【鲁教版八下精美学案】9.7利用相似三角形测高（知识构建+考点归纳+真题训练）
文档属性
| 名称 | 【鲁教版八下精美学案】9.7利用相似三角形测高（知识构建+考点归纳+真题训练） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-05-16 15:15:34 | ||
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文档简介
第九章 图形的相似
第7节 利用相似三角形测高
知识梳理
知识点1 利用阳光下的影子测量旗杆的高度
1.测量方法:让一名同学恰好站在旗杆影子的顶端，然后一部分同学测量该同学的影长，另一部分同学测量同一时刻旗杆的影长，如图所示。
2.测量原理:如图所示，因为太阳光是平行光线，所以AB∥CD.
所以∠ABC＝∠DCE。因为∠DEC＝∠ACB＝90°，
所以△ACB∽△DEC，所以，即可求得DE＝。
3.测量结论:同一时刻，。
注意 太阳光线是平行照射的，同一时刻物体的物高与影长成正比。
知识点2 利用标杆测量旗杆的高度
1.测量工具:标杆、卷尺
2.测量步骤:
（1）测量出标杆CD的长度，测出观测者眼部以下高度EF；
（2）让标杆垂直立于地面，调整观测者EF的位置，当旗杆顶部、标杆顶端、眼睛三者在同一直线上时，测出观测者距离标杆底端的距离FD和距离旗杆底部的距离FB；
（3）根据求得AH的长，再加上EF的长即为旗杆AB的高度。
3.测量原理:如图所示，过点E作EH⊥AB，交AB于点H，交CD于点G.
因为CD∥AB，所以△ECG∽△EAH，所以。
因为EG＝FD，EH＝FB，CG＝CD－GD＝CD－EF，且FD，FB，CD，EF可测，
所以可求得AH的长度，则AB＝AH＋HB＝AH＋EF可求。
注意 利用标杆时，要注意观测者眼睛、标杆的顶端和旗杆的顶部“三点共线”，且标杆与地面垂直。知识点3 利用镜子的反射测量旗杆的高度
1.测量工具:镜子、卷尺
2.测量步骤:
（1）在观测者与旗杆之间放一面镜子，在镜子上做一个标记；
（2）测出观测者的高度CD；
（3）观测者看着镜子来回移动，直至看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合，此时测出镜子O到人脚底D的距离OD及镜子到旗杆底部距离OB；
（4）把测得的数据代入，即可求得旗杆高度AB。
3.测量原理:如图所示，在△COD和△AOB中，由反射角等于入射角得
∠COD＝∠AOB，∠CDO＝∠ABO＝90°，得△COD∽△AOB.所以。因为CD，OD，OB皆可测，所以AB可求。
注意 利用镜子反射时，要用到物理知识:反射角＝入射角。
考点突破
考点1: 利用影子测量物体的高度
典例1 如图所示，某同学想测旗杆AB的高度，他在某一时刻测量长为1 m的竹竿CD竖直时的影长DM为1.5m，同一时刻测量旗杆AB影长时，因旗杆靠近一幢楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上的影长BF为21 m，落在墙上的影长EF为2m，试求旗杆AB的高度。
思路导析:过F作HF∥AE.因为太阳的光线是平行的，旗杆和墙都垂直于地面DF，所以四边形AHFE为平行四边形，AH＝FE.利用△CDM∽△HBF的比例式求出HB，再加上EF的长就是旗杆的高度。
解:过F作HF∥AE，交AB于H。∵CM∥AE∥HF，CD⊥DF，
∴∠CMD＝∠HFB，∠CDB＝∠HBF＝90°。∴△CDM∽△HBF。
∴。又∵CD＝1m，DM＝1.5m，BF＝21m，
∴，解得HB＝14（m）。∴AB＝HB＋AH＝HB＋EF＝14＋2＝16（m）。
即旗杆AB的高度为16 m。
友情提示 这属于利用太阳光下的影子测量物体的高度，当影子完全落地时，同一时刻物体的物高与影长成正比；当影子不完全落在地面上时，用以下方法解决:（1）对于旗杆（或其他物体）的影子落在墙上时（顶端在墙上），此时会出现平行四边形，即这部分旗杆（或其他物体）与其影子等长，而不是影长等于BF＋EF.（2）此时亦可过点E作EG⊥AB于点G，可得矩形BFEG，所以EF＝BG，再利用△AGE∽△CDM求出AG，再加上EF的长，即可求旗杆的高度。
变式1 某班同学要测量学校国旗旗杆的高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是1.5m，影长是1m，旗杆的影长是8m，则旗杆的高度是（ ）
A.12 m B.11 m C.10 m D.9 m
变式2 如图所示，为了测量某棵树的高度，小刚用长为2 m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距6 m，与树距15 m，那么这棵树的高度为（ ）
A.5 m B. 7 m C.7. 5 m D. 21 m
