第4讲 算法、复数、推理与证明
[真题再现]
1．(2018·课标Ⅰ卷)设z＝＋2i，则|z|＝( )
A．0 B.
C．1 D.
[解析] ∵ z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i，
∴ |z|＝1.故选C.
[答案] C
2．(2018·浙江卷)复数(i为虚数单位)的共轭复数是( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
[解析] ＝＝＝1＋i，∴ 共轭复数为1－i.故选B.
[答案] B
3．(2018·北京)执行如图所示的程序框图，输出的s值为( )
A. B.
C. D.
[解析] 第一步：s＝1－＝，k＝2，k<3；
第二步：s＝＋＝，k＝3，输出s.故选B.
[答案] B
4．(2018·课标Ⅱ卷)为计算S＝1－＋－＋…＋－，设计了如图所示的程序框图，则在空白框中应填入( )
A．i＝i＋1 B．i＝i＋2
C．i＝i＋3 D．i＝i＋4
[解析] 把各循环变量在各次循环中的值用表格表示如下.
循环次数 ① ② ③ …
N 0＋ 0＋＋ 0＋＋＋ … 0＋＋＋＋…＋
T 0＋ 0＋＋ 0＋＋＋ … 0＋＋＋＋…＋
S 1－ 1－＋－ 1－＋－＋－ … 1－＋－＋…＋－
因为N＝N＋，由上表知i是1→3→5，…，所以i＝i＋2.故选B.
[答案] B
5．(2018·天津)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] 输入N的值为20，
第一次执行条件语句，N＝20，i＝2，＝10是整数，
∴ T＝0＋1＝1，i＝3<5；
第二次执行条件语句，N＝20，i＝3，＝不是整数，
∴ i＝4<5；
第三次执行条件语句，N＝20，i＝4，＝5是整数，
∴ T＝1＋1＝2，i＝5，此时i≥5成立，∴ 输出T＝2.故选B.
[答案] B
[看透高考]
1．高考题中对算法的程序框图的考查主要以选择题或填空题的形式为主，试题难度中等偏易，试题主要以考查循环结构的程序框图为主，且常常与其它数学知识融汇在一起考查，如算法与函数、算法和数列、算法和统计以及应用算法解决实际问题．
2．复数的概念和运算主要考查复数的分类、共轭复数、复平面和复数的四则运算为主，试题侧重对基本运算的考查，试题难度较低，易于得满分，主要分布在试卷的第1、2题位置．
3．归纳推理和类比推理等主要是和数列、不等式等内容联合考查，多以选择题和填空题的形式出现，难度中等；而直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列、不等式、解析几何等综合命题，考查证明问题的知识面广，涉及知识点多，题目难度较大，主要考查逻辑推理能力、归纳能力和综合能力．
4．数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法．考查“归纳—猜想—证明”的模式，常与数列结合考查．
[核心素养]
1．算法的三种基本逻辑结构
(1)顺序结构：如图(1)所示．
(2)条件结构：如图(2)和图(3)所示．
(3)循环结构：如图(4)和图(5)所示．
2．复数
(1)复数的相等：a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)?a＝c，b＝d.
(2)共轭复数：当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．
(3)运算：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i，(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc－ad)i，(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(c＋di≠0)，(a，b，c，d∈R)．
(4)复数的模：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)．
3．两种合情推理的思想过程
(1)归纳推理的思维过程：
―→―→
(2)类比推理的思维过程：
―→―→
4．数学归纳法证题的步骤
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n＝n0(n0∈N*)时，命题成立；
(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时，命题也成立．
只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对于任何n≥n0的正整数都成立．
【易错警示】
(1)算法
①解答有关程序(算法)框图问题，首先要读懂程序(算法)框图，要熟练掌握程序(算法)框图的三个基本结构．
②循环结构常常用在一些有规律的科学计算中，如累加求和，累乘求积，多次输入等．利用循环结构表示算法，第一要选择准确地表示累计的变量，第二要注意在哪一步结束循环．解答循环结构的程序(算法)框图题，最好的方法是执行完整每一次循环，防止执行程序不彻底，造成错误．
③注意直到型循环和当型循环的本质区别．直到型循环是先执行再判断，直到条件满足才结束循环；当型循环是先判断再执行，若满足条件则进入循环体，否则结束循环．
(2)复数
①与复数的相关概念和复数的几何意义有关的问题，一般是先变形，把复数的非代数形式化为代数形式，然后再根据条件，列方程(组)求解．
②与复数z的模|z|和共轭复数有关的问题，一般都要先设出复数z的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，代入条件，用待定系数法解决．
③复数运算中常用的结论
(ⅰ)(1±i)2＝±2i；
(ⅱ)＝i；
(ⅲ)＝－i；
(ⅳ)－b＋ai＝i(a＋bi)；
(ⅴ)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，其中n∈N.
