热点微专题 第1讲
一、选择题
1．(2018·安徽马鞍山市一质检)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5}，全集U＝A∪B，则集合?U(A∩B)的元素个数有( )
A．1个 B．2个
C．3个 C．4个
[解析] U＝A∪B＝{1,2,3,4,5}，A∩B＝{3,4}
∴?U(A∩B)＝{1,2,5}，即集合?U(A∩B)的元素个数有3个，故选C.
[答案] C
2．(2018·安徽宿州质检)已知集合A＝{x|x2＜1}，B＝{x|2x＞}，则A∩B＝( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|x＞}，所以A∩B＝，应选答案C.
[答案] C
3．给出下列四个结论：①{0}是空集； ②若a∈N，则－a?N；
③集合A＝{x|x2－2x＋1＝0}中有两个元素； ④集合B＝)是有限集．
其中正确结论的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] 对于①，{0}中含有元素0，不是空集，故①错误；
对于②，比如0∈N，－0∈N，故②错误；
对于③，集合A＝{x|x2－2x＋1＝0}＝{1}中有一个元素，故③错误；
对于④，当x∈Q且∈N时，可以取无数个值，所以集合B＝)是无限集，故④错误．
综上可知，正确结论的个数是0.故选A.
[答案] A
4．(2018·湖北黄石联考)已知方程(x2－6x＋b1)(x2－6x＋b2)(x2－6x＋b3)＝0的所有解都为自然数，其组成的解集为A＝{x1，x2，x3，x4，x5}，则b1＋b2＋b3的值不可能为( )
A．13 B．14
C．17 D．22
[解析] 当b1，b2，b3分别取0,5,9时，A＝{0,6,1,5,3}，b1＋b2＋b3＝14，排除B，当b1，b2，b3分别取0,8,9时，A＝{0,6,2,4,3}，b1＋b2＋b3＝17，排除C，当b1，b2，b3分别取5,8,9时，A＝{1,5,2,4,3}，b1＋b2＋b3＝22，排除D，故选A.
[答案] A
5．(2018·北京市朝阳区二模)“x＞0，y＞0”是“＋≥2”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] “x＞0，y＞0”?“＋≥2”，反之不成立，例如取x＝y＝－1.
∴x＞0，y＞0”是“＋≥2”的充分而不必要条件．
故选A.
[答案] A
6．(2018·甘肃兰州西北师大附中调研)已知数列{an}，{bn }满足bn＝an＋an＋1，则“数列{an}为等差数列”是“数列{bn}为等差数列”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 若数列{an}为等差数列，设其公差为d，则bn＋1－bn＝(an＋1＋an＋2)－(an＋an＋1)＝an＋2－an＝2d1，所以数列{bn}是等差数列；若数列{bn}为等差数列，设其公差为d2，则bn＋1－bn＝(an＋1＋an＋2)－(an＋an＋1)＝an＋2－an＝d2，不能推出数列{an}为等差数列，所以“数列{an}为等差数列”是“数列{bn}为等差数列”的充分不必要条件，故选A.
[答案] A
7．(2018·开封模拟)已知命题p1：?x∈(0，＋∞)，有3x＞2x，p2：?θ∈R，sin θ＋cos θ＝，则在命题q1：p1∨p2；q2：p1∧p2；q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，真命题是( )
A．q1，q3 B．q2，q3
C．q1，q4 D．q2，q4
[解析] 因为y＝x在R上是增函数，即y＝x＞1在(0，＋∞)上恒成立，所以p1是真命题；sin θ＋cos θ＝sin≤，所以命题p2是假命题，綈p2是真命题，所以命题q1：p1∨p2，q4：p1∧(綈p2)是真命题，选C.
[答案] C
8．(2018·安徽合肥一模)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A、B为两个同高的几何体，p：A、B的体积不相等，q：A、B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 如果A，B在等高处的截面积恒相等，则A，B的体积相等，因此有p?q，但q?p不一定成立，把两个相同锥体放在一个平面上，再把其中一个锥体翻转底向上，顶点在在原底面所在平面，虽然在等高处的截面积不恒相等，但体积相等，故p是q的充分不必要条件．故选A.
[答案] A
9．(2018·江西赣州二模)对于下列说法正确的是( )
A．若f(x)是奇函数，则f(x)是单调函数
B．命题“若x2－x－2＝0，则x＝1”的逆否命题是“若x≠1，则x2－x－2＝0”
C．命题p：?x∈R,2x＞1024，则綈p：?x0∈R，2x0＜1024
D．命题“?x∈(－∞，0)，2x＜x2”是真命题
[解析] 对于A，若f(x)是奇函数，则f(x)是单调函数，不一定，比如y＝不是单调函数，在(－∞，0)，(0，＋∞)递减，故A错；对于B，命题“若x2－x－2＝0，则x＝1”的逆否命题是“若x≠1，则x2－x－2≠0”，故B错；对于C，命题p：?x∈R,2x＞1024，则綈p：?x0∈R,2x0≤1024，故C错；对于D，命题“?x∈(－∞，0)，2x＜x2”是真命题，正确，比如x＝－1,2－1＝＜1.故选D.
