2018-2019学年人教A版_ 必修三 第3章 概率单元测试
文档属性
| 名称 | 2018-2019学年人教A版_ 必修三 第3章 概率单元测试 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 405.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-05-13 10:55:30 | ||
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文档简介
第3章 概率 单元测试
一、单选题
1．已知实数执行如图所示的流程图，则输出的不小于的概率为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：由程序框图知：第一次运行x=2x+1，n=2；第二次运行x=2（2x+1）+1，n=3；
第三次运行x=2×[2（2x+1）+1]+1，n=4；不满足条件n≤3，程序运行终止，输出x=8x+4+2+1=7+8x，
解8x+7≥63得x≥7，∴输入x∈[1，10]，输出的x不小于63的概率为39=13．故选：A．
考点：程序框图．
2．在半径为2的圆的一条直径上任取一点，过这个点作垂直该直径的弦，则弦长超过圆内接正三角形边长的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，M是CD与AB的交点， 是等边三角形，O是外心，也是重心，因此有OA＝2OM，记ON＝OM，显然当点在线段MN之间时，所得弦长超过圆内接正三角形边长，因此所求概率为，故选C．
3．从含有两件正品a1,a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，每次取出后放回，连续取两次，则取出的两件产品中恰有一件是次品的概率为（ ）
A．13 B．49 C．59 D．23
【答案】B
【解析】
试题分析：该抽样是有放回的抽样，所以每次抽到正品的概率是23，抽到次品的概率是13，所以取出的两件产品中恰有一件是次品的概率为C21×23×13=49.
考点：本小题主要考查独立重复试验的概率计算公式的应用和学生的运算求解能力.
点评：只要有“恰好”字样的用独立重复试验的概率计算公式计算更简单.
4．分别写上数字1，2，3，…，9的9张卡片中，任取2张，观察上面的数字，两数之积为完全平方数的概率是（ ）
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】
试题分析：所有的取法有种，两数之积为完全平方数有1和4；1和9；2和8；4和9，两数的积是完全平方数，两数之积为完全平方数的概率.
考点：等可能事件的概率.
5．已知P是△ABC所在平面内一点，PB+PC+2PA=0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是（ ）
A．14 B．13 C．12 D．23
【答案】C
【解析】
试题分析：设三角形的一条中线为，∵PB+PC+2PA=0，∴PD=?PA，即为线段的中点 ，则，由几何概型的概率公式，得该粒黄豆落在△PAC内的概率是；故选A．
考点：1．平面向量的线性运算；2．几何概型．
6．．在区间上随机取一个数，的值介于
到之间的概率为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
略
7．某随机模拟的步骤为: ①利用计算器或计算机产生两组0~1区间的均匀随机数, a1=RAND(0,1),b1=RAND(0,1); ②进行平移和伸缩变换, a=4a1, b=4b1?2; ③共做了N次试验, 数出满足条件(x?2)2+y2<2 的点(a,b)的个数N1. 则N1N≈
A．12 B．π8 C．35 D．π4
【答案】B
【解析】
【分析】
本道题需要将变化后的点坐标代入，方程，将题目转化成正方形中落在圆的概率是多少问题，结合几何概型，即可得出答案。
【详解】
把a=4a1,b=4b1?2代入(x?2)2+y2<2，得到
(a1?12)2+(b1?12)2<18，如下图：
A坐标为(12,12)，该圆半径r2为18，该圆的面积为π8
则落在该圆的概率为π81=π8，故选B。
【点睛】
本道题目考查的是几何概型计算公式，题目大意实际上计算正方形中落在圆上的概率，结合几何概型，即可。
8．已知等腰(ABC中，(ACB=120(，过点C任意做一条射线与AB边交于点M，使“AM(AC”成立的概率为（ ）
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】当时，.满足条件的点M在线段上，所以AM(AC成立的概率为
9．方程x2+x+n=0??(?n∈[0,1]??)有实根的概率为 （ ）
A．12 B．13 C．14 D．34
【答案】C
【解析】
试题分析：方程x2+x+n=0有实数根时，Δ=1?4n≥0得n≤14，方程x2+x+n=0??(?n∈[0,1]??)有实根的概率，这显然符合几何概型，由几何概型知P=14.
