北师大版本 数学 九年级下 1.5 三角函数的应用 教学设计
课题
1.5 三角函数的应用
单元
第一单元
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
知识与技能：
①通过生活中的实际问题体会锐角三角函数在解决问题过程中的作用；
②能够建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
过程与方法：
①正确运用三角函数知识解决实际问题；
②逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；
③领会教学活动中的类比思想，提高学生学习数学的积极性；
情感态度与价值观：
①在经历弄清实际问题题意的过程中，画出示意图，培养独立思考问题的习惯和克服困难的勇气.
②选择生活中学生感兴趣的题材，使学生能积极参与数学活动，提高学习数学、学好数学的欲望.
重点
灵活运用锐角三角函数解决实际问题。
难点
灵活运用锐角三角函数解决实际问题。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
回顾知识
导入新课
知识探究
在上节课中，我们已经学习了有关正弦、余弦以及正切的定义，以及直角三角函数。而我们这节课要进一步探究用直角三角形的三角函数解决实际问题的相关知识。在上新课之前，我们一起回忆下前面学习的知识。
1.直角三角形的边角关系：
（1）直角三角形的三边关：
a2+b2=c2(勾股定理)
（2）直角三角形的锐角关系： ∠A+∠B=90°.
（3）直角三角形的边和锐角之间关系:
sin A==
a
c
cos A==
b
c
tan A==
a
b
2.仰角、俯角：
从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；
从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
/
【思考问题】与方向角有关的实际问题
如图，海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处.之后，货轮继续向东航行.
你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?
请与同伴交流你是怎么想的? 怎么去做?
/
解：要知道货轮继续向东航行途中有无触礁的危险，只要过点A作AD⊥BC的延长线于点D，如果AD>10海里，则无触礁的危险.
根据题意可知，∠BAD=55°，∠CAD=25°，BC= 20海里.设AD=x海里.
∵tan55°=
????
??
，tan25°=
????
??
∴BD=xtan55°，CD=xtan25°
∴ xtan55°- xtan55°=20
∴x=
20
tan55°?tan55°
≈
20
1.4281?0.4663
≈20.79（海里）
答：货轮继续向东航行途中没有触礁的危险.
学生思考并回答问题。并跟着教师的讲解思路思考问题，并探究知识。
导入新课，利用导入的例子引起学生的注意力。
讲授新课
例题讲解
从刚刚思考问题探究中，我们可以发现：
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
【思考问题】与仰角、俯角相关的测量与计算
如图，小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为300,再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角为600，那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1m).
现在你能完成这个任务吗?
要解决这问题，我们仍需将其数学化.
请与同伴交流你是怎么想的? 准备怎么去做?
/
解:如图，根据题意可知：∠A=30°,∠DBC=60°,AB=50m,
则∠ADC=60°,∠BDC=30°,设CD=x m.
∵tan∠ADC=
AC
X
，tan∠BDC=
BC
x
∴AC=xtan60°，BC=xtan30°
∴ xtan60°- xtan30°=50
∴x=
20
tan60°?tan30°
=
20
3
?
3
3
=25
3
≈43（m）
答:该塔约有43m高.
【思考问题】利用倾斜角解决实际问题
某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的40°减至35°,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.01m).
1.现在你能完成这个任务吗?
2.请与同伴交流你是怎么想的? 准备怎么去做?
可以将实际问题转化成数学问题，再解决.
转化后的问题：
如图，根据题意可知，∠A=35°，∠BDC=40°，DB=4m.
求(1)AB-BD的长. (2) AD的长.
解：（1）∵sin40°=
BC
BD
，∴BC=BDsin40°
∵sin35°=
BC
AB
∴AB=
BC
sin60°
=
BDsin40°
sin35°
≈
4×0.6428
0.5736
≈4.48（m），
∴AB-BD ≈4.48-4=0.48（m）
答:调整后的楼梯会加长约0.48m.
（2）∵tan40°=
BC
DC
，∴DC=
BC
??????40°
∵tan35°=
BC
AC
，∴AC=
BC
??????35°
∴AD=AC-DC=BC（
1
??????35°
-
1
??????40°
）
=BDsin40°（
1
??????35°
-
1
??????40°
）≈0.61（m），
答:楼梯多占约0.61m长的一段地面.
【小结】用三角函数知识解决问题的一般步骤：
（1）通过读题把已知转化为数学图形；
（2）找出直角三角形和已知、未知元素；
（3）选择合适的锐角三角函数求未知数；
（4）解题.
结合导入的思考和老师的讲解，利用探究学会用锐角三角函数解决实际问题。
老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解。
讲授知识，让学生熟练利用探究会用锐角三角函数解决实际问题。
巩固加深对知识的理解与应用，也让学生知道本节课的学习内容和重点。
随堂练习
随堂练习
随堂练习
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别记作a，b，c.
(1)直角三角形的三边之间的关系为a2+b2=c2(勾股定理)_；
(2)直角三角形的两个锐角之间的关系为_∠A+∠B=90°；
(3)直角三角形的边和锐角之间的关系为sin A＝__
a
c
__，cos A＝__
??
c
__，tan A＝__
??