[答案] D
10．(2018·汉中市质检)给出下列五个结论：
①回归直线＝x＋一定过样本中心点(，)；
②命题“?x∈R，均有x2－3x－2＞0”的否定是“?x0∈R，使得x－3x0－2≤0”；
③将函数y＝cos x＋sin x(x∈R)的图象向右平移后，所得到的图象关于y轴对称；
④?m∈R，使f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋1是幂函数，且在(0，＋∞)上递增；
⑤函数f(x)＝恰好有三个零点．
其中正确的结论为( )
A．①②④ B．①②⑤
C．④⑤ D．②③⑤
[解析] 由回归分析的方法可知，结论①正确；由全称命题的否定方法可知，结论②正确；y＝2cos，将其图象向右移动后，得到的函数解析式为y＝2cos，该函数的图象不关于y轴对称，结论③不正确；m＝2时，函数f(x)＝x－1是幂函数，但在(0，＋∞)上递减，结论④不正确；x＋1＝0，解得x＝－1，为f(x)＝的一个零点，令23·|log2x|－1＝0，得|log2x|＝＝x，画出函数y＝|log2x|，y＝x的图象可知，方程2x·|log2x|－1＝0有两个实根，所以已知函数f(x)有三个零点，结论⑤正确．
[答案] B
11．(2018·淮南一模)已知f(x)＝则“f(f(a))＝1”是“a＝1”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 当a＝1，则f(a)＝f(1)＝0，则f(0)＝0＋1＝1，则必要性成立．
若x≤0，若f(x)＝1，则2x＋1＝1，则x＝0，
若x＞0，若f(x)＝1，则x2－1＝1，则x＝，
即若f(f(a))＝1，则f(a)＝0或，
若a＞0，则由f(a)＝0或得a2－1＝0或a2－1＝，即a2＝1或a2＝＋1，解得a＝1或a＝，
若a≤0，则由f(a)＝0或得2a＋1＝0或2a＋1＝，
即a＝－，此时充分性不成立，即“f(f(a))＝1”是“a＝1”的必要不充分条件．
[答案] B
12．(2018·辽宁丹东市一模)关于函数f(x)＝x2(ln x－a)＋a，给出以下4个结论：
①?a＞0，?x＞0，f(x)≥0；②?a＞0，?x＞0，f(x)≤0；③?a＞0，?x＞0，f(x)≥0；④?a＞0，?x＞0，f(x)≤0.其中正确结论的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] ①当a＝时，f(x)＝x2＋，其定义域为(0，＋∞)．由f′(x)＝2xln x＝0，得x＝1.
当x＞1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；
当0＜x＜1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；
∴当x＝1时，函数f(x)取得极小值，同时也是最小值f(1)＝－＋＝0.
∴对?x＞0，f(x)≥f(1)＝0，故①正确．
②当a＝5时，f(x)＝x2(ln x－5)＋5，f(e)＝e2(ln e－5)＋5＝－4e2＋5＜0，故②?a＞0，?x＞0，f(x)≤0成立．
③由②知，当a＝5时，?x＝e，满足e＞0，但f(e)＜0，故③?a＞0，?x＞0，f(x)≥0不成立，③错误．
④f′(x)＝2x，由f′(x)＝0，
即ln x＋－a＝0，得ln x＝a－.
∴?a＞0，函数f(x)都存在极值点，即?x＞0，f(x)≤0成立，故④正确，综上①②④正确，故选D.
[答案] D
二、填空题
13．已知命题p∶m∈R，且m＋1≤0；命题q∶?x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，若p∧q为假命题，则m的取值范围是__________．
[解析] 当命题p为真命题时，m≤－1，当命题q为真命题时，m2－4<0，－2[答案] (－∞，－2]∪(－1，＋∞)
14．(2018·安徽江淮十校三模)设有两个命题，p：关于x的不等式ax＞1(a＞0，且a≠1)的解集是{x|x＜0}；q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R.如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是________．
[解析] p：关于x的不等式ax＞1(a＞0，且a≠1)的解集是{x|x＜0}，则0＜a＜1；
q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，a＝0时不成立，a≠0时，则，解得0＜a＜.
如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则命题p与q必然一真一假．
∴，或，解得≤a＜1，
则实数a的取值范围是≤a<1.
[答案] ≤a<1
15．(2018·北京市朝阳区期中)将集合M＝{1,2,3，...,15}表示为它的5个三元子集(三元集：含三个元素的集合)的并集，并且这些三元子集的元素之和都相等，则每个三元集的元素之和为________；请写出满足上述条件的集合M的5个三元子集__________(只写出一组)
[解析] 因为5个三元子集(三元集：含三个元素的集合)的并集为集合M＝{1,2,3，...,15}，所以元素总和为：＝120，又因为这5个三元子集的元素之和都相等，所以每个集合的元素和为＝24.
