第2讲 平面向量
[真题再现]
1．(2018·课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( )
A．4 B．3
C．2 D．0
[解析] a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b.
∵ |a|＝1，a·b＝－1，∴ 原式＝2×12＋1＝3.故选B.
[答案] B
2．(2018·课标Ⅰ卷)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝( )
A.－ B.－
C.＋ D.＋
[解析]
作出示意图如图所示．
＝＋＝＋
＝×(＋)＋(－)
＝－.
故选A.
[答案] A
3．(2018·北京卷)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 由|a－3b|＝|3a＋b|，得(a－3b)2＝(3a＋b)2，
即a2＋9b2－6a·b＝9a2＋b2＋6a·b.
又a，b均为单位向量，所以a2＝b2＝1，
所以a·b＝0，能推出a⊥b.
由a⊥b得|a－3b|＝，|3a＋b|＝，
能推出|a－3b|＝|3a＋b|，所以“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的充分必要条件．故选C.
[答案] C
4．(2018·天津卷)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则·的最小值为( )
A. B.
C. D．3
[解析] 如图，以D为坐标原点建立直角坐标系．
连接AC，由题意知∠CAD＝∠CAB＝60°，∠ACD＝∠ACB＝30°，则D(0,0)，A(1,0)，B，C(0，)．设E(0，y)(0≤y≤)，则＝(－1，y)，＝，
∴ ·＝＋y2－y＝2＋，
∴ 当y＝时，·有最小值.故选A.
[答案] A
5．(2018·课标Ⅲ卷)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________.
[解析] 2a＋b＝(4,2)，因为c∥(2a＋b)，所以4λ＝2，得λ＝.
[答案]
[看透高考]
1．对平面向量的概念及线性运算主要考查线性运算法则及其几何意义以及两个向量共线的条件，或以向量为载体求参数的值．
2．对平面向量的基本定理及坐标运算的考查主要侧重以下两点：
(1)以平面向量的基本定理为基石，利用一组基底表示相关向量；
(2)利用坐标运算解决平行、垂直问题．
3．数量积的运算是每年必考的内容，主要涉及：
(1)向量数量积的运算；
(2)求向量的模；
(3)求向量的夹角．
[核心素养]
1．平面向量共线、垂直的两个充要条件
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则：
(1)a∥b?a＝λb(b≠0)?x1y2－x2y1＝0.
(2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
2．数量积常见的三种应用
已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
(1)证明向量垂直：a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
(2)求向量的长度：|a|＝＝.
(3)求向量的夹角：cos〈a，b〉＝
＝.
3．平面向量解题中应熟知的常用结论
(1)A，B，C三点共线的充要条件是存在实数λ，μ，有＝λ＋μ，且λ＋μ＝1.
(2)C是线段AB中点的充要条件是＝(＋)．
(3)G是△ABC的重心的充要条件为＋＋＝0.若△ABC的三个顶点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心坐标为.
(4)·＝·＝·?P为△ABC的垂心．
(5)非零向量a，b垂直的充要条件：a⊥b?a·b＝0?|a＋b|＝|a－b|?x1x2＋y1y2＝0.
(6)向量b在a的方向上的投影为|b|cos θ＝，向量a在b的方向上的投影为|a|cos θ＝.
【易错警示】
(1)要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向是任意的，并不是没有方向；0与任意向量平行；λ0＝0，而不是等于0；0与任意向量a的数量积等于0，即0·a＝0.
(2)运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件．
(3)注意向量共线与直线共线的区别：向量共线是指向量所在的直线平行或重合，而直线共线是指它们重合．
(4)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．
(5)两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两个向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的夹弦值确定．
(6)由a·b＝0，不一定得到|a|＝0或|b|＝0，也有可能|a|≠0，|b|≠0，但〈a，b〉＝90°.
(7)已知两向量a，b的夹角为锐角(钝角)求参数的取值范围时，可通过a·b＞0(a·b＜0)，建立不等式求解，但一定要将两向量a，b同向(反向)的情况去掉，对参数取舍．
(8)a·(b·c)与(a·b)·c不一定相等．
考向一 平面向量的概念及线性运算
【例1】
1．(2017·课标Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为( )
A．3 B．2
C. D．2
[解析] 如图所示，建立平面直角坐标系：设A(0,1)，B(0,0)，C(2,0)，D(2,1)，P(x，y)，根据等面积公式可得圆的半径r＝，即圆C的方程是(x－2)2＋y2＝，＝(x，y－1)，＝(0，－1)，＝(2,0)，若满足＝λ＋μ，即，μ＝，λ＝1－y，所以λ＋μ＝－y＋1，设z＝－y＋1，即－y＋1－z＝0，点P(x，y)在圆(x－2)2＋y2＝上，所以圆心到直线的距离d≤r，即≤，解得1≤z≤3，所以z的最大值是3，即λ＋μ的最大值是3.