(3)合情推理的精髓是“合情”，即得到的结论符合“情理”，其中主要是归纳推理与类比推理．归纳推理是由部分得到整体的一种推理模式．类比推理是由此及彼的推理模式；演绎推理是一种严格的证明方式．
(4)直接证明的最基本的两种证明方法是综合法和分析法，这两种方法也是解决数学问题时常见的思维方式．在实际解题时，通常先用分析法寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程．
(5)数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题的一种方法，在遇到与正整数有关的数学命题时，要考虑是否可以使用数学归纳法进行证明．
①在证明过程中突出两个“凑”字，即一“凑”假设，二“凑”结论，关键是在证明n＝k＋1时要用上n＝k时的假设，其次要明确n＝k＋1时证明的目标，充分考虑由n＝k到n＝k＋1时，命题形式之间的区别和联系，化异为同．中间的计算过程千万不能省略．
②注意“两个步骤、一个结论”一个也不能少，切忌忘记归纳结论．
考向一 复数的概念与运算
【例1】
1．(2017·课标Ⅰ)设有下面四个命题( )
p1：若复数z满足∈R，则z∈R；
p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；
p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2；
p4：若复数z∈R，则∈R.
其中的真命题为( )
A．p1，p3 B．p1，p4
C．p2，p3 D．p2，p4
[解析] 令z＝a＋bi(a，b∈R)，则由＝＝∈R得b＝0，所以z∈R，故p1正确；
当z＝i时，因为z2＝i2＝－1∈R，而z＝i?R知，故p2不正确；
当z1＝z2＝i时，满足z1·z2＝－1∈R，但z1≠2，知p3不正确；
对于p4，因为实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故p4正确，故选B.
[答案] B
2．(2018·河南中原名校联考)i是虚数单位，复数－(1－i)2－4i＝( )
A．0 B．2
C．－4i D．4i
[解析] －(1－i)2－4i＝－(1－2i－1)－4i＝2i＋2i－4i＝0，所以选A.
[答案] A
3．(2018·河南省中原名校第五次联考)已知a∈R，若是纯虚数，则在复平面内，复数z＝ai＋i2018所对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] 依题意，＝＝，故，解得a＝.故z＝ai＋i2018＝i－1在复平面内所对应的点为，位于第二象限，故选B.
[答案] B
【方法提升】
复数问题的解题思路
(1)以复数的基本概念、几何意义、相等的条件为基础，结合四则运算，利用复数的代数形式列方程或方程组解决问题．
(2)若与其他知识结合考查，则要借助其他的相关知识解决问题．
[题组训练]
1．已知a∈R，i是虚数单位．若与3i－互为共轭复数，则a＝( )
A. B．－
C．－3 D．3
[解析] ＝＝＝－i,3i－＝3i－＝3i－＝1＋i，∵与3i－互为共轭复数，∴＝1，－＝－1，解得a＝3.故选D.
[答案] D
2．(2018·山西省大同市豪洋中学四模试卷(理科))已知复数z的共轭复数为＝1＋3i(i为虚数单位)，则复数在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] ∵＝1＋3i(i为虚数单位)，∴z＝1－3i.
