⊥平面AB1C1.
而A1B?平面ABB1A1，所以平面AB1C1⊥平面ABB1A1.
[跳出陷阱] 立体几何试题的一个主要功能就是考查逻辑推理能力，主要以线面位置关系证明的方式进行考查，在使用空间线面位置关系的判定定理和性质定理时一定要保证条件的充分性，以确保推理过程严谨无误．
陷阱9 分类标准不正确致误
【典例9】 已知函数f(x)＝xln x＋x，g(x)＝－(x>0)．
(1)讨论f(x)在区间[t，t＋e](t>0)上的单调性；
(2)是否存在直线y＝b(b∈R)，使得函数f(x)与g(x)的图象分别在它的两侧(可相切)？若存在，请求出实数b的值(或取值范围)；若不存在，请说明理由．
[易错分析] 该题易出现的问题是讨论f(x)的单调性时，对参数进行分类讨论的标准不正确，造成分类重复或遗漏而导致错解．
[正确解析] (1)f(x)＝xln x＋x，f′(x)＝ln x＋2，
由f′(x)＝0得x＝.
当00，因此f(x)在上单调递减，在上单调递增．
当t≥时，在[t，t＋e]上，f′(x)≥0恒成立，
所以f(x)在[t，t＋e]上单调递增．
综上所述，当0(2)f(x)＝xln x＋x，f′(x)＝ln x＋2，由f′(x)＝0，得x＝.
当0时，f′(x)>0，
所以f(x)在上单调递减，在上单调递增，故f(x)min＝f＝－.
而g(x)＝－(x>0)，g′(x)＝，
当00，当x>1时，g′(x)<0，
所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
所以g(x)max＝g(1)＝－.
所以f(x)≥－≥g(x)，故函数f(x)与函数g(x)的图象恒在直线y＝－的两侧(相切)，所以b＝－.
[跳出陷阱] 含参函数单调性的分析是一个难点，此类问题易出现的问题就是对参数分类的标准不清楚，导致分类错乱．明确标准，合理分类是解决此类问题的关键，一般来说，讨论含参函数单调性的问题，对参数进行分类讨论的基本顺序为：①最高次幂系数是否为0；②方程f′(x)＝0是否有解；③解是否在定义域内；④解之间的大小关系．分类之后确定导函数的符号，应画出导函数解析式中符号变化的部分对应函数(一般可转化为一次函数或二次函数)的图象，根据函数图象与x轴的相对位置变化确定导函数的符号，进而写出单调区间．
陷阱10 忽视验证出错
【典例10】 已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an＋1(n∈N*)，且a1＝1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{nan}的前n项和Tn.
[易错分析] 该题易出现的问题有两个方面：一是利用an＝Sn－Sn－1建立an与an－1之间的关系时忽视n≥2的限制条件，而忽略n＝1的讨论；二是求数列{nan}的前n项和Tn时，忽视该数列通项公式中n＝1时的情况，直接求和不验证而导致失分．
[正确解析] (1)当n＝1时，由已知可得a1＝2a2，
即a2＝a1＝.
当n≥2时，由已知Sn＝2an＋1(n∈N*)，可得Sn－1＝2an(n≥2，n∈N*)，两式相减得an＝2an＋1－2an?2an＋1＝3an，即＝，所以数列{an}从第二项开始成一个首项为a2＝，公式为的等比数列，
故当n≥2，n∈N*时有an＝·n－2.
所以an＝
(2)记bn＝nan＝
故当n＝1时，T1＝b1＝1；
当n≥2时，Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝1＋×0＋×1＋…＋×n－3＋×n－2，①
Tn＝＋×1＋×2＋…＋×n－2＋×n－1，②
①－②得，－Tn＝－＋1＋×1＋×2＋…＋×n－2－×n－1
＝＋－×n－1
＝＋×－×n－1
＝－－×n－1
＝－＋n－1－×n－1
＝－1－×n－1，
所以Tn＝2＋(n－2)×n－1.
当n＝1时，T1＝2＋(1－2)×1－1＝1，显然上式也成立．
综上，Tn＝2＋(n－2)×n－1.
[跳出陷阱] 解决数列问题一定要注意n的取值限制，求通项问题，要注意首项的验证，如该题中用到an与Sn的关系式an＝Sn－Sn－1，而该式成立的前提是n≥2；再如已知数列{an}，当n≥2时，若有＝q，则该数列不一定是等比数列，因为该式不包含＝q，若要证明该数列是等比数列，则还需验证＝q.
第3讲 五招妙解高考客观题
高中数学题分客观题与主观题两大类，而客观题分为选择题与填空题，选择题是属于“小灵通”题，其解题过程“不讲道理”，所以解答选择题的基本策略是：充分地利用题干和题肢两方面的条件所提供的信息作出判断，先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解．而填空题是不要求写出计算或推理过程，只需要将结论直接写出的“求解题”．解答此类题目的方法一般有直接法、特例法、数形结合法、构造法、排除法等．
妙法一：直接法
直接法就是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，得出正确结论，此法是解选择题和填空题最基本、最常用的方法．
[提醒] 涉及概念、性质的辨析或运算较为简单的题目常用此法．
【典例1】 (1)(2018·山东省德州市四月二模)已知平面向量a和b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于( )
A．20 B．12
C．4 D．2
(2)(2018·山东省青岛市数学一模试卷(理科))在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若1＋＝，则A等于( )
A．30° B．45°
C．60° D．120°
[解析] (1)|a|＝2，|a＋2b|＝＝
＝＝2，故选D.
(2)∵1＋＝，∴1＋＝，可得：＝，∴＝，∴cos A＝，∵A∈(0°，180°)，∴A＝60°.
[答案] (1)D (2)C
[名师叮嘱] 直接法是解决计算型客观题的基本方法，只要运算正确必能得出正确的答案．平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力，准确把握题目的特点．用简便的方法巧解选择题，是建立在扎实掌握“三基”的基础上的，否则一味求快则会快中出错．
[对点训练]
1．(2018·内蒙古赤峰市4月模拟)数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1，n∈N*，则数列的前n项和Sn＝________.
[解析] ∵数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1，n∈N*，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋…＋2＋1＝.
∴＝2.
∴数列的前n项和Sn＝2
＝2＝.故答案为.
[答案]
2．(2018·山东省实验中学一模试卷)已知椭圆＋＝1(a1＞b1＞0)的离心率为，双曲线－＝1(a2＞0，b2＞0)与椭圆有相同的焦点F1，F2，M是两曲线的一个公共点，若∠F1MF2＝60°，则双曲线的渐进线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
[解析] 由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴为2a2，令M在双曲线的右支上，由双曲线的定义|MF1|－|MF2|＝2a2，①
由椭圆定义|MF1|＋|MF2|＝2a1，②
又∵∠F1MF2＝60°，
∴|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1|·|MF2|cos 60°＝4c2，③
由①②得，|MF1|＝a1＋a2，|MF2|＝a1－a2，
代入③，得2(a＋a)－(a－a)＝4c2，
即a＋3a＝4c2，由＝，则2c2＝a，a＝c2，
即有b＝c2－a＝c2，则渐近线方程为y＝±x，即为y＝±x.
[答案] A
妙法二：特例法
从题干出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断．特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等．
[提醒] 此法适用于题目中含有字母或具有一般性结论的客观题．
【典例2】 (1)如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，那么( )
A．a1a8>a4a5 B．a1a8C．a1＋a8>a4＋a5 D．a1a8＝a4a5
[解析] 取特殊数为1,2,3,4,5,6,7,8，显然只有1×8<4×5成立．
[答案] B
(2)设坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A、B两点，则·＝________.
[解析] 由题意知，·的值不受位置的限制，所以分别设通径的两个端点为A、B，则A，B，∴·＝×＋1×(－1)＝－.
[答案] －
[名师叮嘱] 特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点：
第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；
第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解．
[对点训练]
3．如图，在棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P，Q满足A1P＝BQ，过P，Q，C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( )
A．3∶1 B．2∶1
C．4∶1 D.∶1
[解析] 将P，Q置于特殊位置：P→A1，Q→B，此时仍满足条件A1P＝BQ→0，岀有VC－AA1B＝VA1－ABC＝VABC－A1B1C1，故过P，Q，C三点的截面把棱柱分成的两部分的体积之比为2∶1.
[答案] B
4．设椭圆C：＋＝1的长轴的两端点分别是M，N，P是C上异于M，N的任意一点，则PM与PN的斜率之积等于________．
[解析] 取特殊点，设P为椭圆的短轴的一个端点(0，)，又M(－2,0)，N(2,0)，所以kPM·kPN＝·＝－.
[答案] －
妙法三：数形结合法
根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，利用函数图象或数学结果的几何意义，将数的问题(如解方程、解不等式、求最值、求取值范围等)与某些图形结合起来，利用直观性，再辅以简单计算，从而确定正确答案．
[提醒] 适用于求解问题中含有几何意义命题的题目．
【典例3】
1．(2018·山东省实验中学一模试卷)已知函数f(x)＝ex＋x，g(x)＝ln x＋x，h(x)＝x－的零点依次为a，b，c，则( )
A．c＜b＜a B．a＜b＜c
C．c＜a＜b D．b＜a＜c
[解析] 由f(x)＝0得ex＝－x，由g(x)＝0得ln x＝－x.由h(x)＝0得x＝1，即c＝1.
在坐标系中，分别作出函数y＝ex ，y＝－x，y＝ln x的图象，由图象可知
a＜0,0＜b＜1，所以a＜b＜c.故选B.
[答案] B
2．(2018·江西重点高中模拟考试)已知函数f(x)＝，若函数g(x)＝f(x)－ax－1有4个零点，则实数a的取值范围为________．
[解析] 由题意函数有四个零点等价于f(x)－ax－1＝0有四个根．由于当x>0时，方程为x2－(a＋2)x＋a＝0最多有两个实数根，所以当x≤0时，方程ex－ax－1＝0必须有两个根，画出函数y＝ex－1，y＝ax的图象，如图，因为曲线y＝ex－1的
切点为O(0,0)，切线的斜率k＝e0＝1，结合图象可知：当00，所以x2－(a＋2)x＋a＝0有两个实数根．综上当0[答案] (0,1)
[对点训练]
5．(2018·黑龙江大庆实验中学三模)实数x，y满足不等式组：，若z＝x2＋y2，则z的取值范围是________．
[解析] 由约束条件
作出可行域如图，
z＝x2＋y2的几何意义为可行域内动点到原点距离的平方，
∴当动点(x，y)为O(0,0)时，z有最小值为0；为A(0,2)时，z有最大值为4.
