物理（人教版） 选修3-1 培优精练
3.3 带电粒子在磁场中的运动
一．选择题
1.如图所示，一个带负电的物体从粗糙斜面顶端滑到底端，速度为v。若加上一个垂直纸面向外的磁场，则滑到底端时（ ）
A.v变大 B.v变小 C.v不变 D.不能确定v的变化
答案 B
解析 由于带负电的物体沿斜面下滑时受到垂直斜面向下的洛伦兹力作用，故物体对斜面的正压力增大，斜面对物体的滑动摩擦力增大，由于物体克服摩擦力做功增大，所以物体滑到底端时v变小，B正确。
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第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
2.如图甲所示是电视机显像管及其偏转线圈的示意图。电流方向如图乙所示，试判断垂直纸面向外而来的电子束将向哪边偏转（ ）
A.向上 B.向下 C.向左 D.向右
答案 C
解析 由安培定则可知两侧线圈内的磁场方向向上，则通过圆环中间区域的磁场方向向下，根据左手定则可知电子束将向左偏转，故选项C正确。
3.（2017·温州模拟）如图为云室中某粒子穿过铅板P前后的运动轨迹，室中匀强磁场的方向与轨迹所在平面垂直（图中垂直于纸面向里）。由此可知粒子（ ）
A.一定带正电 B.一定带负电 C.不带电 D.可能带正电，也可能带负电
答案 A
解析 带电粒子穿过铅板有能量损失，其速度减小，由R＝可知，带电粒子做圆周运动的半径应变小，由题图可知带电粒子应从下往上运动，再由左手定则判定粒子带正电，本题只有选项A正确。
4.(2016·杭州市模拟)如图所示，一轨道由两等长的光滑斜面AB和BC组成，两斜面在B处用一光滑小圆弧相连接，BA、BC关于竖直线BD对称且BD右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场，B处可认为处在磁场中，P是BC的中点，一带电小球从A点由静止释放后能沿轨道来回运动，C点为小球在BD右侧运动的最高点，则下列说法正确的是( )
A．C点与A点不在同一水平线上
B．小球向右或向左滑过B点时，对轨道压力相等
C．小球向上或向下滑过P点时，其所受洛伦兹力相同
D．小球从A到B的时间是从C到P时间的倍
答案 D
解析 小球在运动过程中受重力、洛伦兹力和轨道支持力作用，因洛伦兹力不做功，支持力始终与小球运动方向垂直，也不做功，即只有重力做功，满足机械能守恒，因此C点与A点等高，在同一水平线上，选项A错误；小球向右或向左滑过B点时速度等大反向，即洛伦兹力等大反向，小球对轨道的压力不等，选项B错误；同理小球向上或向下滑过P点时，洛伦兹力也等大反向，选项C错误；因洛伦兹力始终垂直BC，小球在AB段和BC段(设两斜面与水平面的夹角均为θ)的加速度均由重力沿斜面的分力产生，大小为gsin θ，由x＝at2得小球从A到B的时间是从C到P时间的倍，选项D正确．
5.如图所示,带异种电荷的粒子a、b以相同的动能同时从O点射入宽度为d的有界匀强磁场,两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为30°和60°,且同时到达P点,已知OP连线与边界垂直,则a、b两粒子的质量之比为( )
A.3∶4 B.2∶1 C.1∶2 D.4∶3
答案：A
解析：根据题意画出粒子a、b的轨迹如图所示,则粒子a、b的圆心分别是O1和O2,磁场宽度为d,由图可知,粒子a在磁场中运动轨迹的半径ra=,粒子b在磁场中运动轨迹的半径rb==d,由洛伦兹力提供向心力得qvB=,则ra=,rb=,粒子a、b的动能相等,即mamb,粒子a在磁场中运动的时间t=Ta=,粒子b在磁场中运动的时间t=Tb=,由以上各式解得,ma∶mb=3∶4,选项A正确。
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第5题图 第6题图 第7题图 第8题图
