2018-2019学年人教A版 必修四 第三章 三角恒等变换 单元检测

第三章 检测
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列式子中，正确的个数为( )
①cos(α－β)＝cos α－cos β；
②cos＝sin α；
③cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β.
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：因为cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，所以①③错误；
又cos ＝－sin α，知②错误，选A.
答案：A
2. cos2－sin2等于( )
A．－ B．－
C. D.
解析：cos2－sin2＝cos ＝cos ＝.
答案：D
3．函数f(x)＝(1＋tan x)cos x的最小正周期为( )
A．2π B.
C．π D.
解析：f(x)＝(1＋)cos x＝cos x＋sin x＝2sin，∴T＝2π.
答案：A
4．若向量a＝(2cos α，－1)，b＝(，tan α)，且a∥b，则sin α＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：因为向量a＝(2cosα，－1)，b＝(，tan α)，
且a∥b，
所以2cos α·tan α＝－，即2cos α·＝－，
解得sin α＝－.
答案：B
5．当x∈时，函数f(x)＝sin x＋cos x的( )
A．最大值为1，最小值为－1
B．最大值为1，最小值为－
C．最大值为2，最小值为－2
D．最大值为2，最小值为－1
解析：f(x)＝23＝2sin.
∵－≤x≤，∴－≤x＋≤，∴－≤sin(x＋)≤1，∴－1≤f(x)≤2.
答案：D
6．sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°等于( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°
＝sin(180°－17°)sin(180°＋43°)＋
sin(270°－17°)sin(270°＋43°)
＝sin 17°(－sin 43°)＋(－cos 17°)(－cos 43°)
＝cos 60°＝.
答案：B
7．化简的结果是( )
A. B．tan 2α
C. D．tan α
解析：＝
＝＝tan 2α.
答案：B
8．设a＝sin 17°cos 45°＋cos 17°sin 45°，b＝2cos213°－1，c＝，则有( )
A．cC．a解析：a＝sin 17°cos 45°＋cos 17°sin 45°＝sin(17°＋45°)＝sin 62°，
b＝2cos213°－1＝cos 26°＝sin 64°，c＝＝sin 60°，在区间(0°，90°)上，
函数y＝sin x是增函数，所以sin 60°答案：A
9．已知tan 2θ＝－2，π<2θ<2π，则tan θ的值为( )
A. B．－
C．2 D.或－
解析：因为tan 2θ＝－2且π<2θ<2π，所以<2θ<2π，得<θ<π.
由tan 2θ＝－2得＝－2，整理得tan2θ－tan θ－＝0，
解得tan θ＝(舍去)或tan θ＝－.
答案：B
10．已知α∈(π，2π)，则 等于( )
A．sin  B．cos 
C．－sin  D．－cos 
解析：因为α∈(π，2π)，∈，
所以 ＝ ＝＝－cos .
答案：D
11．若0<α<，－<β<0，cos ＝，cos ＝，则cos 等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：因为0<α<，所以<α＋<，
得sin ＝ ＝；
因为－<β<0，所以<－<，得
sin ＝＝.
则cos ＝cos 
＝cos cos ＋
sin sin＝×＋×＝.
答案：C
12．设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C的值为( )
A. B.
C. D.
解析：由m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，
得m·n＝sin Acos B＋sin B·cos A＝sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，
而cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，则由m·n＝1＋cos(A＋B)得sin C＝1－cos C，
即sin C＋cos C＝?sin(C＋)＝，
而C为△ABC的内角，所以答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)
13.的值是________．
解析：＝
＝＝
tan(15°＋30°)＝tan 45°＝1.
答案：1
14．已知sin θ＋cos θ＝，且<θ<，则cos 2θ的值是________．
解析：由消去cos θ得sin2θ－sin θ－＝0，∵<θ<，∴sin θ>0，
∴sin θ＝，∴cos 2θ＝1－2sin2θ＝－.
答案：－
15．已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，α，β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是，则cos α＝________.
解析：由题意，知cos β＝－，sin(α＋β)＝，
又∵α，β∈(0，π)，∴sin β＝，cos(α＋β)＝－.