满足上述条件的集合M的5个三元子集可以是：{1,8,15}，{3,7,14}，{5,6,13}，{2,10,12}，{4,9,11}(答案不唯一)．
[答案] 24 {1,8,15}，{3,7,14}，{5,6,13}，{2,10,12}，{4,9,11}(答案不唯一)
16．(2018·广东惠州第二调研)若数列{an}满足a－a＝p(p为常数，n≥2，n∈N*)，则称数列{an}为等方差数列，p为公方差，已知正数等方差数列{an}的首项a1＝1，且a1，a2，a5成等比数列，a1≠a2，设集合A＝，取A的非空子集B，若B的元素都是整数，则B为“完美子集”，那么集合A中的完美子集的个数为________．
[解析] 根据等方差数列的定义得an＝，Tn＝＝，令Tn＝k(k∈N*)，则n＝，由1≤n≤100得k可取1,2,3…，6，即集合A中有六个整数，于是A中的完美子集的个数为26－1＝63个．
[答案] 63
热点微专题 常考客观题型
第1讲 集合与常用逻辑用语
【方法提升】
解答集合的概念、关系及运算问题的一般思路
(1)正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性、代表的意义．
(2)根据集合中元素的性质化简集合．
(3)依据元素的不同属性采用不同的方法求解，此时常用到以下技巧：
①若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；
②若已知的集合是点集，用数形结合法求解；
③若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．
易错提醒：注意元素的互异性及空集的特殊性．
[解析] 根据全称命题的否定是特称命题如A正确；由于x＝1可得x2－3x＋2＝0，而由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，所以“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件B正确；命题p∧q为假命题，则p，q不一定都是假命题，故C错；根据逆否命题的定义可知D正确，故选C.
[答案] C
第1讲 集合与常用逻辑用语
[真题再现]
1．(2018·课标Ⅲ)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝( )
A．{0} B．{1}
C．{1,2} D．{0,1,2}
[解析] ∵ A＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，∴ A∩B＝{1,2}．故选C.
[答案] C
2．(2018·课标Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则?RA＝( )
A．{x|－1C．{x|x<－1}∪{x|x>2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
[解析] ∵ x2－x－2>0，∴ (x－2)(x＋1)>0，∴ x>2或x<－1，即A＝{x|x>2或x<－1}．在数轴上表示出集合A，如图所示．
由图可得?RA＝{x|－1≤x≤2}．故选B.
[答案] B
3．(2018·课标Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )
A．9 B．8
C．5 D．4
[解析] 将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A.
[答案] A
4．(2018·北京)已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{－2,0,1,2}，则A∩B＝( )
A．{0,1} B．{－1,0,1}
C．{－2,0,1,2} D．{－1,0,1,2}
[解析] ∵ A＝{x||x|<2}＝{x|－2[答案] A
5．(2018·天津)设全集为R，集合A＝{x|0A．{x|0C．{x|1≤x<2} D．{x|0[解析] 全集为R，B＝{x|x≥1}，则?RB＝{x|x<1}．
∵ 集合A＝{x|0[答案] B
[看透高考]
1．高考对集合的考查主要是集合的含义、集合之间的基本关系和集合的运算，并且以集合的运算为主．试题往往与不等式的解集、函数的定义域和值域、方程的解集、平面上的点集等相互交汇．试题难度不大，但涉及的知识面较广，同时还应注意在集合中常以创新题的形式考查考生分析问题和解决问题的能力．
2．高考对常用逻辑用语的考查主要是命题、充要条件、逻辑联结词和量词，并且以充要条件的判断、命题真假的判断为主．这两类问题通常把逻辑的有关知识与具体数学知识结合在一起考查．对含有量词的命题的否定也是一个值得注意的考点，该部分的备考以基本知识为主．
[核心素养]
1．集合的运算性质与结论
(1)A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A.
(2)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A.
(3)A∩(?UA)＝?，A∪(?UA)＝U.
(4)A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A.
2．四种命题的关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件与必要条件
(1)若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p?q，则p，q互为充要条件；
(2)充要条件与集合的关系：设命题p对应集合A，命题q对应集合B，则p?q等价于A?B，p?q等价于A＝B.
4．复合命题真假的判断方法
命题p∧q，p∨q及綈p真假可以用下表来判定：
p q p∧q p∨q 綈p
真 真 真 真 假
真 假 假 真 假
假 真 假 真 真
假 假 假 假 真
口诀记忆：p∨q，一真则真；p∧q，一假则假；綈p与p真假相反．
5．全(特)称命题及其否定
(1)全称命题p：?x∈M，p(x)．它的否定綈p：?x0∈M，綈p(x0)．
(2)特称命题p：?x0∈M，p(x0)．它的否定綈p：?x∈M，綈p(x)．
【易错警示】
(1)在遇到条件A?B，A∪B＝B，A∩B＝A时，不要遗漏A＝?的情况．
(2)解决集合问题时，要注意根据集合元素的互异性进行检验．
(3)集合中含有分式不等式时求补集，注意不要错误的否定条件而导致错误，如若A＝，则A的补集不是.