典例2 如图所示，夜晚路灯下，小明在点D处测得自己影长DE＝4 m，在点G处测得自己影长DG＝3m，E，D，G，B在同一条直线上，已知小明身高为1.6 m，求灯杆AB的高度。
思路导析: 先证明△ECD∽△EAB，利用相似比得到，即，
再证明△DFG∽△DAB，利用相似比得到，即,
于是得到，可解得BG＝9，然后利用求AB的长。
解:∵CD∥AB，∴△ECD∽△EAB.∴，即。
∵FG∥AB，∴△DFG∽△DAB。∴，即。
∴，解得BG＝9.∴。∴AB＝6.4（m）
即灯杆AB的高度为6.4 m。
友情提示 这属于利用灯光下的影子测量物体的高度，解题的关键是先根据题意找出相似三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题。
变式3 如图所示，河对岸有一路灯杆AB，在灯光下，小亮在点D处测得自己的影长DF＝3m，沿BD方向从D后退4米到G处，测得自己的影长GH＝5，如果小亮的身高为1.7m，求路灯杆AB的高度。
变式4 如图所示，一天晚上身高1.8米的李明在广场上散步，他从距路灯的底部O点10米的A点沿OA方向行走26米到C点处，李明在A处时，头顶B在路灯下形成的影子在点M处，已知灯杆重直于路面。
（1）请在图中标出路灯P的位置和李明站在C处时，头顶D在路灯下形成的影子N的位置。
（2）若路灯（点P）距地面9米，李明从A处到C处时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
考点2: 利用标杆的高度测量物体的高度
典例3 如图所示，竖立在点B处的标杆AB高2.5 m，站立在点F处的观察者从点E处看到标杆顶A，树顶C在一条直线上，测得BD＝9m，FB＝3m，EF＝1.7m，求树高CD。
思路导析: 过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G，可证明四边形EFDH为长方形，可得HD的长；可证明△AEG∽△CEH，故可求得CH的长，所以树高CD的长即可知。
解: 过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G，如图所示:由已知得，
EF⊥FD，AB⊥EG，CD⊥FD，∵EH⊥CD，EH⊥AB，∴四边形EFDH为矩形。
∴EF＝GB＝DH＝1.7， EG＝FB＝3， GH＝BD＝9.∴AG＝AB－GB＝0.8。
∵EH⊥CD，EH⊥AB，∴AG∥CH。∴△AEG∽△CEH。
∴。∵EH＝EG＋GH＝12，∴CH＝＝3.2。∴CD＝CH＋HD＝4.9。
答:故树高DC为4.9米。
变式5 如图所示，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条边DF＝50cm，EF＝30cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝20m，则树高AB为（ ）
A.12m B.13.5m C.15m D.16.5m
变式6 如图所示，操场上有一根旗杆AH，为测量它的高度，在B和D处各立一根高1.5米的标杆BC，DE，两杆相距30米，测得视线AC与地面的交点为F，视线AE与地面的交点为G，并且H，B，F，D，G都在同一直线上，测得BF为3米，DG为5米，求旗杆AH的高度。
考点3: 利用镜面的反射测量物体的高度
典例4 小玲用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度:如图所示，在水平面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离EA＝12米，当她与镜子的距离CE＝2米时，她刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B.已知她的眼睛距地面的高度DC＝1.5米请你帮助小玲计算出教学楼的高度AB是多少米.（根据光的反射定律:反射角等于入射角）
思路导析:先根据题意得出△ABE∽△CDE，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论。
解:∵由题意得，∠AEB＝∠CED，∠BAE＝∠DCE＝90°，∴△ABE∽△CDE。
∴，即。∴AB＝9（米）
答:教学大楼的高度AB是9米.
注意 利用镜面反射测量物体的高度，主要是利用物理学中的“反射角等于入射角”的知识，可以知道入射光线与反射光线与地面的夹角相等，找到一对锐角对应相等，创造相似的条件，构造所需要的比例式，求出物体的高度。
变式7 如图所示，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2m，旗杆底部与平面镜的水平距离为16m.若小明的眼睛与地面距离为1.5m，则旗杆的高度为（单位:m）（ ）