考点：几何概型.
10．盒中个黑球，个白球，它们除颜色不同外，其他方面没什么差别，现由人依次摸出个球后放回，设第个人摸出黑球的概率是，第人人摸出黑球的概率是，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：由于取球后将球放回，故不管第几人，每次摸出黑球的概率都相等，故选D．
考点：相互独立事件的发生概率．
11．把一枚骰子投掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为m,第二次出现的点数为n,向量p=(m,n),q=(-2,1),则p⊥q的概率为( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
【解析】∵p⊥q,
∴p·q=-2m+n=0.
∴n=2m,满足条件的(m,n)有3个,分别为(1,2),(2,4),(3,6),而(m,n)的所有情况共有36个,
故所求概率P==.
12．设， 为的展开式的第一项（为自然对数的底数），,若任取，则满足的概率是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得， ，则，即， ，如图所示，作曲线，交直线于点， ，则满足事件的实验区域为曲边形，其面积为，所以所求概率为，故选C.
二、填空题
13．口袋中有若干红球、黄球与蓝球，摸出红球的概率为0.45，摸出红球或黄球的概率为0.65，则摸出红球或蓝球的概率为___．
【答案】0.8
【解析】由题意，摸出红球的概率为0.45，摸出红球或黄球的概率为0.65，故摸出蓝色球的概率为1?0.65=0.35，故摸出红球或蓝球的概率为0.45+0.35=0.8，故答案为0.8.
14．在三棱锥中， 平面， ， ， ， 为棱上一个动点，设直线与平面所成的角为，则不大于的概率为__________．
【答案】
【解析】因为,所以,在等腰中，易知当或时， ，所以
15．已知某射击运动员,每次击中目标的概率都是0.8.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次至少击中3次的概率:先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数,指定0,1表示没有击中目标,2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标;因为射击4次,故以每4个随机数为一组,代表射击4次的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数:
5727 0293 7140 9857 0347
4373 8636 9647 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011
3661 9597 7424 6710 4281
据此估计,该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为_____.
【答案】0.75
【解析】由题意知,
在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有:
5727 0293 9857 0347 4373 8636 9647 4698 6233 2616 8045 3661 9597 7424 4281,
共15组,
故所求概率为1520=0.75.
故答案为：0.75.
点睛：古典概型中,基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求，注意在确定基本事件x,y时可以看成是有序的，如1,2与2,1不同，有时也可以看成是无序的，如1,2与2,1相同；(3)排列组合法：在求一些较复杂的基本亊件的个数时，可利用排列或组合的知识.本题是利用方法（1）将基本事件一一列举后求概率的.
16．在区间内随机取一个数x，则事件“”发生的概率是__________.
【答案】
【解析】
因为 ,所以 ,因此概率是
点睛：
(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．
(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．
三、解答题
17．某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A，B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验．为了解教学效果，期末考试后，陈老师分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出茎叶图如图．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．
（1）在乙班样本的20个个体中，从不低于86分的成绩中随机抽取2个，求抽出的2个均“成绩优秀”的概率；
（2）由以上统计数据作出列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关．
P(K2≥k0)
0.400
0.250
0.150
0.100
0.050
0.025
k0
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
参考公式：K2=n(ad?bc)2(a+c)(b+d)(a+b)(c+d)
【答案】（1）23；（2）见解析
【解析】分析：（1）不低于86的成绩有6个，可用列举法列出任取2个的所有事件，计算出概率．