∴z的取值范围是(0,4)．故答案为(0,4)．
[答案] (0,4)
6．(2018·郑州第三次质检)在△ABC中，∠A＝，O为平面内一点，且||＝||＝||，M为劣弧BC上一动点，且＝p＋q，则p＋q的取值范围为________．
[解析] 由题可知O为△ABC的外接圆圆心，如图所示，
则||＝||＝||，∠BOC＝120°，所以由＝p＋q有＝(p＋q)2，即1＝p2＋q2－pq，(p＋q)2＝1＋3pq，由于M为劣弧上一动点，所以0≤p≤1,0≤q≤1，所以(p＋q)2≥1，即p＋q≥1，又pq≤2可得：(p＋q)2－1＝3pq≤(p＋q)2，所以(p＋q)2≤4，则p＋q≤2，所以p＋q∈[1,2]．
[答案] 1≤p＋q≤2
妙法四：排除法
排除法也叫筛选法或淘汰法，使用排除法的前提条件是答案唯一，具体的做法是采用简捷有效的手段对各个备选答案进行“筛选”，将其中与题干相矛盾的干扰项逐一排除，从而获得正确结论．
[提醒] 这种方法适用于直接法解决问题很困难或者计算较繁琐的情况．
【典例4】 (1)方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根的充要条件是( )
A．0C．a≤1 D．0[解析] 当a＝0时，x＝－，故排除A、D.当a＝1时，x＝－1，排除B.
[答案] C
(2)(2018·湖南衡阳第二次联考)函数f(x)＝＋ln|x|的图象大致为( )
[解析] 当x>0函数f(x)＝＋ln x，f′(x)＝－＋＝，当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，故排除A，D，当x<0时，f(x)＝＋ln(－x)单调递减，排除C，选B.
[答案] B
[名师叮嘱] 排除法适应于定性型或不易直接求解的选择题．当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案．
[对点训练]
7．设x∈R，定义符号函数sng x＝则( )
A．|x|＝x|sgn x| B．|x|＝xsgn|x|
C．|x|＝|x|sgn x D．|x|＝xsgn x
[解析] 当x<0时，|x|＝－x，x|sgn x|＝x，xsgn|x|＝x，|x|sgn x＝(－x)·(－1)＝x，排除A，B，C，故选D.
[答案] D
8．(2018·哈尔滨九中二模)函数f(x)＝2x－4sin x，x∈的图象大致是( )
A B C D
[解析] ∵函数f(x)＝2x－4sin x，∴f(－x)＝－2x－4sin(－x)＝－(2x－4sin x)＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数，所以函数f(x)＝2x－4sin x的图象关于原点对称，排除AB，函数f′(x)＝2－4cos x，由f′(x)＝0得cos x＝，故x＝2kπ±(k∈Z)，所以x＝±时函数取极值，排除C，故选D.
[答案] D
妙法五：构造法
用构造法解客观题的关键是利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到解决，它需要对基础知识和基本方法进行积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到的类似问题中寻找灵感，构造出相应的具体的数学模型，使问题简化．
【典例5】 (2018·宁夏石嘴山三中二模试卷)三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA＝AB＝BC＝1，则球O的表面积为________．
[解析] 三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA＝AB＝BC＝1，
三棱锥扩展为正方体的外接球，外接球的直径就是正方体的对角线的长度，
∴球的半径R＝＝.
球的表面积为：4πR2＝4π·2＝3π.故答案为3π.
[答案] 3π
[名师叮嘱] 构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题．本题巧妙地构造出正方体，而球的直径恰好为正方体的体对角线，问题很容易得到解决．
[对点训练]
9．设a，b为正实数，则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] y＝log2x(x>0)为增函数，当a>b>1时，log2a>log2b>0；反之，若log2a>log2b>0，结合对数函数的图象易知a>b>1成立，故“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的充要条件．
[答案] A
10．(2018·安徽阜阳第二次质检)已知A，B，C，D是球面上不共面的四点，AB＝AC＝，BD＝CD＝，BC＝，平面ABC⊥平面BCD，则此球的体积为________．
[解析] 如图所示，设球心坐标为O，连结OD，交BC于点E，连结AE，
由题意可知：OE2＋AE2＝OA2，设球的半径R＝OD＝OA＝x，由题意得方程：
2＋2＝x2，解得：x＝，此球的体积为：V＝πR3＝π.
[答案] π
第4讲 高考压轴大题巧得分
高考压轴大题是导数和圆锥曲线，难度大、综合性强，取得满分不容易，但要得到尽可能多的分数还是有方法可行的．高考是选拔性的考试，同时又是一场智者的竞争，真正的高考高手是坦然的，他们懂得有舍才有得的真正道理，面对高考大题，特别是压轴题，哪些应该通于割舍，哪些应努力争取．本讲教你四招，让你在考试中尽可能多得分、巧得分．
“缺步解答”巧得分——能做多少做多少
如果遇到一个很困难的问题，确实啃不动，一个聪明的解题策略是，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步，尚未成功不等于失败，特别是那些解题层次明显的题目，或者是已经程序化了的方法，每进行一步得分点的演算都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半，这叫“大题巧拿分”．
[考题例析]
【典例1】 (2018·怀化二模)(12分)已知抛物线C1：y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线上存在一点G到焦点的距离为3，且点G在圆C：x2＋y2＝9上．
(1)求抛物线C1的方程；
(2)已知椭圆C2：＋＝1(m>n>0)的一个焦点与抛物线C1的焦点重合，且离心率为.直线l：y＝kx－4交椭圆C2于A，B两个不同的点，若原点O在以线段AB为直径的圆的外部，求k的取值范围．
[规范解答及评分细则]
(1)设点G的坐标为(x0，y0)，
由题意可知(2分)
解得x0＝1，y0＝±2，p＝4，
∴抛物线C1的方程为y2＝8x.(4分)
(2)由(1)得抛物线C1的焦点F(2,0)，
∵椭圆C2的一个焦点与抛物线C1的焦点重合，
∴椭圆C2的半焦距c＝2，m2－n2＝c2＝4，
∵椭圆C2的离心率为，
∴＝?m＝4，n＝2，
∴椭圆C2的方程为＋＝1.(6分)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(4k2＋3)x2－32kx＋16＝0，
由根与系数的关系得x1＋x2＝，x1x2＝.(8分)
由Δ>0?(－32k)2－4×16(4k2＋3)>0?k>或k<－.①(9分)
∵原点O在以线段AB为直径的圆的外部，则·>0，
∴·＝(x1，y1)·(x2，y2)＝y1y2＋x1x2＝(kx1－4)·(kx2－4)＋x1x2＝(k2＋1)x1x2－4k(x1＋x2)＋16＝(k2＋1)·－4k·＋16＝>0?－由①②得实数k的取值范围是∪.(12分)
[名师支招] 本题有一定的难度，其难点在于对条件“原点O在以线段AB为直径的圆的外部”不会转化利用导致解题受阻，但不代表本题得分较低，可缺步求解，在求出椭圆C2的方程后，与直线y＝kx－4联立消元写出x1＋x2，x1x2以及Δ>0，可得10分．若会转化条件·>0而不会运算化简仍能得较理想的分数．故遇到难题，缺步解答而不能一味地放弃，仍会有高分回报．
[对点训练]
1．(2018·山东省德州市四月二模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点，左右焦点分别为F1、F2，圆x2＋y2＝2与直线x＋y＋b＝0相交所得弦长为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设Q是椭圆C上不在x轴上的一个动点，O为坐标原点，过点F2作OQ的平行线交椭圆C于M、N两个不同的点，求的取值范围．
[解析] (1)由已知可得：圆心到直线x＋y＋b＝0的距离为1，即＝1，所以b＝，又椭圆C经过点，所以＋＝1，得到a＝，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)设Q(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，OQ的方程为x＝my，
则MN的方程为x＝my＋1.
由得即
所以|OQ|＝·|y0|＝，
由得(2m2＋3)y2＋4my－4＝0，
所以y1＋y2＝－，y1y2＝－，
|MN|＝·|y1－y2|
＝·，
＝·
＝·＝，
所以＝＝2·
＝2·＝2·，
因为1＋m2≥1，所以0<≤1，
即2<2＋≤3，即≤<，
所以≤<2，即的取值范围为.
“跳步解答”巧得分——会做哪问做哪问
解题过程中卡在某一过渡环节上是常见的．这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论．若题目有两问，第(1)问想不出来，可把第(1)问当作“已知”，先做第(2)问，跳一步解答．
[考题例析]
【典例2】 (2018·荆州二模)(12分)设函数fn(x)＝xn＋bx＋c(n∈N*，b，c∈R)．
(1)设n≥2，b＝1，c＝－1，证明：fn(x)在区间内存在唯一零点；
(2)设n＝2，若对任意x1，x2∈[－1,1]，有|f2(x1)－f2(x2)|≤4，求b的取值范围；
(3)在(1)的条件下，设xn是fn(x)在内的零点，判断数列x2，x3，…，xn，…的增减性．
[解题规范与评分细则]
(1)证明：b＝1，c＝－1，n≥2时，fn(x)＝xn＋x－1.
∵fnfn(1)＝×1<0，
∴fn(x)在内存在零点．(2分)
又∵当x∈时，f′n(x)＝nxn－1＋1>0，
∴fn(x)在上是单调递增的，
∴fn(x)在区间内存在唯一零点．(4分)
(2)当n＝2时，f2(x)＝x2＋bx＋c.