A. B.9 C.12 D.
变式8 小明想用镜子测量一棵松树的高度，但因树旁有一条河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子，如图所示，第一次他把镜子放在C点，人在F点时正好在镜子中看到树尖A；第二次把镜子放在D点，人在G点正好看到树尖A.已知小明的眼睛距离地面1.70m.量得CD＝12m，CF＝1.8m，DH＝3.8m.请你求出松树的高。
考点4: 求不易直接测量的物体的宽（如河宽）
典例5 如图所示，为了确定一条河的宽度，测量人员在对岸岸边P点处观察到一根柱子，再在他们所在的这一侧岸上选点A和点B，使得B、A，P在同一条直线上，且与河岸垂直，随后确定点C，点D，使BC⊥BP，AD⊥BP，由观测可以确定CP与AD的交点D.他们测得AB＝45m，BC＝90m，AD＝60m，从而确定河宽，他们测量的河宽为__________ m。
思路导析:证出△PAD和△PBC相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解即可。
∵BC⊥BP，AD⊥BP，∴AD∥BC，∴△PAD∽△PBC。
∴，即。解得:PA＝90。
答案:90
友情提示 本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是根据相似三角形的性质设计出具体图形，从实际问题中抽象出数学问题来求解。
变式9 如图所示，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE＝20m，EC＝10m，CD＝20m，则河的宽度AB＝（ ）
A.60m B.40m C.30m D.20m
变式10 如图所示，身高1.5m的人站在离河边3m处时，恰好能看到对岸岸边电线杆的全部倒影，若河岸高出水面高度ED为0.75m，电线杆高MG为4.5m，试求河的宽度。
巩固提高
1.如图所示，放映幻灯片时，通过光源把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为（ ）
A. 6 cm B. 12 cm C.18 cm D.24 cm
2.小宸同学的身高为1.8m，测得他站立在阳光下的影长为0.9m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影长为1.2m，那么小宸举起的手臂超出头顶的高度为（ ）
A.0.3m B.0.5m C.0.6m D.2.1m
3.如图所示是小明利用等腰直角三角板测量旗杆高度的示意图.等腰直角三角板的斜边BD与地面AF平行，当小明的视线恰好沿BC经过旗杆顶部点E时，测量出此时他所在的位置点A与旗杆底部点F的距离为10米如果小明的眼睛距离地面1.7米，那么旗杆EF的高度为（ ）
A.10米 B.11.7米 C.10米 D.（5＋1.7）米
4.如图所示，一个高为1m的油桶内有油，一根木棒1.2m，从桶盖小口斜插入桶内，一端到底部，另一端恰好到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分的长0.36m，则桶内油的高度为____________。
5.如图所示，正方形城邑DEFG的四面正中各有城门，出北门20步的A处（HA＝20步）有一树木，由南门14步到C处（KC＝14步），再向西行1775步到B处（CB＝1775步），正好看到A处的树木（点D在直线AB上），则城邑的边长为__________步。
6.如图所示，数学兴趣小组想测量电线杆AB的高度，他们发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD＝4米，BC＝10米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度约为_________米。（结果保留根号）
7.在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法，小芳的测量方法是:拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处（如图所示），然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A与竹竿顶部E恰好在同一直线上，又测得C，D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高.你认为这种测量方法是否可行？请说明理由。
8.中国高铁近年来用震惊世界的速度不断发展，已 成为当代中国一张耀眼的“国家名片”，修建高铁时常常要逢山开道、遇水搭桥，如图所示，某高铁在修建时需打通一直线隧道MN（M，N为山的两侧），工程人员为了计算M，N两点之间的直线距离，选择了在测量点A，B，C进行测量，点B，C分别在AM，AN上，现测得AM＝1200米，AN＝2000米，AB＝30米，BC＝45米，AC＝18米，求直线隧道MN的长。
9.数学实践小组想利用镜子的反射测量池塘边一棵树的高度AB.测量和计算的部分步骤如下:
①如图所示，树与地面垂直，在地面上的点C处放置一块镜子，小明站在BC的延长线上，当小明在镜子中刚好看到树的顶点A时，测得小明到镜子的距离CD＝2米，小明的眼睛E到地面的距离ED＝1.5米；
②将镜子从点C沿BC的延长线向后移动10米到点F处，小明向后移动到点H处时，小明的眼睛G又刚好在镜子中看到树的顶点A，这时测得小明到镜子的距离FH＝3米；
③计算树的高度AB；
解:设AB＝x米，BC＝y米，
∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD，∴△ABC∽△EDC。
∴……
请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤，将剩余的计算部分补充完整.
10.晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军:“你有多高？”小军一时语塞.小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高.于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图所示，当小聪正好站在广场的A点（距N点5块地砖长）时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B点（距N点9块地砖长）时，其影长BF恰好为2块地砖长.已知广场地面由边长为0.8m的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6m，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ请你根据以上信息，求出小军身高BE的长.（结果精确到0.01m）
11.如图所示，小华在晚上由路灯A走向路灯B.当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部；当他向前再步行12m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部.已知小华的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m，且AP＝QB.
（1）求两个路灯之间的距离.
（2）当小华走到路灯B的底部时，他在路灯A下的影长是多少？
12.阅读以下文字并解答问题:
在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的4名同学选择了测量学校里的四棵树的高度在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作小芳:测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如图①所示）。
小华:发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在学楼的墙壁上（如图2所示），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米。
小丽:测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图③所示），测得此影子长为0.2米，一级台阶高为03米，落在地面上的影长为4.4米。
小明:测得丁树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如图④所示）身高是1.6米的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2米。
（1）在横线上直接填写甲树的高度为________米。
（2）画出测量乙树高度的示意图，并求出乙树的高度。
（3）请选择丙树的高度为___________。
A.6.5米 B.5.75米 C.6.05米 D.7.25米
（4）你能计算出丁树的高度吗？试试看
真题训练
1.（2018·临沂）如图所示，利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m，BC＝12.4m.则建筑物CD的高是（ ）
A.9.3m B.10.5m C.12.4m D.14m
2.（2018·绍兴）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（ ）
A.0.2m B.0.3m C.0.4m D.0.5m
3.（2018·吉林）如图所示是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B＝∠C＝90°，测得BD＝120m，DC＝60m，EC＝50m，求得河宽AB＝________ m。
4.（2018·陕西）周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C，A共线。
已知:CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1 m，DE＝1.5 m，BD＝8.5 m.测量示意图如图所示。请根据相关测量信息，求河宽AB。
参考答案及解析
考点突破
1.A 2.B
3.解:∵CD⊥BF，AB⊥BF，∴CD∥AB.∴△CDF∽△ABF。
∴。同理可得，∴。
∴，解得BD＝6，∴，解得AB＝5.1.