则复数＝＝＝＝－1－2i
在复平面内对应的点(－1，－2)位于第三象限．故选C.
[答案] C
3．(2018·江西鹰潭二模)“z＝－(其中i是虚数单位)是纯虚数．”是“θ＝＋2kπ”的________条件( )
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
[解析] z＝－＝sin θ－－icos θ(其中i是虚数单位)是纯虚数．
则sin θ－＝0，cos θ≠0，
解得：θ＝2kπ＋或θ＝2kπ＋π－(k∈Z)．
∴z＝－(其中i是虚数单位)是纯虚数．”是“θ＝＋2kπ”的必要不充分条件．故选B.
[答案] B
考向二 程序框图
【例2】
1．(2018·江西南昌摸底联考)执行如图所示的程序框图，输出的n为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] 当n＝1时，f(x)＝1，满足f(x)＝f(－x)，不满足f(x)＝0有解，故n＝2；当n＝2时，f(x)＝2x，不满足f(x)＝f(－x)，故n＝3；当n＝3时，f(x)＝3x2，满足f(x)＝f(－x)，满足f(x)＝0有解，故输出的n为3，故选C.
[答案] C
2．(2018·黑龙江省大庆一中第二次段考)如图给出的是计算＋＋＋…＋的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是( )
A．i＞8 B．i＞9
C．i＞10 D．i＞11
[解析] 经过第一次循环得到S＝，i＝2，此时的i应该不满足判断框中的条件
经过第二次循环得到S＝＋，i＝3，此时的i应该不满足判断框中的条件
经过第三次循环得到S＝＋＋，i＝4，此时的i应该不满足判断框中的条件
…
经过第十次循环得到S＝＋＋＋…＋，i＝11，此时的i应该满足判断框中的条件，执行输出
故判断框中的条件是i＞10，故选C.
[答案] C
【方法提升】
解答程序框图问题的三个关注点
(1)弄清程序框图的三种基本结构，按指向执行直至结束．
(2)关注输出的是哪个量，何时结束．
(3)解答循环结构问题时，要写出每一次的结果，防止运行程序不彻底，同时注意区分计算变量与循环变量．
[题组训练]
1．(2018·贵州黔东南州联考)下列程序框图输出的a的值为( )
A．5 B．0
C．－5 D．10
[解析] 该题的算法功能是求数列的前10项和，由于数列的周期为2，且每一个周期内的两项之和为0，故数列的前10项和为0，数列{(－1)an}从第一项开始，每两项之和为1，所以前10项之和为5，故数列的前10项和为0＋5＝5，故选A.
[答案] A
2．(2017·全国乙卷)执行如图所示的程序框图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，y的值满足( )
A．y＝2x B．y＝3x
C．y＝4x D．y＝5x
[解析] 输入x＝0，y＝1，n＝1，
运行第一次，x＝0，y＝1，不满足x2＋y2≥36；
运行第二次，x＝，y＝2，不满足x2＋y2≥36；
运行第三次，x＝，y＝6，满足x2＋y2≥36，
输出x＝，y＝6.
由于点在直线y＝4x上，故选C.
[答案] C
考向三 推理与证明
【例3】
1．(2018·江西赣州十四县联考)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一．并五关所税，适重一下．问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金，第2关收税金为剩余的，第3关收税金为剩余的，第4关收税金为剩余的，第5关收税金为剩余的，5关所收税金之和，恰好重1斤，问原本持金多少？”若将“5关所收税金之和，恰好重1斤，问原本持金多少？”改成“假设这个人原本持金为x，按此规律通过第8关”，则第8关所收税金为____________x.
[解析] 第1关收税金：x；第2关收税金：x＝＝；
第3关收税金：x＝＝；……
第8关收税金：＝.