6.长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图12所示．磁感应强度为B，板间距离为l，极板不带电．现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是( )
A．使粒子的速度v> B．使粒子的速度v<
C．使粒子的速度v满足v<或v> D．使粒子的速度v满足答案 C
解析 如图，若带电粒子刚好打在极板右边缘，有r12＝2＋l2，又因qv1B＝，联立解得v1＝；若粒子刚好打在极板左边缘，有r2＝，又因qv2B＝，联立解得v2＝，欲使粒子不打在极板上，
则v＜或v＞，故C正确．
7.如图所示，长方形abcd的长ad＝0.6 m，宽ab＝0.3 m，O、e分别是ad、bc的中点，以e为圆心、eb为半径的四分之一圆弧和以O为圆心、Od为半径的四分之一圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场(边界上无磁场)，磁感应强度B＝0.25 T。一群不计重力、质量为m＝3×10－7 kg、电荷量为q＝＋2×10－3 C的带正电粒子，以速度v＝5×102 m/s沿垂直ad方向垂直射入磁场区域，则下列判断正确的是( )
A．从Od之间射入的粒子，出射点全部分布在Oa边
B．从aO之间射入的粒子，出射点全部分布在ab边
C．从Od之间射入的粒子，出射点分布在ab边
D．从ad之间射入的粒子，出射点一定是b点
答案：D
解析：粒子进入磁场后做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力，得：r＝＝ m＝0.3 m；因ab＝0.3 m＝r，从O点射入的粒子从b点射出，如图所示；从Od之间射入的粒子，因边界上无磁场，粒子经圆周运动到达bc后做直线运动，即全部通过b点；从aO之间射入的粒子先做一段时间的直线运动，设某一个粒子在M点进入磁场，其运动轨迹圆圆心为O′，如图所示，根据几何关系可得，四边形O′Meb是菱形，则粒子的出射点一定是b点，可知，从aO之间射入的粒子，出射点一定是b点，故选项A、B、C错误，D正确。
8.(多选)如图所示，在xOy平面内的y轴和虚线之间除圆形区域外的空间存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B。虚线经过Q(3L,0)点且与y轴平行，圆形区域的圆心P的坐标为(2L,0)，半径为L。一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子从y轴上某点垂直y轴进入磁场，不计粒子的重力，则( )
A．如果粒子没有经过圆形区域到达了Q点，则粒子的入射速度为v＝
B．如果粒子没有经过圆形区域到达了Q点，则粒子的入射速度为v＝
C．粒子第一次从P点经过了x轴，则粒子的最小入射速度为vmin＝
D．粒子第一次从P点经过了x轴，则粒子的最小入射速度为vmin＝
解析：选AC 若粒子没经过圆形区域到达了Q点，则轨迹如图甲所示，和圆形区域相切于Q点，则r＝3L，根据洛伦兹力提供向心力有Bqv＝，得v＝，选项A正确，B错误；粒子第一次从P点经过了x轴，如图乙所示。
设粒子在磁场中运动转过的圆心角为θ，由几何关系得rsin θ＋Lcos θ＝2L，得r＝L＝L＝L＝L＝L≥ L，由Bqv＝得vmin＝，选项C正确，D错误。
9.（2017·绍兴期中）如图所示，在边长为L的正方形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，有一带正电的电荷，从D点以v0的速度沿DB方向射入磁场，恰好从A点射出，已知电荷的质量为m，带电荷量为q，不计电荷的重力，则下列说法正确的是（ ）
A.匀强磁场的磁感应强度为
B.电荷在磁场中运动的时间为
C.若电荷从CD边界射出，随着入射速度的减小，电荷在磁场中运动的时间会减小 第9题图
D.若电荷的入射速度变为2v0，则粒子会从AB中点射出