(4)在对全称命题和特称命题进行否定时，不要忽视对量词的改变．
(5)在判断充分、必要条件时，务必弄清楚问题的设问方式，区分“甲是乙的什么条件”与“甲的一个什么条件是乙”两种说法．
考向一 集合的概念、基本关系与基本运算
【例1】
1．(2018·郑州质量预测)已知集合A＝)，B＝{x|y＝lg(－x2＋4x＋5)}，则A∩(?RB)＝( )
A．(－2，－1] B．[－2，－1)
C．(－1,1) D．[－1,1]
[解析] 依题意，A＝＝{x|－20}＝{x|－1[答案] A
2．(2018·河南六市第一次联考)已知集合A＝{x|x2－3x＜0}，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是( )
A．(0,3) B．(0,1)∪(1,3)
C．(0,1) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)
[解析] 因为A∩B有4个子集，所以A∩B中有2个不同的元素，所以a∈A，所以a2－3a＜0，解得0＜a＜3且a≠1，即实数a的取值范围是(0,1)∪(1,3)，故选B.
[答案] B
3．(2018·山师大附中高三三模)已知集合A＝，B＝{x|x2－2x－8≤0}，则A∩B＝( )
A．{x|－2≤x≤0} B．{x|2≤x≤4}
C．{x|0≤x≤4} D．{x|x≤－2}
[解析] 因为A＝＝{x|x≥0}，B＝{x|x2－2x－8≤0}＝{x|－2≤x≤4}，所以，A∩B＝{x|0≤x≤4}，故选C.
[答案] C
【方法提升】
解答集合的概念、关系及运算问题的一般思路
(1)正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性、代表的意义．
(2)根据集合中元素的性质化简集合．
(3)依据元素的不同属性采用不同的方法求解，此时常用到以下技巧：
①若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；
②若已知的集合是点集，用数形结合法求解；
③若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．
易错提醒：注意元素的互异性及空集的特殊性．
[题组训练]
1．(2018·广雅中学模拟)若全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是( )
[解析] 由题意知，N＝{x|x2＋x＝0}＝{－1,0}，而M＝{－1,0,1}，所以N?M，故选B.
[答案] B
2．(2018·湖南衡阳第三次联考)设集合A＝{(x，y)|＋＝1}，B＝{(x，y)|y＝3x}，则A∩B的子集的个数是( )
A．2 B．4
C．8 D．16
[解析] ∵集合A＝，∴＋＝1为椭圆和指数函数y＝3x图象，如图，可知其有两个不同交点，记为A1、A2，则A∩B的子集应为?，{A1}，{A2}，{A1，A2}共四种，故选B.
[答案] B
3．(2018·沈阳市模拟)若集合A＝{x|(a－1)x2＋3x－2＝0，x∈R}有且仅有两个子集，则实数a的值为________．
[解析] 由题意知，方程(a－1)x2＋3x－2＝0，x∈R，有一个根，∴当a＝1时满足题意，当a≠1时，Δ＝0，即9＋8(a－1)＝0，解得a＝－.
[答案] 1或－
考向二 命题真假的判断与否定
【例2】
1．(2018·泰安模拟)已知命题p：若复数z满足(z－i)(－i)＝5，则z＝6i；命题q：复数的虚部为－i，则下列为真命题的是( )
A．(綈p)∧(綈q) B．(綈p)∧q
C．p∧(綈q) D．p∧q
[解析] z＝＋i＝6i，所以命题p为真；
复数＝＝，虚部为－，
所以命题q为假．故(綈p)∧(綈q)为假；(綈p)∧q为假；
p∧(綈q)为真；p∧q为假，故选C.
[答案] C
2．(2018·山师大附中高三三模)下列说法错误的是( )
A．对于命题p：?x∈R，x2＋x＋1＞0，则綈p：?x0∈R，x＋x0＋1≤0
B．“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件
C．若命题p∧q为假命题，则p，q都是假命题
D．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”
[解析] 根据全称命题的否定是特称命题如A正确；由于x＝1可得x2－3x＋2＝0，而由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，所以“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件B正确；命题p∧q为假命题，则p，q不一定都是假命题，故C错；根据逆否命题的定义可知D正确，故选C.