对任意x1，x2∈[－1,1]都有|f2(x1)－f2(x2)|≤4等价于f2(x)在[－1,1]上的最大值与最小值之差M≤4.据此分类讨论如下：(5分)
①当>1，即|b|>2时，
M＝|f2(1)－f2(－1)|＝2|b|>4，与题设矛盾．(6分)
②当－1≤－<0，即0M＝f2(1)－f2＝2≤4恒成立．(7分)
③当0≤－≤1，即－2≤b≤0时，
M＝f2(－1)－f2＝2≤4恒成立．
综上可知，－2≤b≤2.(8分)
故a的取值范围为[－2,2]．
(3)法一：设xn是fn(x)在内的唯一零点(n≥2)，fn(xn)＝x＋xn－1＝0，
fn＋1(xn＋1)＝x＋xn＋1－1＝0，xn＋1∈，
于是有fn(xn)＝0＝fn＋1(xn＋1)＝x＋xn＋1－1＜x＋xn＋1－1＝fn(xn＋1)．
又由(1)知fn(x)在上是单调递增的，
故xn所以数列x2，x3，…，xn，…是递增数列．(12分)
法二：设xn是fn(x)在内的唯一零点，
fn＋1(xn)fn＋1(1)＝(x＋xn－1)(1n＋1＋1－1)
＝x＋xn－1则fn＋1(x)的零点xn＋1在(xn,1)内，
故xn[名师支招] 第(1)问可利用函数的单调性及零点存在性定理较简单解决，但第(2)问较麻烦，很多同学不会做或花费较长时间，从而延误了第(3)问的解答．事实上，由题意可知，第(3)问的解答与第(2)问没有任何关系，但与第一问是相关的，且非常容易解答，因此我们可跨过第(2)问，先解决第(3)问，从而增大了本题的得分率，这是解决此类题的上策之举．
[对点训练]
2．(2018·山东省济宁市二模试卷(理科))已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P在椭圆上，连接PF1交y轴于点Q，点Q满足＝.直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与椭圆C有两个交点A，B.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知点M，若直线l过椭圆C的右焦点F2，证明：·为定值；
(3)若直线l过点(0,2)，设N为椭圆C上一点，且满足＋＝λ，求实数λ的取值范围．
[解析] (1)由＝，则Q为PF1的中点，
则PF2⊥F1F2，则c＝1，＝，a2＝b2－c2，
解得：a＝，b＝1，∴椭圆的标准方程：＋y2＝1；
(2)证明：由题意可知：设直线l的方程y＝k(x－1)，k≠1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴，整理得：(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝，y1y2＝k2(x1－1)(x2－1)＝k2x1x2－k2(x1＋x2)＋k2，
由＝，＝，
则·＝＝(1＋k2)x1x2－(x1＋x2)＋＋k2，
＝(1＋k2)×－×＋＋k2，
＝·＋，＝－，
∴·为定值，定值为－；
(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，Q(x0，y0)．
当λ＝0时，由＋＝λ，＋＝0，A与B关于原点对称，存在Q满足题意，
∴λ＝0成立；
当λ≠0时，联立，得(1＋2k2)x2＋8kx＋6＝0，由Δ＝(8k)2－4×6(1＋2k2)＞0，解得k2＞，…(*)，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋4＝.
由＋＝λ，得(x1＋x2，y1＋y2)＝(λx0，λy0)，可得x1＋x2＝λx0，y1＋y2＝λy0，
，由Q在椭圆上＋y2＝1上，代入，整理得4＝(1＋2k2)，
代入(*)式，得λ2＜4，解得－2＜λ＜2且λ≠0.
综上可知：λ∈(－2,2)．
“逆向解答”巧得分——此路不通另寻路
对一个问题正面思考发生思维受阻时，用逆向思维的方法去探求新的解题途径，往往能得到突破性的进展．顺向推有困难就逆推，直接证有困难就反证．
[考题例析]
【典例3】 (2018·荆州二模)(12分)已知f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－3.
(1)求函数f(x)的最小值；
(2)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；
(3)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x>－成立．
[解题规范与评分细则]
(1)f′(x)＝ln x＋1，(1分)
当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
所以f(x)的最小值为f＝－.(3分)
(2)2xln x≥－x2＋ax－3，则a≤2ln x＋x＋.
设h(x)＝2ln x＋x＋(x>0)，
则h′(x)＝，(4分)
①当x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减；
②当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，(5分)
所以h(x)min＝h(1)＝4.
因为对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，
所以a≤h(x)min＝4，即a的取值范围为(－∞，4]．(7分)
(3)证明：问题等价于证明
xln x>－(x∈(0，＋∞))．(8分)
由(1)可知f(x)＝xln x(x∈(0，＋∞))的最小值是－，当且仅当x＝时取得．(9分)
设m(x)＝－(x∈(0，＋∞))，则m′(x)＝，易知m(x)max＝m(1)＝－，
且两函数不会同时取得－.
所以有xln x>－，(11分)
从而对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x>－成立．(12分)
[名师支招] 解答本题第(3)问利用了逆向解答，把不等式ln x>－巧妙地转化为xln x>－，不等式左边是f(x)，右边看作一个新的函数m(x)，只需说明f(x)min>m(x)max即可．
[对点训练]
3．设实数数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋1＝an＋1Sn(n∈N*)．
(1)若a1，S2，－2a2成等比数列，求S2和a3；
(2)求证：对k≥3有0≤ak＋1≤ak≤.
[解析] (1)由题意得S＝－2S2，
由S2是等比中项知S2≠0，因此S2＝－2.
由S2＋a3＝S3＝a3S2，解得a3＝＝＝.
(2)证明：由题设条件有Sn＋an＋1＝an＋1Sn，
故Sn≠1，an＋1≠1且an＋1＝，Sn＝，
从而对k≥3，有
ak＝＝＝＝. ①
因a－ak－1＋1＝2＋>0且a≥0，由①得ak≥0.
要证ak≤，由①只要证≤，
即证3a≤4(a－ak－1＋1)，
即(ak－1－2)2≥0，此式明显成立，因此ak≤(k≥3)．
最后证ak＋1≤ak，若不然ak＋1＝>ak，
又因ak≥0，故>1，即(ak－1)2<0，矛盾．
因此ak＋1≤ak(k≥3)．
所以，对k≥3有0≤ak＋1≤ak≤.
“退步解答”巧得分——以退为进列出相关
内容也能得分
“以退求进”是一个重要的解题策略．对于一个较一般的问题，如果你一时不能解决所提出的问题，那么，你可以从一般退到特殊，从抽象退到具体，从复杂退到简单，从整体退到部分，从参变量退到常量，从较强的结论退到较弱的结论．总之，退到一个你能够解决的问题，通过对“特殊”的思考与解决，启发思维，达到对“一般”的解决．
[考题例析]
【典例4】 (四川卷)(12分)如图，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率是
，过点P(0,1)的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2.
(1)求椭圆E的方程；
(2)在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得＝恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
[解题规范与评分细则]
(1)由已知，点(，1)在椭圆E上，
因此解得
所以椭圆E的方程为＋＝1.(2分)
(2)当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C，D两点．
如果存在定点Q满足条件，则有＝＝1，
即|QC|＝|QD|.(3分)
所以点Q在y轴上，可设点Q的坐标为(0，y0)．
当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M，N两点，则M，N的坐标分别为(0，)，(0，－)．
由＝，得＝，解得y0＝1，或y0＝2.
所以若存在不同于点P的定点Q满足条件，则点Q的坐标只可能为(0,2)．(6分)
下面证明：对任意直线l，均有＝.
当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立．
当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx＋1，点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．
联立得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0，
其判别式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)>0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝－.(8分)
因此＋＝＝2k.
易知，点B关于y轴对称的点B′的坐标为(－x2，y2)．
又kQA＝＝＝k－，kOB′＝＝＝－k＋＝k－，所以kQA＝kQB′，即Q，A，B′三点共线．
所以＝＝＝.(11分)
故存在与点P不同的定点Q(0,2)，使得＝恒成立．(12分)
[名师支招] 本题在求解答第(2)问难度太大，很难得分，这就要学会辅助解答(学会捞分)，利用直线l与坐标垂直这一特殊情况可巧妙地求出Q点的坐标(0,2)，这样可得6分，这种方法在解决一些压轴题时要学会应用．
