第3讲 不等式、线性规划
[真题再现]
1．(2018·天津)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x＋5y的最大值为( )
A．6 B．19
C．21 D．45
[解析] 画出可
行域如图中阴影部分所示，由z＝3x＋5y得y＝－x＋.
设直线l0为y＝－x，平移直线l0，当直线y＝－x＋过点P(2,3)时，z取得最大值，zmax＝3×2＋5×3＝21.故选C.
[答案] C
2．(2018·北京)设集合A＝{(x，y)|x－y≥1，ax＋y＞4，x－ay≤2}，则( )
A．对任意实数a，(2,1)∈A
B．对任意实数a，(2,1)?A
C．当且仅当a＜0时，(2,1)?A
D．当且仅当a≤时，(2,1)?A
[解析] 若点(2,1)∈A，则不等式x－y≥1显然成立，且同时要满足即解得a>.即点(2,1)∈A?a>，其等价命题为a≤?点(2,1)?A成立．
故选D.
[答案] D
3．(2018·浙江)若x，y满足约束条件则z＝x＋3y的最小值是________，最大值是________．
[解析] 由画出可行域如图．
由解得A(4，－2)，
由解得B(2,2)，
将函数y＝－x的图象平移可知，
当目标函数的图象经过A(4，－2)时，zmin＝4＋3×(－2)＝－2；
当目标函数的图象经过B(2,2)时，zmax＝2＋3×2＝8.
[答案] －2 8
4．(2018·课标Ⅰ卷)若x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值为________．
[解析] 作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示．
由z＝3x＋2y得y＝－x＋.
作直线l0：y＝－x.平移直线l0，当直线y＝－x＋
过点(2,0)时，z取最大值，zmax＝3×2＋2×0＝6.
[答案] 6
5．(2018·北京)若x，y满足x＋1≤y≤2x，则2y－x的最小值是________．
[解析] 由条件得即
作出可行域，
如图阴影部分所示．
设z＝2y－x，即y＝x＋z，
作直线l0：y＝x并向上平移，显然当l0过点A(1,2)时，z取得最小值，
zmin＝2×2－1＝3.
[答案] 3
6．(2018·天津)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________．
[解析] ∵ a－3b＋6＝0，∴ a－3b＝－6，∴ 2a＋＝2a＋2－3b≥2＝2＝2＝2×2－3＝，当且仅当时等号成立，即时取到等号．
[答案]
[看透高考]
1．本讲在高考中主要考查两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题．基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解的和已知最优解求参数的值或取值范围．
2．多与集合、函数等知识交汇命题，以选择、填空题的形式呈现，属中档题．
[核心素养]
1．不等式的四个性质
注意不等式的乘法、乘方与开方对符号的要求，如
(1)a＞b，c＞0?ac＞bc，a＞b，c＜0?ac＜bc.
(2)a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd.
(3)a＞b>0?an＞bn(n∈N，n≥1)．
(4)a＞b＞0?＞(n∈N，n≥2)．
2．四类不等式的解法
(1)一元二次不等式的解法
先化为一般形式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．
(2)简单分式不等式的解法
①变形?＞0(＜0)?f(x)g(x)＞0(＜0)；
②变形?≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
(3)简单指数不等式的解法
①当a＞1时，af(x)＞ag(x)?f(x)＞g(x)；
②当0＜a＜1时，af(x)＞ag(x)?f(x)＜g(x)．
(4)简单对数不等式的解法
①当a＞1时，logaf(x)＞logag(x)?g(x)＞g(x)且f(x)＞0，g(x)＞0；
②当0＜a＜1时，logaf(x)＞logag(x)?f(x)＜g(x)且f(x)＞0，g(x)＞0.
3．判断二元一次不等式表示的平面区域的方法
在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧任取一点(x0，y0)，通过Ax0＋By0＋C的符号来判断Ax＋By＋C＞0(或Ax＋By＋C＜0)所表示的区域．
4．解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，数形结合找到目标函数取到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．
5．六个重要的不等式
(1)|a|≥0，a2≥0(a∈R)；
(2)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；
(3)≥(a＞0，b＞0)；
(4)ab≤2(a，b∈R)；
(5) ≥≥≥(a＞0，b＞0)；
(6)2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R，当a＝b时等号成立)．
【易错警示】
(1)解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)时，易忽视系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a＞0，a＜0进行讨论．
(2)求解分式不等式时应注意正确进行同解变形，不能把≤0直接转化为f(x)·g(x)≤0，而忽视g(x)≠0.