答:路灯杆AB高5.1m.
4.解:（1）如图所示:
（2）设在A处时的影长AM为x米，在C处时影长CN为y米，
由，解得x＝2.5，由，解得y＝9。∴y－x＝9－2.5＝6.5，
∴李明从A处到C处时，身影的长度是变长了，变长了6.5米。
D
6.解:设AH＝x，BH＝y.由题意知△AHF∽△CBF，△AHG∽△EDG，
∴，。
∴3x＝1.5×（y＋3），5x＝1.5×（y＋30＋5），解得x＝24。
答:旗杆AH的高度为24 m。
7.C
8.解:根据反射定律可以推出∠ACB＝∠ECF，∠ADB＝∠GDH，
∵AB⊥BC，EF⊥BC，GH⊥BC，∴△BAC∽△FEC，△ADB∽△GDH。
∴，。设AB＝x，BC＝y，∴，解得。
答；松树的高约为10.2米。
9.B
10.解:∵AB∥DE∥KM，∴∠A＝∠EDF＝∠K，∵∠DFE＝∠KFM，
∴△ACF∽△KMF，△DEF∽△KMF。∴，。
设EF＝x m，则FM＝6x m，由2CF＝MF，得2（x＋3）＝6x，x＝。
∴FM＝9 m，∴EM＝EF＋FM＝+9＝10.5（m）。即河的宽度为10.5m。
巩固提高
1.C 2.C 3.B 4. 0.3m 5. 250 6.（7＋）
7.解:这种测量方法可行。理由如下：
设旗杆高AB＝x.过F作FG⊥AB于G，交CE于H（如图所示），所以△AGF∽△EHF。
因为FD＝1.5，GF＝27＋3＝30，HF＝3，所以EH＝3.5﹣1.5＝2，AG＝x－1.5。
由△AGF∽△EHF，得，即，
所以x－1.5＝20，解得x＝21.5（米）。
答:旗杆的高为21.5米。
8.解:∵，，∴。
又∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ANM。∴。
∵BC＝45，∴MN＝3000
答:直线隧道MN长为3000米。
9.解:设AB＝x米，BC＝y米。
∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD，∴△ABC∽△EDC。
∴。∴。∵∠ABF＝∠GHF＝90＂，∠AFB＝∠GFH，
∴△ABFC∽△GHF。∴，∴。∴。解得:y＝20。
把y＝20代人中，得，解得x＝15，
∴树的高度AB为15米。
10.解:由题意得；∠CAD＝∠MND＝90°，∠CDA＝∠MDN，∴△CAD∽△MND。
∴。∴。∴MN ＝9. 6 m。
又∵∠EBF＝∠MNF＝90o，∠EFB＝∠MFN，∴△EFB∽△MFN。
∴。∴。∴EB≈1.75。
∴小军身高BE约为1.75 m。
11.解:（1）如图1所示，∵PM∥BD，∴△APM∽△ABD，，即。
∴AP＝AB。∵NQ∥AC，∴△BNQ∽△BCA。∴，即，
∴BO＝AB。而AP＋PQ＋BQ＝AB，∴AB＋12＋AB＝AB。∴AB＝18。
答:两路灯的距离为18 m。
（2）如图2，他在路灯A下的影子为BN，∵BM∥AC，∴△NBM∽△NAC，
∴，即，解得BN＝3.6。
答:当他走到路灯B时，他在路灯A下的影长是3.6 m。
12.解:（1）∵一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米，
∴甲树的高度为:4.08÷0.8＝5.1（米）。故答案为5.1。
（2）如图1所示:设AB为乙树的高度，BC＝2.4，
∵四边形AECD是平行四边形，∴ AE＝＝1. 2。
由题意得:，解得BE＝3，
故乙树的高度AB＝AE＋BE＝4.2米。
（3）如图2，设AB为丙树的高度，EF＝0.2，
由题意得，DE＝0.25（米），则CD＝0.25＋0.3＝0.55（米）。
∵四边形AGCD是平行四边形，∴AG＝CD＝0.55（米）
又由题意得，∴BG＝5.5（米）.