[答案] A
2．(2018·山西朔州模拟)点O为△ABC内一点，且满足＋＋4＝0，设△OBC与△ABC的面积分别为S1、S2，则＝( )
A. B. C. D.
[解析] 延长OC到D，使OD＝4OC，延长CO交AB于E.
∵O为△ABC内一点，且满足＋＋4＝0，
∴＋＋＝0，
∴O为△DAB重心，E为AB中点，∴OD∶OE＝2∶1，∴OC∶OE＝1∶2，∴CE∶OE＝3∶2，∴S△AEC＝S△BEC，S△BOE＝2S△BOC.∵△OBC与△ABC的面积分别为S1、S2，∴＝.故选B.
[答案] B
【方法提升】
对于利用向量的线性运算、共线向量定理和平面向量基本定理解决“用已知向量(基向量)来表示一些未知向量”的问题．解决的关键是：①结合图形，合理运用平行四边形法则或三角形法则进行运算；②善于用待定系数法．
[题组训练]
1．(2018·吉大附中第五次模拟)在梯形ABCD中，＝3，则等于( )
A．－＋ B．－＋
C.－ D．－＋
[解析] 在线段AB上取点E，使BE＝DC，连接DE，则四边形BCDE为平行四边形，
则＝＝－＝－；故选D.
[答案] D
2．(2018·内蒙古呼和浩特市质调)已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足：＝，则P一定为△ABC的( )
A．重心
B．AB边中线的三等分点(非重心)
C．AB边中线的中点
D．AB边的中点
[解析] 如图所示：设AB的中点是E，∵O是三角形ABC的重心，
＝＝，∵2＝，
∴＝＝，∴P在AB边的中线上，是中线的三等分点，不是重心，故选B.
[答案] B
3．(2018·广州综合测试(一))设P是△ABC所在平面内的一点，且＝2，则△PAB与△PBC的面积的比值是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为＝2，所以＝，又△PAB在边PA上的高与△PBC在边PC上的高相等，所以＝＝.
[答案] B
考向二 平面向量的平行与垂直
【例2】
1．(2018·汉中模拟)已知向量a＝(2，－4)，b＝(－3，x)，c＝(1，－1)，若(2a＋b)⊥c，则|b|＝( )
A．9 B．3
C. D．3
[解析] 向量a＝(2，－4)，b＝(－3，x)，c＝(1，－1)，∴2a＋b＝(1，x－8)，
由(2a＋b)⊥c，可得1＋8－x＝0，解得x＝9.则|b|＝＝3.故选D.
[答案] B
2．(2018·郑州质检)已知a＝(3,2)，b＝(2，－1)，若λa＋b与a＋λb平行，则λ＝________.
[解析] ∵a＝(3,2)，b＝(2，－1)，∴λa＋b＝(3λ＋2，2λ－1)，a＋λb＝(3＋2λ，2－λ)，
∵λa＋b∥a＋λb，∴(3λ＋2)(2－λ)＝(2λ－1)(3＋2λ)，
解得λ＝±1
[答案] ±1
【方法提升】
(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)：
①a∥b?a＝λb(b≠0)；
②a∥b?x1y2－x2y1＝0.至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.
(2)设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)：a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
(3)利用向量平行或垂直的充要条件可建立方程或函数是求参数的取值．
[题组训练]
1．(2016·高考新课标全国卷Ⅰ)设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.
[解析] 由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，得a⊥b，所以m×1＋1×2＝0，解得m＝－2.
[答案] －2
2．(2018·广西名校猜题卷)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k，－2)，若(a－c)∥b，则向量a与向量c的夹角的余弦值是( )
A. B.
C．－ D．－
[解析] ∵a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k，－2)，
∴a－c＝(3－k,3)，∵(a－c)∥b，
∴(3－k)·3＝3×1，∴k＝2，
∴a·c＝3×2＋1×(－2)＝4，∴|a|＝，|c|＝2，
∴cos〈a，b〉＝＝＝，故选A.