答案 A
解析 由题图可以看出电荷做圆周运动的半径r＝L，根据牛顿第二定律：qv0B＝m，得B＝，A正确；由T＝，转过的圆心角为90°，则t＝·＝，故B错误；若电荷从CD边界射出，则转过的圆心角均为180°，入射速度减小，T＝，周期与速度无关，故电荷在磁场中运动的时间不变，C错误；若电荷的入射速度变为2v0，则半径变为2L，轨迹如图，设DF为h，由几何知识：（2L－h）2＋L2＝（2L）2，得h＝（2－）L≠L，可见E不是AB的中点，即粒子不会从AB中点射出，D错误。
解答题
10.（2017·台州模拟）如图所示，一个电子沿磁场边界从A点射入Ⅰ区域，速度大小未知，已知电子质量为m、电荷量为－e，其中区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ宽均为d，Ⅰ、Ⅲ两区域存在垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度均为B，Ⅱ区域无任何场。电子从A点射出后经过Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区域后恰能回到A点，不计电子重力。
（1）求电子从A点射出到回到A点经历的时间t；
（2）若在区域Ⅱ内加一水平方向的匀强电场，且区域Ⅲ的磁感应强度变为2B，电子也能回到A点，求电场强度E的大小和方向； 第10题图
（3）若电子经Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区域后，返回到区域Ⅰ前的瞬间使区域Ⅰ的磁场反向且磁感应强度减半，则电子的出射点距A点的距离为多少？
答案 （1） （2） 方向水平向左（3）（3－）d
解析 （1）因粒子从A点出发，经过Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区域后能回到A点，由对称性可知粒子做圆周运动的半径为r＝d由evB＝m得v＝所以运行时间为t＝＝。
（2）在区域Ⅱ内由动能定理知eEd＝mv－mv2
由题意知在区域Ⅲ内粒子做圆周运动的半径仍为
r＝d，由2Bev1＝m得v＝联立上式得E＝
方向水平向左。
（3）改变区域Ⅰ内磁场后，粒子运动轨迹如图所示，由
Bev＝m得R＝2r＝2d所以OC＝＝d
即粒子出射点距A点的距离为s＝r＋R－OC＝（3－）d。
2．(2017·浙江11月选考·23)如图所示，x轴上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，坐标原点有一正离子源，单位时间在xOy平面内发射n0个速率均为v的离子，分布在y轴两侧各为θ的范围内．在x轴上放置长度为L的离子收集板，其右端点距坐标原点的距离为2L，当磁感应强度为B0时，沿y轴正方向入射的离子，恰好打在收集板的右端点．整个装置处于真空中，不计重力，不考虑离子间的碰撞，忽略离子间相互作用．
(1)求离子的比荷；
(2)若发射的离子被收集板全部收集，求θ的最大值；
(3)假设离子到达x轴时沿x轴均匀分布，当θ＝37°，磁感应强度B0≤B≤3B0的区间取不同值时，求单位时间内收集板收集到的离子数n与磁感应强度B之间的关系．(不计离子在磁场中运动的时间)
答案 (1) (2)60° (3)见解析
解析 (1)磁场强度为B0时，沿着y轴正方向射入的离子，正好打在收集板右端，则离子轨迹如图甲：
可知L＝R，qvB0＝m，
联立可得：＝
(2)如图乙所示，以最大值θm入射时，
根据几何关系，有：2Rcos θm＝L，
故θm＝60°
(3)B≥B0，全部收集到离子时的最小半径为R1，如图丙
有2R1cos 37°＝L，得B1＝＝1.6B0
当B0≤B≤1.6B0时，n1＝n0
B>1.6B0，恰好收集不到离子时的半径为R2，
有R2＝0.5L，得B2＝2B0
因此当1.6B0≤B≤2B0时，设R′＝，
则n2＝n0＝n0(5－)，
当2B0≤B≤3B0时，极板上无法收集到离子，n3＝0.