[答案]
2．(2018·广东实验中学段考)已知点A(x1，ax1)、B(x2，ax2)是函数y＝ax(a＞1)的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论＞a成立．运用类比思想方法可知，若点A(x1，sin x1)、B(x2，sin x2)是函数y＝sin x[x∈(0，π)]图象上的不同两点，则类似地有________成立．
[解析] 由题意知，点A、B是函数y＝ax(a＞1)的图象上任意不同两点，函数y＝ax(a＞1)图象下凸，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论＞a成立；而函数y＝sin x(x∈(0，π))图象上凸，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的下方，因此可类比得到结论＜sin .
[答案] ＜sin
【方法提升】
合情推理的解题思路
(1)在进行归纳推理时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．
(2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象的性质，然后通过类比，推导出类比对象的性质．
(3)归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性．
[题组训练]
1．(2018·安徽合肥模拟)“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(1,2)，解关于x的不等式cx2＋bx＋a>0.”给出如下的一种解法：
[解] 由ax2＋bx＋c>0的解集为(1,2)，得a2＋b＋c>0的解集为，即关于x的不等式cx2＋bx＋a>0的解集为.
类比上述解法：若关于x的不等式＋<0的解集为∪，则关于x的不等式－>0的解集为______________________．
[解析] 根据题意，由＋<0的解集为∪，
得＋<0的解集为∪，
即－>0的解集为∪.
[答案] ∪
2．(2018·宁夏银川市二模试卷)学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：
甲说：“是C或D作品获得一等奖”；
乙说：“B作品获得一等奖”；
丙说：“A，D两项作品未获得一等奖”；
丁说：“是C作品获得一等奖”．
若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是________．
[解析] 若A为一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不满足题意，
若B为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意，
若C为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意，
若D为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意，
故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B.
[答案] B
复数代数运算的转化方法
[典题示例]
【典例】 若i(x＋yi)＝3＋4i，x，y∈R，则复数x＋yi的模是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
[审题视角] ①弄清题目条件、解题目标．
②弄清关系转化：
(ⅰ)根据复数相等，视x＋yi为一个数，直接求x＋yi，再化简．
(ⅱ)根据模的性质直接求．
(ⅲ)利用复数相等分别求x，y，再求模．
[解析] 法一：因为i(x＋yi)＝3＋4i，
所以x＋yi＝＝＝4－3i，
故|x＋yi|＝|4－3i|＝＝5.
法二：因为i(x＋yi)＝3＋4i，
所以(－i)i(x＋yi)＝(－i)·(3＋4i)＝4－3i，
即x＋yi＝4－3i，故|x＋yi|＝|4－3i|＝＝5.
法三：∵i(x＋yi)＝3＋4i
∴|i(x＋yi)|＝|3＋4i|
∴|i||x＋yi|＝5，∴|x＋yi|＝5.
法四：因为i(x＋yi)＝3＋4i，
所以－y＋xi＝3＋4i，
所以x＝4，y＝－3，
故|x＋yi|＝|4－3i|＝＝5.
[答案] D
【方法点睛】
(1)求解复数问题：就是利用复数相等转化为实数问题，其中解法一、二、三用了整体思想，即x＋yi是一个数．
(2)解法三是技巧，利用了模的性质：
|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝.
[跟踪训练]
(2018·天津滨海新区模拟)已知i是虚数单位，则＝________.
[解析] ＝＝＝1－i，填1－i.
[答案] 1－i
一、选择题
1．(2018·广东佛山质检)设a，b是两个实数，给出下列条件：
①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.
其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是( )
A．②③ B．①②③
C．③ D．③④⑤
[解析] 若a＝，b＝，则a＋b>1，但a<1，b<1，故①推不出；
若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；
若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出；
若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；
对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，
反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b>2矛盾，
因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1.
[答案] C
2．(2018·山东省枣庄十六中4月模拟试卷)若复数z＝(i为虚数单位)，则|z＋1|＝( )
A．3 B．2
C. D.
[解析] z＝＝＝－1－2i
所以|z＋1|＝2，故选B.
[答案] B
3．(2018·中原名校联考)已知复数z＝，则z－|z|对应的点所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] ∵复数z＝＝＝＋i，
∴z－|z|＝＋i－＝＋i，
其对应的点所在的象限为第二象限．故选B.
