导数在函数性质中的应用（—）------单调性
【要点梳理】
一：函数的单调性与导数的关系
我们知道，如果函数在某个区间是增函数或减函数，那么就说在这一区间具有单调性.
已知函数的图象如图所示，
由函数的单调性易知，当时，是减函数；当时，是增函数.现在我们看看各个单调区间内任意一点的切线情况：
考虑到曲线的在某点处切线的斜率就是函数在改点的导数值，从图象可以看到：
在区间（－∞，2）内，任意一点的切线的斜率为负，即时，为减函数.
在区间（2，+∞）内，任意一点的切线的斜率为正，即时，为增函数.
导数的符号与函数的单调性：
一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上，
（1）若，则在这个区间上为增函数；
（2）若，则在这个区间上为减函数；
（3）若恒有，则在这一区间上为常函数.
反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）．
①因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上，即切线斜率为正时，函数在这个区间上为增函数；当在某区间上，即切线斜率为负时，函数在这个区间上为减函数；即导函数的正负决定了原函数的增减；
②若在某区间上有有限个点使，在其余点恒有，则仍为增函数（减函数的情形完全类似.
即在某区间上，在这个区间上为增函数；
在这个区间上为减函数，但反之不成立.
③在某区间上为增函数在该区间；
在某区间上为减函数在该区间.
在区间(,b)内，（或）是在区间(，b)内单调递增（或减）的充分不必要条件.
例如：而f()在R上递增.
④只有在某区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数.
⑤注意导函数图象与原函数图象之间的关系.
二：利用导数研究函数的单调性
利用导数判断函数单调性的基本方法：
设函数在区间（，b）内可导，
（1）如果恒有，则函数在（，b）内为增函数；
（2）如果恒有，则函数在（，b）内为减函数；
（3）如果恒有，则函数在（，b）内为常数函数.
①若函数在区间（，b）内单调递增，则，若函数在（，b）内单调递减，则；
②或恒成立，求参数值的范围的方法——分离参数法：或.
三：利用导数求函数单调区间的基本步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）在函数的定义域内解不等式或；
（4）确定的单调区间.
或者：令，求出它在定义域内的一切实数根。把这些实数根和函数的间断点（即的无定义点）的横坐标按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间，判断在各个小区间内的符号.
①求函数单调区间时，要注意单调区间一定是函数定义域的子集；
②求单调区间常常通过列表的方法进行求解，使解题思路步骤更加清晰、明确.
【典型例题】
一：求函数的单调区间
例1. 确定函数的单调区间.
【解析】第一步：确定函数的定义域：
的定义域为R；
第二步：求导：
，
第三步：
方法一：解不等式确定函数的单调增区间：
令，解得＜0或＞2，
则函数在＜0或＞2时是增函数；
方法二：列表法：
令，解得=0或=2.
当变化时，、的变化状态如下表：
(-∞，0) 0 (0，2) 2 (2，+∞)
+ 0 - 0 +
↗ 1 ↘ 1 ↗
第四步：确定单调区间：
因此，函数的单调增区间为（－∞，0）和（2，+∞），而单调减区间为（0，2）.
【总结升华】
（1）在方法一求函数的减区间的过程中，无需通过解不等式求解，因为我们已经获得了函数的单调增区间，而在定义域内将增区间排除自然是减区间. 只需在最后加以说明即可.
（2）在方法二的表格判断正负的过程中，采用合适的方法将减少失误，常用方法有三个：
①不等式法：根据给定的各个的区间，判断中各项因式的符号，从而确定的符号；
②特殊值法：由于函数的零点已经确定，故在各个区间的符号是一致的，只需要取区间内一合适的值严重的正负即可；
③图象法：画出导函数的图象，轴上方的图象为正，下方图象为负.
（3）注意写单调区间时，不是连续的区间一般不能用并集符号“U”，并且在定义域内的区间端点可“开”可“闭”.比如，在本题中，两个增区间“（－∞，0）”，“（2，+∞）”之间是用“和”连接的，而减区间为（0，2）也可写为：（0，2]，或[0，2)，或 [0，2].
举一反三：
【变式1】求下列函数的单调区间：
（1）；
（2）.
【解析】（1）第一步：确定函数的定义域：
该函数的定义域为R；
第二步：求导：
；
第三步：解不等式：
令32―4+1＞0，解得＞1或；
第四步：确定单调区间：
因此，函数的单调递增区间为（1，+∞）和，单调减区间为.
（2）函数的定义域为（0，+∞），
，
令，即，等价于 解得，
∴的单调递增区间为，单调递减区间为.
例2. 求函数（∈R）的单调区间.
【思路点拨】求出导数后，因为含有的参数，明确分类标准，故需要对参数分≥0和＜0两类进行讨论.