（2）由茎叶图中数据得出列联表中数据，再根据K2计算公式计算出K2得知结论．
详解： (1)由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从不低于86分的成绩中随机抽取两个包含的基本事件是：(86,93), (86,96), (86,97), (86,99), (86,99), (93,96)，(93,97), (93,99), (93,99), (96,97), (96,99), (96,99)，(97,99)，(97,99)，(99,99)，共有15种结果,
符合条件的事件数(93,96)，(93,97)，(93,99)，(93,99)，(96,97)，(96,99)，(96,99)，(97,99)，(97,99)，(99,99)，共有10种结果，
根据等可能事件的概率得到P＝＝．
(2)由已知数据得
甲班
乙班
总计
成绩优秀
1
5
6
成绩不优秀
19
15
34
总计
20
20
40
根据列联表中的数据，计算得随机变量K2的观测值
k＝≈3.137，
由于3．137>2．706，所以在犯错误的概率不超过0．1的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关．
点睛：本题考查等可能事件的概率及独立性检验，用列举法求此概率是常用方法，由所给公式计算出K2即知有无关系的结论，因此本题还考查了运算求解能力．
18．为调查了解某药物使用后病人的康复时间，从1000个使用该药的病人的康复时间中抽取了24个样本，数据如下图中的茎叶图（单位：周），专家指出康复时间在7周之内（含7周）是快效时间
（1）求这24个样本中达到快效时间的频率；
（2）以（1）中的频率作为概率，从这1000个病人中随机选取3人，记这3人中康复时间达到快效时间的人数为，求的分布列及数学期望
【答案】（1）；（2）
【解析】
试题分析：（1）由茎叶图得个样本中，康复时间在周之内（含周）的样本个数为个，由此能求出这个样本中达到快效时间的频率．（2）由已知得的可能取值为，，由此能求出的分布列和．
试题解析：解：（1）由图可知，达到快效时间的数据有8个，故所求频率为
（2）由题可知，达到快效时间的概率为
的可能取值为0,1,2,3
因此，的分布列为
因此，
（或）
考点：1.离散型随机变量及其分布列；2.离散型随机变量的期望与方差．
19．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如频率分布直方图：
（1）求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2.
①利用该正态分布，求P(187.8②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数.利用①的结果，求E(X).
附：150≈12.2.若Z～N(μ,σ2)，则P(μ?σ【答案】（1）x=200，s2=150；（2）68.26
【解析】试题分析：（Ⅰ）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而求出P（187．8＜Z＜212．2），注意运用所给数据；（ii）由（i）知X～B（100，0．6826），运用EX=np即可求得
试题解析：（1）抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为
x＝170×0．02＋180×0．09＋190×0．22＋200×0．33＋210×0．24＋220×0．08＋230×0．02＝200．
s2＝（－30）2×0．02＋（－20）2×0．09＋（－10）2×0．22＋0×0．33＋102×0．24＋202×0．08＋302×0．02＝150．…6分
（2）（i）由（1）知，Z～N（200，150），
从而P（187．8＜Z＜212．2）＝P（200－12．2＜Z＜200＋12．2）＝0．682 6．
（ii）由（i）知，一件产品的质量指标值位于区间（187．8，212．2）的概率为0．682 6，
依题意知X～B（100，0．682 6），
所以EX＝100×0．682 6＝68．26．
考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；离散型随机变量的期望与方差
20．2018年4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解中学生课外阅读情况，随机抽取了100名学生，并获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表.
（Ⅰ）求a,b的值，并作出这些数据的频率分布直方图；
（Ⅱ）假设每组数据组间是平均分布的，试估计该组数据的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅲ）现从第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6人参加校“中华诗词比赛”，经过比赛后从这6人中选拔2人组成该校代表队，求这2人来自不同组别的概率.
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）12.25；（Ⅲ）1115.
【解析】
分析：（Ⅰ）先计算出第三和第五组的频率，进而求出对应矩形的高，可得a，b的值； （Ⅱ）累加各级频率与组中值的乘积，可估算平均数，
（Ⅲ）易得从第3、4、5组抽取的人数分别为3、2、1，设为A,B,C,D,E,F，求出基本事件数，以及来自不同的组别的基本事件数，即可求出概率.