3.某科研小组设计了一个粒子探测装置。如图甲所示，一个截面半径为R的圆筒（筒长大于2R）水平固定放置，筒内分布着垂直于轴线的水平方向匀强磁场，磁感应强度大小为B。图乙为圆筒的入射截面，图丙为竖直方向过筒轴的切面。质量为m，电荷量为q的正离子以不同的初速度垂直于入射截面射入筒内。圆筒内壁布满探测器，可记录粒子到达筒壁的位置。筒壁上的P点和Q点与入射面的距离分别为R和2R。（离子碰到探测器即被吸收，忽略离子间的相互作用）
（1）离子从O点垂直射入，偏转后到达P点，求该入射离子的速度v0；
（2）离子从OC线上垂直射入，求位于Q点处的探测器接收到的离子的入射速度范围；
（3）若离子以第（2）问求得范围内的速度垂直入射，从入射截面的特定区域入射的离子偏转后仍能到达距入射面为2R的筒壁位置，画出此入射区域的形状并求其面积。
解析 （1）离子运动的半径为R
qBv0＝m，v0＝
（2）离子以v1从C点入射时，才能到达Q点，偏转半径为R1＝2R
qBv1＝m
v1＝
从O点入射时，设半径为R2，根据题意得
（R2－R）2＋（2R）2＝R
R2＝R，qBv2＝m
v2＝
所以≤v≤
（3）当离子以的速度在偏离竖直线CO入射时，入射点与正下方筒壁的距离仍然为R。
所以特定入射区域为图中阴影部分
由几何关系得
S1＝×πR2＝，S2＝－，S总＝－
答案 （1） （2）≤v≤ （3）见解析图 －
4.（2017·杭州模拟）如图所示，质量均为m，电荷量大小均为q的正、负离子均从磁场边界上的一点A以与磁场边界夹角为30°的初速度v0射入到磁场中，然后分别从边界上的B点和C点射出，已知磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，正、负离子重力不计。求：
（1）AB、AC的长度；
（2）正、负离子在磁场中运动时间之比。
答案 （1） （2）5∶1
解析 （1）画出正、负离子在磁场中的运动轨迹分别如图中Ⅰ、Ⅱ所示。
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根据对称性可知AB＝AC，且∠AO1B＝∠AO2C＝60°
由Bqv0＝得R＝
故AB＝AC＝2Rsin 30°＝R＝
（2）正离子在磁场中偏转的圆心角
θ1＝2π－＝π
负离子在磁场中偏转的圆心角θ2＝
由t＝T，又T＝可知，正、负离子的周期相同，t正∶t负＝5∶1
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物理（人教版） 选修3-1 培优精练
3.3 带电粒子在磁场中的运动
一．选择题
1.如图所示，一个带负电的物体从粗糙斜面顶端滑到底端，速度为v。若加上一个垂直纸面向外的磁场，则滑到底端时（ ）
A.v变大 B.v变小 C.v不变 D.不能确定v的变化
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第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
2.如图甲所示是电视机显像管及其偏转线圈的示意图。电流方向如图乙所示，试判断垂直纸面向外而来的电子束将向哪边偏转（ ）
A.向上 B.向下 C.向左 D.向右
3.（2017·温州模拟）如图为云室中某粒子穿过铅板P前后的运动轨迹，室中匀强磁场的方向与轨迹所在平面垂直（图中垂直于纸面向里）。由此可知粒子（ ）
A.一定带正电 B.一定带负电 C.不带电 D.可能带正电，也可能带负电
4.(2016·杭州市模拟)如图所示，一轨道由两等长的光滑斜面AB和BC组成，两斜面在B处用一光滑小圆弧相连接，BA、BC关于竖直线BD对称且BD右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场，B处可认为处在磁场中，P是BC的中点，一带电小球从A点由静止释放后能沿轨道来回运动，C点为小球在BD右侧运动的最高点，则下列说法正确的是( )
A．C点与A点不在同一水平线上
B．小球向右或向左滑过B点时，对轨道压力相等
C．小球向上或向下滑过P点时，其所受洛伦兹力相同
D．小球从A到B的时间是从C到P时间的倍
5.如图所示,带异种电荷的粒子a、b以相同的动能同时从O点射入宽度为d的有界匀强磁场,两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为30°和60°,且同时到达P点,已知OP连线与边界垂直,则a、b两粒子的质量之比为( )
A.3∶4 B.2∶1 C.1∶2 D.4∶3
6.长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图12所示．磁感应强度为B，板间距离为l，极板不带电．现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是( )
A．使粒子的速度v> B．使粒子的速度v<
C．使粒子的速度v满足v<或v> D．使粒子的速度v满足 / / / /
第6题图 第7题图 第8题图 第9题图