【解析】
① 当≥0时，y＇≥0，函数在（－∞，+∞）上为增函数；
② 当＜0时，令32+=0得，
∴y＇＞0的解集为，
y＇＜0的解集为，
∴函数的单调增区间是和，
减区间是，
综上可知：当≥0时，函数在（－∞，+∞）上单调递增；
当＜0时，函数在和上单调递增，在上单调递减.
【总结升华】
（1）解决此类题目，关键是解不等式或，若中含有参数，往往要分类讨论；
（2）特别应注意，在求解过程中应先写出函数的定义域，再在定义域的范围内写出单调区间，即定义域优先考虑的原则.
举一反三：
【变式1】 已知函数（），求函数的单调区间.
【答案】 ，
当＜0时，对∈R，有，
∴当＜0时，单调增区间为（－∞，+∞）；
当＞0时，由，解得或；
由，解得，
∴当＞0时，的单调增区间为，；的单调减区间为.
【变式2】已知函数＝－－1，求f()的单调增区间.
【答案】f ′()＝－，
令，即>，讨论如下：
若≤ 0，由于>0，则>恒成立，所以在整个定义域上是增函数；
若>0，－≥0，∴≥，即≥ln，所以在≥ln时，是增函数.
综上所述，当≤0时，的单调增区间是（，）；
当>0时，f()的递增区间是（ln，＋∞)．
二：判断、证明函数的单调性
例3. 当时，求证：函数是单调递减函数.
【解析】
，，
∴
故函数在上是单调递减函数.
【总结升华】判断、证明函数的单调性的步骤：
1、求导；
2、变形（分解或配方）；
3、判断导数式的符号,下结论.
举一反三：
【变式1】 求证：在上是增函数.
【答案】 因为 ，，
所以 ，即，
所以函数在上是增函数.
【变式2】 设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
【答案】D
例4．已知函数, 讨论函数的单调性.
【解析】由题设知．
令．
（1）当>0时，
若，则，所以在区间上是增函数；
若，则，所以在区间上是减函数；
若，则，所以在区间上是增函数；
（2）当＜0时，
若，则，所以在区间上是减函数；
若，则，所以在区间上是增函数；
若，则，所以在区间上是减函数．
【总结升华】（1）在判断函数的单调性时，只需判断函数的导数大于0或小于0；
（2）在判断含参数函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定的符号，否则会产生错误判断。分类讨论必须给予足够的重视，真正发挥数学解题思想在联系知识与能力中的作用，从而提高简化计算的能力；
（3）分类讨论是重要的数学解题方法。它把数学问题划分成若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的“不确定因素”不再影响问题的解决，当这些局部问题都解决完时，整个问题也就解决了.
举一反三：
【变式】已知函数, ＞0，讨论的单调性.
【答案】由于，
令
当,即时, 恒成立.
在(－∞,0)及(0,＋∞)上都是增函数.
当,即时w.w.w.k.s.5.u.c
由得或 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
或或
又由得
综上 当时, 在上都是增函数；
当时, 在上是减函数；
在上都是增函数.
三：已知函数单调性，求参数的取值范围
例5．已知向量=（，+1），=（1―，t），若函数在区间（―1，1）上是增函数，求t的取值范围。
【解析】
解法一：依定义，
则 ，
若在（―1，1）上是增函数，则在区间（―1，1）上有，
∴在区间（―1，1）上恒成立，
考虑函数，由于在图象的对称轴为，且在开口向上的抛物线，
故要使t≥32―2在区间（―1，1）上恒成立，即t≥5.
解法二：依定义，，
若在（－1，1）上是增函数，则在区间（－1，1）上有，
∵的图象是开口向下的抛物线，
∴当且仅当，且时，在（―1，1）上满足，即在（―1，1）上是增函数.
故t的取值范围是t≥5.
【总结升华】（1）在某区间上为增函数在该区间；在某区间上为减函数在该区间；（2）恒成立，则；恒成立，则，这是求变量的范围的常用方法.
举一反三：
【变式1】已知函数f()＝3－2－3. 若f()在[1，＋∞)上是增函数，求实数的取值范围.
【答案】对f()求导，得f′()＝32－2－3.
由f′()≥0，得≤
记t()＝，当≥1时，t()是增函数，
∴ t()min＝(1－1)＝0.
∴ ≤0.
【变式2】已知函数 在区间上是增函数，求实数的取值范围．
【答案】，因为在区间上是增函数，所以对恒成立，即对恒成立，解之得：
所以实数的取值范围为．
【变式3】设恰有三个单调区间，试确定的取值范围，并求其单调区间.
【答案】
（1）当时，则恒成立，
此时f()在R上为单调函数，只有一个单调区间为，不合题意；
（2）当时，
，
∴当时，函数有三个单调区间，
增区间为：；
减区间为：，.