详解：
（Ⅰ）a=35，b=0.3
频率分布直方图如下
（Ⅱ）估计该组数据的平均数
x=2.5×0.05+7.5×0.35+12.5×0.3 +17.5×0.2+22.5×0.1=12.25
（Ⅲ）易得从第3、4、5组抽取的人数分别为3、2、1，设为A,B,C,D,E,F，则
从该6人中选拔2人的基本事件有AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD，BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF共15种，其中来自不同的组别的基本事件有AD,AE,AF,BD,BE,BF，CD,CE,CF,DF,EF共11种，所以这2人来自不同组别的概率为1115.（或：若这两人来自同组，则基本事件有AB,AC,BC,DE共4种，所以这2人来自不同组别的概率为1?415=1115.）
点睛：本题考查了频率分布直方图及其应用，考查古典概型的概率计算，属于基础题
21．若质地均匀的六面体玩具各面分别标有数字1,2,3,4,5,6．抛掷该玩具后，任何一个数字所在的面朝上的概率均相等．抛掷该玩具一次，记事件A=“向上的面标记的数字是完全平方数（即能写出整数的平方形式的数，如9=32,9是完全平方数）”
（1）甲、乙二人利用该玩具进行游戏，并规定：①甲抛掷一次，若事件A发生，则向上一面的点数的6倍为甲的得分；若事件A不发生，则甲得0分；②乙抛掷一次，将向上的一面对应的数字作为乙的得分。现甲、乙二人各抛掷该玩具一次，分别求二人得分的期望；
（2）抛掷该玩具一次，记事件B=“向上一面的点数不超过k1≤k≤6”，若事件A与B相互独立，试求出所有的整数k.
【答案】(1)答案见解析；(2)3或6.
【解析】试题分析：
（1）设甲、乙二人抛掷该玩具后，得分分别为X，Y．由题意可得X=0,6,24,计算相应的分布列可得EX=5.Y=1,2,3,4,5,6，计算相应的分布列可得EY=72．
（2）易知抛掷该玩具一次，基本事件总数共有6个，事件A包含2个基本事件（1点，2点）．记n(AB)，n(B)分别表示事件AB，B包含的基本事件数，由题意可得n(B)=3n(AB),则k=3或6，经检验可知3或6均满足题意，k的值可能为3或6．
试题解析：
（1）设甲、乙二人抛掷该玩具后，得分分别为X，Y．
X=0,6,24,则X的分布列为
X
0
6
24
P
23
16
16
EX=5.
Y=1,2,3,4,5,6，
Y
1
2
3
4
5
6
P
16
16
16
16
16
16
EY=72．
（2）易知抛掷该玩具一次，基本事件总数共有6个，事件A包含2个基本事件（1点，2点）．
记n(AB)，n(B)分别表示事件AB，B包含的基本事件数，
由P(AB)=P(A)P(B)及古典概型，得n(AB)6=26?n(B)6，∴n(B)=3n(AB),①
故B事件包含的基本事件数必为3的倍数，即k=3,6，
当k=3时，n(B)=3，AB=1，n(AB)=1，符合①，
当k=6时，n(B)=6，AB=1,4，n(AB)=2，符合①，
故k的值可能为3或6．
22．树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站退出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65)，得到的频率分布直方图如图所示．
（1）求出a的值；
（2）求这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；
（3）现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求这2组恰好抽到2人的概率．
【答案】（1）a=0.035（2）平均数为41.5，中位数为42.1（3）35
【解析】试题分析：（1）利用频率分布直方图可得a的值；（2）平均数为；20×0.1+30×0.15+40×0.35+50×0.3+60×0.1=41.5岁；设中位数为x，则10×0.010+10×0.015+x?35×0.035=0.5, ∴x≈42.1岁；（3）第1,2,3组的人数分别为20人,30人，从第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1,2组抽取的人数分别为2人,3人，分别记为a1,a2,b1,b2,b3. 设从5人中随机抽取3人，共10个基本事件，从而得到第2组中抽到2人的概率.
试题解析：
（1）由10×0.010+0.015+a+0.030+0.010=1，得a=0.035.
（2）平均数为；20×0.1+30×0.15+40×0.35+50×0.3+60×0.1=41.5岁；
设中位数为x，则10×0.010+10×0.015+x?35×0.035=0.5, ∴x≈42.1岁.
（3）第1,2,3组的人数分别为20人,30人，从第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1,2组抽取的人数分别为2人,3人，分别记为a1,a2,b1,b2,b3.
设从5人中随机抽取3人，为(a1,a2,b1),(a1,a2,b2),(a1,a2,b3),(a1,b1,b2),，(a1,b1,b3),(a1,b2,b3),(a2,b1,b2),(a2,b1,b3),(a2,b2,b3),(b1,b2,b3),共10个基本事件，从而第2组中抽到2人的概率610=35.