[答案] A
考向三 平面向量的数量积
【例3】
1．(2018·大庆三模)在平行四边形ABCD中，||＝3，||＝5，＝，＝，cos A＝，则||＝( )
A. B．2
C．4 D．2
[解析] 如图，取AE的中点G，连接BG
∵＝，＝，
∴＝＝＝＝，∴＝，
∴||2＝|－AG|2＝2－2·＋2
＝52－2×5×1×＋1＝20，∴||＝||＝2，
故选B.
[答案] B
2．(2018·广西贺州桂梧联考)已知A，B是圆O：x2＋y2＝4上的两个动点，||＝2，＝－.若M是线段AB的中点，则·的值为( )
A．3 B．2
C．2 D．－3
[解析] 因为点M是线段AB的中点，所以＝，|OA＝|OB|＝|AB|＝2，所以△ABC是等边三角形，即〈，〉＝60°，·＝2×2×cos60°＝2，
·＝
＝2－OB2＋·
＝×22－×22＋×2＝3，故选A.
[答案] A
【方法提升】
(1)涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路：
①直接利用数量积的定义；
②建立坐标系，通过坐标运算求解．
(2)在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中模和夹角已知的向量进行计算．
求平面向量的模时，常把模的平方转化为向量的平方．
[题组训练]
1．(2017·课标Ⅱ理)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小是( )
A．－2 B．－
C．－ D．－1
[解析] 以BC为x轴，BC的垂直平分线AD为y轴，D为坐标原点建立坐
标，则A(0，)，B(－1,0)，C(1,0)，设P(x，y)，所以＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)
所以＋＝(－2x，－2y)，·(＋)
＝2x2－2y(－y)
＝2x2＋22－≥－
当P时，所求的最小值为－，故选B.
[答案] B
2．已知向量||＝3，||＝2，＝m＋n，若与OB的夹角为60°，且⊥，则实数的值为( )
A. B.
C．6 D．4
[解析] ·＝3×2×cos60°＝3，
∵＝m＋n，⊥，
∴(m＋n)·＝(m＋n)·(－)＝(m－n)·－m2＋n2＝0，∴3(m－n)－9m＋4n＝0，∴＝，故选A.
[答案] A
数与形相辅相成求解向量问题
[典题示例]
【典例】 在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1,0)，B(0，)，C(3,0)，动点D满足||＝1，则|＋＋|的取值范围是( )
A．[4,6] B．[－1，＋1]
C．[2，2] D．[－1，＋1]
[解析] 法一：设出点D的坐标，利用向量的坐标运算公式及向量模的运算公式求解．
设D(x，y)，则由||＝1，C(3,0)，得(x－3)2＋y2＝1.
又∵＋＋＝(x－1，y＋)，
∴|＋＋|＝.
∴|＋＋|的几何意义为点P(1，－)与圆(x－3)2＋y2＝1上点之间的距离，由|PC|＝知，|＋＋|的最大值是1＋，最小值是－1.故选D.
法二：根据向量＋的平行四边形法则及减法法则的几何意义，模的几何意义求解．
如图，设M(－1，)，则＋＝，取N(1，－)，
∴＝－.由||＝1，可知点D在以C为圆心，半径r＝1的圆上，
∴＋＋＝－＝，
∴|＋＋|＝||，∴||max＝||＋1＝＋1，||min＝－1.
[答案] D
[跟踪训练]
已知|b|＝1，非零向量a满足〈a，b－a〉＝120°，则|a|的取值范围是________．
[解析]
如图，设＝b，＝a，
则b－a＝，
在△ABC中，AC＝1，∠ABC＝60°.
根据圆的性质：同弧所对的圆周角相等．
作△ABC的外接圆，当BC为圆的直径时，|a|最大，
此时|a|＝BC＝＝；
当B，C无限接近时，|a|＝BC→0.
故|a|的取值范围是.
[答案]
一、选择题
1．(2018·汉中模拟)已知向量a＝(2，－4)，b＝(－3，x)，c＝(1，－1)，若(2a＋b)⊥c，则|b|＝( )
A．9 B．3
C. D．3
[解析] 向量a＝(2，－4)，b＝(－3，x)，c＝(1，－1)，∴2a＋b＝(1，x－8)，
由(2a＋b)⊥c，可得1＋8－x＝0，解得x＝9.则|b|＝＝3.故选D.