∴cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋
sin(α＋β)sin β＝－×＋×＝＋＝.
答案：
16. 已知sin α－sin β＝，cos α－cos β＝，则cos2＝________.
解析：(sin α－sin β)2＝，(cos α－cos β)2＝，两式展开相加得
2－2sin αsin β－2cos αcos β＝1?cos(α－β)＝
?cos2＝.
答案：
三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(12分)已知α＋β＝45°，求(1＋tan α)·(1＋tan β)的值．
解析：(1＋tan α)·(1＋tan β)
＝1＋tan αtan β＋tan α＋tan β
＝1＋tan αtan β＋tan(α＋β)(1－tan αtan β)
＝2.
18．(12分)在平面直角坐标系xoy中，以Ox轴的非负半轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求α＋2β的值．
解析：由条件知cos α＝，cos β＝，且α，β为锐角，
所以sin α＝，sin β＝，因此tan α＝7，tan β＝.
(1)tan(α＋β)＝＝－3.
(2)tan 2β＝＝，所以tan(α＋2β)＝＝－1，
∵α，β为锐角，∴0<α＋2β<，∴α＋2β＝.
19．(12分)已知α∈，sin α＝.
(1)求sin 的值；
(2)求cos 的值．
解析：(1)由题意cos α＝－ ＝－，
所以sin ＝sin cos α＋cos sin α
＝×＋×＝－.
(2)由(1)得sin 2α＝2sin αcos α＝－，cos 2α＝2cos2α－1＝，
所以cos ＝cos cos 2α＋sin sin 2α
＝－×＋×＝－.
20．(12分)已知向量a＝(sin θ，－2)与b＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈.
(1)求sin θ和cos θ的值；
(2)若5cos(θ－φ)＝3cos φ，0<φ<，求cos φ的值．
解析：(1)∵a⊥b，∴a·b＝sin θ－2cos θ＝0，
即sin θ＝2cos θ.又∵sin2θ＋cos2θ＝1，
∴4cos2θ＋cos2θ＝1，即cos2θ＝，∴sin2θ＝.
又θ∈，∴sin θ＝，cos θ＝.
(2)∵5cos(θ－φ)＝5(cos θcos φ＋sin θsin φ)
＝cos φ＋2sin φ＝3cos φ，∴cos φ＝sin φ.
∴cos2φ＝sin2φ＝1－cos2φ，即cos2φ＝.
又∵0<φ<，∴cosφ＝.
21．(13分)已知向量m＝(－1，cos ωx＋sin ωx)(其中ω>0)，n＝(f(x)，cos ωx)，m⊥n，且函数f(x)的图象任意两相邻对称轴间距为π.
(1)求ω的值；
(2)探讨函数f(x)在(－π，π)上的单调性．
解析：(1)由题意，得m·n＝0，所以f(x)＝cos ωx·(cos ωx＋sin ωx)＝＋＝sin(2ωx＋)＋.
根据题意知，函数f(x)的最小正周期为3π，又ω>0，所以ω＝.
(2)由(1)知f(x)＝sin＋，
∵x∈(－π，π)，∴－<x＋<，
当－<x＋<，即－π当≤x＋<，即≤x<π时，函数f(x)单调递减．
综上可知，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减．
22．(13分)已知函数f(x)＝sin xcos ＋.
(1)当x∈时，求函数f(x)的值域；
(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标保持不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的表达式及对称轴方程．
解析：(1)f(x)＝sin xcos ＋＝
sin x＋
＝sin xcos x－sin2x＋＝sin 2x－×＋
＝sin 2x＋cos 2x＝sin.
由－≤x≤，得－≤2x＋≤，
所以－≤sin≤1，－≤
sin≤，所以f(x)∈.
(2)由(1)知f(x)＝sin，将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，得到
y＝sin＝sin的图象，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来
的倍，纵坐标保持不变，得到函数y＝sin的图象，所以g(x)＝sin，当4x－＝kπ＋(k∈Z)时，g(x)取最值，所以x＝＋(k∈Z)，所以函数的对称轴方程是x＝＋(k∈Z)．