[对点训练]
4．如图所示，动圆C1：x2＋y2＝t2,1
相交于A，B，C，D四点，点A1，A2分别为C2的左，右顶点．
(1)当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积．
(2)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程．
[解析] (1)设A(x0，y0)，则S矩形ABCD＝4|x0y0|，由＋y＝1得y＝1－，
从而xy＝x＝－2＋.
当x＝，y＝时，Smax＝6.
从而t2＝x＋y＝5，t＝，∴当t＝时，矩形ABCD的面积取到最大值6.
(2)由椭圆C2：＋y2＝1，知A1(－3,0)，A2(3,0)，又曲线的对称性及A(x0，y0)，得B(x0，－y0)，设点M的坐标为(x，y)，直线AA1的方程为y＝(x＋3)． ①
直线A2B的方程为y＝(x－3)． ②
由①②得y2＝(x2－9)． ③
又点A(x0，y0)在椭圆C上，故y＝1－. ④
将④代入③得－y2＝1(x<－3，y<0)．
因此点M的轨迹方程为－y2＝1(x<－3，y<0)．
考前回顾
第1讲 考前必记的54个知识点
函数的极值 函数的最值
函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 使函数取得最大值，最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点
函数的极值是通过比较极值点附近的函数值得出的 函数的最值是通过比较整个定义域内的函数值得出的
函数的极值可能不止一个，也可能一个没有 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个
函数的极大值不一定大于函数的极小值 函数的最大值一定大于函数的最小值
方法
位置
关系 几何法 代数法 公切线的条数
圆心距d与r1，r2的关系 联立两圆方程组成方程组的解的情况
外离 d>r1＋r2 无解 4
外切 d＝r1＋r2 一组实数解 3
相交 |r1－r2|内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解 1
内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解 0
几何性质 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a
对称性 对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点
焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)；
B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)；
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴 线段A1A2，B1B2分别是椭圆的长轴和短轴，长轴长为2a，短轴长为2b
焦距 |F1F2|＝2c
离心率 焦距与长轴长的比值：e∈(0,1)
a，b，c的关系 b2＝a2－c2
类别 共同点 各自特点 联系 适用范围
简单随
机抽样 ①抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等；
②每次抽出个体后不再将它放回，即不放回抽样 从总体中逐个抽取 最基本的抽样方法 总体中的个体较少
系统抽样 将总体分成几部分，按预先确定的规则在各部分中抽取 在第一部分抽样时采用简单随机抽样 总体中的个体较多
分层抽样 将总体分成几层，分层按比例进行抽取 分层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样 总体由差异明显的几部分组成
顺序结构 条件结构 循环结构
定义 由若干个依次执行的步骤组成 算法的流程根据条件是否成立会有不同的流向，条件结构就是处理这种过程的结构 从算法某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤，反复执行的步骤称为循环体
考前回顾
第2讲 考前必讲的10大陷阱
考前回顾
第3讲 五招妙解高考客观题
考前回顾
第4讲 高考压轴大题巧得分
谢谢观看 ！
[全国课标卷5年考情统计分析]
一、30%的题目是基础题目，主要集中在8大知识点进行命题
(一)集合与常用逻辑用语
年份 卷别 具体考查内容及命题位置
2018 Ⅰ卷 集合的补集运算，一元二次不等式的解法·T2
Ⅱ卷 集合的表示及集合的元素个数·T2
Ⅲ卷 集合的交集运算·T1
2017 Ⅰ卷 集合的交集运算、指数不等式的解法·T1
Ⅱ卷 交集的运算及一元二次方程的解法·T2
Ⅲ卷 交集的运算及直线与圆的位置关系·T1
2016 甲卷 集合的并集运算、一元二次不等式的解法·T2
乙卷 集合的交集运算、一元二次不等式的解法·T1
丙卷 集合的交集运算、一元二次不等式的解法·T1
2015 Ⅰ卷 特称命题的否定·T3
Ⅱ卷 集合的交集运算、一元二次不等式的解法·T1
2014 Ⅰ卷 集合的表示、集合的交集运算、一元二次不等式的解法·T1
Ⅱ卷 集合的表示、集合的交集运算、一元二次不等式的解法·T1
[命题分析]
1．集合作为高考必考内容，多年来命题较稳定，多以选择题形式在前3题的位置进行考查，难度较小，命题的热点依然会集中在集合的运算上，常与简单的一元二次不等式结合命题．
2．高考对常用逻辑用语考查的频率较低，且命题点分散，其中含有量词的命题的否定、充分必要条件的判断需要关注，多结合函数、平面向量、三角函数、不等式、数列等内容命题．
(二)函数的图象与性质
年份 卷别 具体考查内容及命题位置
2018 Ⅰ卷 函数图象的判断·T3
Ⅱ卷 函数的奇偶性、对称性、周期性·T11
Ⅲ卷 函数图象的判定·T7
2017 Ⅰ卷 函数的奇偶性，单调性及不等式解法·T5
Ⅲ卷 分段函数及不等式·T15
2016 乙卷 函数图象的判断·T7
2015 Ⅰ卷 偶函数的定义·T13
Ⅱ卷 分段函数的求值·T5 函数图象的判断·T10
2014 Ⅰ卷 函数奇偶性的判断·T3
Ⅱ卷 函数的奇偶性、单调性、不等式的解法·T15
[命题分析]
1．高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等，主要考查求函数的定义域，分段函数值的求解或分段函数中参数的求解及函数图象的识别．
2．多以选择、填空题形式考查，一般出现在第5～10或第13～15题位置上，难度一般．
3．此部分内容有时出现在选择、填空题压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题，难度较大．
(三)平面向量
年份 卷别 具体考查内容及命题位置
2018 Ⅰ卷 平面向量的线性运算·T6
Ⅱ卷 平面向量数量积的运算·T4
Ⅲ卷 平面向量的坐标运算及共线问题·T13
2017 Ⅰ卷 向量模的运算·T13
2016 甲卷 向量垂直的应用·T3
乙卷 向量模的运算·T13
丙卷 向量的夹角问题·T3
2015 Ⅰ卷 平面向量的线性运算·T7
Ⅱ卷 平面向量共线定理的应用·T13
2014 Ⅰ卷 平面向量加法的几何意义·T15
Ⅱ卷 平面向量的模、数量积的运算·T3
[命题分析]
1．平面向量是高考必考内容，每年每卷均有一个小题(选择题或填空题)，一般出现在第3～7或第13～15题的位置上，难度较低．
2．主要考查平面向量的模、数量积的运算、线性运算等，数量积是其考查的热点．
3．有时也会以平面向量为载体，与三角函数、解析几何等其他知识相交汇综合命题，难度中等．
(四)不等式
年份 卷别 具体考查内容及命题位置
2018 Ⅰ卷 线性规划求最值·T13
Ⅱ卷 线性规划求最值·T14
2017 Ⅰ卷 线性规划求最值·T14
Ⅱ卷 线性规划求最值·T5
Ⅲ卷 线性规划求最值·T13
2016 乙卷 不等式的性质、对数函数、幂函数的性质·T8
丙卷 线性规划求最值·T13
2015 Ⅰ卷 直线的斜率公式、线性规划求最值·T15
Ⅱ卷 线性规划求最值·T14
2014 Ⅰ卷 线性规划、全称命题与特称命题的真假判断·T9
Ⅱ卷 线性规划求最值·T9 不等式与函数的关系、函数的性质·T15
[命题分析]
1．不等式作为高考命题热点内容之一，多以选择、填空题的形式进行考查，直接考查时主要是简单的线性规划问题，关于不等式性质的应用、不等式的解法以及基本不等式的应用，主要体现在其工具作用上．
2．题目多出现在第8～9或第13～15题的位置上，难度中等，但命题的模式比较固定，只要平时多加练习得分不难．
3．若不等式与函数、导数、数列等其他知识交汇综合命题，难度较大．
(五)空间几何体的三视图、表面积与体积
年份 卷别 具体考查内容及命题位置
2018 Ⅰ卷 空间几何体的三视图及侧面展开图·T7
Ⅱ卷 空间几何体的侧面积·T16
Ⅲ卷 空间几何体的三视图·T3
2017 Ⅰ卷 空间几何体的三视图及表面积·T7
Ⅱ卷 循环结构的运用·T8 空间几何体的三视图及体积·T4
Ⅲ卷 圆柱的体积·T8
2016 甲卷 空间几何体的三视图及组合体表面积的计算·T6
乙卷 有关球的三视图及表面积·T6
丙卷 空间几何体三视图及表面积的计算·T9
直三棱柱的体积最值问题·T10
2015 Ⅰ卷 锥体体积的计算·T6
空间几何体的三视图及组合体表面积的计算·T11
Ⅱ卷 空间几何体的三视图及相关体积的计算·T6
三棱锥的体积、球的表面积、球与三棱锥的结构特征·T9
2014 Ⅱ卷 空间几何体的三视图及组合体体积的计算·T6
[命题分析]
1．“立体几何”在高考中一般会以“两小一大”或“一小一大”的命题形式出现，这“两小”或“一小”主要考查三视图，几何体的表面积与体积，空间点、线、面位置关系(特别是平行与垂直)．
2．考查一个小题时，本小题一般会出现在第6～7题的位置上，难度一般；考查2个小题时，其中一个小题难度一般，另一小题难度稍高，一般会出现在第9～11题的位置上，本小题虽然难度稍高，主要体现在计算量上，但仍是对基础知识、基本公式的考查．
(六)算法、复数、推理与证明
年份 卷别 具体考查内容及命题位置
2018 Ⅰ卷 复数的四则运算与模·T1
Ⅱ卷 复数的除法运算·T1
Ⅱ卷 循环结构的应用·T7
Ⅲ卷 复数的乘法运算·T2
2017 Ⅰ卷 复数的概念、运算及命题·T3
Ⅱ卷 复数的除法运算·T1