导数的应用（二）——函数的极值
【要点梳理】
一：函数的极值
函数的极值的定义：
一般地，设函数在点及其附近有定义，
（1）若对附近的所有点，都有，则称函数在处取极大值，记作
；并把称为函数的一个极大值点.
（2）若对附近的所有点，都有，，则称函数在处取极小值，记作
；并把称为函数的一个极小值点.
极大值与极小值统称极值.
在定义中，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.
由函数的极值定义可知：
①在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，否则无从比较.
②函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值.由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.
③极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整个定义区间上的最小值.
④函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.
用导数求函数极值的的基本步骤：
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）求方程的根；
（4）检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.（最好通过列表法）
①可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点. 即是可导函数在点取得极值的必要非充分条件. 例如函数y=x3，在x=0处，，但x=0不是函数的极值点.
②可导函数在点取得极值的充要条件是，且在两侧的符号相异。
二：函数的最值
函数的最大值与最小值定理
若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值. 如.
①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得；
②函数的极值可以有多个，但最值只有一个.
求函数最值的的基本步骤：
若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下：
（1）求函数在内的导数；
（2）求方程在内的根；
（3）求在内所有使的点的函数值及在闭区间端点处的函数值，；
（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值.
①求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可；
②若在开区间内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值.
最值与极值的区别与联系
①函数的最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的（具有绝对性），是整个定义域上的整体性概念. 最大值是函数在整个定义域上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义域上所有函数值中的最小值. 函数的极大值与极小值是比较极值点附近两侧的函数值而得出的（具有相对性），是局部的概念；
②极值可以有多个，最大（小）值若存在只有一个；极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值；
③有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值.
三：函数极值与最值的简单应用
不等式恒成立，求参数范围问题
一些含参不等式，一般形如，
若能隔离参数，即可化为：的形式.若其恒成立，则可转化成，从而转化为求函数的最值问题.
若不能隔离参数，就是求含参函数 的最小值 ，使. 所以仍为求函数的最值问题，只是再求最值时可能需要对参数进行分类讨论.
证不等式问题
当所要证的不等式中只含一个未知数时，一般形式为，则可化为，一般设，然后求的最小值，证即可. 所以证不等式问题也可转化为求函数最小值问题.
两曲线的交点个数问题（方程解的个数问题）
一般可转化为方程的问题，即的解的个数问题，
我们可以设，然后求出的极大值、极小值，根据解的个数讨论极大值、极小值与0的大小关系即可. 所以此类问题可转化为求函数的极值问题.
【典型例题】
类型一： 求函数的极值
例1. 下列函数的极值：
（1）； （2）.
【解析】（1）函数的定义域为R，
，
令，得x=－2或x=2，
当x变化时，，变化状态如下表：
x （－∞，－2） －2 （－2，2） 2 （2，+∞）
＋ 0 － 0 ＋
极大值 极小值
从上表可以看出，当x=―2时，函数有极大值，且；
当x=2时，函数有极小值，且.
（2）函数的定义域为R，
，
令，得x=0或x=2，
当x变化时，，变化状态如下表：
x （－∞，0） 0 （0，2） 2 （2，+∞）
－ 0 + 0 －
极小值0 极大值4e－2
由上表可以看出，当x=0时，函数有极小值，且；
当x=2时，函数有极大值，且.
【总结升华】 解答本题时应注意只是函数在处有极值的必要条件，如果再加上左右导数的符号相反，方能断定函数在处取得极值. 在解题上，错误判断极值点或漏掉极值点是经常出现的失误，要注意.
举一反三：
【变式1】 讨论函数（）的单调性并求极值．
令，解得x1=0， x2=, x3=2 。
当x变化时，，变化状态如下表：
x （－∞，0） 0 （0，） （，2） 2 （2，+∞）
－ 0 + 0 － 0 +
1
由上表可以看出，在（－∞，0）和（，2）上为减函数，在（0，）和（2，+∞）上
为增函数，
当x=0时，函数有极小值; 当x=2时，函数有极小值；
当x=时，函数有极大值.
【变式2】函数的定义域为区间（a，b），导函数在（a，b）内的图如图所示，则函数在（a，b）内的极小值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】由极小值的定义，只有点B是函数的极小值点，故选A.
二：函数极值的逆向应用
例2. 已知函数在点处取得极大值5，其导函数
的 图象经过点（1，0），（2，0），如图所示，求：
（1）的值；
（2）a，b，c的值。
【思路点拨】观察导函数的图象，判断原函数在区间上的单调性，从而确定极大值点及零点；注意条件“在点处的极大值是5”的双重条件，即，.