[答案] C
3．(2018·甘肃省会宁月考)已知：命题p：若函数f(x)＝x2＋|x－a|是偶函数，则a＝0.命题：q∶?m∈(0，＋∞)，关于x的方程mx2－2x＋1＝0有解．在①p∨q；②p∧q；③(綈p)∧q；④(綈p)∨(綈q)中为真命题的是( )
A．②③ B．②④
C．③④ D．①④
[解析] 函数f(x)＝x2＋|x－a|是偶函数x的方程?f(－x)＝f(x)?a＝0?p为真命题；mx2－2x＋1＝0有解?Δ＝4－4m≥0?m≤1?q为假命题；故①④为真．
[答案] D
【方法提升】
命题真假的判定方法
(1)一般命题p的真假由涉及的相关知识辨别．
(2)四种命题真假的判断根据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无此规律．
(3)形如p∨q，p∧q，綈p命题的真假根据真值表判定．
(4)全称命题与特称(存在性)命题的真假的判定：
①全称命题：要判定一个全称命题为真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立，要判定其为假命题时，只需举出一个反例即可；
②特称(存在性)命题：要判定一个特称(存在性)命题为真命题，只要在限定集合M中至少能找到一个元素x0，使得p(x0)成立即可；否则，这一特称(存在性)命题就是假命题．
[题组训练]
1．(2018·黑龙江大庆三模)已知命题p：若a，b是实数，则a＞b是a2＞b2的充分不必要条件；命题q：“?x∈R，x2＋2＞3x” 的否定是“?x∈R，x2＋2＜3x”，则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．(綈p)∧q
C．p∧(綈p) D．(綈p)∧(綈q)
[解析] “a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件，所以p为假命题；“?x∈R，x2＋2＞3x”的否定是“?x∈R，x2＋2≤3x”，所以q为假命题；因此(綈p)∧(綈q)为真命题．故选择D.
[答案] D
2．(2018·吉大附中第五次模拟)已知命题P：对任意的x∈[1,2]，x2－a≥0，命题Q：存在x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0，若命题“P且Q”是真命题，则实数a的取值范围是________．
[解析] 对?x∈[1,2]，x2－a≥0，即a≤(x2)min＝1，即命题P：a≤1；
?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0，即x2＋2ax＋2－a＝0有实根，则4a2－4(2－a)≥0，解得a≥1或a≤－2，即命题Q：a≥1或a≤－2；因为命题“P且Q”是真命题，所以a＝1或a≤－2，即实数a的取值范围是a＝1或a≤－2.
[答案] a≤－2或a＝1
考向三 充分必要条件的判断
【例3】
1．(2018·河南林州调研)设函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|是偶函数”是“y＝f(x)的图象关于原点对称”( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 若y＝f(x)的图象关于原点对称，函数为奇函数，f(－x)＝－f(x)对于函数y＝|f(x)|，有|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，说明y＝|f(x)|为偶函数，而函数y＝|f(x)|，是偶函数，y＝f(x)的图象未必关于原点对称，如y＝|x2|是偶函数，而y＝x2的图象并不关于原点对称，所以“y＝|f(x)|是偶函数”是“y＝f(x)的图象关于原点对称”成立的必要不充分条件，选B.
[答案] B
2．(2018·山西省大同市豪洋中学四模试卷(理科))“m≤－”是“?x＞0，使得＋－＞m是真命题”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 若?x＞0，使得＋－＞m是真命题，
则m＜min，令f(x)＝＋－，
则f(x)≥2－＝1－＝－，故m＜－，
故m≤－是“m＜－”的必要不充分条件，故选B.
[答案] B
3．(2018·云南省第二次检测)已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝ex－e－x＋lg(x＋)，a，b都是实数，若p：a＋b＜0，q：f(a)＋f(b)＜0，则p是q的( )
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] ∵＞≥－x，∴?x∈R，x＋＞0，∴f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称，
且f(－x)＝e－x－ex＋lg(－x＋)
＝e－x－ex＋lg
＝e－x－ex＋lg
＝e－x－ex－lg(x＋)
＝－[ex－e－x＋lg(x＋)]＝－f(x)，
∴f(x)为R上的奇函数，又f(x)为R上的增函数，
∴p是q的充要条件，故选C.
[答案] C
【方法提升】
判断充分、必要条件时应关注三点
(1)要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.
(2)要善于举出反例：当从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．
(3)要注意转化：綈p是綈q的必要不充分条件?p是q的充分不必要条件；綈p是綈q的充要条件?p是q的充要条件．
[题组训练]
1．(2017·天津理)设θ∈R，则“＜”是“sin θ＜”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] ＜?0＜θ＜?sin θ＜，但θ＝0，sin θ＜，不满足 ＜，所以是充分不必要条件，选A.