合情推理与演绎推理·T7
循环结构对当型循环结构的考查·T8
Ⅲ卷 复数的四则运算与模·T2
循环结构的考查·T7
2016 甲卷 复数的几何意义·T1
循环结构的应用·T8
乙卷 复数相等及模的运算·T2
循环结构的应用·T9
丙卷 共轭复数的概念及运算·T2
循环结构的应用·T7
2015 Ⅰ卷 复数的基本运算、复数的模·T1
循环结构程序框图的输出功能(数列为背景)·T9
Ⅱ卷 复数的基本运算·T2
循环结构的程序框图(更相减损术为背景)·T8
2014 Ⅰ卷 复数的基本运算·T2
循环结构程序框图的输出功能·T7
实际问题中的推理·T14
Ⅱ卷 复数的基本运算、几何意义·T2
循环结构程序框图的输出功能·T7
[命题分析]
1．高考对复数的考查重点是其代数形式的四则运算(特别是乘、除法)，也涉及复数的概念及几何意义等知识，题目多出现在第1～2题的位置，难度较低，纯属送分题目．
2．高考对算法的考查，每年平均有一道小题，一般出现在第6～9题的位置上，难度中等偏下，都是考查程序框图，热点是循环结构和条件结构，有时综合性较强，其背景涉及数列、统计等知识．
3．在全国课标卷中很少直接考查“推理与证明”，特别是合情推理，而演绎推理，则主要体现在对问题的证明上．
(七)统计与统计案例
年份 卷别 具体考查内容及命题位置
2018 Ⅰ卷 统计图表·T3
Ⅱ卷 回归分析及应用·T18
Ⅲ卷 茎叶图及独立性检验·T18
2017 Ⅲ卷 折线图·T3
2016 丙卷 统计图表的应用·T4
折线图、相关性检验、线性回归方程及其应用·T18
2015 Ⅰ卷 散点图、求回归方程、回归分析·T19
Ⅱ卷 条形图、两变量间的相关性·T3
2014 Ⅰ卷 频率分布直方图、用样本的数字特征估计总体的数字特征、正态分布、数学期望·T18
Ⅱ卷 线性回归方程及其应用、最小二乘法·T19
[命题分析]
1．统计与统计案例是高考命题的热点之一，从题型上看，多为选择题和解答题．
2．选择题常出现在第3～4题的位置，多考查统计图表的识别、抽样方法的选取、变量间的相关性判断等，难度较小．
3．解答题常出现在第18～19题的位置，多考查用最小二乘法求线性回归方程、样本的相关性检验、用样本估计总体等，难度中等．
(八)排列组合与二项式定理
年份 卷别 具体考查内容及命题位置
2018 Ⅰ卷 排列组合的应用·T15
Ⅲ卷 二项展开式的系数·T5
2017 Ⅰ卷 二项式定理、二项式定理展开式特定项系数·T6
Ⅱ卷 分步乘法计数原理、排列组合的应用·T6
Ⅲ卷 二项式展开式求特定项系数·T4
2016 甲卷 计数原理、组合的应用·T5
乙卷 二项式定理、特定项的系数·T14
2015 Ⅰ卷 二项式定理、二项展开式特定项的系数·T10
Ⅱ卷 二项式定理、二项展开式的系数和·T15
2014 Ⅰ卷 二项式定理、特定项的系数·T13
Ⅱ卷 二项式定理、特定项的系数·T13
[命题分析]
1．排列、组合在高中数学中占有特殊的位置，是高考的必考内容，很少单独命题，主要考查利用排列组合知识计算古典概型．
2．二项式定理仍以求二项展开式的特定项、特定项的系数及二项式系数为主，题目难度一般，多出现在第9～10或第13～15题的位置上．
二、50%的题目是中等题目，主要集中在12个命题点上
(九)基本初等函数、函数与方程
年份 卷别 具体考查内容及命题位置
2018 Ⅰ卷 分段函数及利用函数零点求参数·T9
Ⅱ卷 对数的运算及大小比较·T12
2017 Ⅰ卷 指数与对数的转化和对数运算·T11
2016 乙卷 幂函数、指数函数、对数函数的单调性、大小比较·T8
丙卷 指数函数与幂函数的大小比较·T6
2015 Ⅱ卷 对数运算、分段函数求值·T5
2013 Ⅱ卷 对数的运算与大小比较·T8
[命题分析]
1．基本初等函数作为高考的命题热点，多考查利用函数的性质比较大小，一般出现在第5～8题的位置，有时难度较大．
2．函数的应用问题多体现在函数零点与方程根的综合问题上，近几年全国课标卷考查较少，但也要引起重视，题目可能较难．
(十)导数的简单应用
年份 卷别 具体考查内容及命题位置
2018 Ⅰ卷 函数的奇偶性及导数的几何意义·T5
Ⅱ卷 复合函数的导数及导数的几何意义·T13
Ⅲ卷 导数的乘法运算及导数的几何意义·T14
2017 Ⅱ卷 导数的运算，利用导数判断单调性及极值·T11
Ⅲ卷 函数的零点·T11
2016 乙卷 导数与函数图象·T7
丙卷 函数的奇偶性、导数的几何意义·T15
2014 Ⅰ卷 导数的应用、零点的求法·T11
Ⅱ卷 利用导数的几何意义，求解析式的参数·T8
2013 Ⅰ卷 函数图象及其变换、导数的几何意义·T11
Ⅱ卷 利用导数等知识研究函数的性质·T10
[命题分析]
1．高考对导数的几何意义的考查，多在选择、填空题中出现，难度较小．
2．高考重点考查导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，多在选择、填空的后几题中出现，难度中等．有时也会作为压轴题出现，属于综合性问题，难度中等偏上．
3．近几年全国课标卷对定积分及其应用的考查极少，题目一般比较简单，但也不能忽略．
(十一)三角函数的图象与性质
年份 卷别 具体考查内容及命题位置
2018 Ⅱ卷 三角函数的单调性·T10
Ⅲ卷 三角函数的图象及函数零点·T15
2017 Ⅰ卷 三角函数的图象变换·T9
Ⅱ卷 三角函数的图象与性质及配方法求最值·T14
Ⅲ卷 三角函数的图象与性质·T6
2016 甲卷 三角函数图象的变换与性质·T7
丙卷 三角函数的图象变换·T14
2015 Ⅰ卷 三角函数的图象与性质·T8
2014 Ⅰ卷 单位圆与三角函数的定义·T6
2013 Ⅰ卷 三角恒等变换、函数最值的求法·T15
[命题分析]
1．高考对此部分内容的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题．
2．主要以选择、填空题的形式考查，难度为中等偏下，大多出现在第6～9或第14～15题位置上．
(十二)三角恒等变换与解三角形
年份 卷别 具体考查内容及命题位罩
2018 Ⅰ卷 正、余弦定理在三角形中的应用·T17
Ⅱ卷 三角恒等变换，余弦定理的应用·T6
Ⅱ卷 三角恒等变换求值·T15
Ⅲ卷 倍角公式求值·T4
Ⅲ卷 余弦定理的应用·T9
2017 Ⅰ卷 两角和的余弦公式及利用正余弦定理解三角形·T17
Ⅱ卷 诱导公式及二倍角公式，余弦定理及三角形面积·T17
Ⅲ卷 正、余弦定理在解三角形中的应用·T17
2016 甲卷 诱导公式、三角恒等变换求值问题·T9 正弦定理的应用、诱导公式·T13
乙卷 正、余弦定理，两角和的正弦公式·T17
丙卷 同角三角函数的基本关系·T5
解三角形(正、余弦定理)·T8
2015 Ⅰ卷 诱导公式、两角和的正弦公式·T2
Ⅱ卷 正、余弦定理解三角形、三角形的面积公式·T17
2014 Ⅰ卷 三角函数的诱导公式、二倍角公式·T8
Ⅱ卷 余弦定理、三角形的面积公式·T4 三角恒等变换与三角函数的性质·T14
2013 Ⅰ卷 三角恒等变换及函数最值·T15
正、余弦定理的应用·T17
Ⅱ卷 同角三角函数关系式、三角恒等变换·T15
正、余弦定理解三角形及三角形的面积公式·T17
[命题分析]
1．高考对此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命题形式出现．
2．若无解答题，一般在选择题或填空题各有一题，主要考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换、解三角形，难度一般，一般出现在第4～9或第14～15题位置上．
3．若以解答题命题形式出现，主要考查三角函数与解三角形的综合问题，一般出现在解答题第17题位置上，难度中等．
(十三)数 列
年份 卷别 具体考查内容及命题位置
2018 Ⅰ卷 等差数列的基本运算·T4
Ⅰ卷 等差数列前n项积及运算·T14
Ⅱ卷 等差数列的通项公式及前n项和T17
Ⅲ卷 等差数列的通项公式及前n项和公式·T17
2017 Ⅰ卷 等差数列的基本运算·T4
Ⅱ卷 等比数列的概念及前n项和公式·T3
等差数列的通项公式及前n项和·T15
Ⅲ卷 等差数列的通项公式与等比数列的性质·T9
等比数列的通项公式与性质·T14
2016 甲卷 等差数列的通项公式和前n项和公式·T17
乙卷 等差数列的基本运算·T3
等比数列的运算及二次函数最值问题·T15
丙卷 数列的递推关系、等比数列的通项公式·T17
2015 Ⅰ卷 等差数列的通项公式、裂项求和·T17
Ⅱ卷 等比数列的性质·T4
2014 Ⅰ卷 等差数列、递推关系·T17
Ⅱ卷 构造新数列及求和·T17
2013 Ⅰ卷 等差数列的通项公式与前n项和公式·T7
数列前n项和与第n项的关系、等比数列的定义与通项·T14
Ⅱ卷 等比数列的通项公式与前n项和公式·T3
[命题分析]
1．高考主要考查两类基本数列(等差数列、等比数列)、两种数列求和方法(裂项求和法、错位相减法)、两类综合(与函数综合、与不等式综合)，主要突出数学思想的应用．
2．若以解答题形式考查，往往与解三角形交替考查，试题难度中等；若以客观题考查，难度中等的题目较多，但有时也出现在第12题或16题位置上，难度偏大，复习时应引起关注．
(十四)点、直线、平面之间的位置关系
(十五)立体几何中的向量方法
年份 卷别 具体考查内容及命题位置
2018 Ⅰ卷 空间面面垂直及线面角的正弦值·T18
Ⅱ卷 异面直线所成的角·T9
Ⅱ卷 空间线面垂直及线面角、二面角·T20
Ⅲ卷 空间面面垂直及二面角·T19
2017 Ⅰ卷 面面垂直的证明、求二面角的余弦值·T18
Ⅱ卷 空间中异面直线所成的角·T10
直线与平面平行的判定，求二面角的余弦值·T19
Ⅲ卷 面面垂直的判定及求二面角的余弦值·T19
2016 甲卷 空间中线、面位置关系的判定与性质·T14
线面垂直的证明、求二面角的正弦值·T19
乙卷 求异面直线所成的角·T11
面面垂直的证明、求二面角的余弦值·T18
丙卷 线面平行的证明、及线面角的求解·T19
2015 Ⅰ卷 面面垂直的证明、异面直线所成角的求解·T18
Ⅱ卷 空间线面间的位置关系、求线面角的正弦值·T19
2014 Ⅰ卷 空间线面间的位置关系、求二面角的余弦值·T19
Ⅱ卷 求异面直线所成的角·T11
线面平行的证明·T18
2013 Ⅰ卷 线线垂直的证明、求线面角的正弦值·T18
Ⅱ卷 线面平行的证明、求二面角的正弦值·T18
[命题分析]
1．高考对此部分的命题较为稳定，一般为“一小一大”或“一大”，即一道选择或填空题和一道解答题，或只出一道解答题．