[答案] B
4．(2018·贵州七校联盟第一次联考)复数z＝(m∈R，i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] 由已知z＝＝＝[(m－4)－2(m＋1)i]在复平面对应点如果在第一象限，则而此不等式组无解，即在复平面上对应的点不可能位于第一象限．故选A.
[答案] A
5．(2018·四川德阳三校联考)执行如图所示的程序框图，若输入m＝1，n＝3，输出的x＝1.75，则空白判断框内应填的条件为( )
A．|m－n|＜1 B．|m－n|＜0.5
C．|m－n|＜0.2 D．|m－n|＜0.1
[解析] 当第一次执行，x＝2,22－3>0，n＝2，返回，第二次执行x＝，()2－3<0，m＝，返回，第三次，x＝＝1.75，()2－3>0，n＝，要输出x，故满足判断框，此时m－n＝－＝－，故选B.
[答案] B
6．(2018·湖北宜昌一中、龙泉中学联考)老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好”；乙说：“我们四人中有人考得好”；丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；丁说：“我没考好”．结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中说对了的两人是( )
A．甲 丙 B．乙 丁
C．丙 丁 D．乙 丙
[解析] 如果甲对，则丙、丁都对，与题意不符，故甲错，乙对；如果丙错，则丁错，因此只能是丙对，丁错，故选D.
[答案] D
7．(2018·郴州市教学质量监测)定义：若函数f(x)的图象经过变换T后所得图象对应函数的值域与f(x)的值域相同，则称变换T是f(x)的“同值变换”．下面给出四个函数及其对应的变换T，其中不属于f(x)的“同值变换”的是( )
A．f(x)＝(x－1)2，T：将函数f(x)的图象关于y轴对称
B．f(x)＝2x＋3，T：将函数f(x)的图象关于点(－1,1)对称
C．f(x)＝2x－1－1，T：将函数f(x)的图象关于x轴对称
D．f(x)＝sin，T：将函数f(x)的图象关于点(－1,0)对称
[解析] A．f(x)＝(x－1)2关于y轴对称的函数是y＝(x＋1)2，值域(0，＋∞)相同；
B．f(x)＝2x＋3关于点(－1,1)对称的函数为f(x)＝2x＋3，值域R相同；
C．f(x)＝2x－1－1＞－1，关于x轴对称的函数是y＝－2x－1＋1＜1，值域不同；
D．f(x)＝sin关于(－1,0)对称的函数是y＝－sin，值域[－1,1]相同，故选C.
[答案] C
8．执行下列程序框图，若输出i的值为3，则输入x的取值范围是( )
A．0C．1≤x<3 D．1[解析] 该程序框图执行以下程序：
i＝1，x＝2x＋1；i＝2，x＝2(2x＋1)＋1＝4x＋3；i＝3，x＝2(4x＋3)＋1＝8x＋7则由可得1故选D.
[答案] D
9．(2018·北京市朝阳区二模)“现代五项”是由现代奥林匹克之父顾拜旦先生创立的运动项目，包含射击、击剑、游泳、马术和越野跑五项运动．已知甲、乙、丙共三人参加“现代五项”．规定每一项运动的前三名得分都分别为a，b，c(a＞b＞c且a，b，c∈N*)，选手最终得分为各项得分之和．已知甲最终得22分，乙和丙最终各得9分，且乙的马术比赛获得了第一名，则游泳比赛的第三名是( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．乙和丙都有可能
[解析] ∵甲最终得22分，乙和丙最终各得9分，
∴5(a＋b＋c)＝22＋9＋9?a＋b＋c＝8
即每个项目三个名次总分是8分．
每个项目的三个名次的分值情况只有两种：①5分、2分、1分；②4分、3分、1分；
对于情况①5分、2分、1分：
乙的马术比赛获得了第一名，5分，余下四个项目共得4分，只能是四个第三名；
余下四个第一名，若甲得三个第一名，15分，还有两个项目得7分不可能，
故甲必须得四个第一名，一个第二名，
余下一个第三名，四个第二名刚好符合丙得分，
由此可得乙和丙都有可能得第三名．
对于情况②4分、3分、1分；同上分析，故选D.