点睛：古典概型中基本事件数的探求方法
(1)列举法.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.
(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.
(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
一、单选题
1．已知实数执行如图所示的流程图，则输出的不小于的概率为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：由程序框图知：第一次运行x=2x+1，n=2；第二次运行x=2（2x+1）+1，n=3；
第三次运行x=2×[2（2x+1）+1]+1，n=4；不满足条件n≤3，程序运行终止，输出x=8x+4+2+1=7+8x，
解8x+7≥63得x≥7，∴输入x∈[1，10]，输出的x不小于63的概率为39=13．故选：A．
考点：程序框图．
2．在半径为2的圆的一条直径上任取一点，过这个点作垂直该直径的弦，则弦长超过圆内接正三角形边长的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，M是CD与AB的交点， 是等边三角形，O是外心，也是重心，因此有OA＝2OM，记ON＝OM，显然当点在线段MN之间时，所得弦长超过圆内接正三角形边长，因此所求概率为，故选C．
3．从含有两件正品a1,a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，每次取出后放回，连续取两次，则取出的两件产品中恰有一件是次品的概率为（ ）
A．13 B．49 C．59 D．23
【答案】B
【解析】
试题分析：该抽样是有放回的抽样，所以每次抽到正品的概率是23，抽到次品的概率是13，所以取出的两件产品中恰有一件是次品的概率为C21×23×13=49.
考点：本小题主要考查独立重复试验的概率计算公式的应用和学生的运算求解能力.
点评：只要有“恰好”字样的用独立重复试验的概率计算公式计算更简单.
4．分别写上数字1，2，3，…，9的9张卡片中，任取2张，观察上面的数字，两数之积为完全平方数的概率是（ ）
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】
试题分析：所有的取法有种，两数之积为完全平方数有1和4；1和9；2和8；4和9，两数的积是完全平方数，两数之积为完全平方数的概率.
考点：等可能事件的概率.
5．已知P是△ABC所在平面内一点，PB+PC+2PA=0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是（ ）
A．14 B．13 C．12 D．23
【答案】C
【解析】
试题分析：设三角形的一条中线为，∵PB+PC+2PA=0，∴PD=?PA，即为线段的中点 ，则，由几何概型的概率公式，得该粒黄豆落在△PAC内的概率是；故选A．
考点：1．平面向量的线性运算；2．几何概型．
6．．在区间上随机取一个数，的值介于
到之间的概率为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
略
7．某随机模拟的步骤为: ①利用计算器或计算机产生两组0~1区间的均匀随机数, a1=RAND(0,1),b1=RAND(0,1); ②进行平移和伸缩变换, a=4a1, b=4b1?2; ③共做了N次试验, 数出满足条件(x?2)2+y2<2 的点(a,b)的个数N1. 则N1N≈
A．12 B．π8 C．35 D．π4
【答案】B
【解析】
【分析】
本道题需要将变化后的点坐标代入，方程，将题目转化成正方形中落在圆的概率是多少问题，结合几何概型，即可得出答案。
【详解】
把a=4a1,b=4b1?2代入(x?2)2+y2<2，得到
(a1?12)2+(b1?12)2<18，如下图：
A坐标为(12,12)，该圆半径r2为18，该圆的面积为π8
则落在该圆的概率为π81=π8，故选B。
【点睛】
本道题目考查的是几何概型计算公式，题目大意实际上计算正方形中落在圆上的概率，结合几何概型，即可。
8．已知等腰(ABC中，(ACB=120(，过点C任意做一条射线与AB边交于点M，使“AM(AC”成立的概率为（ ）
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】当时，.满足条件的点M在线段上，所以AM(AC成立的概率为
9．方程x2+x+n=0??(?n∈[0,1]??)有实根的概率为 （ ）
A．12 B．13 C．14 D．34
【答案】C
【解析】
试题分析：方程x2+x+n=0有实数根时，Δ=1?4n≥0得n≤14，方程x2+x+n=0??(?n∈[0,1]??)有实根的概率，这显然符合几何概型，由几何概型知P=14.
考点：几何概型.