【解析】 （1）由图象可知，在（―∞，1）上，在（1，2）上，在（2，+∞）上，
故在（－∞，1）和（2，+∞）上递增，在（1，2）上递减，
因此在x=1处取得极大值，所以=1.
（2）方法一：，
由，，，
得，解得.
方法二：设.
又，所以，，c=2m，
，由，即，
得m=6，所以a=2，b=―9，c=12.
【总结升华】由导函数的图象求极值点，先看图象与x轴的交点，其次看这点左右两侧的导数值的正负.
举一反三：
【变式】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，求a,b的值.
【答案】
依题意得方程组 解得.
当a=-3,b=3时，
令得x=1.
x (-∞,1) 1 (1,+∞)
+ 0 +
↗ 无极值 ↗
显然a=-3, b=3不合题意，舍去.
当a=4, b=-11时，f?(x)=3x2+8x-11=(x-1)(3x+11)
令得或 x=1.
x 1 （1，+∞）
+ 0 - 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
f(x)在x=1处有极小值10，合题意，
∴a=4, b=-11.
三：求函数的最值
例3. 求函数在区间[-1，2]上的最大值与最小值。
【解析】 ，
-1 0 2
+ + 0 - 0 + +
-2 1 1
又，，
结合上表可知，当x=-1时，f(x)取最小值-2；当x=0或2时,f(x)取最大值1.
∴ 函数在区间[-1，2]上的最大值为1，最小值为-2.
【总结升华】解题格式要求：（1）对于分解因式，写出相应方程的根；（2）列表格，表格反映出随的变化情况，必须列出极值点，若求最值时，还要列出端点的函数值；（3）一般要注明x取何值时取得最大最小值.
举一反三：
【变式】求函数y=x4―2x2+5在区间[―2，2]上的最大值与最小值。
【答案】 先求导数，得y＇=4x3―4x。
令y＇=0即4x3―4x=0，
解得x1=―1，x2=0，x3=1。
当x变化时，y＇，y的变化情况如下表：
x －2 （―2，―1） －1 （－1，0） 0 （0，1） 1 （1，2） 2
y＇ － 0 + 0 － 0 +
y 13 4 5 4 13
从上表知，当x=±2时，函数有最大值13；当x=±1时，函数有最小值4。
例4. 求函数，x∈[－3，2] 的最值.
【解析】，
由得x=―1，0，1.
∵f(-3)=-60，f(-1)=f(1)=4，f(0)=3， f(2)=-5，
经比较可得：
当x=―3时，有最小值―60； 当x=―1时或1时，有最大值4.
【总结升华】当方法熟悉后,可以不再列表. 也就是说在求函数的最值时，实际不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可.
举一反三：
【变式】求函数，x∈[0，2]的最值.
【答案】，令，
化简为x2+x―2=0，解得x1=―2（舍去），x2=1.
∵，又，，
∴为函数在[0，2]上的最小值，为函数在[0，2]上的最大值.
四：函数的极值与最值的应用
例5. 已知函数
（1）求函数在区间[1，]上的最大值、最小值；
（2）求证：在区间（1，）上，函数图象在函数图象的下方.
【解析】（1）=，令，得，
当[1，]时，，则在区间[1，]上是增函数，
∴ 当时，有最小值；当时，有最大值.
（2）设=，则，
∵ ， ，
∴ 在区间（1，）上是减函数，
又∵ ，
∴ ，即，，
∴在区间（1，）上，函数图象在函数图象的下方.
【总结升华】 利用导数可以证明含有高次式、指数式、对数式等类型的不等式，在证明的过程中，首先要注意变量的取值范围，再正确地构造出函数，最后再求出函数的最值.
举一反三：
【变式】求证：当x＞0时，.
【答案】 设，
，
，，则函数在上是单调增函数，
∴当x＞0时，，
即x＞0时，.
例6. 已知函数，若在处取得极值，直线y=m与的图象有三个不同的交点，求m的取值范围.
【思路点拨】先利用第一个条件求出函数式，注意到直线y=m是平行x轴的一条直线，再结合函数的单调性，易求出m的取值范围.
【解析】因为在处取得极大值，
所以
所以
由解得.
由（1）中的单调性可知，在处取得极大值，
在处取得极小值.
因为直线与函数的图象有三个不同的交点，又，，
结合的单调性可知，的取值范围是.
【总结升华】两曲线的交点个数问题，实际上是方程解的个数问题，而本质上是函数的极值问题.
举一反三：
【变式】 已知，是否存在实数使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。
【答案】 方程等价于方程
设则
当时，是减函数；
当时，是增函数.
方程在区间内分别有唯一实数根，
而在区间内没有实数根，
所以存在唯一的自然数使得方程在区间内有且只有两个不同的实数根.