[答案] D
2．(2018·豫晋冀三省二调)已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b与a共线，那么a·b的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] ∵向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，
∴a＋b＝(3，k＋2)，又a＋b与a共线．
∴(k＋2)－3k＝0，解得k＝1，
∴a·b＝(1,1)·(2,2)＝1×2＋1×2＝4，故选D.
[答案] D
3．(2018·广西贺州桂梧联考)设向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a⊥(a＋b)，则向量a在向量a＋2b方向上的投影为( )
A．－ B.
C．－ D.
[解析] ∵a⊥(a＋b)，∴a·(a＋b)＝1＋a·b＝0，∴a·b＝－1，∴|a＋2b|2＝1＋4a·b＋16＝13，则|a＋2b|＝，又a·(a＋2b)＝a·(a＋b)＋a·b＝－1，故向量a在向量a＋2b方向上的投影为＝－.选A.
[答案] A
4．(2018·石家庄一模)已知A，B，C是圆O上的不同的三点，线段CO与线段AB交于点D，若＝λ＋μ(λ∈R，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( )
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(1，] D．(－1,0)
[解析] 由题意可得＝k＝kλ＋kμ(0＜k＜1)，又A，D，B三点共线可得kλ＋kμ＝1，则λ＋μ＝＞1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)，故选B.
[答案] B
5．(2018·广州综合测试(一))在梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD＝4，BC＝6，若＝m＋n(m，n∈R)，则＝( )
A．－3 B．－
C. D．3
[解析] 过点A作AE∥CD，交BC于点E，则BE＝2，CE＝4，所以m＋n＝＝＝＋＝－＋＝－＋，所以＝＝－3.
[答案] A
6．(2018·衡阳二模)如图，正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝( )
A．2 B.
C. D.
[解析] 法一 如图以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，＝，＝，＝(1,1)．∵＝λ＋μ
＝λ＋μ＝，
∴解之得故λ＋μ＝.
法二 以，作为基底，∵M，N分别为BC，CD的中点，∴＝＋＝＋，＝＋＝－，因此＝λ＋μ＝＋，又＝＋，因此解得λ＝且μ＝.所以λ＋μ＝
[答案] D
7．如图所示，直线x＝2与双曲线C：－y2＝1的渐近线交于E1，E2两点．记＝e1，＝e2，任取双曲线C上的点P，若＝ae1＋be2(a，b∈R)，则ab的值为( )
A. B．1
C. D.
[解析] 由题意易知E1(2,1),E2(2，－1)，∴e1＝(2,1)，e2＝(2，－1)，故＝ae1＋be2＝(2a＋2b，a－b)，又点P在双曲线上，∴－(a－b)2＝1，整理可得4ab＝1，∴ab＝.
[答案] A
8．(2018·贵州遵义市第二次联考)在平面直角坐标系中，向量n＝(2,0)，将向量n绕点O按逆时针方向旋转后得向量m，若向量a满足|a－m－n|＝1，则|a|的最大值是( )
A．2－1 B．2＋1
C．3 D.＋＋1
[解析] 由题意得m＝(1，)．设a＝(x，y)，则a－m－n＝(x－3，y－)，∴|a－m－n|2＝(x－3)2＋(y－)2＝1，而(x，y)表示圆心为(3，)的圆上的点，求|a|的最大值，即求该圆上点到原点的距离的最大值，最大值为2＋1.
[答案] B
9．(2018·河北衡水武邑中学二调)已知锐角△ABC的外接圆的半径为1，∠B＝，则·的取值范围为__________．
[解析] 如图，设||＝c，||＝a，△ABC的外接圆的半径为1，∠B＝.由正弦定理得＝＝2，∴a＝2sinA，c＝2sinC，C＝－A，
由，得
＝2sinA＝sinAcosA＋3sin2A
＝sin2A＋＝sin2A＋cos2A＋＝sin＋.