2．选择题一般在第11题的位置，填空题一般在第14题的位置，多考查线面位置关系的判断，难度较小．
3．解答题多出现在第18或19题的位置，其基本模式是“一证明二计算”，即第(1)问考查空间平行或垂直关系的证明，第(2)问考查利用空间向量求异面直线所成的角、线面角或二面角，难度中等偏上．
(十六)直线与圆
年份 卷别 具体考查内容及命题位置
2018 Ⅲ卷 直线与圆位置关系的应用·T6
2017 Ⅲ卷 直线与圆的位置关系及椭圆性质·T10
2016 甲卷 圆的方程、点到直线的距离应用·T4
2015 Ⅰ卷 求圆的方程·T14
Ⅱ卷 圆的方程及两点间的距离问题·T7
[命题分析]
1．近两年圆的方程成为高考全国课标卷命题的热点，需重点关注．此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题形式考查．
2．直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度，有时也会出现在压轴题的位置，难度较大，对直线与圆的方程(特别是直线)的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上．
(十七)圆锥曲线的方程与性质
年份 卷别 具体考查内容及命题位置
2018 Ⅰ卷 直线与抛物线的位置关系及向量的数量积·T8
Ⅰ卷 双曲线的几何性质·T11
Ⅱ卷 双曲线的离心率与渐近线·T5
Ⅲ卷 双曲线的几何性质·T11
2017 Ⅰ卷 抛物线的定义与基本不等式·T10
双曲线的几何性质，圆的性质·T15
Ⅱ卷 双曲线的几何性质，直线与圆的位置关系·T9
Ⅲ卷 双曲线的方程与渐近线及椭圆的几何性质·T5
2016 甲卷 双曲线的定义、离心率问题·T11
乙卷 双曲线的几何性质与标准方程·T5
抛物线与圆的综合问题·T10
丙卷 直线与椭圆的位置关系、椭圆的离心率·T11
2015 Ⅰ卷 双曲线与向量的交汇·T5
Ⅱ卷 双曲线的几何性质·T11
2014 Ⅰ卷 双曲线的渐近线方程·T4
抛物线的定义·T10
Ⅱ卷 直线与抛物线的位置关系、抛物线的定义及几何性质·T10
2013 Ⅰ卷 双曲线的离心率与渐近线方程·T4
椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、中点弦·T10
Ⅱ卷 抛物线与圆的性质的应用·T11
[命题分析]
1．圆锥曲线的定义、方程与性质是每年必考的内容，多以选择题的形式考查，常出现在第4～11题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程的求法，难度中等．
2．圆锥曲线的综合问题多以解答题的形式考查，常作为压轴题出现在第20题的位置，一般难度较大．
(十八)概率、随机变量及其分布列
年份 卷别 具体考查内容及命题位置
2018 Ⅰ卷 几何概型·T10
Ⅱ卷 古典概型·T8
Ⅲ卷 二项分布及其期望·T8
2017 Ⅰ卷 几何概型·T2
正态分布、二项分布、概率及期望问题·T19
Ⅱ卷 二项分布的方差问题·T13
相互独立事件的概率、频率分布直方图、独立性检验·T18
Ⅲ卷 概率的分布列及期望·T18
2016 甲卷 几何概型、随机模拟·T10
互斥事件的概率、条件概率、随机变量的分布列和数学期望·T18
乙卷 几何概型·T4
柱状图、相互独立事件与互斥事件的概率、分布列和数学期望·T19
2015 Ⅰ卷 二项分布·T4
Ⅱ卷 茎叶图、数据的平均值和方差、相互独立事件的概率·T18
2014 Ⅰ卷 排列组合的综合应用与古典概型的概率求解·T5
Ⅱ卷 条件概率·T5
2013 Ⅰ卷 相互独立事件的概率、条件概率、离散型随机变量的分布列和数学期望·T19
Ⅱ卷 组合的简单应用、古典概型的概率求解·T14
分段函数、频率分布直方图、频率估计概率、随机变量的分布列和数学期望·T19
[命题分析]
1．概率、随机变量及其分布列是高考命题的热点之一，命题形式为“一小一大”，即一道选择或填空题和一道解答题．
2．选择或填空题常出现在第4～10题或第14～15题的位置，主要考查随机事件的概率、古典概型、几何概型，难度一般．
3．解答题常出现在第18或19题的位置，多以交汇性的形式考查，交汇点主要有两种：一是两图(频率分布直方图与茎叶图择一与随机变量的分布列、数学期望、方差相交汇来考查；二是两图(频率分布直方图与茎叶图)择一与线性回归或独立性检验相交汇来考查，难度中等．
(十九)选修4—4(坐标系与参数方程)
年份 卷别 具体考查内容及命题位置
2018 Ⅰ卷 极坐标方程与普通方程的互化及直线与圆的位置关系·T22
Ⅱ卷 参数方程与普通方程的互化及弦中点问题·T22
Ⅲ卷 参数方程的互化与求解及直线与圆的位置关系·T22
2017 Ⅰ卷 参数方程与普通方程互化及点到线最值问题·T22
Ⅱ卷 圆的直角坐标与极坐标的互化、三角形的面积及三角恒等变换·T22
Ⅲ卷 曲线的极坐标方程与直线的参数方程·T22
2016 甲卷 极坐标方程与直角坐标方程互化及应用、直线与圆的位置关系·T23
乙卷 参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用·T23
丙卷 参数方程、极坐标方程及点到直线的距离、三角函数的最值·T23
2015 Ⅰ卷 极坐标与直角坐标的互化以及极坐标方程的应用·T23
Ⅱ卷 参数方程和普通方程的互化、三角函数的性质·T23
2014 Ⅰ卷 参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化、三角恒等变换·T23
Ⅱ卷 极坐标方程与参数方程的互化、参数方程的几何意义·T23
2013 Ⅰ卷 参数方程和普通方程的互化、极坐标方程和直角坐标方程的互化·T23
Ⅱ卷 参数方程的求法、三角函数的应用·T23
[命题分析]
1．坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用．
2．全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用．
(二十)选修4—5(不等式选讲)
年份 卷别 具体考查内容及命题位置
2018 Ⅰ卷 含绝对值不等式的解法及不等式恒成立问题·T23
Ⅱ卷 含绝对值不等式的解法·T23
Ⅲ卷 含绝对值函数图象的画法及不等式的求解·T23
2017 Ⅰ卷 含绝对值不等式的解法及参数的范围·T23
Ⅱ卷 不等式的证明·T23
Ⅲ卷 绝对值不等式及含参数问题的不等式·T23
2016 甲卷 含绝对值不等式的解法及比较法证明不等式·T24
乙卷 绝对值不等式的解法及分段函数的图象·T24
丙卷 绝对值不等式解法·T24
2015 Ⅰ卷 绝对值不等式的求解、数形结合求三角形面积公式·T24
Ⅱ卷 不等式的证明、充要条件的判断·T24
2014 Ⅰ卷 基本不等式、函数最值·T24
Ⅱ卷 绝对值的三角不等式、基本不等式、一元二次不等式·T24
2013 Ⅰ卷 绝对值不等式的求解、分段函数及其图象及不等式恒成立问题·T24
Ⅱ卷 基本不等式的应用·T24
[命题分析]
1．不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法等，命题的热点是绝对值不等式的求解，以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解．
2．此部分命题形式单一、稳定，难度中等，备考本部分内容时应注意分类讨论思想的应用．
三、20%的题目是较难题目，主要集中在3大块
(一)选择、填空中的压轴题
年份 卷别 具体考查内容及命题位置
2018 Ⅰ卷 空间几何体的截面面积最值问题·T12
Ⅰ卷 以三角函数为载体的导数求最值问题·T16
Ⅱ卷 椭圆的有关几何性质求离心率·T12
Ⅱ卷 圆锥的截面及圆锥的侧面积·T16
Ⅲ卷 对数运算及对数式的大小比较·T12
Ⅲ卷 直线与抛物线的位置关系·T16
2017 Ⅰ卷 以数列为背景的推理问题·T12
折叠问题求体积·T16
Ⅱ卷 平面向量的坐标运算及数量积及函数最值·T12
抛物线的方程、性质及直线与抛物线的位置关系·T16
Ⅲ卷 直线与圆的位置关系、平面向量坐标运算与最值·T12
空间中线线角的求解·T16
2016 甲卷 函数图象的应用·T12
导数的几何意义、直线方程·T16
乙卷 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质·T12
线性规划求最值·T16
丙卷 计数原理与组合知识、新定义问题·T12
2015 Ⅰ卷 函数的概念、不等式的解法·T12
正、余弦定理解三角形·T16
Ⅱ卷 导数与函数的单调性·T12
数列的递推关系式、等差数列的定义与通项·T16
2014 Ⅰ卷 空间几何体的三视图、简单几何体、三棱锥中的棱长的计算·T12
正弦定理和余弦定理解三角形、三角形的面积公式、基本不等式·T16
Ⅱ卷 不等式恒成立问题、三角函数的图象与性质·T12
三角不等式、两点间的距离公式·T16
2013 Ⅰ卷 三角形的性质与面积公式、数列的单调性·T12
函数的图象、解析式及函数的最值·T16
Ⅱ卷 三角形的面积、直线与方程·T12
等差数列的前n项和公式与通项、函数的单调性与应用·T16
[命题分析]
1．每年高考题中的第12题和第16题都有一定难度，所考查的知识点多样，有函数的零点与不等式，函数、导数与不等式，数列与不等式，圆锥曲线的综合问题和一些知识点的创新问题等．
2．学有余力的考生在对此部分内容复习时要有深度和广度，能力一般的考生要掌握一定的答题技巧，争取拿分．
(二)解答题第20题压轴题
年份 卷别 具体考查内容及命题位置
2018 Ⅰ卷 二项分布及导数求最值、二项分布的期望及应用·T20
Ⅱ卷 空间线面垂直及线面角问题·T20
Ⅲ卷 直线与圆锥曲线的位置关系及向量与等差数列的综合·T20
2017 Ⅰ卷 椭圆性质、直线与圆位置关系及定点问题·T20
Ⅱ卷 轨迹方程及平面向量的坐标运算与证明问题·T20
Ⅲ卷 直线与抛物线的位置关系、直线方程、圆的方程·T20
2016 甲卷 直线与椭圆的位置关系、面积问题、范围问题·T20
乙卷 定值问题、轨迹方程求法、直线与椭圆位置关系及范围问题·T20
丙卷 证明问题、轨迹问题、直线与抛物线的位置关系·T20
2015 Ⅰ卷 直线与圆锥曲线的综合问题·T20
Ⅱ卷 直线与圆锥曲线的综合问题，定值问题·T20