∴AB＝AG＋BG＝0.55＋5.5＝6.05（米）。故选C。
（4）如图3所示:设AB为丁树的高度，BC＝2.4米，CD＝3.2米，
∵四边形AECF是平行四边形，∴AE＝CF，由题意得，
解得BE＝3（米），，解得CF＝2.56（米），故AE＝CF＝2.56米，
故丁树的高度AB＝AE＋BE＝BE＋CF＝5.56（米）。
真题训练
1.B 2.C 3.100
4.解:∵BC∥DE，∴△ABC∽△ADE。∴，
∴，∴AB＝17（m）。经检验AB＝17是分式方程的解，
答:河宽AB的长为17米。
第7节 利用相似三角形测高
知识梳理
知识点1 利用阳光下的影子测量旗杆的高度
1.测量方法:让一名同学恰好站在旗杆影子的顶端，然后一部分同学测量该同学的影长，另一部分同学测量同一时刻旗杆的影长，如图所示。
2.测量原理:如图所示，因为太阳光是平行光线，所以AB∥CD.
所以∠ABC＝∠DCE。因为∠DEC＝∠ACB＝90°，
所以△ACB∽△DEC，所以，即可求得DE＝。
3.测量结论:同一时刻，。
注意 太阳光线是平行照射的，同一时刻物体的物高与影长成正比。
知识点2 利用标杆测量旗杆的高度
1.测量工具:标杆、卷尺
2.测量步骤:
（1）测量出标杆CD的长度，测出观测者眼部以下高度EF；
（2）让标杆垂直立于地面，调整观测者EF的位置，当旗杆顶部、标杆顶端、眼睛三者在同一直线上时，测出观测者距离标杆底端的距离FD和距离旗杆底部的距离FB；
（3）根据求得AH的长，再加上EF的长即为旗杆AB的高度。
3.测量原理:如图所示，过点E作EH⊥AB，交AB于点H，交CD于点G.
因为CD∥AB，所以△ECG∽△EAH，所以。
因为EG＝FD，EH＝FB，CG＝CD－GD＝CD－EF，且FD，FB，CD，EF可测，
所以可求得AH的长度，则AB＝AH＋HB＝AH＋EF可求。
注意 利用标杆时，要注意观测者眼睛、标杆的顶端和旗杆的顶部“三点共线”，且标杆与地面垂直。知识点3 利用镜子的反射测量旗杆的高度
1.测量工具:镜子、卷尺
2.测量步骤:
（1）在观测者与旗杆之间放一面镜子，在镜子上做一个标记；
（2）测出观测者的高度CD；
（3）观测者看着镜子来回移动，直至看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合，此时测出镜子O到人脚底D的距离OD及镜子到旗杆底部距离OB；
（4）把测得的数据代入，即可求得旗杆高度AB。
3.测量原理:如图所示，在△COD和△AOB中，由反射角等于入射角得
∠COD＝∠AOB，∠CDO＝∠ABO＝90°，得△COD∽△AOB.所以。因为CD，OD，OB皆可测，所以AB可求。
注意 利用镜子反射时，要用到物理知识:反射角＝入射角。
考点突破
考点1: 利用影子测量物体的高度
典例1 如图所示，某同学想测旗杆AB的高度，他在某一时刻测量长为1 m的竹竿CD竖直时的影长DM为1.5m，同一时刻测量旗杆AB影长时，因旗杆靠近一幢楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上的影长BF为21 m，落在墙上的影长EF为2m，试求旗杆AB的高度。
思路导析:过F作HF∥AE.因为太阳的光线是平行的，旗杆和墙都垂直于地面DF，所以四边形AHFE为平行四边形，AH＝FE.利用△CDM∽△HBF的比例式求出HB，再加上EF的长就是旗杆的高度。
解:过F作HF∥AE，交AB于H。∵CM∥AE∥HF，CD⊥DF，
∴∠CMD＝∠HFB，∠CDB＝∠HBF＝90°。∴△CDM∽△HBF。
∴。又∵CD＝1m，DM＝1.5m，BF＝21m，
∴，解得HB＝14（m）。∴AB＝HB＋AH＝HB＋EF＝14＋2＝16（m）。
即旗杆AB的高度为16 m。
友情提示 这属于利用太阳光下的影子测量物体的高度，当影子完全落地时，同一时刻物体的物高与影长成正比；当影子不完全落在地面上时，用以下方法解决:（1）对于旗杆（或其他物体）的影子落在墙上时（顶端在墙上），此时会出现平行四边形，即这部分旗杆（或其他物体）与其影子等长，而不是影长等于BF＋EF.（2）此时亦可过点E作EG⊥AB于点G，可得矩形BFEG，所以EF＝BG，再利用△AGE∽△CDM求出AG，再加上EF的长，即可求旗杆的高度。
变式1 某班同学要测量学校国旗旗杆的高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是1.5m，影长是1m，旗杆的影长是8m，则旗杆的高度是（ ）
A.12 m B.11 m C.10 m D.9 m
变式2 如图所示，为了测量某棵树的高度，小刚用长为2 m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距6 m，与树距15 m，那么这棵树的高度为（ ）
A.5 m B. 7 m C.7. 5 m D. 21 m