(3)求解线性规划问题时，作图一定要准确，边界的虚、实要搞清楚，区域是否是封闭的一定要明确．
(4)求解线性规划问题时，要准确把握目标函数的几何意义，如是指已知区域内的点与点(－2,2)连线的斜率，而不是与点(2，－2)连线的斜率；(x－1)2＋(y－1)2是指已知区域内的点到点(1,1)的距离的平方而不是距离等．
(5)易忽视使用基本不等式求最值的条件，“即一正、二定、三相等”导致漏解，如求函数f(x)＝＋的最值，就不能利用基本不等式求解最值；求解f(x)＝x＋(x＜0)时应先转化为正数再求解．
(6)连续使用基本不等式求最值时，应特别注意检查等号是否能同时成立．
考向一 不等式的解法
【例1】
1．(2018·石家庄模拟)已知函数f(x)＝，则f(f(x))<2的解集为( )
A．(1－ln 2，＋∞) B．(－∞，1－ln 2)
C．(1－ln 2,1) D．(1,1＋ln 2)
[解析] 因为当x≥1时，f(x)＝x3＋x≥2，当x<1时，f(x)＝2ex－1<2，所以f(f(x))<2等价于f(x)<1，即2ex－1<1，解得x<1－ln 2，所以f(f(x))<2的解集为(－∞，1－ln 2)，故选B.
[答案] B
2．已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是( )
A．(－∞，0] B．(－∞，1]
C．[－2,1] D．[－2,0]
[解析] 当x≤0时，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤0，所以|f(x)|≥ax化简为x2－2x≥ax，即x2≥(a＋2)x，因为x≤0，所以a＋2≥x恒成立，所以a≥－2；当x＞0时，f(x)＝ln(x＋1)＞0，所以|f(x)|≥ax化简为ln(x＋1)≥ax恒成立，由函数图象可知a≤0，综上，当－2≤a≤0时，不等式|f(x)|≥ax恒成立．
[答案] D
【方法提升】
解不等式的常见策略
(1)解一元二次不等式，一是图象法：利用“三个二次”之间的关系，借助相应二次函数图象，确定一元二次不等式的解集；二是因式分解法：利用“同号得正，异号得负”这一符号法则，转化为一元一次不等式组求解．
(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把他们等价转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．
(3)解含“f”的函数不等式，首先要确定f(x)的单调性，然后根据函数的单调性去掉“f”转化为通常的不等式求解．
(4)解决含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因，确定好分类标准，有理有据、层次清楚地求解．
[题组训练]
1．(2018·河北邯郸一中等校期中)若不等式ax2－bx＋c>0的解集是，则以下结论中：①a>0；②b<0；③c>0；④a＋b＋c>0；⑤a－b＋c>0，正确的是( )
A．①②⑤ B．①③⑤
C．②③⑤ D．③④⑤
[解析] ax2－bx＋c>0的解集是，故a<0，且ax2－bx＋c＝0的两根为－，2.由根与系数的关系得2－＝>0,2×＝<0，故b<0，c>0.因此，②③正确，①错误．设f(x)＝ax2－bx＋c，根据f(－1)<0，f(1)>0，可知a＋b＋c<0，a－b＋c>0，故④错误，⑤正确．
[答案] C
2．(2018·厦门市3月质检)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x－2)＝f(x＋2)，当0＜x＜2时，f(x)＝1－log2(x＋1)，则当0＜x＜4时，不等式(x－2)f(x)＞0的解集是( )
A．(0,1)∪(2,3) B．(0,1)∪(3,4)
C．(1,2)∪(3,4) D．(1,2)∪(2,3)
[解析] 当0＜x＜2时，x－2＜0，不等式可化为即解得1＜x＜2，
当2＜x＜4时，x－2＞0，不等式可化为
由函数f(x)是奇函数，得f(－x)＝－f(x)，
又f(x－2)＝f(x＋2)，
则f(x)＝f(x－2＋2)＝f(x－2－2)＝－f(4－x)，
因为0＜4－x＜2，不等式可化为
，解得2＜x＜3，
则原不等式的解集为(1,2)∪(2,3)，故选D.
