【鲁教版八下精美学案】9.6黄金分割（知识构建+考点归纳+真题训练）

第九章 图形的相似
第6节 黄金分割
知识梳理
知识点1 黄金分割及相关概念
1.黄金分割的概念:
如图所示，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，那么称线段 AB被点C黄金分割。点C叫线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫黄金比。
2.黄金比:
黄金比≈0.618。
（1）由黄金分割的意义知，AC2＝AB·BC。
（2）线段AB有两个黄金分割点，其中一点D靠近点A，有；另一点C靠近点B，有，并且AD＝BC，AC＝BD。
3.黄金分割的应用形式:
∵点C是AB的黄金分割点，∴。
注意：黄金比。∴较长线段＝×原线段。
∴较短线段＝原线段 一 较长线段或＝×较长线段.
知识点2 常见的黄金图形中的黄金分割
1.黄金线段：点C把线段AB分成两条线段AC和BC.如果AC：AB＝BC：AC，则点C是AB的黄金分割点，线段AB为黄金线段。
即。
2.黄金三角形:
顶角为36°的等腰三角形叫黄金三角形。
作∠ABC的角平分线BD交AC于D，
则∠A＝∠ABD＝∠DBC＝36°，∴AD＝BD＝BC。∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC。
∴.即.∴AD2＝AB·DC。即点D是AC的黄金分割点。
3.黄金矩形:
把宽与长的比等于黄金比的矩形称黄金矩形。即在矩形ABEF中以宽AF为边，
在其内部作正方形AFDC。则矩形BCDE∽矩形ABEF，
∴.∵BE＝CD＝AC，∴.∴AC2＝AB·BC.
∴点C是AB的黄金分割点.
考点突破
考点1: 黄金分割概念的理解
典例1 已知线段AB＝6cm，点P为线段AB的黄金分割点，求线段AP的长。
思路导析:本题易出现的错误是受思维定势的影响，认为AP一定大于PB，而实际上此题有两种情况:一是AP＞PB；二是AP＜PB.所以应分两种情况讨论。
解:（1）若AP＞PB，由题意，则。
因为AB＝6cm，所以AP＝·AB＝×6＝（3－3）cm。
（2）若AP＜PB，则＝。
因为AB＝6cm，所以PB＝·AB＝×6＝（3－3）cm。
所以AP＝AB－PB＝6－（3－3）＝（9－3）cm。
所以AP的长为（3－3）cm或（9－3）cm。
友情提示 1.在利用黄金分割求线段长时，应注意黄金分割点的位置，否则要分两种情况求解。
2.由黄金比，
得较长线段＝×原线段，较短线段＝×较长线段。
变式1 已知点C在线段AB上，且点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论正确的是（ ）
A.AB2＝AC·BC B.BC2＝AC·BC C.AC＝BC D.BC＝AC
变式2 实数a，n，m，b满足a＜n＜m＜b，这四个数在数轴上对应的点分别为A，N，M，B，若AM2＝BM·AB，BN2＝AN·AB，则称m为a，b的“大黄金数”，n为a，b的“小黄金数”，当
b－a＝4时，m－n＝________。
考点2: 黄金分割中的计算
典例2 点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝6cm，则BC的长为（ ）
A.（3－3）cm B.（9－3）cm
C.（3－3）cm或（9－3）cm D.（9－3）cm或（6－6）cm
思路导析:根据黄金分割点的定义，知BC可能是较长线段，也可能是较短线段，则BC＝AB或BC＝AB，将AB＝6cm代入计算即可。
∵点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝6cm，
∴BC＝AB＝3－3（cm），或BC＝AB＝9－3（cm）。
答案:C
友情提示 本题考查了黄金分割的概念:把一条线段AB分成两部分AC与BC，使其中较长的线段AC为全线段AB与较短线段BC的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，点C是线段AB的黄金分割点熟记较长的线段AC＝AB，较短的线段BC＝AB是解题的关键注意线段AB的黄金分割点有两个。
变式3 如果点P是线段AB的黄金分割点，那么的比值是__________。
变式4 一木匠要用一根长6米的木材做一个矩形窗框，要想给人带来最好的视觉效果，请你算出窗框的长约为________米（精确到0.01米）.
考点3: 黄金分割中证明
典例3 如图所示，点C是线段AB的黄金分割点，BC＞AC，D，E分别是AC，BC的中点，那么点C是线段DE的黄金分割点吗？
思路导析:根据黄金分割的定义可知，若，则点C是线段DE的黄金分割点，否则不是。
解:因为D，E分别是AC，BC的中点，所以CD＝AC，CE＝BC，
所以DE＝CD＋CE＝（AC＋BC）＝AB.
又因为点C是线段AB的黄金分割点，BC＞AC，所以，即BC2＝AB·AC.