??
__，tan B＝__
??
??
__．
2．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为( c )
A．40
2
海里 B．40
3
海里
C．80海里 D．40
6
海里
3.如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道(B，C在同一水平面上)．为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100 m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B，C两地之间的距离为( A )
A．100
3
m B．50
2
m
C．50
3
m D.100
3
3
m
4.某中学初三年级学生开展测量物体高度实践活动，要测量一幢建筑物AB高度．如图，他们先在点C处测得建筑物AB顶点A的仰角为30°，然后向建筑物AB前进20m到达点D处，又测得点A的仰角为60°，则建筑物AB的高度是多少m？（结果用根式表示）
解：设DB=xm，则
在Rt△ADB中，AB=xtan60°=
3
xm，
在Rt△ACB中，
3
x
x+10
=tan30°，即
3
x
x+10
=
3
3
，
整理得，3x=x+10，解得，x=5，则AB=5
3
m．
故，建筑物AB的高度是5
3
m．
5.某日，一架直升飞机前往救援一艘刚在南海巡航的渔政船．当飞机到达距离海面3 000米的高空C处，测得A处渔政船的俯角为60°，测得B处发生险情渔船的俯角为30°， 请问：此时渔政船和渔船相距多远？(结果保留根号)
解：在Rt△CDA中，∵∠ACD＝30°，CD＝3 000米，
∴AD＝CDtan∠ACD＝1000
3
?(米)，
在Rt△CDB中，∠BCD＝60°，
∴BD＝CDtan∠BCD＝3000
3
?(米)，
∴AB＝BD－AD＝2000
3
?(米)．
答：此时渔政船和渔船相距2000
3
米.
6.如图4-21， 一艘船以40 km/h 的速度向正东航行， 在A 处测得灯塔C 在北偏东60°方向上， 继续航行1 h到达B 处，这时测得灯塔C 在北偏东30°方向上. 已知在灯塔C的四周30 km内有暗礁．问这艘船继续向东航行是否安全？
解：作CD⊥AB， 交AB延长线于点D．
设CD = x.
在Rt△ACD中，∵tan∠CAD=
CD
AD
，
∴AD=
CD
tan∠CAD
=
x
tan30°
.
同理，在Rt△BCD中，AD=
CD
tan∠CBD
=
x
tan60°
.
∵AB=AD-BD，∴
x
tan30°
?
x
tan30°
=40.解得x=20
3
.
又20
3
≈34.64>30.
因此，该船能继续安全地向东航行．
学生自主完课堂练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。
学生自主完课堂练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。
中考链接
1.（2018?甘孜州）某小区为了安全起见，决定将小区内的滑滑板的倾斜角由45°调为30°，如图，已知原滑滑板AB的长为4米，点D，B，C在同一水平地面上，调整后滑滑板会加长多少米？（结果精确到0.01米，参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732，√6≈2.449）
解：在Rt△ABC中，AC＝AB?sin45°＝4×
2
2
=
2
，
∵∠ABC＝45°，
∴AC＝BC＝2
2
，
在Rt△ADC中，AD＝2AC＝4
2
，AD﹣AB＝4
2
-4≈1.66．
答：改善后滑板会加长1.66米．
2.（2018?鞍山）如图，亿隆小区内有一条南北方向的小路MN，某快递员从小路旁的A处出发沿南偏东53°方向行走258m将快递送至B楼，又继续从B楼沿南偏西30°方向行走172m将快递送至C楼，求此时快递员到小路MN的距离．（计算结果精确到1m．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，√3≈1.73）
解：过B作BD⊥MN于D，过C作CE⊥MN于E，过B作BF⊥EC于F，
则四边形DEFB是矩形，∴BD＝EF，
在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，∠DAB＝53°，AB＝258m，
∴BD＝AB?sin53°＝258×0.8＝206.4，
在Rt△BCF中，∠BFC＝90°，∠CBF＝30°，BC＝172，
∴CF=
1
2
BC＝86，
∴CE＝EF﹣CF＝BD﹣CF＝206.4﹣86＝120.4m，
答：快递员到小路MN的距离是120.4m．
学生自主完课堂练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。
课堂小结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
1.用三角函数知识解决实际问题的一般步骤：
（1）通过读题把已知转化为数学图形；
（2）找出直角三角形和已知、未知元素；
（3）选择合适的锐角三角函数求未知数；
（4）解题.
2.三角函数的应用：
（1）与方向角有关的实际问题；
（2）与仰角、俯角相关的测量与计算；
（3）利用坡角解决实际问题.
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识。
帮助学生加强记忆知识。
板书
三角函数的应用
1.用三角函数知识解决实际问题的一般步骤：
（1）通过读题把已知转化为数学图形；
（2）找出直角三角形和已知、未知元素；
（3）选择合适的锐角三角函数求未知数；
（4）解题.
2.三角函数的应用：
（1）与方向角有关的实际问题；
（2）与仰角、俯角相关的测量与计算；
（3）利用坡角解决实际问题.