[答案] D
考向二 简单的线性规划问题
【例2】
1．(2018·湖南省常德市一模)已知P(x，y)为不等式组表示的平面区域M内任意一点，若目标函数z＝5x＋3y的最大值等于平面区域M的面积，则a＝________.
[解析] 作出不等式组对应的平面区域如图：
由z＝5x＋3y得y＝－x＋，
平移直线y＝－x＋，
由图象知当直线y＝－x＋，经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，
由，解得x＝y＝2，即A(2,2)，
此时z＝5×2＋3×2＝16，
由.解得x＝a，y＝4－a，即B(a,4－a)，
由，解得x＝y＝a，即C(a，a)，
∴BC＝4－a－a＝4－2a，△ABC的高为2－a，
∴S△ABC＝×(2－a)(4－2a)＝(2－a)2＝16，
解得a＝－2，a＝6(舍去)，
[答案] －2
2．(2018·浙江重点中学联考)设x，y满足约束条件则的取值范围是( )
A．[1,5] B．[2,6]
C．[3,10] D．[3,11]
[解析] 根据约束条件画出可行域如图阴影部分所示．
∵＝1＋，令k＝，即为可行域中的任意点(x，y)与点(－1，－1)连线的斜率．由图象可知，当点(x，y)为A(0,4)时，k最大，此时的最大值为11，当点(x，y)在线段OB上时，k最小，此时的最小值为3.故选D.
[答案] D
【方法提升】
线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是知最优解情况或可行域情况确定参数的值或取值范围．解决线性规划问题应特别关注以下三点：
(1)首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．
(2)画可行域时应注意区域是否包含边界．
(3)对目标函数z＝Ax＋By中B的符号，一定要注意B的正负与z的最值的对应，要结合图形分析．
[题组训练]
1．(2018·湖南衡阳第二次联考)已知实数x、y满足，则的最小值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] 作出不等式组所对应的平面区域：
由图象可知x＞0，y＞0，设z＝，则x2＝zy，对应的曲线为抛物线，由图象可知当直线y＝x－1与抛物线相切时，此时z取得最小值，将y＝x－1代入抛物线x2＝zy，得x2－zx＋z＝0，由Δ＝0?z＝4，z＝0(舍)
所以选择D.
[答案] D
2．(2018·辽宁抚顺模拟)已知点P(x，y)满足条件若z＝x＋3y的最大值为8，则实数k＝________.
[解析] 依题意k<0且不等式组表示的平面区域如图所示．易得，B.目标函数z＝x＋3y可看作直线y＝－x＋z在y轴上的截距的3倍，显然当直线过点B时截距最大，此时z取得最大值．所以zmax＝－＋3×＝－＝8，解得k＝－6.
[答案] －6
考向三 基本不等式的应用
【例3】
1．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)＞0，对于任意的实数x都有f(x)≥0，则的取值范围是( )
A. B．[2，＋∞)
C. D．[3，＋∞)
[解析] ∵f′(x)＝2ax＋b，∴f′(0)＝b＞0.
又∵对于任意的实数x都有f(x)≥0，∴a＞0且b2－4ac≤0，∴b2≤4ac，∴c＞0，∴＝＝＋1≥＋1≥2.
[答案] B
2．(2018·湘中名校模拟)若正数a，b满足：＋＝1，则＋的最小值为( )
A．2 B.
C. D．1＋
[解析] 由a，b为正数，且＋＝1，得b＝>0，所以a－1>0，所以＋＝＋＝＋≥2＝2，当且仅当＝和＋＝1同时成立，即a＝b＝3时等号成立，所以＋的最小值为2，故选A.
[答案] A
【方法提升】
利用基本不等式求函数或代数式的最值应关注的三个方面
(1)形式：一般地，分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，特别适合用基本不等式求最值．
(2)条件：利用基本不等式求最值需满足“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．
(3)方法：使用基本不等式时，一般通过“拆、拼、凑”的技巧把求最值的函数或代数式化为ax＋(ab＞0)的形式，常用的方法是变量分离法和配凑法．
[题组训练]
1．(2018·甘肃省兰州市二模)若直线l：ax＋by＋1＝0(a＞0，b＞0)把圆C：(x＋4)2＋(y＋1)2＝16分成面积相等的两部分，则当ab取得最大值时，坐标原点到直线l的距离是( )
A．4 B．8
C．2 D.