∵[答案]
10．已知点O，N，P在△ABC所在的平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，·＝·＝·，则点O，N，P依次是△ABC的( )
A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心
C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心
[解析] 因为||＝||＝||，所以点O到三角形的三个顶点的距离相等，所以O为△ABC的外心；由＋＋＝0，得＋＝－＝，由中线的性质可知点N在三角形AB边的中线上，同理可得点N在其他边的中线上，所以点N为△ABC的重心；由·＝·＝·，得·－·＝·＝0，则点P在AC边的垂线上，同理可得点P在其他边的垂线上，所以点P为△ABC的垂心．
[答案] C
11．设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定义一种向量积：a?b＝(a1，a2)?(b1，b2)＝(a1b1，a2b2)．已知向量m＝，n＝，点P在y＝cos x的图象上运动，点Q在y＝f(x)的图象上运动，且满足＝m?＋n(其中O为坐标原点)，则y＝f(x)在区间上的最大值是( )
A．4 B．2
C．2 D．2
[解析] 因为点P在y＝cos x的图象上运动，所以设点P的坐标为(x0，cos x0)，设Q点的坐标为(x，y)，
则＝m?＋n?(x，y)＝?(x0，cos x0)＋?(x，y)＝
?
即?y＝4cos，
即f(x)＝4cos，当x∈时，
由≤x≤?≤2x≤?0≤2x－≤，
所以≤cos≤1?2≤4cos≤4，
所以函数y＝f(x)在区间上的最大值是4，故选A.
[答案] A
12．(2018·四川德阳一诊)半径为1的圆O内切于正方形ABCD，正六边形EFGHPR内接于圆O，当EFGHPR绕圆心O旋转时，·的取值范围是( )
A．[1－，1＋]
B．[－1－，－1＋]
C.
D.
[解析] 以O为圆心，建立如图所示的直角坐标系，
可得A(－1，－1)．设OE与Ox的反向延长线成θ角，即有E(－cos θ，－sin θ)，
F，0≤θ≤2π，
则·＝(1－cos θ，
1－cos θ)·
＝cos θcos＋sin θsin
－
＝cos －sin
＝－sin，
当sin＝1，即θ＝时，取得最小值－；
当sin＝－1，即θ＝时，取得最大值＋.
即有·的取值范围是.故选C.
[答案] C
二、填空题
13．(2018·贵阳调研)如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别在边CD和BC上，且＝3 ，＝3 ，若＝m＋n，其中m，n∈R，则m＋n＝________.
[解析] 由题设可得＝＋＝＋＝＋，＝＋＝＋＝＋，又＝m＋n，故＝m＋m＋n＋n＝(m＋n)＋(m＋n)，而＝(＋)，故?m＋n＝.故应填答案.
[答案]
14．(2018·甘肃兰州市诊断)若函数f(x)＝2sin(－2＜x＜14)的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数f(x)的图象交于B、C两点，O为坐标原点，则(＋)·＝________.
[解析] ∵－2＜x＜14，∴f(x)＝0的解为x＝6，即A(6,0)，而A(6,0)恰为函数f(x)图象的一个对称中心，
∴B、C关于A对称，∴(＋)·＝2·＝2|OA|2＝2×36＝72.
[答案] 72
15．(2018·广东肇庆一模)在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝________.
[解析] 建立如图所示的平面直角坐标系，
设||＝a，||＝b，则A(a,0)，B(0，b)
∵点D是斜边AB的中点，
∴D，
∵点P为线段CD的中点，
∴P
∴||2＝2＋2＝＋
||2＝2＋2＝＋
||2＝2＋2＝＋
∴||2＋||2＝＋＋＋
＝10＝10||2，
∴＝10.
[答案] 10
16．(2018·江苏省苏、锡、常、镇四市二模)在△ABC中，AB⊥AC，AB＝，AC＝t，P是△ABC所在平面内一点，若＝＋，则△PBC面积的最小值为________．
[解析] 由题意建立如图所示的坐标系，
可得A(0,0)，B，C(0，t)，
∵＝＋＝(4,0)＋(0,1)＝(4,1)，∴P(4,1)；
又|BC|＝ ，BC的方程为tx＋＝1，
∴点P到直线BC的距离为d＝，
∴△PBC的面积为S＝·|BC|·d
＝··
＝|4t＋－1|≥·|2－1|＝，
当且仅当4t＝，即t＝时取等号，
∴△PBC面积的最小值为.