[答案] A
2．(2018·长沙市模拟)给出下列命题：①已知a，b∈R，“a>1且b>1”是“ab>1”的充分条件；
②已知平面向量a，b，“|a|>1，|b|>1”是“|a＋b|>1”的必要不充分条件；
③已知a，b∈R，“a2＋b2≥1”是“|a|＋|b|≥1”的充分不必要条件；
④命题P：“?x0∈R，使ex0≥x0＋1且ln x0≤x0－1”的否定为綈p：“?x∈R，都有exx－1”．其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] ①已知a，b∈R，“a>1且b>1”能够推出“ab>1”，“ab>1”不能推出“ab>1”，本选项正确；②已知平面向量，a，b，“|a|>1，|b|>1”不能推出“|a＋b|>1”，本选项不正确；③已知a，b∈R，“a2＋b2≥1”是“|a|＋|b|≥1”的充分不必要条件，正确；④命题P：“?x0∈R，使ex0≥x0＋1且ln x0≤x0－1”的否定为綈p：“?x∈R，都有exx－1”本选项不正确．
正确的个数为2.故选：C
[答案] C
3．(2018·云南第一次统一检测)已知a、b都是实数，命题p：a＋b＝2；命题q：直线x＋y＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切，则p是q的( )
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 由直线x＋y＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切，得＝，即a＋b＝±2，所以p是q的充分但不必要条件．
[答案] A
考向四 全称特称命题的否定
【例4】
1．(2018·东北名校联考)已知命题：p∶?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则綈p是( )
A．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0
B．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0，
C．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
D．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0
[答案] C
2．(2018·安徽江南十校期末大联考)命题“存在x0＞1，x＋(m－3)x0＋3－m＜0”为假命题．则m的取值范围是________．
[解析] 由题意知任意的x＞1，x2＋(m－3)x＋3－m≥0为真命题，而由x2＋(m－3)x＋3－m≥0变形得(x－1)2－(x－1)＋1＋(x－1)m≥0，由于x－1＞0则m≥－
＋1对任意x＞1恒成立，而－＋1≤－2＋1＝－1，当且仅当x－1＝即x＝2时取等号，因此m≥－1.
[答案] [－1，＋∞)
【方法提升】
全(特)称命题的否定
全称命题的否定是将全称量词改为存在量词，并把结论否定；特称命题的否定是将存在量词改为全称量词，并把结论否定．
[题组训练]
1．(2018·洛阳市统一考试)若命题p∶?x∈，tan x>sin x，则命题綈p为( )
A．?x0∈，tan x0≥sin x0
B．?x0∈，tan x0≥sin x0
C．?x0∈，tan x0≤sin x0
D．?x0∈∪，tan x0>sin x0
[解析] ?x的否定为?x0，>的否定为≤，所以命题綈p为?x0∈，tan x0≤sin x0.
[答案] C
2．(2018·山西八校联考)命题“存在x0＞－1，x＋x0－2019＞0”的否定是________．
[解析] 特称命题的否定是全称命题，故命题“存在x0＞－1，x＋x0－2019＞0”的否定是“任意x＞－1，x2＋x－2019≤0”．
[答案] “任意x＞－1，x2＋x－2019≤0”
以集合为载体的新信息题
新定义、新运算、新性质、新方法的创新性问题，首先要仔细观察、认真阅读，其次在彻底领悟、准确辨析的基础上，进行归纳、类比，做到触类旁通、举一反三．
[典题示例]
【典例】 (2018·河北省衡水中学测试)用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝，若A＝{1,2}，B＝，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值集合是S，则C(S)＝( )
A．4 B．3
C．2 D．1
[解析] 因为(x2＋ax)(x2＋ax＋2)＝0等价于x2＋ax＝0或x2＋ax＋2＝0，且A＝{1,2}，A*B＝1，所以B要么是单元素集，要么是三元素集。(1)若B是单元素集，则方程x2＋ax＝0有两个相等实数根，方程x2＋ax＋2＝0无实数根，故a＝0；(2)若B 是三元素集，则方程x2＋ax＝0有两个不相等实数根，方程x2＋ax＋2＝0两个相等且异于方程x2＋ax＝0的实数根，即a2－8＝0?a＝±且a≠0.
综上所求a＝0或a＝±，即S＝，故C(S)＝3，应选答案B.
[答案] B
【方法点睛】
解决创新集合新运算问题常分为三步：
(1)对新定义进行信息提取，确定化归的方向；
(2)对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法；
(3)对定义中提出的知识进行转换，有效地输出．其中对定义信息的提取和转化与化归是解题的关键，也是解题的难点．
[跟踪训练]
若x∈A，则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )
A．1 B．3
C．7 D．31
[解析] 由已知条件得，－1可以单独存在与伙伴关系集合中，2和同时存在于伙伴关系集合中，所以具有伙伴关系的元素组是－1；，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，，.
[答案] B
一、选择题
1．(2018·安徽马鞍山市一质检)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5}，全集U＝A∪B，则集合?U(A∩B)的元素个数有( )
A．1个 B．2个
C．3个 C．4个
[解析] U＝A∪B＝{1,2,3,4,5}，A∩B＝{3,4}
∴?U(A∩B)＝{1,2,5}，即集合?U(A∩B)的元素个数有3个，故选C.
[答案] C
2．(2018·安徽宿州质检)已知集合A＝{x|x2＜1}，B＝{x|2x＞}，则A∩B＝( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|x＞}，所以A∩B＝，应选答案C.
[答案] C
3．给出下列四个结论：①{0}是空集； ②若a∈N，则－a?N；
③集合A＝{x|x2－2x＋1＝0}中有两个元素； ④集合B＝)是有限集．
其中正确结论的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] 对于①，{0}中含有元素0，不是空集，故①错误；
对于②，比如0∈N，－0∈N，故②错误；
对于③，集合A＝{x|x2－2x＋1＝0}＝{1}中有一个元素，故③错误；
对于④，当x∈Q且∈N时，可以取无数个值，所以集合B＝)是无限集，故④错误．
综上可知，正确结论的个数是0.故选A.