2014 Ⅰ卷 椭圆方程、直线与椭圆位置关系、点到直线的距离，面积的最值问题·T20
Ⅱ卷 椭圆的性质及直线与圆锥曲线的位置关系·T20
2013 Ⅰ卷 曲线与方程及直线与椭圆的位置关系·T20
Ⅱ卷 椭圆的标准方程及直线与圆锥曲线的位置关系·T20
[命题分析]
1．解答题第20题压轴题一般考查解析几何的有关内容，难度较大．
2．本题常考查直线与圆锥曲线的位置关系、最值、范围、定点、定值、存在性问题及证明问题，多涉及最值与范围的求解，综合性强．
(三)解答题第21题压轴题
年份 卷别 具体考查内容及命题位置
2018 Ⅰ卷 导数单调性的讨论及利用导数证明不等式·T21
Ⅱ卷 利用导数证明不等式及利用导数判断函数零点·T21
Ⅲ卷 利用导数证明不等式及导数极值的应用·T21
2017 Ⅰ卷 函数的单调性与零点问题·T21
Ⅱ卷 函数的单调性问题，求极值、最值以及零点存在性定理·T21
Ⅲ卷 利用导数解决函数的单调性问题，函数与不等式的综合问题·T21
2016 甲卷 函数单调性的判断、不等式证明及值域问题·T21
乙卷 函数的零点问题、不等式的证明·T21
丙卷 三角函数的导数运算、最值问题及不等式证明·T21
年份 卷别 具体考查内容及命题位置
2015 Ⅰ卷 导数的几何意义，函数的最值、零点问题·T21
Ⅱ卷 利用导数研究函数的单调性、根据恒成立求参数的取值范围·T21
2014 Ⅰ卷 导数的几何意义、求函数解析式中的参数、不等式的证明·T21
Ⅱ卷 利用导数求单调区间与函数的最值、不等式的证明·T21
2013 Ⅰ卷 利用导数求切线、研究最值、证明不等式·T21
Ⅱ卷 函数的极值与单调性、以及利用导数证明不等式·T21
[命题分析]
1．解答题第21题压轴题一般考查利用导数研究函数的有关性质，难度中等偏上．
2．本题考查内容灵活多变，常涉及分类讨论思想、数形结合思想．另外，多与不等式、方程根的分布及函数的值域等问题相结合设置成综合性试题，难度较大．
考情分析—准备篇
[全国课标卷5年考情统计分析]
年份 卷别 具体考查内容及命题位置
2018 Ⅰ卷 集合的补集运算，一元二次不等式的解法·T2
Ⅱ卷 集合的表示及集合的元素个数·T2
Ⅲ卷 集合的交集运算·T1
2017 Ⅰ卷 集合的交集运算、指数不等式的解法·T1
Ⅱ卷 交集的运算及一元二次方程的解法·T2
Ⅲ卷 交集的运算及直线与圆的位置关系·T1
2016 甲卷 集合的并集运算、一元二次不等式的解法·T2
乙卷 集合的交集运算、一元二次不等式的解法·T1
丙卷 集合的交集运算、一元二次不等式的解法·T1
2015 Ⅰ卷 特称命题的否定·T3
Ⅱ卷 集合的交集运算、一元二次不等式的解法·T1
2014 Ⅰ卷 集合的表示、集合的交集运算、一元二次不等式的解法·T1
Ⅱ卷 集合的表示、集合的交集运算、一元二次不等式的解法·T1
年份 卷别 具体考查内容及命题位置
2018 Ⅰ卷 函数图象的判断·T3
Ⅱ卷 函数的奇偶性、对称性、周期性·T11
Ⅲ卷 函数图象的判定·T7
2017 Ⅰ卷 函数的奇偶性，单调性及不等式解法·T5
Ⅲ卷 分段函数及不等式·T15
2016 乙卷 函数图象的判断·T7
2015 Ⅰ卷 偶函数的定义·T13
Ⅱ卷 分段函数的求值·T5
函数图象的判断·T10
2014 Ⅰ卷 函数奇偶性的判断·T3
Ⅱ卷 函数的奇偶性、单调性、不等式的解法·T15
年份 卷别 具体考查内容及命题位置
2018 Ⅰ卷 平面向量的线性运算·T6
Ⅱ卷 平面向量数量积的运算·T4
Ⅲ卷 平面向量的坐标运算及共线问题·T13
2017 Ⅰ卷 向量模的运算·T13
2016 甲卷 向量垂直的应用·T3
乙卷 向量模的运算·T13
丙卷 向量的夹角问题·T3
2015 Ⅰ卷 平面向量的线性运算·T7
Ⅱ卷 平面向量共线定理的应用·T13
2014 Ⅰ卷 平面向量加法的几何意义·T15
Ⅱ卷 平面向量的模、数量积的运算·T3
年份 卷别 具体考查内容及命题位置
2018 Ⅰ卷 线性规划求最值·T13
Ⅱ卷 线性规划求最值·T14
2017 Ⅰ卷 线性规划求最值·T14
Ⅱ卷 线性规划求最值·T5
Ⅲ卷 线性规划求最值·T13
2016 乙卷 不等式的性质、对数函数、幂函数的性质·T8
丙卷 线性规划求最值·T13
2015 Ⅰ卷 直线的斜率公式、线性规划求最值·T15
Ⅱ卷 线性规划求最值·T14
2014 Ⅰ卷 线性规划、全称命题与特称命题的真假判断·T9
Ⅱ卷 线性规划求最值·T9
不等式与函数的关系、函数的性质·T15
年份 卷别 具体考查内容及命题位置
2018 Ⅰ卷 空间几何体的三视图及侧面展开图·T7
Ⅱ卷 空间几何体的侧面积·T16
Ⅲ卷 空间几何体的三视图·T3
2017 Ⅰ卷 空间几何体的三视图及表面积·T7
Ⅱ卷 循环结构的运用·T8
空间几何体的三视图及体积·T4
Ⅲ卷 圆柱的体积·T8
2016 甲卷 空间几何体的三视图及组合体表面积的计算·T6
乙卷 有关球的三视图及表面积·T6
丙卷 空间几何体三视图及表面积的计算·T9
直三棱柱的体积最值问题·T10
2015 Ⅰ卷 锥体体积的计算·T6
空间几何体的三视图及组合体表面积的计算·T11
Ⅱ卷 空间几何体的三视图及相关体积的计算·T6
三棱锥的体积、球的表面积、球与三棱锥的结构特征·T9
2014 Ⅱ卷 空间几何体的三视图及组合体体积的计算·T6
年份 卷别 具体考查内容及命题位置
2018 Ⅰ卷 复数的四则运算与模·T1
Ⅱ卷 复数的除法运算·T1
Ⅱ卷 循环结构的应用·T7
Ⅲ卷 复数的乘法运算·T2
2017 Ⅰ卷 复数的概念、运算及命题·T3
Ⅱ卷 复数的除法运算·T1
合情推理与演绎推理·T7
循环结构对当型循环结构的考查·T8
Ⅲ卷 复数的四则运算与模·T2
循环结构的考查·T7
2016 甲卷 复数的几何意义·T1
循环结构的应用·T8
乙卷 复数相等及模的运算·T2
循环结构的应用·T9
丙卷 共轭复数的概念及运算·T2
循环结构的应用·T7
2015 Ⅰ卷 复数的基本运算、复数的模·T1
循环结构程序框图的输出功能(数列为背景)·T9
Ⅱ卷 复数的基本运算·T2
循环结构的程序框图(更相减损术为背景)·T8
2014 Ⅰ卷 复数的基本运算·T2
循环结构程序框图的输出功能·T7
实际问题中的推理·T14
Ⅱ卷 复数的基本运算、几何意义·T2
循环结构程序框图的输出功能·T7
年份 卷别 具体考查内容及命题位置
2018 Ⅰ卷 统计图表·T3
Ⅱ卷 回归分析及应用·T18
Ⅲ卷 茎叶图及独立性检验·T18
2017 Ⅲ卷 折线图·T3
2016 丙卷 统计图表的应用·T4
折线图、相关性检验、线性回归方程及其应用·T18
2015 Ⅰ卷 散点图、求回归方程、回归分析·T19
Ⅱ卷 条形图、两变量间的相关性·T3
2014 Ⅰ卷 频率分布直方图、用样本的数字特征估计总体的数字特征、正态分布、数学期望·T18
Ⅱ卷 线性回归方程及其应用、最小二乘法·T19
年份 卷别 具体考查内容及命题位置
2018 Ⅰ卷 排列组合的应用·T15
Ⅲ卷 二项展开式的系数·T5
2017 Ⅰ卷 二项式定理、二项式定理展开式特定项系数·T6
Ⅱ卷 分步乘法计数原理、排列组合的应用·T6
Ⅲ卷 二项式展开式求特定项系数·T4
2016 甲卷 计数原理、组合的应用·T5
乙卷 二项式定理、特定项的系数·T14
2015 Ⅰ卷 二项式定理、二项展开式特定项的系数·T10
Ⅱ卷 二项式定理、二项展开式的系数和·T15
2014 Ⅰ卷 二项式定理、特定项的系数·T13
Ⅱ卷 二项式定理、特定项的系数·T13
年份 卷别 具体考查内容及命题位置
2018 Ⅰ卷 分段函数及利用函数零点求参数·T9
Ⅱ卷 对数的运算及大小比较·T12
2017 Ⅰ卷 指数与对数的转化和对数运算·T11
2016 乙卷 幂函数、指数函数、对数函数的单调性、大小比较·T8
丙卷 指数函数与幂函数的大小比较·T6
2015 Ⅱ卷 对数运算、分段函数求值·T5
2013 Ⅱ卷 对数的运算与大小比较·T8
年份 卷别 具体考查内容及命题位置
2018 Ⅰ卷 函数的奇偶性及导数的几何意义·T5
Ⅱ卷 复合函数的导数及导数的几何意义·T13
Ⅲ卷 导数的乘法运算及导数的几何意义·T14
2017 Ⅱ卷 导数的运算，利用导数判断单调性及极值·T11
Ⅲ卷 函数的零点·T11
2016 乙卷 导数与函数图象·T7
丙卷 函数的奇偶性、导数的几何意义·T15
2014 Ⅰ卷 导数的应用、零点的求法·T11
Ⅱ卷 利用导数的几何意义，求解析式的参数·T8
2013 Ⅰ卷 函数图象及其变换、导数的几何意义·T11
Ⅱ卷 利用导数等知识研究函数的性质·T10
年份 卷别 具体考查内容及命题位置
2018 Ⅱ卷 三角函数的单调性·T10
Ⅲ卷 三角函数的图象及函数零点·T15
2017 Ⅰ卷 三角函数的图象变换·T9
Ⅱ卷 三角函数的图象与性质及配方法求最值·T14
Ⅲ卷 三角函数的图象与性质·T6
2016 甲卷 三角函数图象的变换与性质·T7
丙卷 三角函数的图象变换·T14
2015 Ⅰ卷 三角函数的图象与性质·T8
2014 Ⅰ卷 单位圆与三角函数的定义·T6
2013 Ⅰ卷 三角恒等变换、函数最值的求法·T15
年份 卷别 具体考查内容及命题位罩
2018 Ⅰ卷 正、余弦定理在三角形中的应用·T17
Ⅱ卷 三角恒等变换，余弦定理的应用·T6
Ⅱ卷 三角恒等变换求值·T15
Ⅲ卷 倍角公式求值·T4
Ⅲ卷 余弦定理的应用·T9
2017 Ⅰ卷 两角和的余弦公式及利用正余弦定理解三角形·T17
Ⅱ卷 诱导公式及二倍角公式，余弦定理及三角形面积·T17
Ⅲ卷 正、余弦定理在解三角形中的应用·T17
2016 甲卷 诱导公式、三角恒等变换求值问题·T9
正弦定理的应用、诱导公式·T13
乙卷 正、余弦定理，两角和的正弦公式·T17
丙卷 同角三角函数的基本关系·T5
解三角形(正、余弦定理)·T8
2015 Ⅰ卷 诱导公式、两角和的正弦公式·T2
Ⅱ卷 正、余弦定理解三角形、三角形的面积公式·T17
2014 Ⅰ卷 三角函数的诱导公式、二倍角公式·T8
Ⅱ卷 余弦定理、三角形的面积公式·T4
三角恒等变换与三角函数的性质·T14
2013 Ⅰ卷 三角恒等变换及函数最值·T15
正、余弦定理的应用·T17
Ⅱ卷 同角三角函数关系式、三角恒等变换·T15
正、余弦定理解三角形及三角形的面积公式·T17
年份 卷别 具体考查内容及命题位置
2018 Ⅰ卷 等差数列的基本运算·T4
Ⅰ卷 等差数列前n项积及运算·T14
Ⅱ卷 等差数列的通项公式及前n项和T17
Ⅲ卷 等差数列的通项公式及前n项和公式·T17