7.如图所示，长方形abcd的长ad＝0.6 m，宽ab＝0.3 m，O、e分别是ad、bc的中点，以e为圆心、eb为半径的四分之一圆弧和以O为圆心、Od为半径的四分之一圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场(边界上无磁场)，磁感应强度B＝0.25 T。一群不计重力、质量为m＝3×10－7 kg、电荷量为q＝＋2×10－3 C的带正电粒子，以速度v＝5×102 m/s沿垂直ad方向垂直射入磁场区域，则下列判断正确的是( )
A．从Od之间射入的粒子，出射点全部分布在Oa边
B．从aO之间射入的粒子，出射点全部分布在ab边
C．从Od之间射入的粒子，出射点分布在ab边
D．从ad之间射入的粒子，出射点一定是b点
8.(多选)如图所示，在xOy平面内的y轴和虚线之间除圆形区域外的空间存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B。虚线经过Q(3L,0)点且与y轴平行，圆形区域的圆心P的坐标为(2L,0)，半径为L。一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子从y轴上某点垂直y轴进入磁场，不计粒子的重力，则( )
A．如果粒子没有经过圆形区域到达了Q点，则粒子的入射速度为v＝
B．如果粒子没有经过圆形区域到达了Q点，则粒子的入射速度为v＝
C．粒子第一次从P点经过了x轴，则粒子的最小入射速度为vmin＝
D．粒子第一次从P点经过了x轴，则粒子的最小入射速度为vmin＝
9.（2017·绍兴期中）如图所示，在边长为L的正方形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，有一带正电的电荷，从D点以v0的速度沿DB方向射入磁场，恰好从A点射出，已知电荷的质量为m，带电荷量为q，不计电荷的重力，则下列说法正确的是（ ）
A.匀强磁场的磁感应强度为
B.电荷在磁场中运动的时间为
C.若电荷从CD边界射出，随着入射速度的减小，电荷在磁场中运动的时间会减小 第9题图
D.若电荷的入射速度变为2v0，则粒子会从AB中点射出
二．解答题
10.（2017·台州模拟）如图所示，一个电子沿磁场边界从A点射入Ⅰ区域，速度大小未知，已知电子质量为m、电荷量为－e，其中区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ宽均为d，Ⅰ、Ⅲ两区域存在垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度均为B，Ⅱ区域无任何场。电子从A点射出后经过Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区域后恰能回到A点，不计电子重力。
（1）求电子从A点射出到回到A点经历的时间t；
（2）若在区域Ⅱ内加一水平方向的匀强电场，且区域Ⅲ的磁感应强度变为2B，电子也能回到A点，求电场强度E的大小和方向； 第10题图
（3）若电子经Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区域后，返回到区域Ⅰ前的瞬间使区域Ⅰ的磁场反向且磁感应强度减半，则电子的出射点距A点的距离为多少？
2．(2017·浙江11月选考·23)如图所示，x轴上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，坐标原点有一正离子源，单位时间在xOy平面内发射n0个速率均为v的离子，分布在y轴两侧各为θ的范围内．在x轴上放置长度为L的离子收集板，其右端点距坐标原点的距离为2L，当磁感应强度为B0时，沿y轴正方向入射的离子，恰好打在收集板的右端点．整个装置处于真空中，不计重力，不考虑离子间的碰撞，忽略离子间相互作用．
(1)求离子的比荷；
(2)若发射的离子被收集板全部收集，求θ的最大值；
(3)假设离子到达x轴时沿x轴均匀分布，当θ＝37°，磁感应强度B0≤B≤3B0的区间取不同值时，求单位时间内收集板收集到的离子数n与磁感应强度B之间的关系．(不计离子在磁场中运动的时间)
3.某科研小组设计了一个粒子探测装置。如图甲所示，一个截面半径为R的圆筒（筒长大于2R）水平固定放置，筒内分布着垂直于轴线的水平方向匀强磁场，磁感应强度大小为B。图乙为圆筒的入射截面，图丙为竖直方向过筒轴的切面。质量为m，电荷量为q的正离子以不同的初速度垂直于入射截面射入筒内。圆筒内壁布满探测器，可记录粒子到达筒壁的位置。筒壁上的P点和Q点与入射面的距离分别为R和2R。（离子碰到探测器即被吸收，忽略离子间的相互作用）
（1）离子从O点垂直射入，偏转后到达P点，求该入射离子的速度v0；
（2）离子从OC线上垂直射入，求位于Q点处的探测器接收到的离子的入射速度范围；
（3）若离子以第（2）问求得范围内的速度垂直入射，从入射截面的特定区域入射的离子偏转后仍能到达距入射面为2R的筒壁位置，画出此入射区域的形状并求其面积。
4.（2017·杭州模拟）如图所示，质量均为m，电荷量大小均为q的正、负离子均从磁场边界上的一点A以与磁场边界夹角为30°的初速度v0射入到磁场中，然后分别从边界上的B点和C点射出，已知磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，正、负离子重力不计。求：
（1）AB、AC的长度；
（2）正、负离子在磁场中运动时间之比。
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