[解析] 由题意，圆心(－4，－1)代入直线l：ax＋by＋1＝0，可得4a＋b＝1,4a＋b＝1≥4，∴ab≤，当且仅当a＝，b＝时，ab取得最大值，坐标原点到直线l的距离是＝，故选D.
[答案] D
2．(2018·郑州一模)设正实数x，y满足x>，y>1，不等式＋≥m恒成立，则m的最大值为( )
A．2 B．4
C．8 D．16
[解析] 依题意得，2x－1>0，y－1>0，＋＝＋≥＋≥4×2＝8，即＋≥8，当且仅当，即时，取等号，因此＋的最小值是8，m≤8，m的最大值是8，选C.
[答案] C
“点”定乾坤求解与线性规划有关的问题
[典题示例]
【典例】 记不等式组所表示的平面区域为D，若直线y＝a(x＋1)与D有公共点，则a的取值范围是________．
[解析] 法一：作出可行域，利用可行域的上下界，建立的不等式，由得(0,4)，
由得(1,1)．
区域D的上界为(0,4)，下界为(1,1)，
∴y＝a(x＋1)与D有公共点，则有，
∴≤a≤4.
法二：直线y＝a(x＋1)为经过定点P(－1,0)且斜率为a，作出可行域后数形结合可知．
不等式组所表示的平面区域D为如图所示阴影部分(含边界)，且A(1,1)，B(0,4)，C，直线y＝a(x＋1)恒过定点P(－1,0)且斜率为a，由斜率公式可知kBP＝4，kAP＝，若直线y＝a(x＋1)知区域D有公共点，数形结合可得≤a≤4.
[答案]
【方法点睛】
线性规划求目标函数的最值时， 常用方法是数形结合判定所过的定点，也可以把边界端点的坐标代入目标函数，寻找最值，研究可行域与其他函数的关系时，可用边界端点确定出答案．
[跟踪训练]
(2018·河北黄冈模拟)已知不等式组表示区域D，过区域D中任意一点P作圆x2＋y2＝1的两条切线且切点分别为A，B，当∠PAB最小时，cos∠PAB＝( )
A. B.
C．－ D．－
[解析] 作出不等式组表示的平面区域D，如图所示：
要使∠APB最大，则∠OPB最大．
∵sin∠OPB＝＝，
∴只要OP最小即可，即点P到圆心O的距离最小即可．
由图象可知当|OP|垂直于直线3x－4y－10＝0，
此时|OP|＝＝2，|OA|＝1.
设∠APB＝α，则∠APO＝，即sin ＝＝，
此时cos α＝1－2sin2 ＝1－2×2＝1－＝，
即cos∠APB＝，∴∠APB＝60°，
∴△PAB为等边三角形，此时对应的∠PAB＝60°为最小，且cos∠PAB＝.故选B.
[答案] B
一、选择题
1．(2018·长春一模)已知一元二次不等式f(x)＜0的解集为，则f(ex)＞0的解集为( )
A．{x|x＜－1或x＞－ln 3}
B．{x|－1＜x＜－ln 3}
C．{x|x＞－ln 3}
D．{x|x＜－ln 3}
[解析] f(x)＞0的解集为，
则由f(ex)＞0得－1＜ex＜，解得x＜－ln 3，
即f(ex)＞0的解集为{x|x＜－ln 3}．
[答案] D
2．(2018·湖南怀化一模)已知x＞0，y＞0，＋＝，x＋2y＞m2－2m恒成立，则m的取值范围是( )
A．[－6,4] B．[－4,6]
C．(－4,6) D．(－6,4)
[解析] ∵＋≥2，即≥2，
解得xy≥72，∵＋＝，∴＋＝1，
即3x＋6y＝xy，∴x＋2y＝xy≥24，
∴m2－2m＜24恒成立，解不等式m2－2m－24＜0
得－4＜m＜6.故选C.