借助板书，让学生知识本节课的重点。
课后练习
教材第21页习题1.6第1、2、3、4题.
/
课件26张PPT。1.5 三角函数的应用数学北师大版 九年级下回顾知识1.直角三角形的边角关系：??（1）直角三角形的三边之间有什么关系？
（2）直角三角形的锐角之间有什么关系？
（3）直角三角形的边和锐角之间有什么关系？ a2+b2=c2(勾股定理)∠A+∠B=90°.?从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.回顾知识2.仰角、俯角：新课讲解 如图，海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处.之后，货轮继续向东航行.
你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?
请与同伴交流你是怎么想的? 怎么去做?新课讲解 解：要知道货轮继续向东航行途中有无触礁的危险，只要过点A作AD⊥BC的延长线于点D，如果AD>10海里，则无触礁的危险.
根据题意可知，∠BAD=55°，∠CAD=25°，BC= 20海里.设AD=x海里.?利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．新课讲解新课讲解 如图，小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为300,再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角为600，那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1m).要解决这问题，我们仍需将其数学化.
请与同伴交流你是怎么想的? 准备怎么去做?现在你能完成这个任务吗?怎么解答新课讲解?新课讲解 某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的40°减至35°,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.01m).
1.现在你能完成这个任务吗?
2.请与同伴交流你是怎么想的? 准备怎么去做?可以将实际问题转化成数学问题，再解决.新课讲解 某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的40°减至35°,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.01m).
转化后的问题：
如图，根据题意可知，∠A=35°，∠BDC=40°，DB=4m.
求(1)AB-BD的长.
(2) AD的长.新课讲解 如图，根据题意可知，∠A=35°，∠BDC=40°，DB=4m.
求：(1)AB-BD的长.?新课讲解 如图，根据题意可知，∠A=35°，∠BDC=40°，DB=4m.
求：(2) AD的长.?新课讲解用三角函数知识解决实际问题的一般步骤：
（1）通过读题把已知转化为数学图形；
（2）找出直角三角形和已知、未知元素；
（3）选择合适的锐角三角函数求未知数；
（4）解题.课堂练习 1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别记作a，b，c.
(1)直角三角形的三边之间的关系为________________；
(2)直角三角形的两个锐角之间的关系为__________________；
(3)直角三角形的边和锐角之间的关系为sin A＝_____，
cos A＝_____，tan A＝_____，tan B＝_____．a2+b2=c2(勾股定理)∠A+∠B=90°?????课堂练习C?A课堂练习课堂练习? 4.某中学初三年级学生开展测量物体高度实践活动，要测量一幢建筑物AB高度．如图，他们先在点C处测得建筑物AB顶点A的仰角为30°，然后向建筑物AB前进20m到达点D处，又测得点A的仰角为60°，则建筑物AB的高度是多少m？（结果用根式表示）课堂练习 5.某日，一架直升飞机前往救援一艘刚在南海巡航的渔政船．当飞机到达距离海面3 000米的高空C处，测得A处渔政船的俯角为60°，测得B处发生险情渔船的俯角为30°， 请问：此时渔政船和渔船相距多远？(结果保留根号)?课堂练习 6.如图4-21， 一艘船以40 km/h 的速度向正东航行， 在A 处测得灯塔C 在北偏东60°方向上， 继续航行1 h到达B 处，这时测得灯塔C 在北偏东30°方向上. 已知在灯塔C的四周30 km内有暗礁．问这艘船继续向东航行是否安全？?中考链接 1.（2018?甘孜州）某小区为了安全起见，决定将小区内的滑滑板的倾斜角由45°调为30°，如图，已知原滑滑板AB的长为4米，点D，B，C在同一水平地面上，调整后滑滑板会加长多少米？（结果精确到0.01米，参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732，√6≈2.449） ?中考链接 2.（2018?鞍山）如图，亿隆小区内有一条南北方向的小路MN，某快递员从小路旁的A处出发沿南偏东53°方向行走258m将快递送至B楼，又继续从B楼沿南偏西30°方向行走172m将快递送至C楼，求此时快递员到小路MN的距离．（计算结果精确到1m．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，√3≈1.73） ?DEF课堂总结三角函数的应用1.用三角函数知识解决实际问题的一般步骤：
（1）通过读题把已知转化为数学图形；
（2）找出直角三角形和已知、未知元素；
（3）选择合适的锐角三角函数求未知数；
（4）解题.
2.三角函数的应用：
（1）与方向角有关的实际问题；
（2）与仰角、俯角相关的测量与计算；
（3）利用坡角解决实际问题.板书设计1.用三角函数知识解决实际问题的一般步骤：
（1）通过读题把已知转化为数学图形；
（2）找出直角三角形和已知、未知元素；
（3）选择合适的锐角三角函数求未知数；
（4）解题.
2.三角函数的应用：
（1）与方向角有关的实际问题；
（2）与仰角、俯角相关的测量与计算；
（3）利用坡角解决实际问题.三角函数的应用作业布置教材第21页习题1.6第1、2、3、4题.谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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