[答案] A
4．(2018·湖北黄石联考)已知方程(x2－6x＋b1)(x2－6x＋b2)(x2－6x＋b3)＝0的所有解都为自然数，其组成的解集为A＝{x1，x2，x3，x4，x5}，则b1＋b2＋b3的值不可能为( )
A．13 B．14
C．17 D．22
[解析] 当b1，b2，b3分别取0,5,9时，A＝{0,6,1,5,3}，b1＋b2＋b3＝14，排除B，当b1，b2，b3分别取0,8,9时，A＝{0,6,2,4,3}，b1＋b2＋b3＝17，排除C，当b1，b2，b3分别取5,8,9时，A＝{1,5,2,4,3}，b1＋b2＋b3＝22，排除D，故选A.
[答案] A
5．(2018·北京市朝阳区二模)“x＞0，y＞0”是“＋≥2”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] “x＞0，y＞0”?“＋≥2”，反之不成立，例如取x＝y＝－1.
∴x＞0，y＞0”是“＋≥2”的充分而不必要条件．
故选A.
[答案] A
6．(2018·甘肃兰州西北师大附中调研)已知数列{an}，{bn }满足bn＝an＋an＋1，则“数列{an}为等差数列”是“数列{bn}为等差数列”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 若数列{an}为等差数列，设其公差为d，则bn＋1－bn＝(an＋1＋an＋2)－(an＋an＋1)＝an＋2－an＝2d1，所以数列{bn}是等差数列；若数列{bn}为等差数列，设其公差为d2，则bn＋1－bn＝(an＋1＋an＋2)－(an＋an＋1)＝an＋2－an＝d2，不能推出数列{an}为等差数列，所以“数列{an}为等差数列”是“数列{bn}为等差数列”的充分不必要条件，故选A.
[答案] A
7．(2018·开封模拟)已知命题p1：?x∈(0，＋∞)，有3x＞2x，p2：?θ∈R，sin θ＋cos θ＝，则在命题q1：p1∨p2；q2：p1∧p2；q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，真命题是( )
A．q1，q3 B．q2，q3
C．q1，q4 D．q2，q4
[解析] 因为y＝x在R上是增函数，即y＝x＞1在(0，＋∞)上恒成立，所以p1是真命题；sin θ＋cos θ＝sin≤，所以命题p2是假命题，綈p2是真命题，所以命题q1：p1∨p2，q4：p1∧(綈p2)是真命题，选C.
[答案] C
8．(2018·安徽合肥一模)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A、B为两个同高的几何体，p：A、B的体积不相等，q：A、B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 如果A，B在等高处的截面积恒相等，则A，B的体积相等，因此有p?q，但q?p不一定成立，把两个相同锥体放在一个平面上，再把其中一个锥体翻转底向上，顶点在在原底面所在平面，虽然在等高处的截面积不恒相等，但体积相等，故p是q的充分不必要条件．故选A.
[答案] A
9．(2018·江西赣州二模)对于下列说法正确的是( )
A．若f(x)是奇函数，则f(x)是单调函数
B．命题“若x2－x－2＝0，则x＝1”的逆否命题是“若x≠1，则x2－x－2＝0”
C．命题p：?x∈R,2x＞1024，则綈p：?x0∈R，2x0＜1024
D．命题“?x∈(－∞，0)，2x＜x2”是真命题
[解析] 对于A，若f(x)是奇函数，则f(x)是单调函数，不一定，比如y＝不是单调函数，在(－∞，0)，(0，＋∞)递减，故A错；对于B，命题“若x2－x－2＝0，则x＝1”的逆否命题是“若x≠1，则x2－x－2≠0”，故B错；对于C，命题p：?x∈R,2x＞1024，则綈p：?x0∈R,2x0≤1024，故C错；对于D，命题“?x∈(－∞，0)，2x＜x2”是真命题，正确，比如x＝－1,2－1＝＜1.故选D.
