人教版数学必修2 §3.3.1《两条直线的交点坐标(22张）

§3.3.1　两条直线的交点坐标
问题1：二元一次方程组的解法有哪些？


问题2：在方程组中，每一个方程都可表示为一直线，那么方程组的解说明什么？


问题3：若给出两直线y＝x＋1与y＝3x－2，如何求其交点坐标？
提示：代入消元法、加减消元法．
提示：两直线的公共部分，即交点．
提示：联立解方程组求方程组的解即可得．
两条直线的交点
若方程组有唯一解,则两条直线 ,此解就是
若方程组无解,则两条直线 ,此时两条直线
相交
交点的坐标;
平行.
无公共点
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)若由两条直线的方程组成的方程组只有一个公共解,则两条直线相交. (　　)
(2)若两条直线的斜率都存在且不相等,则两条直线相交. (　　)
(3)两条直线的斜率一个存在,另一个不存在时,两条直线也相交. (　　)
√
√
√
例1：求下列两条直线的交点：l1：3x+4y－2=0；
l2： 2x+y+2=0.
解：解方程组
∴l1与l2的交点是M（- 2，2）
直线系方程：具有某一共同属性的一类直线的集合称为直线系，表示直线系的方程叫做直线系方程．它的方程的特点是除含坐标变量x，y以外，还含有特定系数(也称参变量)．
解含有参数的直线恒过定点的问题
(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．
在求直线方程时，可利用上述直线系设出方程，再利用已知条件求出待定系数，从而快捷的求出方程．
常见直线系问题：
例2、判定下列各对直线的位置关系，若相交，
　则求交点的坐标
l1∥l2
l1与l2重合
探究问题（二）判断两直线的位置关系方法
方法2：如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系？
做一做　在下列直线中,与直线x+3y-4=0相交的直线为(　　)?
C
探究三
【例3】求经过两条直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P,且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程.
思路分析:思路一(直接法),解方程组得点P的坐标,又直线l与l3垂直,可得直线l的斜率,然后按点斜式写出方程;
思路二(待定系数法),根据直线l与l3垂直,设出直线l的方程,再由点P的坐标求解.
两条直线的交点问题?
法三
变式训练1　 求经过两条直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P,且与直线l3:3x-4y+5=0平行的直线l的方程为　　　　　?
解析(方法一)(直接法):
?
?
3x-4y+8=0
(方法二)(待定系数法):
设直线l的方程为3x-4y+n=0.
由3×0-4×2+n=0,得n=8,
故直线l的方程为3x-4y+8=0.
得交点坐标（0，1）
法2、设所求的直线方程为x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0
P(1,0)在直线上
探究四
过两直线交点的直线系方程?
【例4】 (1)求经过点P(1,0)和两直线l1:x+2y-2=0,
l2:3x-2y+2=0交点的直线方程;
思路分析 (1) :
法1.求出交点坐标，写出两点式方程，再化为一般式。
法2.设所求直线方程为x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0,再将x=1,y=0，代入求出λ,即得所求直线方程
证：(2)将直线方程改写为-x-y-1+a(x+2)=0.
得交点坐标（-2，1）
总结：A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0是过直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程。
例4 (2)证明：无论实数a取何值,方程(a-1)x-y+2a-1=0表示的直线恒过定点,试求该定点.
变式训练2　已知直线l经过原点,且经过另两条直线 2x+3y+8=0,x-y-1=0的交点,则直线l的方程为(　　)?
A.2x+y=0 B.2x-y=0 C.x+2y=0 D.x-2y=0
(法二)设直线l的方程为2x+3y+8+λ(x-y-1)=0,因其过原点,所以8+(-λ)=0,λ=8,直线l的方程为2x-y=0.
B
对称问题?【例3】光线通过点A(2,3)在直线l:x+y+1=0上反射,反射光线经过点B(1,1),试求入射光线和反射光线所在直线的方程.
分析:求点A关于直线l的对称点A'→求反射光线所在直线的方程→求入射光线与反射光线的交点坐标→求入射光线所在的直线方程
A(2,3)
B(1,1)
A’(x0，y0)
x
y
o
l
P
当堂检测
1、B
2、B
3、C
4、a=1
【课后作业】
P104 练习
P109 习题3.3 A组 1.2.3.4.5
思考题:当实数m为何值时,三条直线l1:3x+my-1=0,
l2:3x-2y-5=0, l3:6x+y-5=0不能围成三角形.
解:当三条直线交于一点或其中有两条互相平行时,它们不能围成三角形. 由 3x-2y-5=0, x=1. 6x+y-5=0, 解得 y=-1
将x=1,y=-1代入l1方程中,得m=2. ∴当m=2时三条直线共点. 又m=-2时, l1∥l2; 又m=?时, l1∥l3. ∴当m=±2或m=?时, l1, l2和l3不能围成三角形.