[答案] C
3．(2018·武昌区模拟)设x，y满足约束条件，且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝( )
A．－5 B．3
C．－5或3 D．5或－3
[解析] 根据约束条件画出可行域如图1中阴影部分所示：
图1
可知可行域为开口向上的V字型．在顶点处z有最小值，顶点为，则＋a＝7，解得a＝3或a＝－5.当a＝－5时，如图2，
图2
虚线向上移动时z减小，故z→－∞，没有最小值，故只有a＝3满足题意．选B.
[答案] B
4．(2018·武汉联考)已知g(x)是R上的奇函数，当x＜0时，g(x)＝－ln(1－x)，函数f(x)＝若f(2－x2)＞f(x)，则实数x的取值范围是( )
A．(－∞，1)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．(1,2) D．(－2,1)
[解析] 设x＞0，则－x＜0，所以g(－x)＝－ln(1＋x)，因为g(x)是R上的奇函数，
所以g(x)＝－g(－x)＝ln(1＋x)，所以f(x)＝易知f(x)是R上的单调递增函数，所以原不等式等价于2－x2＞x，解得－2＜x＜1.故选D.
[答案] D
5．(2018·江苏省泰州中高三摸底考试)已知实数x，y满足若不等式a(x2＋y2)≥(x＋y)2恒成立，则实数a的最小值是________．
[解析] 可行域为一个三角形ABC及其内部(图略)，其中A(2,4)，B(1,4)，C，因此∈[kOA，kOB]＝[2,4]，因为＋在[2,4]上单调递增，所以＋∈，不等式a(x2＋y2)≥(x＋y)2恒成立等价于a≥max＝max＝?amin＝.
[答案]
6．(2018·江西九江三模)已知实数x，y满足，z＝mx＋y的最大值为3，则实数m的值是( )
A．－2 B．3
C．8 D．2
[解析] 由实数x，y满足作出可行域如图，
联立，解得A，
联立，解得B(1,0)，同理C(2，－1)
化目标函数z＝mx＋y为y＝－mx＋z，
当直线z＝mx＋y经过C点时，取得最大值3；
∴3＝2m－1，解得m＝2.故选D.
[答案] D
7．(2018·山东省济宁市期末)已知函数f(x)＝cosπx(0A. B．9
C．18 D．36
[解析] 函数f(x)＝cosπx(0[答案] A
8．(2018·淮北市二模)已知D＝
，给出下列四个命题：
P1：?(x，y)∈D，x＋y≥0；
P2：?(x，y)∈D,2x－y＋1≤0；
P3：?(x，y)∈D，≤－4；
P4：?(x，y)∈D，x2＋y2≤2；
其中真命题的是( )
A．P1，P2 B．P2，P3
C．P3，P4 D．P2，P4
[解析] 可行域为一个三角形ABC及其内部，其中A(－2,0)，B(0,2)，C(－1,3)，所以直线z＝x＋y过点A时取最小值－2＜0；z＝2x－y＋1过点A时取最大值－1；斜率最大值为＝－＞－4，到原点距离的平方的最小值为2＝2，因此选D.
[答案] D
9．(2018·广东省潮州市二模)已知实数x，y满足，若目标函数z＝－mx＋y的最大值为－2m＋10，最小值为－2m－2，则实数m的取值不可能是( )
A．3 B．2
C．0 D．－1
[解析] 由约束条件作出可行域如图，
联立方程组求得A(－2,2)，B(2，－2)，C(2,10)，
化目标函数z＝－mx＋y为y＝mx＋z，
若m≥0，则目标函数的最大值为2m＋2，最小值为－2m－2，由，可知m＝2；
若m＝0，则目标函数的最大值为10，最小值为－2，符合题意；
若m＝－1，则目标函数的最大值为－2m＋10，最小值为－2m－2，符合题意．
∴实数m的取值不可能是3.
故选A.
[答案] A
10．(2018·广东深圳二调)已知函数f(x)＝则关于m的不等式f＜ln －2的解集为( )
A. B．(0,2)
C.∪ D．(－2,0)∪(0,2)
[解析] 函数f(x)的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，∵x＞0时，－x＜0，f(－x)＝－ln x－x＝f(x)，同理：x<0时，f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
∵f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(2)＝－ln 2－2＝ln －2.
∴当m＞0时，由f＜ln －2，得f＜f(2)，
∴＞2，解得0＜m＜.根据偶函数的性质知当m＜0时，得－＜m＜0.