[答案]
热点微专题 第2讲
一、选择题
1．(2018·汉中模拟)已知向量a＝(2，－4)，b＝(－3，x)，c＝(1，－1)，若(2a＋b)⊥c，则|b|＝( )
A．9 B．3
C. D．3
[解析] 向量a＝(2，－4)，b＝(－3，x)，c＝(1，－1)，∴2a＋b＝(1，x－8)，
由(2a＋b)⊥c，可得1＋8－x＝0，解得x＝9.则|b|＝＝3.故选D.
[答案] D
2．(2018·豫晋冀三省二调)已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b与a共线，那么a·b的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] ∵向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，
∴a＋b＝(3，k＋2)，又a＋b与a共线．
∴(k＋2)－3k＝0，解得k＝1，
∴a·b＝(1,1)·(2,2)＝1×2＋1×2＝4，故选D.
[答案] D
3．(2018·广西贺州桂梧联考)设向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a⊥(a＋b)，则向量a在向量a＋2b方向上的投影为( )
A．－ B.
C．－ D.
[解析] ∵a⊥(a＋b)，∴a·(a＋b)＝1＋a·b＝0，∴a·b＝－1，∴|a＋2b|2＝1＋4a·b＋16＝13，则|a＋2b|＝，又a·(a＋2b)＝a·(a＋b)＋a·b＝－1，故向量a在向量a＋2b方向上的投影为＝－.选A.
[答案] A
4．(2018·石家庄一模)已知A，B，C是圆O上的不同的三点，线段CO与线段AB交于点D，若＝λ＋μ(λ∈R，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( )
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(1，] D．(－1,0)
[解析] 由题意可得＝k＝kλ＋kμ(0＜k＜1)，又A，D，B三点共线可得kλ＋kμ＝1，则λ＋μ＝＞1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)，故选B.
[答案] B
5．(2018·广州综合测试(一))在梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD＝4，BC＝6，若＝m＋n(m，n∈R)，则＝( )
A．－3 B．－
C. D．3
[解析] 过点A作AE∥CD，交BC于点E，则BE＝2，CE＝4，所以m＋n＝＝＝＋＝－＋＝－＋，所以＝＝－3.
[答案] A
6．(2018·衡阳二模)如图，正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝( )
A．2 B.
C. D.
[解析] 法一 如图以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，＝，＝，＝(1,1)．∵＝λ＋μ
＝λ＋μ＝，
∴解之得故λ＋μ＝.
法二 以，作为基底，∵M，N分别为BC，CD的中点，∴＝＋＝＋，＝＋＝－，因此＝λ＋μ＝＋，又＝＋，因此解得λ＝且μ＝.所以λ＋μ＝
[答案] D
7．如图所示，直线x＝2与双曲线C：－y2＝1的渐近线交于E1，E2两点．记＝e1，＝e2，任取双曲线C上的点P，若＝ae1＋be2(a，b∈R)，则ab的值为( )
A. B．1
C. D.
[解析] 由题意易知E1(2,1),E2(2，－1)，∴e1＝(2,1)，e2＝(2，－1)，故＝ae1＋be2＝(2a＋2b，a－b)，又点P在双曲线上，∴－(a－b)2＝1，整理可得4ab＝1，∴ab＝.
[答案] A
8．(2018·贵州遵义市第二次联考)在平面直角坐标系中，向量n＝(2,0)，将向量n绕点O按逆时针方向旋转后得向量m，若向量a满足|a－m－n|＝1，则|a|的最大值是( )
A．2－1 B．2＋1
C．3 D.＋＋1
[解析] 由题意得m＝(1，)．设a＝(x，y)，则a－m－n＝(x－3，y－)，∴|a－m－n|2＝(x－3)2＋(y－)2＝1，而(x，y)表示圆心为(3，)的圆上的点，求|a|的最大值，即求该圆上点到原点的距离的最大值，最大值为2＋1.
[答案] B
9．(2018·河北衡水武邑中学二调)已知锐角△ABC的外接圆的半径为1，∠B＝，则·的取值范围为__________．
[解析] 如图，设||＝c，||＝a，△ABC的外接圆的半径为1，∠B＝.由正弦定理得＝＝2，∴a＝2sinA，c＝2sinC，C＝－A，
由，得＝2sinA＝sinAcosA＋3sin2A
＝sin2A＋＝sin2A＋cos2A＋＝sin＋.