又CE2＝BC2＝AB·AC＝DE·CD，即 ，所以点C是线段DE的黄金分割点。
友情提示 1.把较长线段和较短线段分别剪去一半，点C仍为DE的黄金分割点。
2.证明某点是某条线段的黄金分割点的方法有两种:一是通过数量关系证明（或证）；二是通过证明比例式（或证明较长线段2＝较短线段×原线段）即可。
变式5 已知线段MN＝1，在MN上有一点A，如果AN=，求证:点A是MN的黄金分割点。
变式6 如图所，用纸折出黄金分割点：裁一张正方形的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA上，找出点B的对称点B'，因而EB'＝EB.类似地，在AB上找出点B''，使AB''＝AB'，这时点B''就是AB的黄金分割点。请证明这个结论。
考点4: 黄金分割在实际中的应用
典例4 要设计一座2m高的维纳斯女神雕像（如图所示），使雕像的上部AC（肚脐以上）与下部BC（肚脐以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，即点C（肚脐）就叫做线段AB的黄金分割点，这个比值叫做黄金分割比。试求出雕像下部设计的高度以及这个黄金分割比。（结果精确到0.001）
思路导析:如果设维纳斯女神雕像下部的设计高度为x m，那么雕像上部的高度为（2－x）m.根据雕像上部与下部的高度之比等于下部与全部的高度比，列出方程求解即可，进而利用所求数据得出黄金分割比。
解:设维纳斯女神雕像下部的设计高度为x m，那么雕像上部的高度为（2－x）m.
依题意，得，解得x1＝－1＋≈1.236，x2＝－1－（不合题意，舍去）。
经检验，x＝－1＋是原方程的根。－1＋≈1.236，≈0.618。
答:维纳斯女神雕像下部的高度为1.236 m.这个黄金分割比为0.618.
变式7 电视持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台AB长为20 m，试计算主持人应走到离A点至少______ m处，如果他向B点再走______ m，也处在比较得体的位置（结果精确到0.1）
变式8 如图所示，乐器上的一根弦AB＝80 cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，求C，D之间的距离。
巩固提高
1.已知P为线段AB的黄金分割点，且AP＜PB，则（ ）
A.AP2＝AB·PB B.AB2＝AP·PB C.PB2＝AP·AB D AP2＋ BP2＝AB2
2.一本书的宽与长之比为黄金比，书的宽为14 cm则它的长为（ ）
A.（7＋7）cm B.（21－7）cm C.（7－7）cm D.（7－21）cm
3.如果把一条线段分为两部分，使其中较长的一段与整个线段的比是黄金分割数，那么较短一段与较长一段的比也是黄金分割数.由此，如果设整个线段长为1，较长段为x，可以列出的方程为（ ）
A. B. C. D.
4.点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝ 6cm，则BC的长为（ ）
A.（3－3）cm B.（9－3）cm
C.（3－3）cm或（9－3）cm D.（9－3）cm或（6－6）cm
5.如图所示，平行四边形ABCD中，点E为AD延长线上的一点，点D为AE的一个黄金分割点，AD＝AE，BE交DC于点F，若CF＝2，则AB的长为_____________。
6.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图所示，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么PB的长度为__________ cm.
7.正常人的体温一般在37℃，室温太高、太低都会感觉不舒服，有人研究认为人的满意温度与正常体温的比是黄金分割比，根据你的生活体验和数学知识，该温度约为____________。
8.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，则下列结论中：①BC＝BD＝AD；②S△ABD：S△BCD＝AD：DC；③BC2＝CD·AC；④若AB＝2，则BC＝－1，其中正确的结论的个数是_________个.
9.如图所示，在五角星图形中，AD＝BC，C，D两点都是AB的黄金分割点，AB＝1，求CD的长。
10.如图所示，已知AB＝AC，∠A＝36°的中垂线MN交AC于点D，交AB于点M，有下面3个结论:
①△BCD是等腰三角形；
②△ABC∽△BDC；
③点D是线段AC的黄金分割点。
请证明以上结论。
11.以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上。
（1）求AM，DM的长；
（2）求证:AM2＝AD·DM；
（3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？
12.折纸与证明——用纸折出黄金分割点:
第一步:如图（1），先将一正方形纸片ABCD对折，得到折痕EF；再折出矩形BCFE的对角线BF。
第二步:如图（2），将AB边折到BF上，得到折痕BG，试说明点G为线段AD的黄金分割点（AG＞ GD）.
