第四章《因式分解》检测题

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第四章《因式分解》检测题
评卷人 得 分

一．选择题（共10小题）
1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．8x2 y3＝2x2?4 y3 B．（ x+1）（ x﹣1）＝x2﹣1
C．3x﹣3y﹣1＝3（ x﹣y）﹣1 D．x2﹣8x+16＝（ x﹣4）2
2．下列各组多项式中，没有公因式的是（　　）
A．ax﹣bx和by﹣ay B．3x﹣9xy和6y2﹣2y
C．x2﹣y2和x﹣y D．a+b和a2﹣2ab+b2
3．计算（﹣2）2018+（﹣2）2017所得的结果是（　　）
A．﹣22017 B．﹣1 C．﹣2 D．22017
4．如图，边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a3b+ab3的值为（　　）

A．15 B．30 C．60 D．78
5．下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是（　　）
A．y2﹣x2+2xy B．y2+x2+xy C．25y2+15y+9 D．4x2+9﹣12x
6．若x2﹣6x+a＝（bx﹣3）2，则a，b的值分别为（　　）
A．9，1 B．﹣9，1 C．﹣9，﹣1 D．9，﹣1
7．下列式子中，属于2x3+x2﹣13x+6的因式是（　　）
A．x+2 B．x﹣3 C．2x﹣1 D．2x+1
8．下列因式分解错误的是（　　）
A．﹣mn2+2mn﹣n＝﹣n（mn﹣2m﹣1）
B．x2﹣x+
C．1﹣9x2＝（1+3x）（1﹣3x）
D．x2﹣3x﹣4＝（x﹣4）（x+1）
9．多项式3x2y﹣6y在实数范围内分解因式正确的是（　　）
A． B．3y（x2﹣2）
C．y（3x2﹣6） D．
10．已知496﹣1可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（　　）
A．61，63 B．63，65 C．65，67 D．63，64
评卷人 得 分

二．填空题（共6小题）
11．分解因式：x2﹣9x＝　 　．
12．已知x2﹣2x﹣3是多项式3x3+ax2+bx﹣3的因式（a、b为整数）则a＝　 　，b＝　 　．
13．若a2+3＝2b，则a3﹣2ab+3a＝　 　．
14．已知xy＝﹣2，x+y＝3，则x2y+xy2＝　 　．
15．分解因式；ax2+ay2﹣2axy＝　 　．
16．多项式15m3n2+5m2n﹣20m2n3的公因式是　 　．
评卷人 得 分

三．解答题（共8小题）
17．把下列各式因式分解
（1）mn2+6mn+9m；
（2）x2（m﹣n）+4y2（n﹣m）．
(3) x2﹣4y2+4﹣4x
18．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得
x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n
∴．
解得：n＝﹣7，m＝﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．
19．老师给了一个多项式，甲、乙、丙、丁四位同学分别对这个多项式进行描述，（甲）：这是一个三次四项式；
（乙）：常数项系数为1；（丙）：这个多项式的前三项有公因式；（丁）：这个多项式分解因式时要用到公式法；若这四个同学的描述都正确，请你构造两个同时满足这些描述的多项式，并将它因式分解．
20．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x＝y，则原式＝（y+2）（y+6）+4＝y2+8y+16＝（y+4）2＝（x2﹣4x+4）2
（1）该同学因式分解的结果是否彻底？　 　（填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果　 　．
（2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x﹣2）﹣3进行因式分解．
21．阅读与思考：
整式乘法与因式分解是方向相反的变形，由（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，可得x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．
例如：将式子x2+3x+2分解因式．
这个式子的常数项2＝1×2，一次项系3＝1+2，
所以x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2．
解：x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．
上述分解因式x2+3x+2的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．
请仿照上面的方法，解答下列问题：
（1）分解因式：x2﹣5x+6＝　 　；
（2）若x2+px+8可分解为两个一次因式的积，则整数P的所有可能值是　 　．