2017 Ⅰ卷 等差数列的基本运算·T4
Ⅱ卷 等比数列的概念及前n项和公式·T3
等差数列的通项公式及前n项和·T15
Ⅲ卷 等差数列的通项公式与等比数列的性质·T9
等比数列的通项公式与性质·T14
2016 甲卷 等差数列的通项公式和前n项和公式·T17
乙卷 等差数列的基本运算·T3
等比数列的运算及二次函数最值问题·T15
丙卷 数列的递推关系、等比数列的通项公式·T17
2015 Ⅰ卷 等差数列的通项公式、裂项求和·T17
Ⅱ卷 等比数列的性质·T4
2014 Ⅰ卷 等差数列、递推关系·T17
Ⅱ卷 构造新数列及求和·T17
2013 Ⅰ卷 等差数列的通项公式与前n项和公式·T7
数列前n项和与第n项的关系、等比数列的定义与通项·T14
Ⅱ卷 等比数列的通项公式与前n项和公式·T3
年份 卷别 具体考查内容及命题位置
2018 Ⅰ卷 空间面面垂直及线面角的正弦值·T18
Ⅱ卷 异面直线所成的角·T9
Ⅱ卷 空间线面垂直及线面角、二面角·T20
Ⅲ卷 空间面面垂直及二面角·T19
2017 Ⅰ卷 面面垂直的证明、求二面角的余弦值·T18
Ⅱ卷 空间中异面直线所成的角·T10
直线与平面平行的判定，求二面角的余弦值·T19
Ⅲ卷 面面垂直的判定及求二面角的余弦值·T19
2016 甲卷 空间中线、面位置关系的判定与性质·T14
线面垂直的证明、求二面角的正弦值·T19
乙卷 求异面直线所成的角·T11
面面垂直的证明、求二面角的余弦值·T18
丙卷 线面平行的证明、及线面角的求解·T19
2015 Ⅰ卷 面面垂直的证明、异面直线所成角的求解·T18
Ⅱ卷 空间线面间的位置关系、求线面角的正弦值·T19
2014 Ⅰ卷 空间线面间的位置关系、求二面角的余弦值·T19
Ⅱ卷 求异面直线所成的角·T11
线面平行的证明·T18
2013 Ⅰ卷 线线垂直的证明、求线面角的正弦值·T18
Ⅱ卷 线面平行的证明、求二面角的正弦值·T18
年份 卷别 具体考查内容及命题位置
2018 Ⅲ卷 直线与圆位置关系的应用·T6
2017 Ⅲ卷 直线与圆的位置关系及椭圆性质·T10
2016 甲卷 圆的方程、点到直线的距离应用·T4
2015 Ⅰ卷 求圆的方程·T14
Ⅱ卷 圆的方程及两点间的距离问题·T7
年份 卷别 具体考查内容及命题位置
2018 Ⅰ卷 直线与抛物线的位置关系及向量的数量积·T8
Ⅰ卷 双曲线的几何性质·T11
Ⅱ卷 双曲线的离心率与渐近线·T5
Ⅲ卷 双曲线的几何性质·T11
2017 Ⅰ卷 抛物线的定义与基本不等式·T10
双曲线的几何性质，圆的性质·T15
Ⅱ卷 双曲线的几何性质，直线与圆的位置关系·T9
Ⅲ卷 双曲线的方程与渐近线及椭圆的几何性质·T5
2016 甲卷 双曲线的定义、离心率问题·T11
乙卷 双曲线的几何性质与标准方程·T5
抛物线与圆的综合问题·T10
丙卷 直线与椭圆的位置关系、椭圆的离心率·T11
2015 Ⅰ卷 双曲线与向量的交汇·T5
Ⅱ卷 双曲线的几何性质·T11
2014 Ⅰ卷 双曲线的渐近线方程·T4
抛物线的定义·T10
Ⅱ卷 直线与抛物线的位置关系、抛物线的定义及几何性质·T10
2013 Ⅰ卷 双曲线的离心率与渐近线方程·T4
椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、中点弦·T10
Ⅱ卷 抛物线与圆的性质的应用·T11
年份 卷别 具体考查内容及命题位置
2018 Ⅰ卷 几何概型·T10
Ⅱ卷 古典概型·T8
Ⅲ卷 二项分布及其期望·T8
2017 Ⅰ卷 几何概型·T2
正态分布、二项分布、概率及期望问题·T19
Ⅱ卷 二项分布的方差问题·T13
相互独立事件的概率、频率分布直方图、独立性检验·T18
Ⅲ卷 概率的分布列及期望·T18
2016 甲卷 几何概型、随机模拟·T10
互斥事件的概率、条件概率、随机变量的分布列和数学期望·T18
乙卷 几何概型·T4
柱状图、相互独立事件与互斥事件的概率、分布列和数学期望·T19
2015 Ⅰ卷 二项分布·T4
Ⅱ卷 茎叶图、数据的平均值和方差、相互独立事件的概率·T18
2014 Ⅰ卷 排列组合的综合应用与古典概型的概率求解·T5
Ⅱ卷 条件概率·T5
2013 Ⅰ卷 相互独立事件的概率、条件概率、离散型随机变量的分布列和数学期望·T19
Ⅱ卷 组合的简单应用、古典概型的概率求解·T14
分段函数、频率分布直方图、频率估计概率、随机变量的分布列和数学期望·T19
年份 卷别 具体考查内容及命题位置
2018 Ⅰ卷 极坐标方程与普通方程的互化及直线与圆的位置关系·T22
Ⅱ卷 参数方程与普通方程的互化及弦中点问题·T22
Ⅲ卷 参数方程的互化与求解及直线与圆的位置关系·T22
2017 Ⅰ卷 参数方程与普通方程互化及点到线最值问题·T22
Ⅱ卷 圆的直角坐标与极坐标的互化、三角形的面积及三角恒等变换·T22
Ⅲ卷 曲线的极坐标方程与直线的参数方程·T22
2016 甲卷 极坐标方程与直角坐标方程互化及应用、直线与圆的位置关系·T23
乙卷 参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用·T23
丙卷 参数方程、极坐标方程及点到直线的距离、三角函数的最值·T23
2015 Ⅰ卷 极坐标与直角坐标的互化以及极坐标方程的应用·T23
Ⅱ卷 参数方程和普通方程的互化、三角函数的性质·T23
2014 Ⅰ卷 参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化、三角恒等变换·T23
Ⅱ卷 极坐标方程与参数方程的互化、参数方程的几何意义·T23
2013 Ⅰ卷 参数方程和普通方程的互化、极坐标方程和直角坐标方程的互化·T23
Ⅱ卷 参数方程的求法、三角函数的应用·T23
年份 卷别 具体考查内容及命题位置
2018 Ⅰ卷 含绝对值不等式的解法及不等式恒成立问题·T23
Ⅱ卷 含绝对值不等式的解法·T23
Ⅲ卷 含绝对值函数图象的画法及不等式的求解·T23
2017 Ⅰ卷 含绝对值不等式的解法及参数的范围·T23
Ⅱ卷 不等式的证明·T23
Ⅲ卷 绝对值不等式及含参数问题的不等式·T23
2016 甲卷 含绝对值不等式的解法及比较法证明不等式·T24
乙卷 绝对值不等式的解法及分段函数的图象·T24
丙卷 绝对值不等式解法·T24
2015 Ⅰ卷 绝对值不等式的求解、数形结合求三角形面积公式·T24
Ⅱ卷 不等式的证明、充要条件的判断·T24
2014 Ⅰ卷 基本不等式、函数最值·T24
Ⅱ卷 绝对值的三角不等式、基本不等式、一元二次不等式·T24
2013 Ⅰ卷 绝对值不等式的求解、分段函数及其图象及不等式恒成立问题·T24
Ⅱ卷 基本不等式的应用·T24
年份 卷别 具体考查内容及命题位置
2018 Ⅰ卷 空间几何体的截面面积最值问题·T12
Ⅰ卷 以三角函数为载体的导数求最值问题·T16
Ⅱ卷 椭圆的有关几何性质求离心率·T12
Ⅱ卷 圆锥的截面及圆锥的侧面积·T16
Ⅲ卷 对数运算及对数式的大小比较·T12
Ⅲ卷 直线与抛物线的位置关系·T16
2017 Ⅰ卷 以数列为背景的推理问题·T12
折叠问题求体积·T16
Ⅱ卷 平面向量的坐标运算及数量积及函数最值·T12
抛物线的方程、性质及直线与抛物线的位置关系·T16
Ⅲ卷 直线与圆的位置关系、平面向量坐标运算与最值·T12
空间中线线角的求解·T16
2016 甲卷 函数图象的应用·T12
导数的几何意义、直线方程·T16
乙卷 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质·T12
线性规划求最值·T16
丙卷 计数原理与组合知识、新定义问题·T12
2015 Ⅰ卷 函数的概念、不等式的解法·T12
正、余弦定理解三角形·T16
Ⅱ卷 导数与函数的单调性·T12
数列的递推关系式、等差数列的定义与通项·T16
2014 Ⅰ卷 空间几何体的三视图、简单几何体、三棱锥中的棱长的计算·T12
正弦定理和余弦定理解三角形、三角形的面积公式、基本不等式·T16
Ⅱ卷 不等式恒成立问题、三角函数的图象与性质·T12
三角不等式、两点间的距离公式·T16
2013 Ⅰ卷 三角形的性质与面积公式、数列的单调性·T12
函数的图象、解析式及函数的最值·T16
Ⅱ卷 三角形的面积、直线与方程·T12
等差数列的前n项和公式与通项、函数的单调性与应用·T16
年份 卷别 具体考查内容及命题位置
2018 Ⅰ卷 二项分布及导数求最值、二项分布的期望及应用·T20
Ⅱ卷 空间线面垂直及线面角问题·T20
Ⅲ卷 直线与圆锥曲线的位置关系及向量与等差数列的综合·T20
2017 Ⅰ卷 椭圆性质、直线与圆位置关系及定点问题·T20
Ⅱ卷 轨迹方程及平面向量的坐标运算与证明问题·T20
Ⅲ卷 直线与抛物线的位置关系、直线方程、圆的方程·T20
2016 甲卷 直线与椭圆的位置关系、面积问题、范围问题·T20
乙卷 定值问题、轨迹方程求法、直线与椭圆位置关系及范围问题·T20
丙卷 证明问题、轨迹问题、直线与抛物线的位置关系·T20
2015 Ⅰ卷 直线与圆锥曲线的综合问题·T20
Ⅱ卷 直线与圆锥曲线的综合问题，定值问题·T20
2014 Ⅰ卷 椭圆方程、直线与椭圆位置关系、点到直线的距离，面积的最值问题·T20
Ⅱ卷 椭圆的性质及直线与圆锥曲线的位置关系·T20
2013 Ⅰ卷 曲线与方程及直线与椭圆的位置关系·T20
Ⅱ卷 椭圆的标准方程及直线与圆锥曲线的位置关系·T20
年份 卷别 具体考查内容及命题位置
2018 Ⅰ卷 导数单调性的讨论及利用导数证明不等式·T21
Ⅱ卷 利用导数证明不等式及利用导数判断函数零点·T21
Ⅲ卷 利用导数证明不等式及导数极值的应用·T21
2017 Ⅰ卷 函数的单调性与零点问题·T21
Ⅱ卷 函数的单调性问题，求极值、最值以及零点存在性定理·T21
Ⅲ卷 利用导数解决函数的单调性问题，函数与不等式的综合问题·T21
2016 甲卷 函数单调性的判断、不等式证明及值域问题·T21
乙卷 函数的零点问题、不等式的证明·T21
丙卷 三角函数的导数运算、最值问题及不等式证明·T21
2015 Ⅰ卷 导数的几何意义，函数的最值、零点问题·T21
Ⅱ卷 利用导数研究函数的单调性、根据恒成立求参数的取值范围·T21
2014 Ⅰ卷 导数的几何意义、求函数解析式中的参数、不等式的证明·T21
Ⅱ卷 利用导数求单调区间与函数的最值、不等式的证明·T21
2013 Ⅰ卷 利用导数求切线、研究最值、证明不等式·T21
Ⅱ卷 函数的极值与单调性、以及利用导数证明不等式·T21
