如图，是一张三角形的铁皮，工人张师傅想在它上面截下一个面积最大的圆，你能帮助张师傅解决这个问题吗？
张师傅的求助:
1、掌握切线长定理及推导过程，并会利用它解决相关的计算和证明 .
2、掌握三角形内切圆的尺规作图及有关
概念和性质。
学习目标：
1.切线的判定定理和性质定理是什么？
2.怎样过圆上一点作圆的切线？
问题：你能过圆外一点P作圆的切线吗？
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。
·
O
P
A
B
切线与切线长有什么区别呢？
·
O
B
切线长概念:
切线和切线长是两个不同的概念：
1、切线是一条与圆相切的直线；没有长度。
2、切线长是一条线段的长度，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点。
比一比
O
P
B
P
思考：已知，如图PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，把这个图形沿着直线OP对折,图中的PA 与 PB，∠OPA与∠OPB有什么关系？
PA = PB
∠OPA=∠OPB
探究一：
几何画板
已知：PA,PB是⊙O 切线
A、B为切点。
求证：PA = PB
∠OPA=∠OPB
证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点
∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°
∵ OA=OB，OP=OP
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB
试用文字语言叙述你所发现的结论
D
E
证一证
∵ PA、PB分别切⊙O于A、B
∴ PA = PB
∠OPA=∠OPB
从圆外一点可以引圆的两条切线，
①它们的切线长相等，
②圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
符号语言:
P
E
A
D
B
O
切线长定理：
反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法
（2）已知OA=3cm,OP=6cm，则∠APO = ,∠APB = 。
60°
（4）OP交⊙O于D，则 .
ＡD ＢD
牛刀小试
（3）若∠APB=60°，则∠AOB= °。
120
=
例1、已知：PA、PB分别切⊙O于点A、B。
（5）OP与AB的关系是： 。
30°
OP垂直平分AB
(1)已知线段PA=6cm,则线段PB= cm 。
6
已知：如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知PA=8cm，则Δ PDE的周长为（ ）
O
A
学以致用：
如图，是一张三角形的铁皮，工人张师傅想在它上面截下一个面积最大的圆，你能帮助张师傅解决这个问题吗？
问题解决:
A
B
C
三角形内切圆：
E
D
H
F
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
三角形的内心：
三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，它是三角形三条角平分线的交点。
内心性质：它到三角形三边的距离相等。
内切圆的半径：
交点到三角形任意一边的垂直距离。
例2：如图， Rt△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，求AF的长。
x
8﹣x
x
8﹣x
6﹣x
6﹣x
学以致用：
例3、如图，△ABC中,∠ ABC=50°，∠ACB=70 °,
点O 是△ABC的内心，则∠ BOC= 。
变式：△ABC中,∠ A=40°，点O是△ABC的内心，则∠ BOC= 。
变式：△ABC中,∠ A=α，点O是△ABC的内心，求∠ BOC的度数。
120 °
11 0 °
学以致用：
1、切线长定理
分享收获：
方法归纳：在解决有关圆的切线长问题时，常构建基本图形.
常用辅助线：
（1）连半径（2）连两切点
（3）连圆外一点和圆心
．
o
外接圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。（外心）
外心的性质：到三个顶点的距离相等。
外接圆的半径：交点到三角形任意一个顶点的距离。
三角形外接圆
三角形内切圆
内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点(内心)。
内心的性质：到三边的距离相等。
内切圆的半径：交点到三角形任意一边的垂直距离。
A
A
B
B
C
C
分享收获：
祝同学们学习愉快 谢谢大家！
课题：直线与圆的位置关系(三)
切线长定理
学习目标1、掌握切线长定理及推导过程，并会利用它解决相关的计算和证明。
2、掌握三角形内切圆的尺规作图及有关概念和性质。
画一画：
如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？
A
P
探究一：
思考：已知，如图PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，把这个图形沿着直线OP对折,图中的PA 与 PB，∠OPA与∠OPB有什么关系？PA PB,∠OPA ∠OPB。
归纳总结：你能得到什么样的结论？
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，
①它们的 相等，②圆心和这一点的连线平分 的夹角。
牛刀小试：
例1、已知：PA、PB分别切⊙O于点A、B
(1)已知线段PA=6cm,则线段PB= cm.