∵[答案]
10．已知点O，N，P在△ABC所在的平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，·＝·＝·，则点O，N，P依次是△ABC的( )
A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心
C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心
[解析] 因为||＝||＝||，所以点O到三角形的三个顶点的距离相等，所以O为△ABC的外心；由＋＋＝0，得＋＝－＝，由中线的性质可知点N在三角形AB边的中线上，同理可得点N在其他边的中线上，所以点N为△ABC的重心；由·＝·＝·，得·－·＝·＝0，则点P在AC边的垂线上，同理可得点P在其他边的垂线上，所以点P为△ABC的垂心．
[答案] C
11．设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定义一种向量积：a?b＝(a1，a2)?(b1，b2)＝(a1b1，a2b2)．已知向量m＝，n＝，点P在y＝cos x的图象上运动，点Q在y＝f(x)的图象上运动，且满足＝m?＋n(其中O为坐标原点)，则y＝f(x)在区间上的最大值是( )
A．4 B．2
C．2 D．2
[解析] 因为点P在y＝cos x的图象上运动，所以设点P的坐标为(x0，cos x0)，设Q点的坐标为(x，y)，
则＝m?＋n?(x，y)＝?(x0，cos x0)＋?(x，y)＝
?
即?y＝4cos，
即f(x)＝4cos，当x∈时，
由≤x≤?≤2x≤?0≤2x－≤，
所以≤cos≤1?2≤4cos≤4，
所以函数y＝f(x)在区间上的最大值是4，故选A.
[答案] A
12．(2018·四川德阳一诊)半径为1的圆O内切于正方形ABCD，正六边形EFGHPR内接于圆O，当EFGHPR绕圆心O旋转时，·的取值范围是( )
A．[1－，1＋]
B．[－1－，－1＋]
C.
D.
[解析] 以O为圆心，建立如图所示的直角坐标系，
可得A(－1，－1)．设OE与Ox的反向延长线成θ角，即有E(－cos θ，－sin θ)，
F，0≤θ≤2π，
则·＝(1－cos θ，
1－cos θ)·
＝cos θcos＋sin θsin
－
＝cos －sin
＝－sin，
当sin＝1，即θ＝时，取得最小值－；
当sin＝－1，即θ＝时，取得最大值＋.
即有·的取值范围是.故选C.
[答案] C
二、填空题
13．(2018·贵阳调研)如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别在边CD和BC上，且＝3 ，＝3 ，若＝m＋n，其中m，n∈R，则m＋n＝________.
[解析] 由题设可得＝＋＝＋＝＋，＝＋＝＋＝＋，又＝m＋n，故＝m＋m＋n＋n＝(m＋n)＋(m＋n)，而＝(＋)，故?m＋n＝.故应填答案.
[答案]
14．(2018·甘肃兰州市诊断)若函数f(x)＝2sin(－2＜x＜14)的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数f(x)的图象交于B、C两点，O为坐标原点，则(＋)·＝________.
[解析] ∵－2＜x＜14，∴f(x)＝0的解为x＝6，即A(6,0)，而A(6,0)恰为函数f(x)图象的一个对称中心，
∴B、C关于A对称，∴(＋)·＝2·＝2|OA|2＝2×36＝72.
[答案] 72
15．(2018·广东肇庆一模)在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝________.
[解析] 建立如图所示的平面直角坐标系，
设||＝a，||＝b，则A(a,0)，B(0，b)
∵点D是斜边AB的中点，
∴D，
∵点P为线段CD的中点，
∴P
∴||2＝2＋2＝＋
||2＝2＋2＝＋
||2＝2＋2＝＋
∴||2＋||2＝＋＋＋
＝10＝10||2，
∴＝10.
[答案] 10
16．(2018·江苏省苏、锡、常、镇四市二模)在△ABC中，AB⊥AC，AB＝，AC＝t，P是△ABC所在平面内一点，若＝＋，则△PBC面积的最小值为________．
[解析] 由题意建立如图所示的坐标系，
可得A(0,0)，B，C(0，t)，
∵＝＋＝(4,0)＋(0,1)＝(4,1)，∴P(4,1)；
又|BC|＝ ，BC的方程为tx＋＝1，
∴点P到直线BC的距离为d＝，
∴△PBC的面积为S＝·|BC|·d
＝··
＝|4t＋－1|≥·|2－1|＝，
当且仅当4t＝，即t＝时取等号，
∴△PBC面积的最小值为.
[答案]
热点微专题 常考客观题型
第2讲 平面向量