[答案] D
10．(2018·武汉模拟)如图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n＞1，n∈N)个点，相应的图案中总的点数记为an，则＋＋＋…＋＝( )
A. B.
C. D.
[解析] 每条边有n个点，所以三条边有3n个点，三角形的3个顶点都被重复计算了一次，所以减3个顶点，即an＝3n－3，那么＝＝＝－，则＋＋＋…＋
＝＋＋＋…＋＝1－＝，故选C.
[答案] C
11．(2018·泉州一模)以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．
该表由若干行数字组成，从第2行起，第一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为( )
A．2 017×22 015 B．2 017×22 014
C．2 016×22 015 D．2 016×22 014
[解析] 由题意知数表的每一行都是等差数列，且第1行数的公差为1，第2行数的公差为2，第3行数的公差为4，……，第2 015行数的公差为22 014，
第1行的第一个数为2×2－1，
第2行的第一个数为3×20，
第3行的第一个数为4×21，
……
第n行的第一个数为(n＋1)×2n－2，
[答案] B
二、填空题
12．(2016·全国Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．
[解析] 由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”，所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1和3”．
[答案] 1和3
13．(2018·大连模拟)设复数z的共轭复数为，若z＝1－i(i为虚数单位)，则＋z2的虚部为________．
[解析] ∵z＝1－i(i为虚数单位)，
∴＋z2＝＋(1－i)2＝－2i
＝－2i＝－i，故其虚部为－1.
[答案] －1
14．(2018·天津市河东区高三高考二模)执行下图所示的程序框图，则S的值为( )
A．16 B．32
C．64 D．128
[解析] 模拟程序的运行，可得i＝1，S＝1，
执行循环体，S＝2，i＝2，
满足条件i≤4，执行循环体，S＝8，i＝4.
满足条件i≤4，执行循环体，S＝128，i＝8.
此时，不满足条件i≤4，退出循环，输出S的值为128.
故答案为D.
[答案] D
15．(2018·青海省西宁市二模)2016年夏季大美青海又迎来了旅游热，甲、乙、丙三位游客被询问是否去过陆心之海青海湖，海北百里油菜花海，茶卡天空之境三个地方时，
甲说：我去过的地方比乙多，但没去过海北百里油菜花海；
乙说：我没去过茶卡天空之境；
丙说：我们三人去过同一个地方．
由此可判断乙去过的地方为____________．
[解析] 由乙说：我没去过茶卡天空之境，则乙可能去过陆心之海青海湖或茶卡天空之境，
但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过海北百里油菜花海，则乙只能是去过陆心之海青海湖，茶卡天空之境中的任一个，
再由丙说：我们三人去过同一个地方，
则由此可判断乙去过的地方为陆心之海青海湖．
[答案] 陆心之海青海湖
16．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中，用如下图1所示的三角形，解释二项和的乘方规律．在欧洲直到1623年以后，法国数学家布莱士·帕斯卡的著作(1655年)介绍了这个三角形．近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinesetriangle)如图1,17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如下图2.在杨辉三角中相邻两行满足关系式：C＋C＝C，其中n是行数，r∈N.请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是________．
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
…
C C … C … C C
图1
…
……
图2
[解析] 类比观察得，将莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数，而相邻两项之和是上一行的两者相拱之数，所以类比式子C＋C＝C，有＝＋.
[答案] ＝＋
热点微专题 第4讲
一、选择题
1．(2018·广东佛山质检)设a，b是两个实数，给出下列条件：
①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.
其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是( )
A．②③ B．①②③
C．③ D．③④⑤
[解析] 若a＝，b＝，则a＋b>1，但a<1，b<1，故①推不出；
若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；
若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出；
若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；
对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，
反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b>2矛盾，
因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1.