10．盒中个黑球，个白球，它们除颜色不同外，其他方面没什么差别，现由人依次摸出个球后放回，设第个人摸出黑球的概率是，第人人摸出黑球的概率是，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：由于取球后将球放回，故不管第几人，每次摸出黑球的概率都相等，故选D．
考点：相互独立事件的发生概率．
11．把一枚骰子投掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为m,第二次出现的点数为n,向量p=(m,n),q=(-2,1),则p⊥q的概率为( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
【解析】∵p⊥q,
∴p·q=-2m+n=0.
∴n=2m,满足条件的(m,n)有3个,分别为(1,2),(2,4),(3,6),而(m,n)的所有情况共有36个,
故所求概率P==.
12．设， 为的展开式的第一项（为自然对数的底数），,若任取，则满足的概率是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得， ，则，即， ，如图所示，作曲线，交直线于点， ，则满足事件的实验区域为曲边形，其面积为，所以所求概率为，故选C.
二、填空题
13．口袋中有若干红球、黄球与蓝球，摸出红球的概率为0.45，摸出红球或黄球的概率为0.65，则摸出红球或蓝球的概率为___．
【答案】0.8
【解析】由题意，摸出红球的概率为0.45，摸出红球或黄球的概率为0.65，故摸出蓝色球的概率为1?0.65=0.35，故摸出红球或蓝球的概率为0.45+0.35=0.8，故答案为0.8.
14．在三棱锥中， 平面， ， ， ， 为棱上一个动点，设直线与平面所成的角为，则不大于的概率为__________．
【答案】
【解析】因为,所以,在等腰中，易知当或时， ，所以
15．已知某射击运动员,每次击中目标的概率都是0.8.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次至少击中3次的概率:先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数,指定0,1表示没有击中目标,2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标;因为射击4次,故以每4个随机数为一组,代表射击4次的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数:
5727 0293 7140 9857 0347
4373 8636 9647 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011
3661 9597 7424 6710 4281
据此估计,该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为_____.
【答案】0.75
【解析】由题意知,
在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有:
5727 0293 9857 0347 4373 8636 9647 4698 6233 2616 8045 3661 9597 7424 4281,
共15组,
故所求概率为1520=0.75.
故答案为：0.75.
点睛：古典概型中,基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求，注意在确定基本事件x,y时可以看成是有序的，如1,2与2,1不同，有时也可以看成是无序的，如1,2与2,1相同；(3)排列组合法：在求一些较复杂的基本亊件的个数时，可利用排列或组合的知识.本题是利用方法（1）将基本事件一一列举后求概率的.
16．在区间内随机取一个数x，则事件“”发生的概率是__________.
【答案】
【解析】
因为 ,所以 ,因此概率是
点睛：
(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．
(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．
三、解答题
17．某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A，B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验．为了解教学效果，期末考试后，陈老师分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出茎叶图如图．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．
（1）在乙班样本的20个个体中，从不低于86分的成绩中随机抽取2个，求抽出的2个均“成绩优秀”的概率；
（2）由以上统计数据作出列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关．
P(K2≥k0)
0.400
0.250
0.150
0.100
0.050
0.025
k0
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
参考公式：K2=n(ad?bc)2(a+c)(b+d)(a+b)(c+d)
【答案】（1）23；（2）见解析