典例2 如图所示，夜晚路灯下，小明在点D处测得自己影长DE＝4 m，在点G处测得自己影长DG＝3m，E，D，G，B在同一条直线上，已知小明身高为1.6 m，求灯杆AB的高度。
思路导析: 先证明△ECD∽△EAB，利用相似比得到，即，
再证明△DFG∽△DAB，利用相似比得到，即,
于是得到，可解得BG＝9，然后利用求AB的长。
解:∵CD∥AB，∴△ECD∽△EAB.∴，即。
∵FG∥AB，∴△DFG∽△DAB。∴，即。
∴，解得BG＝9.∴。∴AB＝6.4（m）
即灯杆AB的高度为6.4 m。
友情提示 这属于利用灯光下的影子测量物体的高度，解题的关键是先根据题意找出相似三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题。
变式3 如图所示，河对岸有一路灯杆AB，在灯光下，小亮在点D处测得自己的影长DF＝3m，沿BD方向从D后退4米到G处，测得自己的影长GH＝5，如果小亮的身高为1.7m，求路灯杆AB的高度。
变式4 如图所示，一天晚上身高1.8米的李明在广场上散步，他从距路灯的底部O点10米的A点沿OA方向行走26米到C点处，李明在A处时，头顶B在路灯下形成的影子在点M处，已知灯杆重直于路面。
（1）请在图中标出路灯P的位置和李明站在C处时，头顶D在路灯下形成的影子N的位置。
（2）若路灯（点P）距地面9米，李明从A处到C处时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
考点2: 利用标杆的高度测量物体的高度
典例3 如图所示，竖立在点B处的标杆AB高2.5 m，站立在点F处的观察者从点E处看到标杆顶A，树顶C在一条直线上，测得BD＝9m，FB＝3m，EF＝1.7m，求树高CD。
思路导析: 过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G，可证明四边形EFDH为长方形，可得HD的长；可证明△AEG∽△CEH，故可求得CH的长，所以树高CD的长即可知。
解: 过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G，如图所示:由已知得，
EF⊥FD，AB⊥EG，CD⊥FD，∵EH⊥CD，EH⊥AB，∴四边形EFDH为矩形。
∴EF＝GB＝DH＝1.7， EG＝FB＝3， GH＝BD＝9.∴AG＝AB－GB＝0.8。
∵EH⊥CD，EH⊥AB，∴AG∥CH。∴△AEG∽△CEH。
∴。∵EH＝EG＋GH＝12，∴CH＝＝3.2。∴CD＝CH＋HD＝4.9。
答:故树高DC为4.9米。
变式5 如图所示，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条边DF＝50cm，EF＝30cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝20m，则树高AB为（ ）
A.12m B.13.5m C.15m D.16.5m
变式6 如图所示，操场上有一根旗杆AH，为测量它的高度，在B和D处各立一根高1.5米的标杆BC，DE，两杆相距30米，测得视线AC与地面的交点为F，视线AE与地面的交点为G，并且H，B，F，D，G都在同一直线上，测得BF为3米，DG为5米，求旗杆AH的高度。
考点3: 利用镜面的反射测量物体的高度
典例4 小玲用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度:如图所示，在水平面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离EA＝12米，当她与镜子的距离CE＝2米时，她刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B.已知她的眼睛距地面的高度DC＝1.5米请你帮助小玲计算出教学楼的高度AB是多少米.（根据光的反射定律:反射角等于入射角）
思路导析:先根据题意得出△ABE∽△CDE，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论。
解:∵由题意得，∠AEB＝∠CED，∠BAE＝∠DCE＝90°，∴△ABE∽△CDE。
∴，即。∴AB＝9（米）
答:教学大楼的高度AB是9米.
注意 利用镜面反射测量物体的高度，主要是利用物理学中的“反射角等于入射角”的知识，可以知道入射光线与反射光线与地面的夹角相等，找到一对锐角对应相等，创造相似的条件，构造所需要的比例式，求出物体的高度。
变式7 如图所示，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2m，旗杆底部与平面镜的水平距离为16m.若小明的眼睛与地面距离为1.5m，则旗杆的高度为（单位:m）（ ）