22．阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位．那么形如a+bi（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：（2+i）+（3﹣4i）＝5﹣3i．
（1）填空：i3＝　 　，2i4＝　 　；
（2）计算：①（2+i）（2﹣i）； ②（2+i）2；
（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：
已知：（x+3y）+3i＝（1﹣x）﹣yi，（x，y为实数），求x，y的值．
（4）试一试：请你参照i2＝﹣1这一知识点，将m2+25（m为实数）因式分解成两个复数的积．
23．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，而（m﹣n）2≥0，（mn﹣4）2≥0，
∴（m﹣n）2＝0且（n﹣4）2＝0，
∴n＝4，m＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）a2+b2﹣4a+4＝0，则a＝　 　；b＝　 　．
（2）已知△ABC的三边a，b，c满足a2+2b2+c2﹣2ab﹣2bc＝0，
关于此三角形的形状的以下命题：①它是等边三角形；②它属于等腰三角形：③它属于锐角三角形；④它不是直角三角形．其中所有正确命题的序号为　 　．
（3）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且a2+b2﹣2a﹣6b+10＝0，求△ABC的周长．
24．任意一个正整数P都可以表示为：p＝a2b（ab均为正整数），在P的所有表示结果中，当|a﹣b|最小时，规定：F（p）＝，例如48＝12×48＝22×12＝42×3，因为|1﹣48|＞|2﹣12|＞|4﹣3|，所以F（48）＝．
（1）计算：F（64）；F（108）；
（2）若一个正整数n可以表示成m3（m为正整数），即n＝m3，则称n为m的立方数，求证：任意一个立方数n，总有F（n）＝．
（3）一个正整数t，t＝20x+y（1≤x≤4；0≤y≤9，x，y均为整数），如果t满足t与其各个数位上数字之和能被19整除，那么我们称t是“双福数”，求所有“双福数“中F（t）的最小值．


答案与解析
一．选择题（共10小题）
1．【分析】把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；
【解答】解：①是单项式的变形，不是因式分解；
②是多项式乘以多项式的形式，不是因式分解；
③左侧是多项式加减，右侧也是多项式加减，不是因式分解；
④符合因式分解的定义，结果是整式的积，因此D正确；
故选：D．
2．【分析】直接利用公因式的确定方法：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂，进而得出答案．
【解答】解：A、ax﹣bx＝x（a﹣b）和by﹣ay＝﹣y（a﹣b），故两多项式的公因式为：a﹣b，故此选项不合题意；
B、3x﹣9xy＝3x（1﹣3y）和6y2﹣2y＝﹣2y（1﹣3y），故两多项式的公因式为：1﹣3y，故此选项不合题意；
C、x2﹣y2＝（x﹣y）（x+y）和x﹣y，故两多项式的公因式为：x﹣y，故此选项不合题意；
D、a+b和a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，故两多项式没有公因式，故此选项符合题意；
故选：D．
3．【分析】直接提取公因式（﹣2）2017，进而计算得出答案．
【解答】解：（﹣2）2018+（﹣2）2017
＝（﹣2）2017×（﹣2+1）
＝22017．
故选：D．
4．【分析】先把所给式子提取公因式ab，再整理为与题意相关的式子，代入求值即可．
【解答】解：根据题意得：a+b＝5，ab＝6，
则a3b+ab3＝ab（a2+b2）＝ab[（a+b）2﹣2ab]＝6×（52﹣2×6）＝6×13＝78．
故选：D．
5．【分析】根据完全平方公式即可求出答案．
【解答】解：由完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2
4x2+9﹣12x＝（2x﹣3）2
故选：D．
6．【分析】由（bx﹣3）2＝b2x2﹣6bx+9，结合x2﹣6x+a＝（bx﹣3）2可得a，b的值．
【解答】解：（bx﹣3）2＝b2x2﹣6bx+9，
∵x2﹣6x+a＝（bx﹣3）2，
∴﹣6b＝﹣6，a＝9，
解得a＝9，b＝1，
故选：A．
7．【分析】将2x3+x2﹣13x+6利用分组分解法分解因式，注意首先拆项可得：2x3+x2﹣10x﹣3x+6，然后将前三项作为一组，后两项作为一组分解即可求得答案．
【解答】解：∵2x3+x2﹣13x+6
＝2x3+x2﹣10x﹣3x+6
＝x（2x2+x﹣10）﹣3（x﹣2）
＝x（2x+5）（x﹣2）﹣3（x﹣2）
＝（x﹣2）（2x2+5x﹣3）
＝（x﹣2）（2x﹣1）（x+3），
∴2x3+x2﹣13x+6的因式是：（x﹣2），（2x﹣1），（x+3）．
故选：C．
8．【分析】直接利用提取公因式法以及公式法、十字相乘法分解因式得出答案．
【解答】解：A、﹣mn2+2mn﹣n＝﹣n（mn﹣2m+1），原式错误，符合题意；
B、x2﹣x+，正确，不合题意；
C、1﹣9x2＝（1+3x）（1﹣3x），正确，不合题意；
D、x2﹣3x﹣4＝（x﹣4）（x+1），正确，不合题意；
故选：A．
9．【分析】利用提公因式法、平方差公式进行因式分解即可．
【解答】解：3x2y﹣6y
＝3y（x2﹣2）
＝3y（x+）（x﹣）
故选：A．
10．【分析】看到496﹣1的形式要联想到平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； 再对496﹣1进行因式分解；
【解答】解：利用平方式公式进行分解该数字：496﹣1＝（448+1）（448﹣1）＝（448+1）（424+1）（424﹣1）＝（448+1）（424+1）（412+1）（46+1）（43+1）（43﹣1）
＝（448+1）（424+1）（412+1）（46+1）×65×63
故选：B．
二．填空题（共6小题）
11．【分析】首先确定多项式中的两项中的公因式为x，然后提取公因式即可．
【解答】解：原式＝x?x﹣9?x＝x（x﹣9），
故答案为：x（x﹣9）．
12．【分析】设另一个因式是：mx+n，计算（x2﹣2x﹣3）（mx+n），展开以后与多项式3x3+ax2+bx﹣3对应项的系数相同，即可列方程组求a、b的值．
【解答】解：设另一个因式是：mx+n，则（x2﹣2x﹣3）（mx+n）＝mx3+（n﹣2m）x2+（﹣3m﹣2n）x﹣3n＝3x3+ax2+bx﹣3
则：
解得：
故答案是：﹣5，﹣11．
13．【分析】利用提公因式法将多项式分解为a（a2+3）﹣2ab，将a2+3＝2b代入可求出其值．
【解答】解：∵a2+3＝2b，
∴a3﹣2ab+3a＝a（a2+3）﹣2ab＝2ab﹣2ab＝0，
故答案为：0．
14．【分析】先将多项式提取公因式，再代数即可．
【解答】解：原式＝xy（x+y）＝﹣2×3＝﹣6，
故答案为：﹣6．
15．【分析】先提取公因式a，在用完全平方公式进行分解即可．
【解答】解：ax2+ay2﹣2axy＝a（x2+y2﹣2xy）＝a（x﹣y）2．
故答案为a（x﹣y）2．
16．【分析】找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；
（2）字母取各项都含有的相同字母；
（3）相同字母的指数取次数最低的．
【解答】解：多项式15m3n2+5m2n﹣20m2n3中，
各项系数的最大公约数是5，
各项都含有的相同字母是m、n，字母m的指数最低是2，字母n的指数最低是1，
所以它的公因式是5m2n．
故答案是：5m2n．
三．解答题（共9小题）
17．（1）【分析】先提取公因式m，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解；
【解答】解：（1）mn2+6mn+9m
＝m（n2+6n+9）
＝m（n+3）2；
（2）【分析】先提取公因式（m﹣n），再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．