【解析】分析：（1）不低于86的成绩有6个，可用列举法列出任取2个的所有事件，计算出概率．
（2）由茎叶图中数据得出列联表中数据，再根据K2计算公式计算出K2得知结论．
详解： (1)由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从不低于86分的成绩中随机抽取两个包含的基本事件是：(86,93), (86,96), (86,97), (86,99), (86,99), (93,96)，(93,97), (93,99), (93,99), (96,97), (96,99), (96,99)，(97,99)，(97,99)，(99,99)，共有15种结果,
符合条件的事件数(93,96)，(93,97)，(93,99)，(93,99)，(96,97)，(96,99)，(96,99)，(97,99)，(97,99)，(99,99)，共有10种结果，
根据等可能事件的概率得到P＝＝．
(2)由已知数据得
甲班
乙班
总计
成绩优秀
1
5
6
成绩不优秀
19
15
34
总计
20
20
40
根据列联表中的数据，计算得随机变量K2的观测值
k＝≈3.137，
由于3．137>2．706，所以在犯错误的概率不超过0．1的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关．
点睛：本题考查等可能事件的概率及独立性检验，用列举法求此概率是常用方法，由所给公式计算出K2即知有无关系的结论，因此本题还考查了运算求解能力．
18．为调查了解某药物使用后病人的康复时间，从1000个使用该药的病人的康复时间中抽取了24个样本，数据如下图中的茎叶图（单位：周），专家指出康复时间在7周之内（含7周）是快效时间
（1）求这24个样本中达到快效时间的频率；
（2）以（1）中的频率作为概率，从这1000个病人中随机选取3人，记这3人中康复时间达到快效时间的人数为，求的分布列及数学期望
【答案】（1）；（2）
【解析】
试题分析：（1）由茎叶图得个样本中，康复时间在周之内（含周）的样本个数为个，由此能求出这个样本中达到快效时间的频率．（2）由已知得的可能取值为，，由此能求出的分布列和．
试题解析：解：（1）由图可知，达到快效时间的数据有8个，故所求频率为
（2）由题可知，达到快效时间的概率为
的可能取值为0,1,2,3
因此，的分布列为
因此，
（或）
考点：1.离散型随机变量及其分布列；2.离散型随机变量的期望与方差．
19．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如频率分布直方图：
（1）求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2.
①利用该正态分布，求P(187.8
附：150≈12.2.若Z～N(μ,σ2)，则P(μ?σ
【解析】试题分析：（Ⅰ）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而求出P（187．8＜Z＜212．2），注意运用所给数据；（ii）由（i）知X～B（100，0．6826），运用EX=np即可求得
试题解析：（1）抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为
x＝170×0．02＋180×0．09＋190×0．22＋200×0．33＋210×0．24＋220×0．08＋230×0．02＝200．
s2＝（－30）2×0．02＋（－20）2×0．09＋（－10）2×0．22＋0×0．33＋102×0．24＋202×0．08＋302×0．02＝150．…6分
（2）（i）由（1）知，Z～N（200，150），
从而P（187．8＜Z＜212．2）＝P（200－12．2＜Z＜200＋12．2）＝0．682 6．
（ii）由（i）知，一件产品的质量指标值位于区间（187．8，212．2）的概率为0．682 6，
依题意知X～B（100，0．682 6），
所以EX＝100×0．682 6＝68．26．
考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；离散型随机变量的期望与方差
20．2018年4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解中学生课外阅读情况，随机抽取了100名学生，并获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表.
（Ⅰ）求a,b的值，并作出这些数据的频率分布直方图；
（Ⅱ）假设每组数据组间是平均分布的，试估计该组数据的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅲ）现从第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6人参加校“中华诗词比赛”，经过比赛后从这6人中选拔2人组成该校代表队，求这2人来自不同组别的概率.
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）12.25；（Ⅲ）1115.
【解析】
分析：（Ⅰ）先计算出第三和第五组的频率，进而求出对应矩形的高，可得a，b的值； （Ⅱ）累加各级频率与组中值的乘积，可估算平均数，
（Ⅲ）易得从第3、4、5组抽取的人数分别为3、2、1，设为A,B,C,D,E,F，求出基本事件数，以及来自不同的组别的基本事件数，即可求出概率.