[答案] C
11．(2018·宿州一模)已知x，y满足时，z＝＋(a≥b＞0)的最大值为2，则a＋b的最小值为( )
A．4＋2 B．4－2
C．9 D．8
[解析] 由约束条件作出可行域如图，
联立，
解得A(2,6)，
化目标函数z＝＋为y＝－x＋bz，
由图可知，当直线y＝－x＋bz过点A时，
直线在y轴上的截距最大，z有最大值为＋＝2，
即＋＝1.
所以a＋b＝(a＋b)
＝4＋＋≥4＋2＝4＋2.
当且仅当即a＝＋1，b＝3＋时取等号．
[答案] A
12．若函数f(x)＝x4＋4x3＋ax2－4x＋1的图象恒在x轴上方，则实数a的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(，＋∞) D．(，＋∞)
[解析] x4＋4x3＋ax2－4x＋1>0恒成立，当x＝0时，a∈R，当x≠0时，a>－＝－(x2＋4x－＋)＝－(t2＋4t＋2)＝－(t＋2)2＋2，其中t＝x－∈R，因为－(t＋2)2＋2≤2，从而a>2，因此实数a的取值范围是(2，＋∞)，选A.
[答案] A
二、填空题
13．(2018·安徽省淮南市第四次联考)已知点M的坐标(x，y)满足不等式，N为直线y＝－2x＋2上任一点，则|MN|的最小值是( )
A. B.
C. D.
[解析] 点M的坐标(x，y)满足不等式组的可行域如图：N为直线y＝－2x＋2上任一点，则|MN|的最小值，就是两条平行线y＝－2x＋2与2x＋y－4＝0之间的距离：d＝＝，故选B.
[答案] B
14．(2018·陕西渭南一模)设a，b都是正数，且满足＋＝∫cos xdx，则使a＋b＞c恒成立的实数c的取值范围是________．
[解析] ∵∫cos xdx＝sin x＝1，∴＋＝1.
∵a，b均为正数，∴a＋b＝(a＋b)
＝5＋＋≥5＋2＝9.
当且仅当a＝3，b＝6时取等号．
∴a＋b＞c恒成立的实数c的取值范围是c＜9.
[答案] (－∞，9)
15．设a>b>c>0，若不等式log2018＋log2018≥dlog2018对所有满足题设的a，b，c均成立，则实数d的最大值为____________．
[解析] log2018＋log2018≥dlog2018?＋≥d，因为a>b>c>0，所以lg>0，lg>0，lg>0，设x＝lg，y＝lg，则lg＝x＋y，因此d≤(＋)(x＋y)的最小值，而(＋)(x＋y)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝y时取等号，从而d≤4，即实数d的最大值为4.
[答案] 4
16．已知点O是坐标原点，点A(－1，－2)，若点M(x，y)是平面区域上的一个动点，·(－)＋≤0恒成立，则实数m的取值范围是________．
[解析] 因为＝(－1，－2)，＝(x，y)，
所以·(－)＝·＝－x－2y.
所以不等式·(－)＋≤0恒成立等价于－x－2y＋≤0，即≤x＋2y恒成立．
设z＝x＋2y，作出不等式组表示的可行域如图所示，当目标函数z＝x＋2y表示的直线经过点D(1,1)时取得最小值，最小值为1＋2×1＝3；当目标函数z＝x＋2y表示的直线经过点B(1,2)时取得最大值，最大值1＋2×2＝5.
所以x＋2y∈[3,5]，于是要使≤x＋2y恒成立，
只需≤3，解得m≥或m＜0，即实数m的取值范围是(－∞，0)∪.
[答案] (－∞，0)∪
热点微专题 第3讲
一、选择题
1．(2018·长春一模)已知一元二次不等式f(x)＜0的解集为，则f(ex)＞0的解集为( )
A．{x|x＜－1或x＞－ln 3}
B．{x|－1＜x＜－ln 3}
C．{x|x＞－ln 3}
D．{x|x＜－ln 3}
[解析] f(x)＞0的解集为，
则由f(ex)＞0得－1＜ex＜，解得x＜－ln 3，
即f(ex)＞0的解集为{x|x＜－ln 3}．
[答案] D
2．(2018·湖南怀化一模)已知x＞0，y＞0，＋＝，x＋2y＞m2－2m恒成立，则m的取值范围是( )
A．[－6,4] B．[－4,6]
C．(－4,6) D．(－6,4)
[解析] ∵＋≥2，即≥2，
解得xy≥72，∵＋＝，∴＋＝1，
即3x＋6y＝xy，∴x＋2y＝xy≥24，
∴m2－2m＜24恒成立，解不等式m2－2m－24＜0
得－4＜m＜6.故选C.