[答案] C
2．(2018·山东省枣庄十六中4月模拟试卷)若复数z＝(i为虚数单位)，则|z＋1|＝( )
A．3 B．2
C. D.
[解析] z＝＝＝－1－2i
所以|z＋1|＝2，故选B.
[答案] B
3．(2018·中原名校联考)已知复数z＝，则z－|z|对应的点所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] ∵复数z＝＝＝＋i，
∴z－|z|＝＋i－＝＋i，
其对应的点所在的象限为第二象限．故选B.
[答案] B
4．(2018·贵州七校联盟第一次联考)复数z＝(m∈R，i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] 由已知z＝＝＝[(m－4)－2(m＋1)i]在复平面对应点如果在第一象限，则而此不等式组无解，即在复平面上对应的点不可能位于第一象限．故选A.
[答案] A
5．(2018·四川德阳三校联考)执行如图所示的程序框图，若输入m＝1，n＝3，输出的x＝1.75，则空白判断框内应填的条件为( )
A．|m－n|＜1 B．|m－n|＜0.5
C．|m－n|＜0.2 D．|m－n|＜0.1
[解析] 当第一次执行，x＝2,22－3>0，n＝2，返回，第二次执行x＝，()2－3<0，m＝，返回，第三次，x＝＝1.75，()2－3>0，n＝，要输出x，故满足判断框，此时m－n＝－＝－，故选B.
[答案] B
6．(2018·湖北宜昌一中、龙泉中学联考)老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好”；乙说：“我们四人中有人考得好”；丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；丁说：“我没考好”．结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中说对了的两人是( )
A．甲 丙 B．乙 丁
C．丙 丁 D．乙 丙
[解析] 如果甲对，则丙、丁都对，与题意不符，故甲错，乙对；如果丙错，则丁错，因此只能是丙对，丁错，故选D.
[答案] D
7．(2018·郴州市教学质量监测)定义：若函数f(x)的图象经过变换T后所得图象对应函数的值域与f(x)的值域相同，则称变换T是f(x)的“同值变换”．下面给出四个函数及其对应的变换T，其中不属于f(x)的“同值变换”的是( )
A．f(x)＝(x－1)2，T：将函数f(x)的图象关于y轴对称
B．f(x)＝2x＋3，T：将函数f(x)的图象关于点(－1,1)对称
C．f(x)＝2x－1－1，T：将函数f(x)的图象关于x轴对称
D．f(x)＝sin，T：将函数f(x)的图象关于点(－1,0)对称
[解析] A．f(x)＝(x－1)2关于y轴对称的函数是y＝(x＋1)2，值域(0，＋∞)相同；
B．f(x)＝2x＋3关于点(－1,1)对称的函数为f(x)＝2x＋3，值域R相同；
C．f(x)＝2x－1－1＞－1，关于x轴对称的函数是y＝－2x－1＋1＜1，值域不同；
D．f(x)＝sin关于(－1,0)对称的函数是y＝－sin，值域[－1,1]相同，故选C.
[答案] C
8．执行下列程序框图，若输出i的值为3，则输入x的取值范围是( )
A．0C．1≤x<3 D．1[解析] 该程序框图执行以下程序：
i＝1，x＝2x＋1；i＝2，x＝2(2x＋1)＋1＝4x＋3；i＝3，x＝2(4x＋3)＋1＝8x＋7则由可得1故选D.
[答案] D
9．(2018·北京市朝阳区二模)“现代五项”是由现代奥林匹克之父顾拜旦先生创立的运动项目，包含射击、击剑、游泳、马术和越野跑五项运动．已知甲、乙、丙共三人参加“现代五项”．规定每一项运动的前三名得分都分别为a，b，c(a＞b＞c且a，b，c∈N*)，选手最终得分为各项得分之和．已知甲最终得22分，乙和丙最终各得9分，且乙的马术比赛获得了第一名，则游泳比赛的第三名是( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．乙和丙都有可能
[解析] ∵甲最终得22分，乙和丙最终各得9分，
∴5(a＋b＋c)＝22＋9＋9?a＋b＋c＝8
即每个项目三个名次总分是8分．
每个项目的三个名次的分值情况只有两种：①5分、2分、1分；②4分、3分、1分；
对于情况①5分、2分、1分：
乙的马术比赛获得了第一名，5分，余下四个项目共得4分，只能是四个第三名；
余下四个第一名，若甲得三个第一名，15分，还有两个项目得7分不可能，
故甲必须得四个第一名，一个第二名，
余下一个第三名，四个第二名刚好符合丙得分，
由此可得乙和丙都有可能得第三名．
对于情况②4分、3分、1分；同上分析，故选D.