详解：
（Ⅰ）a=35，b=0.3
频率分布直方图如下
（Ⅱ）估计该组数据的平均数
x=2.5×0.05+7.5×0.35+12.5×0.3 +17.5×0.2+22.5×0.1=12.25
（Ⅲ）易得从第3、4、5组抽取的人数分别为3、2、1，设为A,B,C,D,E,F，则
从该6人中选拔2人的基本事件有AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD，BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF共15种，其中来自不同的组别的基本事件有AD,AE,AF,BD,BE,BF，CD,CE,CF,DF,EF共11种，所以这2人来自不同组别的概率为1115.（或：若这两人来自同组，则基本事件有AB,AC,BC,DE共4种，所以这2人来自不同组别的概率为1?415=1115.）
点睛：本题考查了频率分布直方图及其应用，考查古典概型的概率计算，属于基础题
21．若质地均匀的六面体玩具各面分别标有数字1,2,3,4,5,6．抛掷该玩具后，任何一个数字所在的面朝上的概率均相等．抛掷该玩具一次，记事件A=“向上的面标记的数字是完全平方数（即能写出整数的平方形式的数，如9=32,9是完全平方数）”
（1）甲、乙二人利用该玩具进行游戏，并规定：①甲抛掷一次，若事件A发生，则向上一面的点数的6倍为甲的得分；若事件A不发生，则甲得0分；②乙抛掷一次，将向上的一面对应的数字作为乙的得分。现甲、乙二人各抛掷该玩具一次，分别求二人得分的期望；
（2）抛掷该玩具一次，记事件B=“向上一面的点数不超过k1≤k≤6”，若事件A与B相互独立，试求出所有的整数k.
【答案】(1)答案见解析；(2)3或6.
【解析】试题分析：
（1）设甲、乙二人抛掷该玩具后，得分分别为X，Y．由题意可得X=0,6,24,计算相应的分布列可得EX=5.Y=1,2,3,4,5,6，计算相应的分布列可得EY=72．
（2）易知抛掷该玩具一次，基本事件总数共有6个，事件A包含2个基本事件（1点，2点）．记n(AB)，n(B)分别表示事件AB，B包含的基本事件数，由题意可得n(B)=3n(AB),则k=3或6，经检验可知3或6均满足题意，k的值可能为3或6．
试题解析：
（1）设甲、乙二人抛掷该玩具后，得分分别为X，Y．
X=0,6,24,则X的分布列为
X
0
6
24
P
23
16
16
EX=5.
Y=1,2,3,4,5,6，
Y
1
2
3
4
5
6
P
16
16
16
16
16
16
EY=72．
（2）易知抛掷该玩具一次，基本事件总数共有6个，事件A包含2个基本事件（1点，2点）．
记n(AB)，n(B)分别表示事件AB，B包含的基本事件数，
由P(AB)=P(A)P(B)及古典概型，得n(AB)6=26?n(B)6，∴n(B)=3n(AB),①
故B事件包含的基本事件数必为3的倍数，即k=3,6，
当k=3时，n(B)=3，AB=1，n(AB)=1，符合①，
当k=6时，n(B)=6，AB=1,4，n(AB)=2，符合①，
故k的值可能为3或6．
22．树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站退出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65)，得到的频率分布直方图如图所示．
（1）求出a的值；
（2）求这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；
（3）现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求这2组恰好抽到2人的概率．
【答案】（1）a=0.035（2）平均数为41.5，中位数为42.1（3）35
【解析】试题分析：（1）利用频率分布直方图可得a的值；（2）平均数为；20×0.1+30×0.15+40×0.35+50×0.3+60×0.1=41.5岁；设中位数为x，则10×0.010+10×0.015+x?35×0.035=0.5, ∴x≈42.1岁；（3）第1,2,3组的人数分别为20人,30人，从第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1,2组抽取的人数分别为2人,3人，分别记为a1,a2,b1,b2,b3. 设从5人中随机抽取3人，共10个基本事件，从而得到第2组中抽到2人的概率.
试题解析：
（1）由10×0.010+0.015+a+0.030+0.010=1，得a=0.035.
（2）平均数为；20×0.1+30×0.15+40×0.35+50×0.3+60×0.1=41.5岁；
设中位数为x，则10×0.010+10×0.015+x?35×0.035=0.5, ∴x≈42.1岁.
（3）第1,2,3组的人数分别为20人,30人，从第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1,2组抽取的人数分别为2人,3人，分别记为a1,a2,b1,b2,b3.
设从5人中随机抽取3人，为(a1,a2,b1),(a1,a2,b2),(a1,a2,b3),(a1,b1,b2),，(a1,b1,b3),(a1,b2,b3),(a2,b1,b2),(a2,b1,b3),(a2,b2,b3),(b1,b2,b3),共10个基本事件，从而第2组中抽到2人的概率610=35.
点睛：古典概型中基本事件数的探求方法
(1)列举法.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.
(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.
(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.