[答案] C
3．(2018·武昌区模拟)设x，y满足约束条件，且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝( )
A．－5 B．3
C．－5或3 D．5或－3
[解析] 根据约束条件画出可行域如图1中阴影部分所示：
图1
可知可行域为开口向上的V字型．在顶点处z有最小值，顶点为，则＋a＝7，解得a＝3或a＝－5.当a＝－5时，如图2，
图2
虚线向上移动时z减小，故z→－∞，没有最小值，故只有a＝3满足题意．选B.
[答案] B
4．(2018·武汉联考)已知g(x)是R上的奇函数，当x＜0时，g(x)＝－ln(1－x)，函数f(x)＝若f(2－x2)＞f(x)，则实数x的取值范围是( )
A．(－∞，1)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．(1,2) D．(－2,1)
[解析] 设x＞0，则－x＜0，所以g(－x)＝－ln(1＋x)，因为g(x)是R上的奇函数，
所以g(x)＝－g(－x)＝ln(1＋x)，所以f(x)＝易知f(x)是R上的单调递增函数，所以原不等式等价于2－x2＞x，解得－2＜x＜1.故选D.
[答案] D
5．(2018·江苏省泰州中高三摸底考试)已知实数x，y满足若不等式a(x2＋y2)≥(x＋y)2恒成立，则实数a的最小值是________．
[解析] 可行域为一个三角形ABC及其内部(图略)，其中A(2,4)，B(1,4)，C，因此∈[kOA，kOB]＝[2,4]，因为＋在[2,4]上单调递增，所以＋∈，不等式a(x2＋y2)≥(x＋y)2恒成立等价于a≥max＝max＝?amin＝.
[答案]
6．(2018·江西九江三模)已知实数x，y满足，z＝mx＋y的最大值为3，则实数m的值是( )
A．－2 B．3
C．8 D．2
[解析] 由实数x，y满足作出可行域如图，
联立，解得A，
联立，解得B(1,0)，同理C(2，－1)
化目标函数z＝mx＋y为y＝－mx＋z，
当直线z＝mx＋y经过C点时，取得最大值3；
∴3＝2m－1，解得m＝2.故选D.
[答案] D
7．(2018·山东省济宁市期末)已知函数f(x)＝cosπx(0A. B．9
C．18 D．36
[解析] 函数f(x)＝cosπx(0[答案] A
8．(2018·淮北市二模)已知D＝
，给出下列四个命题：
P1：?(x，y)∈D，x＋y≥0；
P2：?(x，y)∈D,2x－y＋1≤0；
P3：?(x，y)∈D，≤－4；
P4：?(x，y)∈D，x2＋y2≤2；
其中真命题的是( )
A．P1，P2 B．P2，P3
C．P3，P4 D．P2，P4
[解析] 可行域为一个三角形ABC及其内部，其中A(－2,0)，B(0,2)，C(－1,3)，所以直线z＝x＋y过点A时取最小值－2＜0；z＝2x－y＋1过点A时取最大值－1；斜率最大值为＝－＞－4，到原点距离的平方的最小值为2＝2，因此选D.
[答案] D
9．(2018·广东省潮州市二模)已知实数x，y满足，若目标函数z＝－mx＋y的最大值为－2m＋10，最小值为－2m－2，则实数m的取值不可能是( )
A．3 B．2
C．0 D．－1
[解析] 由约束条件作出可行域如图，
联立方程组求得A(－2,2)，B(2，－2)，C(2,10)，
化目标函数z＝－mx＋y为y＝mx＋z，
若m≥0，则目标函数的最大值为2m＋2，最小值为－2m－2，由，可知m＝2；
若m＝0，则目标函数的最大值为10，最小值为－2，符合题意；
若m＝－1，则目标函数的最大值为－2m＋10，最小值为－2m－2，符合题意．
∴实数m的取值不可能是3.
故选A.