【解答】解：x2（m﹣n）+4y2（n﹣m）
＝（m﹣n）（x2﹣4y2）
＝（m﹣n）（x+2y）（x﹣2y）．
(3)【分析】将已知代数式分为两组：（x2﹣4x+4）和﹣4y2利用平方差公式进行因式分解即可．
【解答】解：x2﹣4y2+4﹣4x
＝（x2﹣4x+4）﹣4y2
＝（x﹣2）2﹣4y2
＝（x+2y﹣2）（x﹣2y﹣2）．
18．【分析】根据例题中的已知的两个式子的关系，两个中二次三项式x2﹣4x+m的二次项系数是1，因式是（x+3）的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式．所求的式子2x2+3x﹣k的二次项系数是2，因式是（2x﹣5）的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式．
【解答】解：设另一个因式为（x+a），得（1分）
2x2+3x﹣k＝（2x﹣5）（x+a）（2分）
则2x2+3x﹣k＝2x2+（2a﹣5）x﹣5a（4分）
∴（6分）
解得：a＝4，k＝20（8分）
故另一个因式为（x+4），k的值为20（9分）
19．【分析】根据分组法、提公因式法分解因式分解，可得答案．
【解答】解：x3﹣x2﹣x+1＝x2（x﹣1）﹣（x﹣1）＝（x﹣1）2（x+1）
4x3﹣4x2﹣x+1＝4x2（x﹣1）﹣（x﹣1）＝（x﹣1）（2x+1）（2x﹣1）
20．【分析】（1）根据因式分解的步骤进行解答即可；
（2）设x2﹣2x＝y，再根据不同的方法把原式进行分解即可．
【解答】解：（1）该同学因式分解的结果不彻底，
原式＝（x2﹣4x+4）2
＝[（x﹣2）2]2
＝（x﹣2）4，
故答案为：不彻底、（x﹣2）4．
（2）设：x2﹣2x＝y．
原式＝y（y﹣2）﹣3，
＝（y﹣3）（y+1），
＝（x2﹣2x﹣3）（x2﹣2x+1），
＝（x﹣3）（x+1）（x﹣1）2．
21．【分析】（1）、（2）发现规律：二次项系数为1的二次三项式x2+px+q的因式解，就是把常数项q分解成两个数的积且使这两数的和等于p，则x2+px+q＝（x+a）（x+b）．
【解答】解：（1）x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）．
故答案是：（x﹣2）（x﹣3）．