[答案] D
10．(2018·武汉模拟)如图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n＞1，n∈N)个点，相应的图案中总的点数记为an，则＋＋＋…＋＝( )
A. B.
C. D.
[解析] 每条边有n个点，所以三条边有3n个点，三角形的3个顶点都被重复计算了一次，所以减3个顶点，即an＝3n－3，那么＝＝＝－，则＋＋＋…＋
＝＋＋＋…＋＝1－＝，故选C.
[答案] C
11．(2018·泉州一模)以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．
该表由若干行数字组成，从第2行起，第一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为( )
A．2 017×22 015 B．2 017×22 014
C．2 016×22 015 D．2 016×22 014
[解析] 由题意知数表的每一行都是等差数列，且第1行数的公差为1，第2行数的公差为2，第3行数的公差为4，……，第2 015行数的公差为22 014，
第1行的第一个数为2×2－1，
第2行的第一个数为3×20，
第3行的第一个数为4×21，
……
第n行的第一个数为(n＋1)×2n－2，
[答案] B
二、填空题
12．(2016·全国Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．
[解析] 由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”，所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1和3”．
[答案] 1和3
13．(2018·大连模拟)设复数z的共轭复数为，若z＝1－i(i为虚数单位)，则＋z2的虚部为________．
[解析] ∵z＝1－i(i为虚数单位)，
∴＋z2＝＋(1－i)2＝－2i
＝－2i＝－i，故其虚部为－1.
[答案] －1
14．(2018·天津市河东区高三高考二模)执行下图所示的程序框图，则S的值为( )
A．16 B．32
C．64 D．128
[解析] 模拟程序的运行，可得i＝1，S＝1，
执行循环体，S＝2，i＝2，
满足条件i≤4，执行循环体，S＝8，i＝4.
满足条件i≤4，执行循环体，S＝128，i＝8.
此时，不满足条件i≤4，退出循环，输出S的值为128.
故答案为D.
[答案] D
15．(2018·青海省西宁市二模)2016年夏季大美青海又迎来了旅游热，甲、乙、丙三位游客被询问是否去过陆心之海青海湖，海北百里油菜花海，茶卡天空之境三个地方时，
甲说：我去过的地方比乙多，但没去过海北百里油菜花海；
乙说：我没去过茶卡天空之境；
丙说：我们三人去过同一个地方．
由此可判断乙去过的地方为____________．
[解析] 由乙说：我没去过茶卡天空之境，则乙可能去过陆心之海青海湖或茶卡天空之境，
但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过海北百里油菜花海，则乙只能是去过陆心之海青海湖，茶卡天空之境中的任一个，
再由丙说：我们三人去过同一个地方，
则由此可判断乙去过的地方为陆心之海青海湖．
[答案] 陆心之海青海湖
16．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中，用如下图1所示的三角形，解释二项和的乘方规律．在欧洲直到1623年以后，法国数学家布莱士·帕斯卡的著作(1655年)介绍了这个三角形．近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinesetriangle)如图1,17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如下图2.在杨辉三角中相邻两行满足关系式：C＋C＝C，其中n是行数，r∈N.请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是________．
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
…
C C … C … C C
图1
…
……
图2
[解析] 类比观察得，将莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数，而相邻两项之和是上一行的两者相拱之数，所以类比式子C＋C＝C，有＝＋.
[答案] ＝＋
热点微专题 常考客观题型
第4讲 算法、复数、推理与证明