[答案] A
10．(2018·广东深圳二调)已知函数f(x)＝则关于m的不等式f＜ln －2的解集为( )
A. B．(0,2)
C.∪ D．(－2,0)∪(0,2)
[解析] 函数f(x)的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，∵x＞0时，－x＜0，f(－x)＝－ln x－x＝f(x)，同理：x<0时，f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
∵f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(2)＝－ln 2－2＝ln －2.
∴当m＞0时，由f＜ln －2，得f＜f(2)，
∴＞2，解得0＜m＜.根据偶函数的性质知当m＜0时，得－＜m＜0.
[答案] C
11．(2018·宿州一模)已知x，y满足时，z＝＋(a≥b＞0)的最大值为2，则a＋b的最小值为( )
A．4＋2 B．4－2
C．9 D．8
[解析] 由约束条件作出可行域如图，
联立，
解得A(2,6)，
化目标函数z＝＋为y＝－x＋bz，
由图可知，当直线y＝－x＋bz过点A时，
直线在y轴上的截距最大，z有最大值为＋＝2，
即＋＝1.
所以a＋b＝(a＋b)
＝4＋＋≥4＋2＝4＋2.
当且仅当即a＝＋1，b＝3＋时取等号．
[答案] A
12．若函数f(x)＝x4＋4x3＋ax2－4x＋1的图象恒在x轴上方，则实数a的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(，＋∞) D．(，＋∞)
[解析] x4＋4x3＋ax2－4x＋1>0恒成立，当x＝0时，a∈R，当x≠0时，a>－＝－(x2＋4x－＋)＝－(t2＋4t＋2)＝－(t＋2)2＋2，其中t＝x－∈R，因为－(t＋2)2＋2≤2，从而a>2，因此实数a的取值范围是(2，＋∞)，选A.
[答案] A
二、填空题
13．(2018·安徽省淮南市第四次联考)已知点M的坐标(x，y)满足不等式，N为直线y＝－2x＋2上任一点，则|MN|的最小值是( )
A. B.
C. D.
[解析] 点M的坐标(x，y)满足不等式组的可行域如图：N为直线y＝－2x＋2上任一点，则|MN|的最小值，就是两条平行线y＝－2x＋2与2x＋y－4＝0之间的距离：d＝＝，故选B.
[答案] B
14．(2018·陕西渭南一模)设a，b都是正数，且满足＋＝∫cos xdx，则使a＋b＞c恒成立的实数c的取值范围是________．
[解析] ∵∫cos xdx＝sin x＝1，∴＋＝1.
∵a，b均为正数，∴a＋b＝(a＋b)
＝5＋＋≥5＋2＝9.
当且仅当a＝3，b＝6时取等号．
∴a＋b＞c恒成立的实数c的取值范围是c＜9.
[答案] (－∞，9)
15．设a>b>c>0，若不等式log2018＋log2018≥dlog2018对所有满足题设的a，b，c均成立，则实数d的最大值为____________．
[解析] log2018＋log2018≥dlog2018?＋≥d，因为a>b>c>0，所以lg>0，lg>0，lg>0，设x＝lg，y＝lg，则lg＝x＋y，因此d≤(＋)(x＋y)的最小值，而(＋)(x＋y)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝y时取等号，从而d≤4，即实数d的最大值为4.
[答案] 4
16．已知点O是坐标原点，点A(－1，－2)，若点M(x，y)是平面区域上的一个动点，·(－)＋≤0恒成立，则实数m的取值范围是________．
[解析] 因为＝(－1，－2)，＝(x，y)，
所以·(－)＝·＝－x－2y.
所以不等式·(－)＋≤0恒成立等价于－x－2y＋≤0，即≤x＋2y恒成立．
设z＝x＋2y，作出不等式组表示的可行域如图所示，当目标函数z＝x＋2y表示的直线经过点D(1,1)时取得最小值，最小值为1＋2×1＝3；当目标函数z＝x＋2y表示的直线经过点B(1,2)时取得最大值，最大值1＋2×2＝5.
所以x＋2y∈[3,5]，于是要使≤x＋2y恒成立，
只需≤3，解得m≥或m＜0，即实数m的取值范围是(－∞，0)∪.
[答案] (－∞，0)∪
热点微专题 常考客观题型
第3讲 不等式、线性规划