（2）∵8＝1×8；8＝﹣8×（﹣1）；8＝﹣2×（﹣4）；8＝﹣4×（﹣2），
则p的可能值为﹣1+（﹣8）＝﹣9；8+1＝9；﹣2+（﹣4）＝﹣6；4+2＝6．
∴整数p的所有可能值是±9，±6，
故答案为：±9或±6．
22．【分析】（1）根据i2＝﹣1，则i3＝i2?i，i4＝i2?i2，然后计算；
（2）根据平方差公式和完全平方公式计算，出现i2，化简为﹣1计算；
（3）把原式化简后，根据实部对应实部，虚部对应虚部列出方程，求得x，y的值；
（4）利用平方差公式进行变形处理．
【解答】解：（1）∵i2＝﹣1，
∴i3＝i2?i＝﹣1?i＝﹣i，
2i4＝2i2?i2＝2（﹣1）?（﹣1）＝2，
故答案是：i；2；

（2）①（2+i）（2﹣i）＝﹣i2+4＝1+4＝5；
②（2+i）2＝i2+4i+4＝﹣1+4i+4＝3+4i；

（3）∵（x+3y）+3i＝（1﹣x）﹣yi，
∴x+3y＝1﹣x，3＝﹣y，
∴x＝5，y＝﹣3；

（4）m2+25＝（m+5i）（m﹣5i）．
23．【分析】阅读材料可知：主要是对等号左边的多项式正确的分组，变形成两个平方式，根据平方的非负性和为零，转换成每个底数必为零求解；
第（1）题直接按材料方法计算，
第（2）题是把材料放到等边三角形中探究，
第（3）题求三角形的周长，必先求三边的长度，同时求c时依据三角形三边关系求解．
【解答】解：（1）根据材料得：
∵a2+b2﹣4a+4＝0，
∴（a2﹣4a+4）+b2＝0，
∴（a﹣2）2+b2＝0，
又∵（a﹣2）2≥0，b2≥0
∴a﹣2＝0且b＝0，
∴a＝2且b＝0．
故答案为2和0．
（2）∵a2+2b2+c2﹣2ab﹣2bc＝0
∴（a2﹣2ab+b2）+（c2﹣2bc+b2）＝0
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0
又∵（a﹣b）2≥且（b﹣c）2≥0，
∴a﹣b＝，b＝c，
∴a＝b＝c
∴△ABC是等边三角形．
故答案为①、②、③、④．
（3）∵a2+b2﹣2a﹣6b+10＝0
∴（a2﹣2a+1）+（b2﹣6b+9）＝0
∴（a﹣1）2+（b﹣3）2＝0
又∵（a﹣1）2≥0且（b﹣3）2≥0，
∴a﹣1＝0，b﹣3＝0，
∴a＝1，b＝3，
在△ABC中，a、b、c分别三角形的三边，
∵b﹣a＜c＜b+a，
∴2＜c＜4，
又∵c是正整数，
∴c＝3，
∴当c＝3时，△ABC的周长为：
l△ABC＝a+b+c＝1+3+3＝7．
24．【分析】（1）从实例中理解p＝a2b的含义是正整数p等于一个正整数的平方与另一个正整数的积的形式；其次当|a﹣b|最小时，规定：F（p）＝的计算方法；
（2）以第（1）题为基础，只需将n＝m3变为n＝m2m形式求解；
（3）找到十位数字与个位数字列出被19整除的代数式求解．
【解答】解：（1）∵p＝a2b（ab均为正整数），
∴64＝12×64＝22×16＝42×4＝82×1，
又∵|1﹣64|＞|2﹣16|＞|8﹣1|＞|4﹣4|，
∴F（64）＝＝＝．
同理可得：F（108）＝＝＝．
（2）∵p＝a2b，
∴n＝m3＝m2?m；
∵F（p）＝，
∴F（n）＝＝＝．
（3）当1≤x≤4时，t＝20x+y＝10×2x+y，
∴t的十位数字是2x，个位数字是y，
∴是整数，
∴3x+2y是19的倍数．
∵1≤x≤4，0≤y≤9，x，y是自然数，
∴3≤3x+2y≤30，
∴3x+2y＝19．

∴“双福数”t是28或65．
∵F（28）＝，F（65）＝，
∴，
∴所有“双福数“中F（t）的最小值．







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