真题训练
1.（2018·昆明）黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算－1的值（ ）
A.在1.1和1.2之间 B.在1.2和1.3之间 C.在1.3和1.4之间 D.在1.4和1.5之间
2.（2017·六盘水）矩形的长与宽分别为a，b，下列数据能构成黄金矩形的是（ ）
A.a＝4，b＝＋2 B.a＝4，b＝－2 C.a＝2，b＝＋1 D.a＝2，b＝－1
3.（2016·山西）宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感我们可以用这样的方法画出黄金矩形:作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连接EF；以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）
A.矩形ABFE B.矩形EFCD C.矩形EFGH D.矩形DCGH
4.（莆田中考）定义:如图1，点C在线段AB上，若满足AC2＝BC·AB，则称点C为线段AB的黄金分割点，如图2，△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D。
（1）求证:点D是线段AC的黄金分割点；
（2）求出线段AD的长。
5.（2016·福州）如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝，在AC边上截取AD＝BC，连接BD。
（1）通过计算，判断AD2与AC·CD的大小关系；
（2）求∠ABD的度数。
参考答案及解析
考点突破
1.D 2.4－8 3.或 4.1.85
5.证明:∵线段MN＝1，在MN上有一点A，AN＝，∴AM＝1－=。
∴AM2＝。
∴AM2＝AN·MN，∴点A是MN的黄金分割点。
6.证明:设正方形ABCD的边长为2，点E为BC的中点，∴BE＝1.
∴AE＝＝。又B'E＝BE＝1，∴AB'＝AE－B'E＝－1。
又∵AB''＝AB'，∴AB''＝－1。∴AB'': AB＝（－1）：2。
∴点B＂是线段AB的黄金分割点。
7.6 4.7
8.解::点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点，
∴AC＝BD＝80×＝40－40，∴CD＝BD－（AB－BD）＝2BD－AB＝80－160。
巩固提高
1.C 2.A 3.A 4.C 5.＋1 6.（15－5） 7. 23 8. 4
9.解:C，D两点都是AB的黄金分割点，∴AC＝BD＝AB＝。
∴AD＝AC－CD＝－CD。∵AD＝BC，∴BC＝－CD。
而AC＋BC＝AB，∴+－CD＝1。∴CD＝－2。
10.证明:①∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝＝72o。
∵AB垂直平分线交AC于D，有AD＝BD，∠A＝∠ABD＝36o。
∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝72°－36°＝36o。∴∠BDC＝180°－∠C－∠DBC＝72o。
∴BD＝BC。∴△BCD是等腰三角形。
②由①得，∠ABC＝∠ACB＝∠BDC＝∠C＝72o。∴△ABC∽△BDC。
③由②得:AB:BD＝BC:DC，又∵BD＝AD＝BC，AB＝AC，∴AD2＝DC?AC。
即点D是线段AC的黄金分割点。
11.解:（1）在Rt△APD中，AP＝1，AD＝2由勾股定理知PD＝＝＝。
∴AM＝AF＝PF－AP＝PD－AP＝－1，DM＝AD－AM＝3－。
（2）证明:∵AM2＝（－1）2＝6－2，AD?DM＝2×（3－）＝6－2，
∴AM2＝AD?DM.
（3）点M是线段AD的黄金分割点。
12.解:如图，连接GF，设正方形ABCD的边长为1，则DF＝。
在Rt△BCF中，BF＝，则A'F＝BF－BA'＝－1。
设AG＝A'G＝x，则GD＝1－x，在Rt△A'GF和Rt△DGF中,
有A'F2＋A'G2＝DF2＋DG2，即（，解得x＝，
即点G是AD的諸全分割占（AG＞GD）。
真题训练
1.B 2.D 3.D
4.解:（1）证明:AB＝AC＝1，∴∠ABC＝∠C＝（180°－∠A）＝×（180°－36o）＝72°。
∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36o。
∴∠BDC＝180°－36°－72°＝72°。∴DA＝DB，BD＝BC。∴AD＝BD＝BC。
易得△BDC∽△ABC，∴BC:AC＝CD:BC，即BC2＝CD· AC。∴AD2＝CD·AC。
∴点D是线段AC的黄金分割点；
（2）设AD＝x，则CD＝AC－AD＝1－x，∵AD2＝CD·AC，
∴x2＝1－x，解得x1＝，x2＝（舍去）。
即AD的长为。
5.解:（1）∵AD＝BC＝，AD2＝（）2＝，AC＝1，
∴CD＝AC－AD＝1－＝。∴AC·CD＝1×＝。
故AD2＝AC·CD。
（2）∵AD2＝AC·CD，AD＝BC，∴BC2＝AC·CD。即。
又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC，则。又∵AB＝AC，∴BD＝BC＝AD.。
∴∠A＝∠ABD，∠ABC＝∠C＝∠BDC。
设∠ABD＝x，则∠A＝x，∠BDC＝∠C＝∠ABC＝∠A＋∠ABD＝2x，
在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°，
∴∠ABD＝36o。