(2)已知OA=3cm,OP=6cm，则∠APO = ,∠APB = 。
(3)若∠APB=60°，则∠AOB= 。
(4)OP交⊙O于D，则 ＡD ＢD。
(5)OP与AB的关系是: 。
学以致用：
已知：如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，
已知PA=8cm，则ΔPDE的周长为( ）
探究二:
如图，是一张三角形的铁皮，工人张师傅想在它上面截下一个面积最大的圆，你能帮助张师傅解决这个问题吗？
与三角形各边都 的圆叫做三角形的内切圆。
三角形内心是 的交点。
内心性质：它到三角形 的距离相等。
例2：如图， Rt△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，求AF的长。
思考：你能求出⊙O的半径吗？
总结：Rt△ABC内切圆的半径r=
例3、如图，△ABC中,∠ ABC=50°，∠ACB=70 °,点O 是△ABC的内心，
则∠ BOC= 。
变式：△ABC中,∠ A=40°，点O是△ABC的内心，则∠ BOC= 。
变式：△ABC中,∠ A=α，点O是△ABC的内心，求∠ BOC的度数。
课题 §24.2.3切线长定理 课型 新授课
课时 第3课时 授课人
教材分析 “切线长定理”是人教版九年级数学上册第二十四章“圆”的第二节第3课时的内容，本课设计主要是在切线的基础上，明确切线长的定义，通过学生动手操作，逻辑证明来明确切线长定理，引出三角形的内切圆，通过与三角形的内切圆有关的练习巩固切线长定理。
学情分析 学生已经学习了三角形全等的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理等，在本章中已经学习了切线的定义、判定与性质、垂径定理等内容，因此学生对于圆的相关知识已经有了一定的认识，这对本节课起到了基础性作用。在相关知识学习中，切线长定理的探究，学生要经历动手操作、猜想、验证，最后归纳切线长定理，使学生的直观操作与逻辑推理有机的结合在一起，推理过程的严谨性和构造基本图形是学生的弱项，在教学中要重点注意。
教学目标 1、知识技能：了解切线长的概念，理解切线长定理；了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，熟练掌握它的应用。 2、数学思考：通过操作、观察两条切线长，发展合情推理能力，让学生经历知识的形成与运用过程，培养数学语言概括、表达能力。 3、问题解决：运用切线长定理解决问题，提高学生运用知识和技能解决问题的能力。 4、情感态度：学生在解决问题的过程中体验求索的科学精神，以严谨的科学态度进一步激发学习需求。
教学重点 正确理解切线长定理并能解决实际问题。
教学难点 运用切线长定理进行有关计算和推理。
教学方法 启发式 探究式 小组合作 几何画板 微课
教学环节 教学活动 师生活动 设计意图
课题引入 出示问题：张师傅的求助： (
A
B
C
) 生读张师傅的求助，引发学生的思考：如何才能截下一个面积最大的圆。 从实际问题出发引入课题，带着问题进入学习，激发学生的学习兴趣。
温故知新 画一画 ? 1、切线的判定定理和性质定理是什么？ 2、怎样过圆上一点作圆的切线？ 问题：你能过圆外一点P作圆的切线吗？ 教师提出问题，引导学生回忆所学知识。学生动手画一画过圆上一点和圆外一点作圆的切线。小组交流，展示。? 巩固旧知识的同时，为新知识的学习作准备。
探究一 知识点1 切线长概念: 经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。 问题：切线与切线长有什么区别呢？ 切线和切线长是两个不同的概念： 1、切线是一条与圆相切的直线；没有长度。 2、切线长是一条线段的长度，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点。 思考：已知，如图PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，把这个图形沿着直线OP对折,图中的PA 与 PB，∠OPA与∠OPB有什么关系？ 切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线， ①它们的切线长相等， ②圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 利用画一画得到的图形进行折纸活动，发现线段和角都存在等量关系，在这里加入几何画板演示，使学生直观感受，总结得出切线长定理以及符号语言。 加入几何画板演示，让学生对线段和角分别相等有直观的认识。归纳时小组交流讨论，加强小组合作性。
牛刀小试 例1、已知：PA、PB分别切⊙O于点A、B。 (1)已知线段PA=6cm,则线段PB= cm （2）已知OA=3cm,OP=6cm，则∠APO = ,∠APB = 。 （3）若∠APB=60°，则∠AOB= °。（4）OP交⊙O于D，则弧AD 弧BD （5）OP与AB的关系是： 。 已知：如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知PA=8cm，则Δ PDE的周长为 学生观察图形，利用切线长定理做题，通过训练，使学生尽快掌握定理的应用，并且总结常用的基本图形。教师针对学生回答中出现的问题，及时纠正与调整。 前几个题目比较简单，目的是加深对定理的理解，通过本活动的展开，归纳总结出在切线长定理中的常见图形和结论。
学以致用 例2：如图， Rt△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，求AF的长。 思考：你能求出⊙O的半径吗？ 总结：r直内= 学生先观察图形，利用切线长定理得出图中相等的线段，思考，利用设未知数找等量关系解决问题。 1、一题多变，先求线段长，变为求半径，最后总结直角三角形内切圆半径的公式，使学生感受切线长定理的结论应用。 2、方程的数学思想。
探究二 问题解决 (
A
B
C
)如图，是一张三角形的铁皮，工人张师傅想在它上面截下一个面积最大的圆，你能帮助张师傅解决这个问题吗？ 学生思考，然后小组交流讨论，得出和三边都相切的圆即为所求。师提问如何作一个圆：确定圆心和半径。微课播放三角形内切圆的作法，使学生巩固基本的尺规作图步骤。 通过问题解决规范学生尺规作图的步骤，并为引入三角形内切圆做铺垫，培养学生动手能力。
新知 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，它是三角形三条角平分线的交点。 内切圆的半径： 交点到三角形任意一边的垂直距离。 内心性质：它到三角形三边的距离相等。 师引导学生利用做出的图形进行分析，理解掌握三角形内切圆的相关概念和性质。 通过得到的图形是学生理解内切圆的圆心、半径及性质。
学以致用 例3、如图，△ABC中,∠ABC=50°，∠ACB=70 °, 点O 是△ABC的内心，则∠BOC= 。 变式：△ABC中,∠A=40°，点O是△ABC的内心，则∠BOC= 。 变式：△ABC中,∠A=α，点O是△ABC的内心，求∠BOC的度数。 生独立思考做题，小组交流，教师在巡视中发现问题，及时纠正与指导。 让学生进一步掌握三角形内心的作用，并利用变式训练得出角之间的关系，为以后解决相应问题提供简便方法。
分享收获 教师引导学生自我总结，使学生学会梳理知识结构，加深认识，形成体系，归纳方法。 学生积极发言，其他学生补充。 梳理知识结构，形成系统，学会方法。
作业布置 必做：P100练习题第2题 选做：P103练习题第14题 学生在作业本上完成（注意过程要规范） 巩固所学内容，加深对知识的理解。设置必做题、选做题，实现分层次教学。
板书设计 §24.2.3切线长定理 过一点作圆的切线画图 例题板书 作三角形的内切圆
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