A. B.9 C.12 D.
变式8 小明想用镜子测量一棵松树的高度，但因树旁有一条河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子，如图所示，第一次他把镜子放在C点，人在F点时正好在镜子中看到树尖A；第二次把镜子放在D点，人在G点正好看到树尖A.已知小明的眼睛距离地面1.70m.量得CD＝12m，CF＝1.8m，DH＝3.8m.请你求出松树的高。
考点4: 求不易直接测量的物体的宽（如河宽）
典例5 如图所示，为了确定一条河的宽度，测量人员在对岸岸边P点处观察到一根柱子，再在他们所在的这一侧岸上选点A和点B，使得B、A，P在同一条直线上，且与河岸垂直，随后确定点C，点D，使BC⊥BP，AD⊥BP，由观测可以确定CP与AD的交点D.他们测得AB＝45m，BC＝90m，AD＝60m，从而确定河宽，他们测量的河宽为__________ m。
思路导析:证出△PAD和△PBC相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解即可。
∵BC⊥BP，AD⊥BP，∴AD∥BC，∴△PAD∽△PBC。
∴，即。解得:PA＝90。
答案:90
友情提示 本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是根据相似三角形的性质设计出具体图形，从实际问题中抽象出数学问题来求解。
变式9 如图所示，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE＝20m，EC＝10m，CD＝20m，则河的宽度AB＝（ ）
A.60m B.40m C.30m D.20m
变式10 如图所示，身高1.5m的人站在离河边3m处时，恰好能看到对岸岸边电线杆的全部倒影，若河岸高出水面高度ED为0.75m，电线杆高MG为4.5m，试求河的宽度。
巩固提高
1.如图所示，放映幻灯片时，通过光源把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为（ ）
A. 6 cm B. 12 cm C.18 cm D.24 cm
2.小宸同学的身高为1.8m，测得他站立在阳光下的影长为0.9m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影长为1.2m，那么小宸举起的手臂超出头顶的高度为（ ）
A.0.3m B.0.5m C.0.6m D.2.1m
3.如图所示是小明利用等腰直角三角板测量旗杆高度的示意图.等腰直角三角板的斜边BD与地面AF平行，当小明的视线恰好沿BC经过旗杆顶部点E时，测量出此时他所在的位置点A与旗杆底部点F的距离为10米如果小明的眼睛距离地面1.7米，那么旗杆EF的高度为（ ）
A.10米 B.11.7米 C.10米 D.（5＋1.7）米
4.如图所示，一个高为1m的油桶内有油，一根木棒1.2m，从桶盖小口斜插入桶内，一端到底部，另一端恰好到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分的长0.36m，则桶内油的高度为____________。
5.如图所示，正方形城邑DEFG的四面正中各有城门，出北门20步的A处（HA＝20步）有一树木，由南门14步到C处（KC＝14步），再向西行1775步到B处（CB＝1775步），正好看到A处的树木（点D在直线AB上），则城邑的边长为__________步。
6.如图所示，数学兴趣小组想测量电线杆AB的高度，他们发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD＝4米，BC＝10米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度约为_________米。（结果保留根号）
7.在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法，小芳的测量方法是:拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处（如图所示），然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A与竹竿顶部E恰好在同一直线上，又测得C，D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高.你认为这种测量方法是否可行？请说明理由。
8.中国高铁近年来用震惊世界的速度不断发展，已 成为当代中国一张耀眼的“国家名片”，修建高铁时常常要逢山开道、遇水搭桥，如图所示，某高铁在修建时需打通一直线隧道MN（M，N为山的两侧），工程人员为了计算M，N两点之间的直线距离，选择了在测量点A，B，C进行测量，点B，C分别在AM，AN上，现测得AM＝1200米，AN＝2000米，AB＝30米，BC＝45米，AC＝18米，求直线隧道MN的长。
9.数学实践小组想利用镜子的反射测量池塘边一棵树的高度AB.测量和计算的部分步骤如下:
①如图所示，树与地面垂直，在地面上的点C处放置一块镜子，小明站在BC的延长线上，当小明在镜子中刚好看到树的顶点A时，测得小明到镜子的距离CD＝2米，小明的眼睛E到地面的距离ED＝1.5米；
②将镜子从点C沿BC的延长线向后移动10米到点F处，小明向后移动到点H处时，小明的眼睛G又刚好在镜子中看到树的顶点A，这时测得小明到镜子的距离FH＝3米；
③计算树的高度AB；
解:设AB＝x米，BC＝y米，
∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD，∴△ABC∽△EDC。
∴……
请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤，将剩余的计算部分补充完整.
10.晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军:“你有多高？”小军一时语塞.小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高.于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图所示，当小聪正好站在广场的A点（距N点5块地砖长）时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B点（距N点9块地砖长）时，其影长BF恰好为2块地砖长.已知广场地面由边长为0.8m的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6m，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ请你根据以上信息，求出小军身高BE的长.（结果精确到0.01m）
11.如图所示，小华在晚上由路灯A走向路灯B.当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部；当他向前再步行12m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部.已知小华的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m，且AP＝QB.
（1）求两个路灯之间的距离.
（2）当小华走到路灯B的底部时，他在路灯A下的影长是多少？
12.阅读以下文字并解答问题:
在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的4名同学选择了测量学校里的四棵树的高度在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作小芳:测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如图①所示）。
小华:发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在学楼的墙壁上（如图2所示），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米。
小丽:测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图③所示），测得此影子长为0.2米，一级台阶高为03米，落在地面上的影长为4.4米。
小明:测得丁树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如图④所示）身高是1.6米的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2米。
（1）在横线上直接填写甲树的高度为________米。
（2）画出测量乙树高度的示意图，并求出乙树的高度。
（3）请选择丙树的高度为___________。
A.6.5米 B.5.75米 C.6.05米 D.7.25米
（4）你能计算出丁树的高度吗？试试看
真题训练
1.（2018·临沂）如图所示，利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m，BC＝12.4m.则建筑物CD的高是（ ）
A.9.3m B.10.5m C.12.4m D.14m
2.（2018·绍兴）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（ ）
A.0.2m B.0.3m C.0.4m D.0.5m
3.（2018·吉林）如图所示是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B＝∠C＝90°，测得BD＝120m，DC＝60m，EC＝50m，求得河宽AB＝________ m。
4.（2018·陕西）周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C，A共线。
已知:CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1 m，DE＝1.5 m，BD＝8.5 m.测量示意图如图所示。请根据相关测量信息，求河宽AB。
参考答案及解析
考点突破
1.A 2.B
3.解:∵CD⊥BF，AB⊥BF，∴CD∥AB.∴△CDF∽△ABF。
∴。同理可得，∴。
∴，解得BD＝6，∴，解得AB＝5.1.