[答案] D
10．(2018·汉中市质检)给出下列五个结论：
①回归直线＝x＋一定过样本中心点(，)；
②命题“?x∈R，均有x2－3x－2＞0”的否定是“?x0∈R，使得x－3x0－2≤0”；
③将函数y＝cos x＋sin x(x∈R)的图象向右平移后，所得到的图象关于y轴对称；
④?m∈R，使f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋1是幂函数，且在(0，＋∞)上递增；
⑤函数f(x)＝恰好有三个零点．
其中正确的结论为( )
A．①②④ B．①②⑤
C．④⑤ D．②③⑤
[解析] 由回归分析的方法可知，结论①正确；由全称命题的否定方法可知，结论②正确；y＝2cos，将其图象向右移动后，得到的函数解析式为y＝2cos，该函数的图象不关于y轴对称，结论③不正确；m＝2时，函数f(x)＝x－1是幂函数，但在(0，＋∞)上递减，结论④不正确；x＋1＝0，解得x＝－1，为f(x)＝的一个零点，令23·|log2x|－1＝0，得|log2x|＝＝x，画出函数y＝|log2x|，y＝x的图象可知，方程2x·|log2x|－1＝0有两个实根，所以已知函数f(x)有三个零点，结论⑤正确．
[答案] B
11．(2018·淮南一模)已知f(x)＝则“f(f(a))＝1”是“a＝1”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 当a＝1，则f(a)＝f(1)＝0，则f(0)＝0＋1＝1，则必要性成立．
若x≤0，若f(x)＝1，则2x＋1＝1，则x＝0，
若x＞0，若f(x)＝1，则x2－1＝1，则x＝，
即若f(f(a))＝1，则f(a)＝0或，
若a＞0，则由f(a)＝0或得a2－1＝0或a2－1＝，即a2＝1或a2＝＋1，解得a＝1或a＝，
若a≤0，则由f(a)＝0或得2a＋1＝0或2a＋1＝，
即a＝－，此时充分性不成立，即“f(f(a))＝1”是“a＝1”的必要不充分条件．
[答案] B
12．(2018·辽宁丹东市一模)关于函数f(x)＝x2(ln x－a)＋a，给出以下4个结论：
①?a＞0，?x＞0，f(x)≥0；②?a＞0，?x＞0，f(x)≤0；③?a＞0，?x＞0，f(x)≥0；④?a＞0，?x＞0，f(x)≤0.其中正确结论的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] ①当a＝时，f(x)＝x2＋，其定义域为(0，＋∞)．由f′(x)＝2xln x＝0，得x＝1.
当x＞1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；
当0＜x＜1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；
∴当x＝1时，函数f(x)取得极小值，同时也是最小值f(1)＝－＋＝0.
∴对?x＞0，f(x)≥f(1)＝0，故①正确．
②当a＝5时，f(x)＝x2(ln x－5)＋5，f(e)＝e2(ln e－5)＋5＝－4e2＋5＜0，故②?a＞0，?x＞0，f(x)≤0成立．
③由②知，当a＝5时，?x＝e，满足e＞0，但f(e)＜0，故③?a＞0，?x＞0，f(x)≥0不成立，③错误．
④f′(x)＝2x，由f′(x)＝0，
即ln x＋－a＝0，得ln x＝a－.
∴?a＞0，函数f(x)都存在极值点，即?x＞0，f(x)≤0成立，故④正确，综上①②④正确，故选D.
[答案] D
二、填空题
13．已知命题p∶m∈R，且m＋1≤0；命题q∶?x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，若p∧q为假命题，则m的取值范围是__________．
[解析] 当命题p为真命题时，m≤－1，当命题q为真命题时，m2－4<0，－2[答案] (－∞，－2]∪(－1，＋∞)
14．(2018·安徽江淮十校三模)设有两个命题，p：关于x的不等式ax＞1(a＞0，且a≠1)的解集是{x|x＜0}；q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R.如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是________．
[解析] p：关于x的不等式ax＞1(a＞0，且a≠1)的解集是{x|x＜0}，则0＜a＜1；
q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，a＝0时不成立，a≠0时，则，解得0＜a＜.
如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则命题p与q必然一真一假．
∴，或，解得≤a＜1，
则实数a的取值范围是≤a<1.
[答案] ≤a<1
15．(2018·北京市朝阳区期中)将集合M＝{1,2,3，...,15}表示为它的5个三元子集(三元集：含三个元素的集合)的并集，并且这些三元子集的元素之和都相等，则每个三元集的元素之和为________；请写出满足上述条件的集合M的5个三元子集__________(只写出一组)
[解析] 因为5个三元子集(三元集：含三个元素的集合)的并集为集合M＝{1,2,3，...,15}，所以元素总和为：＝120，又因为这5个三元子集的元素之和都相等，所以每个集合的元素和为＝24.
满足上述条件的集合M的5个三元子集可以是：{1,8,15}，{3,7,14}，{5,6,13}，{2,10,12}，{4,9,11}(答案不唯一)．
[答案] 24 {1,8,15}，{3,7,14}，{5,6,13}，{2,10,12}，{4,9,11}(答案不唯一)
16．(2018·广东惠州第二调研)若数列{an}满足a－a＝p(p为常数，n≥2，n∈N*)，则称数列{an}为等方差数列，p为公方差，已知正数等方差数列{an}的首项a1＝1，且a1，a2，a5成等比数列，a1≠a2，设集合A＝，取A的非空子集B，若B的元素都是整数，则B为“完美子集”，那么集合A中的完美子集的个数为________．
[解析] 根据等方差数列的定义得an＝，Tn＝＝，令Tn＝k(k∈N*)，则n＝，由1≤n≤100得k可取1,2,3…，6，即集合A中有六个整数，于是A中的完美子集的个数为26－1＝63个．
[答案] 63