答:路灯杆AB高5.1m.
4.解:（1）如图所示:
（2）设在A处时的影长AM为x米，在C处时影长CN为y米，
由，解得x＝2.5，由，解得y＝9。∴y－x＝9－2.5＝6.5，
∴李明从A处到C处时，身影的长度是变长了，变长了6.5米。
D
6.解:设AH＝x，BH＝y.由题意知△AHF∽△CBF，△AHG∽△EDG，
∴，。
∴3x＝1.5×（y＋3），5x＝1.5×（y＋30＋5），解得x＝24。
答:旗杆AH的高度为24 m。
7.C
8.解:根据反射定律可以推出∠ACB＝∠ECF，∠ADB＝∠GDH，
∵AB⊥BC，EF⊥BC，GH⊥BC，∴△BAC∽△FEC，△ADB∽△GDH。
∴，。设AB＝x，BC＝y，∴，解得。
答；松树的高约为10.2米。
9.B
10.解:∵AB∥DE∥KM，∴∠A＝∠EDF＝∠K，∵∠DFE＝∠KFM，
∴△ACF∽△KMF，△DEF∽△KMF。∴，。
设EF＝x m，则FM＝6x m，由2CF＝MF，得2（x＋3）＝6x，x＝。
∴FM＝9 m，∴EM＝EF＋FM＝+9＝10.5（m）。即河的宽度为10.5m。
巩固提高
1.C 2.C 3.B 4. 0.3m 5. 250 6.（7＋）
7.解:这种测量方法可行。理由如下：
设旗杆高AB＝x.过F作FG⊥AB于G，交CE于H（如图所示），所以△AGF∽△EHF。
因为FD＝1.5，GF＝27＋3＝30，HF＝3，所以EH＝3.5﹣1.5＝2，AG＝x－1.5。
由△AGF∽△EHF，得，即，
所以x－1.5＝20，解得x＝21.5（米）。
答:旗杆的高为21.5米。
8.解:∵，，∴。
又∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ANM。∴。
∵BC＝45，∴MN＝3000
答:直线隧道MN长为3000米。
9.解:设AB＝x米，BC＝y米。
∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD，∴△ABC∽△EDC。
∴。∴。∵∠ABF＝∠GHF＝90＂，∠AFB＝∠GFH，
∴△ABFC∽△GHF。∴，∴。∴。解得:y＝20。
把y＝20代人中，得，解得x＝15，
∴树的高度AB为15米。
10.解:由题意得；∠CAD＝∠MND＝90°，∠CDA＝∠MDN，∴△CAD∽△MND。
∴。∴。∴MN ＝9. 6 m。
又∵∠EBF＝∠MNF＝90o，∠EFB＝∠MFN，∴△EFB∽△MFN。
∴。∴。∴EB≈1.75。
∴小军身高BE约为1.75 m。
11.解:（1）如图1所示，∵PM∥BD，∴△APM∽△ABD，，即。
∴AP＝AB。∵NQ∥AC，∴△BNQ∽△BCA。∴，即，
∴BO＝AB。而AP＋PQ＋BQ＝AB，∴AB＋12＋AB＝AB。∴AB＝18。
答:两路灯的距离为18 m。
（2）如图2，他在路灯A下的影子为BN，∵BM∥AC，∴△NBM∽△NAC，
∴，即，解得BN＝3.6。
答:当他走到路灯B时，他在路灯A下的影长是3.6 m。
12.解:（1）∵一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米，
∴甲树的高度为:4.08÷0.8＝5.1（米）。故答案为5.1。
（2）如图1所示:设AB为乙树的高度，BC＝2.4，
∵四边形AECD是平行四边形，∴ AE＝＝1. 2。
由题意得:，解得BE＝3，
故乙树的高度AB＝AE＋BE＝4.2米。
（3）如图2，设AB为丙树的高度，EF＝0.2，
由题意得，DE＝0.25（米），则CD＝0.25＋0.3＝0.55（米）。
∵四边形AGCD是平行四边形，∴AG＝CD＝0.55（米）
又由题意得，∴BG＝5.5（米）.
∴AB＝AG＋BG＝0.55＋5.5＝6.05（米）。故选C。
（4）如图3所示:设AB为丁树的高度，BC＝2.4米，CD＝3.2米，
∵四边形AECF是平行四边形，∴AE＝CF，由题意得，
解得BE＝3（米），，解得CF＝2.56（米），故AE＝CF＝2.56米，
故丁树的高度AB＝AE＋BE＝BE＋CF＝5.56（米）。
真题训练
1.B 2.C 3.100
4.解:∵BC∥DE，∴△ABC∽△ADE。∴，
∴，∴AB＝17（m）。经检验AB＝17是分式方程的解，
答:河宽AB的长为17米。